2016-2017学年陕西省西安市雁塔区电子科大附中八年级(下)第二次月考数学试卷

2016-2017学年陕西省西安市雁塔区电子科大附中八年级（下）
第二次月考数学试卷
（考试时间：90分满分：100分）
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）若x＞y，则下列式子错误的是（）
A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．3﹣x＞3﹣y D．
2．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
3．（3分）不等式组的解集是（）
A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜3
4．（3分）如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值一定（）
A．是原来的2倍B．是原来的4倍
C．是原来的D．不变
5．（3分）如图，有一个直角三角形纸片，直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC进行折叠使点B与点A重合，折痕为DE，那么CD长为（）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，，AE平分∠DAB交CD边于点E，且CE＝2，则AB的长为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（3分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝D．﹣＝
8．（3分）平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
9．（3分）已知关于x的方程有增根，则m的值为（）
A．﹣3 B．1 C．1或0 D．3或﹣5
10．（3分）如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC＝120°，BD＝CD，∠MDN＝60°．则△AMN的周长等于（）
A．2 B．3 C．D．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11．（3分）分解因式：2a2b﹣a3﹣ab2＝．
12．（3分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若CD＝2EF＝4，BC＝4，则∠C等于．13．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是．
15．（3分）若分式的值为整数，则整数x的值为．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点P为正方形内部（含边上）的任意一点，且BP＝2，分别连接PC、PD，则PD+PC的最小值为．
三、解答题（共6小题，计52分，解答应写出过程）
17．（10分）（1）解分式方程：．
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（6分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，请用尺规在AC边上作一个点P，使得PA＝2PC．（保留作图痕迹，不写作法）
19．（8分）如图，已知△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣3，﹣1），B（﹣4，﹣4），C（﹣1，﹣2），结合所给平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC向右平移5个单位长度，再向上平移6个单位，画出平移后的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2，此时点A2的坐标为．
（3）若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接满足条件的点D的坐标．
20．（8分）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC．
（1）求证：AB＝BC．
（2）若AB＝2，AC＝2，求平行四边形ABCD的面积．
21．（10分）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？
22．（10分）问题探究：
（1）如图①，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在BC上，若AD平分△ABC的面积，请你画出线段AD，并计算线段AD的长度为．
（2）如图②，四边形ABCD是平行四边形（AB＜BC），请你画一条直线l，使其平分平行四边形ABCD的面积，并且直线l被平行四边形ABCD截得的线段最短，请说明理由．
问题解决：
