高等数学(同济大学)课件下第8_2偏导数

机动 目录 上页 下页 返回 结束
类似可以定义更高阶的偏导数.
例如，z = f (x , y) 关于 x 的三阶偏导数为
z = f (x , y) 关于 x 的 n –1 阶偏导数 , 再关于 y 的一阶 偏导数为
( y
z ) n 1 x y
n
机动
目录
上页
下页
返回
结束
3 z . 例5. 求函数 z e x 2 y 的二阶偏导数及 2 y x z z 解: 2 e x2y e x2y y x z e x2y 2 x 2 2 z z x2y 4 e x2y 2e 2 y x y 3 2 z z ( ) 2 e x2y y x 2 x y x 2z 2z , 但这一结论并不总成立. 注意:此处 x y y x
说明: 因为初等函数的偏导数仍为初等函数 , 而初等
函数在其定义区域内是连续的 , 故求初等函数的高阶导 数可以选择方便的求导顺序.
证明 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
1. 偏导数的概念及有关结论
• 定义; 记号; 几何意义
• 函数在一点偏导数存在 • 混合偏导数连续 2. 偏导数的计算方法 • 求一点处偏导数的方法 • 求高阶偏导数的方法 函数在此点连续 与求导顺序无关 先代后求 先求后代 利用定义 逐次求导法
机动 目录 上页 下页 返回 结束
r2
定理. 若 f x y ( x,y) 和 f y x ( x,y) 都在点 ( x0 , y0 ) 连续, 则
f x y ( x0 , y0 ) f y x ( x0 , y0 )
本定理对 n 元函数的高阶混合导数也成立.
(证明略)
例如, 对三元函数 u = f (x , y , z) , 当三阶混合偏导数 在点 (x , y , z) 连续时, 有
第二节 偏 导 数
一、 偏导数概念及其计算 二 、高阶偏导数
第八章
机动
目录
上页
下页
返回
结束
一、 偏导数定义及其计算法
引例: 研究弦在点 x0 处的振动速度与加速度 , 就是 将振幅
中的 x 固定于 x0 处, 求
关于 t 的
一阶导数与二阶导数.
u o
u ( x0 , t )
u(x , t )
x0
x
x
x
f y ( x, y , z ) ?
f z ( x, y, z ) ?
(请自己写出)
机动
目录
上页
下页
返回
结束
二元函数偏导数的几何意义:
f x
x x0 y y0
d f ( x, y 0 ) x x0 dx
z
M0
z f ( x, y )在点 M 处的切线 是曲线 0 y y0 M 0Tx 对 x 轴的斜率.
f1( x0 , y0 ) .
同样可定义对 y 的偏导数
f y ( x0 , y0 ) lim
f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
y 0
y
若函数 z = f ( x , y ) 在域 D 内每一点 ( x , y ) 处对 x
或 y 偏导数存在 , 则该偏导数称为偏导函数, 也简称为 偏导数 , 记为
证:
x z 1 z y x ln x y
2z
例3. 求 的偏导数 . (P14 例4) 2x x r 解: 2 2 2 x 2 x y z r r z z r
机动 目录 上页 下页 返回 结束
(R 为常数) , 例4. 已知理想气体的状态方程 求证: p V T 1 V T p RT p RT 2 , 证: p 说明: 此例表明, V V V 偏导数记号是一个 RT V R V , p T p 整体记号, 不能看作 分子与分母的商 !
z f , , z y , f y ( x, y ) , f 2 ( x, y ) y y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 . 例如, 三元函数 u = f (x , y , z) 在点 (x , y , z) 处对 x 的 偏导数定义为
x x
显然
0 0
在上节已证 f (x , y) 在点(0 , 0)并不连续!
