湖南省澧县一中2014-2015学年高二上学期特色班周考数学理试题(9月20日)Word版含答案

2014.9.20高二理科特色班数学周考试题
总分：100分 时量：75分钟 组题人：陈智勇
一、选择题（每小题6分共48分，请将答案填写在答题区。

）
1．已知a ＞b ＞0，椭圆C 1的方程为x 2a 2＋y 2b 2＝1，双曲线C 2的方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1，C 1与C 2的离
心率之积为
3
2
，则C 2的渐近线方程为( ) A ． x ±2y ＝0 B ．2x ±y ＝0 C ．x ±2y ＝0 D ．2x ±y ＝0
2．已知F 为双曲线C ：x 2－my 2＝3m (m >0)的一个焦点，则点F 到C 的一条渐近线的距离为( )
A ． 3
B ．3
C ．3m
D ．3m
3． 已知点A (－2，3)在抛物线C ：y 2＝2px 的准线上，过点A 的直线与C 在第一象限相切于点B ，记C 的焦点为F ，则直线BF 的斜率为( )
A ．12
B ．23
C ．34
D ．43
4．已知抛物线C ：y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点．若FP →＝4FQ →
，则|QF |＝( )
A ．72
B ．3
C ．5
2
D ．2
5．已知双曲线C 的离心率为2，焦点为F 1，F 2，点A 在C 上．若|F 1A |＝2|F 2A |，则cos ∠AF 2F 1
＝( )
A ．14
B ．13
C ．24
D ．23
6． 设P ，Q 分别为圆x 2
＋(y －6)2
＝2和椭圆x 2
10
＋y 2＝1上的点，则P ，Q 两点间的最大距离
是( )
A ．5 2
B ．46＋ 2
C ．7＋ 2
D ．6 2
7． 已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠F 1PF 2＝π
3
，则
椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为( )
A ．433
B ．233
C ．3
D ．2
8．对任意两个非零的平面向量,αβ,定义αβ
αβββ
⋅=
⋅.若平面向量,a b 满足0a b ≥>,a 与b 的夹角0,4πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝⎭
,且a b 和b a 都在集合
|2n n Z ⎧⎫
∈⎨⎬⎩⎭
中,则a b =( )
A ．12
B ．1
C ．32
D ．52
二、填空题（每小题6分共30分，请将答案填写在答题区。

）
9． 设双曲线C 经过点(2，2)，且与y 24－x 2
＝1具有相同渐近线，则C 的方程为________；
10． 过点M (1，1)作斜率为－12的直线与椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)相交于A ，B 两点，若M
是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于________．
11．已知椭圆C ：x 29＋y 2
4＝1，点M 与C 的焦点不重合．若M 关于C 的焦点的对称点分别为
A ，
B ，线段MN 的中点在
C 上，则|AN |＋|BN |＝______．
12．设直线x －3y ＋m ＝0(m ≠0)与双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的两条渐近线分别交于点A ，
B .若点P (m ，0)满足|P A |＝|PB |，则该双曲线的离心率是________．
13．已知a ，b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0a c b c -⋅-=,
则c 的最大值是
9、x 23－y 212＝1 10、 2
2 11、 12
12、 5
2 13、
2
三、解答题（共22分，请将答案填写在答题区。

）
14．（本小题10分）三棱柱111A B C A B C -中，底面边长和侧棱长都相等，
1160BAA CAA ∠=∠=，求异面直线1AB 与1BC 所成角的余弦值。

（
6
）
15．（本小题12分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的点均在C 2：（x -5）2＋y 2=9外，且对
C 1上任意一点M ，M 到直线x =﹣2的距离等于该点与圆C 2上点的距离的最小值。

⑴求曲线C 1的方程；
⑵设P (x 0,y 0)（y 0≠±3）为圆C 2外一点，过P 作圆C 2的两条切线，分别与曲线C 1相交于点A ，B 和C ，D .证明：当P 在直线x =﹣4上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值。

解：⑴解法1 ：设M 的坐标为(,)x y
，由已知得：23x +=， 易知圆2C 上的点位于直线2x =-的右侧.于是20x +>
5x =+. 化简得曲线1C 的方程为2
20y x =.
解法 2 ：由题设知，曲线1C 上任意一点M 到圆心2C (5,0)的距离等于它到直线
5x =-的距离，因此，曲线1C 是以(5,0)为焦点，直线5x =-为准线的抛物线，故其方程
为2
20y x =.
⑵当点P 在直线4x =-上运动时，P 的坐标为0(4,)y -，又03y ≠±，则过P 且与圆
2C 相切得直线的斜率k 存在且不为0，每条切线都与抛物线有两个交点，切线方程为0(4),y y k x -=+0即kx-y+y +4k=0.
3.=整理得：
2
200
721890.k y k y ++-= ①
设过P 所作的两条切线,PA PC 的斜率分别为12,k k ，则12,k k 是方程①的两个实根，故
001218.724
y y
k k +=-
=- ② 由1012
40,20,k x y y k y x -++=⎧⎨
=⎩
得2
1012020(4)0.k y y y k -++= ③ 设四点A,B,C,D 的纵坐标分别为1234,,,y y y y ，则是方程③的两个实根，所以
01121
20(4)
.y k y y k +⋅= ④
同理可得：02342
20(4)
.y k y y k +⋅=
⑤ 于是由②，④，⑤三式得：010*******
400(4)(4)
y k y k y y y y k k ++=
2
01201212
4004()16y k k y k k k k ⎡⎤+++⎣⎦
=
22
01212
400166400y y k k k k ⎡⎤-+⎣⎦=
.
所以，当P 在直线4x =-上运动时，四点A ，B ，C ，D 的纵坐标之积为定值6400.。