如图③王叔叔家一块四边形菜地ABCD，王叔叔打算过D点修一条笔直的小路把四边形菜地ABCD分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物，已知AB＝AD＝200米，BC＝DC＝200米，∠BAD＝90°，过点D是否存在一条直线将四边形ABCD的面积平分，若存在，求平分该四边形ABCD的面积的线段长；若不存在，说明理由．
2016-2017学年陕西省西安市雁塔区电子科大附中八年级（下）第二次月考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）若x＞y，则下列式子错误的是（）
A．x﹣3＞y﹣3 B．x+3＞y+3 C．3﹣x＞3﹣y D．
【分析】根据不等式的性质求解即可．
【解答】解：A、两边都减3，不等号的方向不变，故A不符合题意；
B、两边都加3，不等号的方向不变，故B不符合题意；
C、两边都乘以﹣1，不等号的方向改变，故C符合题意；
D、两边都除以3，不等号的方向不变，故D不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的性质，利用不等式的性质是解题关键．
2．（3分）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．
3．（3分）不等式组的解集是（）
A．x＞﹣1 B．x＞3 C．﹣1＜x＜3 D．x＜3
【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．
【解答】解：
∵解不等式①得：x＞3，
解不等式②得：x＞﹣1，
∴不等式组的解集为x＞3，
故选：B．
【点评】本题考查了解一元一次不等式组，能根据不等式的解集找出不等式组的解集是解此题的关键．4．（3分）如果把分式中的a、b都扩大为原来的2倍，那么分式的值一定（）
A．是原来的2倍B．是原来的4倍
C．是原来的D．不变
【分析】观察代数式，显然分子将扩大4倍，分母扩大2倍，从而分式的值扩大2倍．
【解答】解：根据题意，得
新的分式是＝，则分式的值扩大为原来的2倍．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的基本性质，注意仔细观察各个字母的变化．
5．（3分）如图，有一个直角三角形纸片，直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC进行折叠使点B与点A重合，折痕为DE，那么CD长为（）
A．B．C．D．
【分析】由翻折易得DB＝AD，利用直角三角形ACD，勾股定理即可求得CD长．
【解答】解：由题意得DB＝AD；
设CD＝xcm，则
AD＝DB＝（8﹣x）cm，
∵∠C＝90°，
∴在Rt△ACD中，
根据勾股定理得：AD2﹣CD2＝AC2，即（8﹣x）2﹣x2＝36，
解得x＝；
即CD＝cm．
故选：B．
【点评】此题考查翻折问题，关键是根据翻折前后对应边相等，利用勾股定理求解即可．
6．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，，AE平分∠DAB交CD边于点E，且CE＝2，则AB的长为（）
A．6 B．5 C．4 D．3
【分析】首先根据平行四边形的性质得到∠DEA＝∠BAE，再根据角平分线的性质得到∠DAE＝∠DEA，进而得到AD＝DE，最后根据边边之间的数量关系得到答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DEA＝∠BAE，
∵AE平分∠DAB交CD边于点E，
∴∠DAE＝∠BAE，
∴∠DAE＝∠DEA，
∴AD＝DE，
∵AD＝AB，
∴DE＝CD＝AB，
∵CE＝2，
∴CD﹣CD＝2，
∴CD＝6，
∴AB＝6，
故选：A．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质，得出∠DEA＝∠DAE是解题关键，此题难度不大．
7．（3分）八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，已知汽车的速度是骑车学生速度的2倍．设骑车学生的速度为x千米/小时，则所列方程正确的是（）
A．﹣＝20 B．﹣＝20
C．﹣＝D．﹣＝
【分析】根据八年级学生去距学校10千米的博物馆参观，一部分学生骑自行车先走，过了20分钟后，其余学生乘汽车出发，结果他们同时到达，可以列出相应的方程，从而可以得到哪个选项是正确的．
【解答】解：由题意可得，
﹣＝，
故选：C．
【点评】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程．
8．（3分）平面直角坐标系中，已知▱ABCD的三个顶点坐标分别是A（m，n），B（2，﹣1），C（﹣m，﹣n），则点D的坐标是（）
A．（﹣1，2）B．（﹣1，﹣2）C．（﹣2，﹣1）D．（﹣2，1）
【分析】由点的坐标特征得出点A和点C关于原点对称，由平行四边形的性质得出D和B关于原点对称，即可得出点D的坐标．
【解答】解：∵A（m，n），C（﹣m，﹣n），
∴点A和点C关于原点对称，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴D和B关于原点对称，
∵B（2，﹣1），
∴点D的坐标是（﹣2，1）．
故选：D．