上节例 目录 上页 下页 返回 结束
例1 . 求 z x 2 3x y y 2 在点(1 , 2) 处的偏导数. z z 2x 3y , 3x 2 y 解法1: x y z z y (1, 2) x (1, 2)
p V T RT 1 V T p pV
机动 目录 上页 下页 返回 结束
二、高阶偏导数
设 z = f (x , y)在域 D 内存在连续的偏导数 z z f x ( x, y ) , f y ( x, y ) x y 若这两个偏导数仍存在偏导数， 则称它们是z = f ( x , y ) 的二阶偏导数 . 按求导顺序不同, 有下列四个二阶偏导 数:
f y
是曲线
x x0 y y0
Tx
y0
Ty
o x
y
d f ( x0 , y) y y0 dy
x0
在点M0 处的切线 M 0T y 对 y 轴的
斜率.
机动 目录 上页 下页 返回 结束
注意： 函数在某点各偏导数都存在,
但在该点不一定连续.
xy , x2 y2 0 2 例如, z f ( x, y ) x y 2 0 , x2 y2 0
P18 1（4）,（6）,（8）； 3； 5； 6（3）； 7； 8； 9（2）
第三节 目录
上页
下页
返回
结束
备用题 设
确定 u 是 x , y 的函数 ,
方程
连续, 且
解:
求
机动
目录
上页
下页
返回
结束
机动 目录 上页 下页 返回
二 者 不 等
结束
例6. 证明函数
满足拉普拉斯
2u 2u 2u 方程 u 2 2 2 0 x y z
证：
2
3 x r 1 3 x2 u 1 3 4 3 5 r x r r x2 r 2u 1 3 y2 2u 1 3 z2 利用对称性 , 有 2 3 5 , 3 5 2 z r r y r r 2 2 2 u u u 3 3( x2 y2 z 2 ) 2 2 0 2 3 5 x y z r r
2
机动 目录 上页 下页 返回 结束
2z 2 e x2y x y
例如, f ( x, y )
x2 y2 2 2 xy 2 , x y 0 2 x y 0, x2 y2 0
x4 4x2 y 2 y 4 y , x2 y2 0 f x ( x, y ) ( x2 y 2 )2 0, x2 y2 0 x4 4x2 y 2 y 4 x , x2 y2 0 f y ( x, y ) ( x2 y 2 )2 0, x2 y2 0 y f x (0, y ) f x (0, 0) lim 1 f x y (0,0) lim y 0 y y 0 y f y ( x, 0) f y (0, 0) x 1 lim f y x (0,0) lim x 0 x x 0 x
(与求导顺序无关时, 应选择方便的求导顺序)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
思考与练习
解答提示: P73 题 5
P73 题 5 , 6
当 x 2 y 2 0 时，
x2 y f x ( x, y ) 2 2 x x y
x 2 y x 2( x 2 y 2 ) f y ( x, y ) 2 2 2 y x y ( x y 2 )2 即 x＝y＝0 时, d f x (0,0) f ( x,0) x0 dx d f y (0,0) f (0, y ) y0 dy
z 2z z 2 z ( ) f x y ( x, y ) ( ) 2 f x x ( x, y ); y x x y x x x
2 z 2z z z ( ) f y x ( x, y ); ( ) 2 f y y ( x, y ) x y y x y y y
;
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 注意: f x ( x0 , y0 ) lim 0 x f ( x x x) f ( x0 ) d y 0 f ( x0 ) lim x 0 x d x x x0
机动 目录 上页 下页 返回 结束
z y 1 z x y ln x yx , (2) y x 2 2 z z y .2 x y 1 y x y .1 ln x y( y 1) x , 2 x y x 2z x y ln 2 x 2 y
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业
解法2: z
x 2 6x 4 y 2
z x (1, 2)
z
x 1 1 3 y
y
2
z y (1, 2)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
y ） 求证 例2. 设 z x ( x 0, 且 x 1 ， x z 1 z 2z y x ln x y
机动
目录
上页
下页
返回
结束
定义1. 设函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某邻域内
极限
x0 x
x
x0
存在, 则称此极限为函数 z f ( x, y ) 在点 ( x0 , y0 ) 对 x 的偏导数，记为
f ; zx x ( x0 , y 0 )
(结束
P73 题6 z 1 , (1) 2 x x y
2
z 2y y x y2
2
2 2
z 1 z 2( x y ) z 2y , , 2 2 2 2 2 2 x ( x y ) x y ( x y ) y ( x y 2 )2