【点评】本题考查了平行四边形的性质、关于原点对称的点的坐标特征；熟练掌握平行四边形的性质，得出D和B关于原点对称是解决问题的关键．
9．（3分）已知关于x的方程有增根，则m的值为（）
A．﹣3 B．1 C．1或0 D．3或﹣5
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x （x﹣1）＝0，得到x＝0或x＝1，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘x（1﹣x），
得3（x﹣1）+6x＝x﹣m，
化简，得
8x＝3﹣m．
∵原方程有增根，
∴最简公分母x（1﹣x）＝0，
解得x＝0或x＝1，
当x＝0时，m＝3，
当x＝1时，m＝﹣5．
故m的值为3或﹣5．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：让最简公分母为0确定增根；化分式方程为整式方程；把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
10．（3分）如图，已知等边△ABC边长为1，D是△ABC外一点且∠BDC＝120°，BD＝CD，∠MDN＝60°．则△AMN的周长等于（）
A．2 B．3 C．D．
【分析】延长AC到E，使CE＝BM，连接DE，求证△BMD≌△CDE可得∠BDM＝∠CDE，进而求证△MDN≌△EDN 可得MN＝NE＝NC+CE＝NC+BM，即可计算△AMN周长，即可解题．
【解答】解：延长AC到E，使CE＝BM，连接DE，（如图）
∵BD＝DC，∠BDC＝120°，
∴∠CBD＝∠BCD＝30°，
∵∠ABC＝∠ACB＝60°，
∴∠ABD＝∠ACD＝∠DCE＝90°，
∴△BMD≌△CDE，
∴∠BDM＝∠CDE，DM＝DE，
又∵∠MDN＝60°，
∴∠BDM+∠NDC＝60°，
∴∠EDC+∠NDC＝∠NDE＝60°＝∠NDM，
又∵DN＝DN，
∴△MDN≌△EDN（SAS），
∴MN＝NE＝NC+CE＝NC+BM，
所以△AMN周长＝AM+AN+MN＝AM+AN+NC+BM＝AB+AC＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分）
11．（3分）分解因式：2a2b﹣a3﹣ab2＝﹣a（a﹣b）2．
【分析】先提公因式a，然后利用完全平方公式因式分解即可．
【解答】解：2a2b﹣a3﹣ab2＝﹣a（a﹣b）2，
故答案为：﹣a（a﹣b）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用乘法公式是解题关键．
12．（3分）若一个多边形的内角和是其外角和的3倍，则这个多边形的边数是八．
【分析】任何多边形的外角和是360°，即这个多边形的内角和是3×360°．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，如果已知多边形的边数，就可以得到一个关于边数的方程，解方程就可以求出多边形的边数．
【解答】解：设多边形的边数为n，根据题意，得
（n﹣2）•180＝3×360，
解得n＝8．
则这个多边形的边数是八．
【点评】已知多边形的内角和求边数，可以转化为方程的问题来解决．
13．（3分）如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点，若CD＝2EF＝4，BC＝4，则∠C等于45°．
【分析】首先连接BD，根据三角形中位线定理可得BD＝2EF，进而得到BD＝CD，再利用勾股定理逆定理可证明∠CDB＝90°，进而得到答案．
【解答】解：连接BD，
∵E、F分别是AB、AD的中点，
∴BD＝2EF，
∵CD＝2EF＝4，
∴DB＝4，
∵42+42＝（4）2，
∴∠CDB＝90°，
∴∠C＝45°．
【点评】此题主要考查了三角形中位线，以及勾股定理逆定理，关键是掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．
14．（3分）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是．
【分析】首先证明△ACA1，△BCB1是等边三角形，推出△A1BD是直角三角形即可解决问题．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AC＝2，
∴∠A＝90°﹣∠ABC＝60°，AB＝4，BC＝2，
∵CA＝CA1，
∴△ACA1是等边三角形，AA1＝AC＝BA1＝2，
∴∠BCB1＝∠ACA1＝60°，
∵CB＝CB1，
∴△BCB1是等边三角形，
∴BB1＝2，BA1＝2，∠A1BB1＝90°，
∴BD＝DB1＝，
∴A1D＝＝，
故答案为：．
【点评】本题考查旋转的性质、30度角的直角三角形性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是证明△ACA1，△BCB1是等边三角形．
15．（3分）若分式的值为整数，则整数x的值为3或5或﹣1 ．
【分析】根据分式的性质即可求出答案．
【解答】解：原式＝＝＝1+
∴x﹣2＝±1或±3
∴x＝3或5或±1，
当x＝1时，分式无意义，
故答案为：3或5或﹣1
【点评】本题考查分式的值，解题的关键是将原式化简，本题属于中等题型．
16．（3分）如图，正方形ABCD的边长为4，点P为正方形内部（含边上）的任意一点，且BP＝2，分别连接PC、PD，则PD+PC的最小值为 5 ．
【分析】如图，在BC边上取一点E，使得BE＝1，连接DE．首先证明△PBE∽△CBE，推出＝＝，推出PE＝PC，推出PD+PC＝PD+PE，由PE+PD≥DE，求出DE即可解决问题．
【解答】解：如图，在BC边上取一点E，使得BE＝1，连接DE．
∵PB＝2，BC＝4，BE＝1，
∴＝＝，∵∠PBE＝∠CBE，
∴△PBE∽△CBP，
∴＝＝，
∴PE＝PC，
∴PD+PC＝PD+PE，
∵PE+PD≥DE，
在Rt△DEC中，∵∠DCE＝90°，CD＝4，EC＝3，
∴DE＝＝5，
∴PE+PD的最小值为5，
∴PD+PC的最小值为5，
故答案为5．
【点评】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定和性质、两点之间线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题（共6小题，计52分，解答应写出过程）
17．（10分）（1）解分式方程：．
（2）先化简，再求值：，其中．
【分析】（1）方程的两边都乘以最简公分母（x2﹣4），化分式方程为整式方程，注意验根；
（2）把﹣x﹣2变形为﹣，对分式进行化简，最后带入求值，结果注意分母有理化．
【解答】解：（1）方程的两边都乘以（x+2）（x﹣2），得
（x﹣2）2﹣（x2﹣4）＝3
整理，得﹣4x+5＝0
解得：x＝
经检验，x＝是原方程的解．
所以x＝；
（2）原式＝（﹣）÷+
＝×+
＝×+
＝+
＝﹣
当x＝时，
原式＝﹣
＝﹣
＝
【点评】本题考查了解分式方程、分式的化简求值及二次根式的分母有理化．解决本题需注意：（一）分式
方程必须验根；（二）分式化简的结果必须是整式或者最简分式，二次根式需化成最简二次根式或整式（数）．解分式方程的一般步骤为：方程的两边都乘以各分母的最简公分母、解整式方程、检验、作答．18．（6分）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，请用尺规在AC边上作一个点P，使得PA＝2PC．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】根据含30°角的直角三角形的性质画出图形解答即可．
【解答】解：如图所示：点P即为所求：
【点评】此题主要考查了复杂作图，根据含30°角的直角三角形的性质画出图形是解题关键．
19．（8分）如图，已知△ABC三个顶点坐标分别为A（﹣3，﹣1），B（﹣4，﹣4），C（﹣1，﹣2），结合所给平面直角坐标系解答下列问题：
（1）将△ABC向右平移5个单位长度，再向上平移6个单位，画出平移后的△A1B1C1．
（2）将△ABC绕原点O顺时针旋转90°，画出旋转后的△A2B2C2，此时点A2的坐标为（﹣1，3）．（3）若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接满足条件的点D的坐标．
【分析】（1）利用点平移的规律写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（2）利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2，从而得到△A2B2C2；
（3）分别以AB、AC、BC为对角线画出平行四边形，从而得到对应的D点坐标．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作；
（2）如图，△A2B2C2为所作，A2的坐标为（﹣1，3）；
（3）点D的坐标为（﹣2，﹣5）或（﹣6，﹣3）或（0，1）．
【点评】本题考查了作图﹣旋转：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了平行四边形的性质和平移变换．
20．（8分）如图，AC是平行四边形ABCD的对角线，∠BAC＝∠DAC．
（1）求证：AB＝BC．
（2）若AB＝2，AC＝2，求平行四边形ABCD的面积．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，根据平行线的性质得出∠DAC＝∠BCA，求出∠BAC＝∠BCA 即可；
（2）求出四边形ABCD是菱形，根据勾股定理求出BO，求出BD，根据面积公式求出即可．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAC＝∠BCA，
∵∠BAC＝∠DAC，
∴∠BAC＝∠BCA，
∴AB＝BC；
（2）解：连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC，
∴四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，OA＝OC＝AC＝，OB＝OD＝BD，
∴OB＝═1，
∴BD＝2OB＝2，
∴平行四边形ABCD的面积＝AC•BD＝×2×2＝2．
【点评】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质等知识点，能灵活运用定理进行推理是解此题的关键．
21．（10分）某电脑公司经销甲种型号电脑，受经济危机影响，电脑价格不断下降．今年三月份的电脑售价比去年同期每台降价1000元，如果卖出相同数量的电脑，去年销售额为10万元，今年销售额只有8万元．（1）今年三月份甲种电脑每台售价多少元？
（2）为了增加收入，电脑公司决定再经销乙种型号电脑，已知甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，公司预计用不多于5万元且不少于4.8万元的资金购进这两种电脑共15台，有几种进货方案？
（3）如果乙种电脑每台售价为3800元，为打开乙种电脑的销路，公司决定每售出一台乙种电脑，返还顾客现金a元，要使（2）中所有方案获利相同，a值应是多少此时，哪种方案对公司更有利？
【分析】（1）求单价，总价明显，应根据数量来列等量关系．等量关系为：今年的销售数量＝去年的销售数量．
（2）关系式为：4.8≤甲种电脑总价+乙种电脑总价≤5．
（3）方案获利相同，说明与所设的未知数无关，让未知数x的系数为0即可；对公司更有利，因为甲种电脑每台进价为3500元，乙种电脑每台进价为3000元，所以要多进乙．
【解答】解：（1）设今年三月份甲种电脑每台售价m元．则：
．
解得：m＝4000．
经检验，m＝4000是原方程的根且符合题意．
所以甲种电脑今年每台售价4000元；
（2）设购进甲种电脑x台．则：
48000≤3500x+3000（15﹣x）≤50000．
解得：6≤x≤10．
因为x的正整数解为6，7，8，9，10，所以共有5种进货方案；
（3）设总获利为W元．则：
W＝（4000﹣3500）x+（3800﹣3000﹣a）（15﹣x）＝（a﹣300）x+12000﹣15a．
当a＝300时，（2）中所有方案获利相同．
此时，购买甲种电脑6台，乙种电脑9台时对公司更有利．
【点评】本题考查分式方程和一元一次不等式组的综合应用，找到合适的等量关系及不等关系是解决问题的关键．
22．（10分）问题探究：
（1）如图①，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，点D在BC上，若AD平分△ABC的面积，请你画出线段AD，并计算线段AD的长度为 4 ．
（2）如图②，四边形ABCD是平行四边形（AB＜BC），请你画一条直线l，使其平分平行四边形ABCD的面积，并且直线l被平行四边形ABCD截得的线段最短，请说明理由．
问题解决：
如图③王叔叔家一块四边形菜地ABCD，王叔叔打算过D点修一条笔直的小路把四边形菜地ABCD分成面积相等的两部分，分别种植不同的农作物，已知AB＝AD＝200米，BC＝DC＝200米，∠BAD＝90°，过点D是否存在一条直线将四边形ABCD的面积平分，若存在，求平分该四边形ABCD的面积的线段长；若不存在，说明理由．
【分析】（1）作AD⊥BC，根据等腰三角形的性质知AD即为所求，利用勾股定理可得AD的长；
（2）经过平行四边形对角线中点的直线将平行四边形的面积分成相等的两部分，当MN⊥BC时最短；（3）先求出四边形ABCD的面积，即可得出四边形ABQD的面积，从而求出QM，再用平行线分线段成比例定理求出BM，即可得出DM，最后用勾股定理即可．
【解答】解：（1）如图①，过点A作AD⊥BC于点D，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BD＝CD＝3，
∵S△ABD＝BD•AD、S△ACD＝CD•AD，
∴S△ABD＝S△ACD，即AD即为所求；
AD＝＝＝4，
故答案为：4；
（2）如图②，连接AC、BD，交于O，过O作直线MN，交AD于M，交BC于N，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA＝OC，AD∥BC，
∴∠CAD＝∠ACB，
∵∠AOM＝∠CON，
∴△AOM≌△CON，
∴S△AOM＝S△CON，
同理可得：△OMD≌△ONB，△AOB≌△COD，
∴S△OMD＝S△ONB，S△AOB＝S△COD，
∴S△AOM+S△AOB+S△BON＝S△CON+S△COD+S△OMD，
即MN将四边形ABCD分成面积相等的两部分，
当MN⊥BC时，MN是最短；
（3）如图③，连接BD，AC交于点O．在BC上取一点Q，过Q作QM⊥BD，
∵AB＝AD＝200、BC＝CD＝200，
∴AC是BD的垂直平分线，
在Rt△ABD 中，BD＝AB＝200，
∴DO＝BO＝OA＝100，
在Rt△BCO 中，OC＝＝300，
∴S四边形ABCD＝S△ABD+S△CBD＝BD×（AO+CO）＝×200×（100+300）＝80000，
∵在一条过点D的直线将筝形ABCD的面积二等分，
∴S四边形ABQD＝S四边形ABCD＝40000，
∵S△ABD＝×BD×OA＝20000，
∴S△QBD＝BD×QM＝×200×QM＝100QM＝S四边形ABQD﹣S△ABD＝20000，
∴QM＝100，
∵QM∥CO．
∴＝，
∴＝，
∴BM＝，
∴DM＝BD﹣BM＝
在Rt△MQD 中，DQ＝＝＝．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的中线，几何作图，勾股定理，求出四边形ABCD的面积是解本题的关键．。