高中数学第一讲坐标系一平面直角坐标系课件新人教A版选修4_4
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答案 y＝sin x—横—坐—纵标―坐―缩—标为―不―原―变来―的―→2 y＝sin 2x—纵—坐—标—横—伸—坐长—标—为—不原—变来——的—3—倍→ y＝3sin 2x.
思考2 伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗？ 答案 不一定，伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的 点的坐标和位置，但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限.
思考2 坐标法解问题的关键是什么？如何建立恰当的坐标系？ 答案 建立平面直角坐标系； 通常选图形的特殊点为坐标原点，边所在直线为坐标轴.比如，对称中 心为图形的顶点，为原点，对称轴边所在直线为坐标轴.
梳理 (1)平面直角坐标系的概念 ①定义：在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系， 简称直角坐标系. ②相关概念： 数轴的正方向：水平放置的数轴 向右 的方向、竖直放置的数轴 向上 的方向分别 是数轴的正方向. x轴或横轴：坐标轴 水平 的数轴. y轴或纵轴：坐标轴 竖直 的数轴. 坐标原点：坐标轴的 公共点O . ③对应关系：平面直角坐标系内的点与 有序实数对(x,y) 之间一一对应.
|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，
|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，
|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，
所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
证明
命题角度2 求轨迹方程 例2 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，| O1O2|＝4，过动点P分别作圆 O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|P2M|＝ |PN|，试建 立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
梳理 平面直角坐标系中伸缩变换的定义 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为 _坐__标__的__伸缩变换，这就是用代数方法研究 几何变换. (2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任 意一点，在变换 φ：xy′ ′＝ ＝λμxyλμ>>00， 的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，
2x经过伸缩变换
x′＝2x， y′＝3y
后，
A.y＝sin x
B.y＝9sin 4x
C.y＝sin 4x
√D.y＝9sin x
解析
∵伸缩变换yx′ ′＝ ＝32yx， ，
∴x＝12x′， y＝13y′，
代入 y＝3sin 2x，可得13y′＝3sin x′，
即y′＝9sin x′.故选D.
解答
类型二 伸缩变换
例并说3 明求新圆曲x2线＋的y2形＝状1经. 过φ：yx′′＝＝43yx，
变换后得到的新曲线的方程，
解答
引申探究
1.若曲线C经过
x′＝12x，
变换后得到圆x2＋y2＝1，求曲线C的方程.
y′＝31y
解答
2.若圆x2＋y2＝1经过变换φ后得到曲线C′：2x52 ＋1y62 ＝1，求φ的坐标变换公式．
y′)，称__φ_为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
题型探究
类型一 坐标法的应用
命题角度1 研究几何问题 例1 已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高，求证：BD ＝CE.
证明
反思与感悟 根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： ①如果图形有对称中心，选对称中心为原点；②如果图形有对称轴，可 以选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/5/25
最新中小学教学课件
38
谢谢欣赏！
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39
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解析 答案
3.已知▱ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则
点D的坐标是 A.(9，－1)
B.(－3,1)
√C.(1,3)
D.(2,2)
解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出点D的坐标．
设D(x，y)，
2－0 y－1
则kkAADB＝＝kkDBCC，，
－1－3＝x－5， 即－21－－yx＝30－－51.
解得xy＝＝13.，
故点D的坐标为(1,3)．
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解析 答案
4.在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程 为__x9_2＋__y5_2_＝__1_(y_≠__0_)__．
解析 ∵△ABC的周长为10，∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，而|BC|＝4，
解答
反思与感悟 (1)平面直角坐标系中的方程表示图形，则平面图形的伸缩 变换就可归结为坐标的伸缩变换，这就是用代数的方法研究几何变换． (2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中 的任意一点，在变换 φ：xy′ ′＝ ＝λμxyλμ>>00， 的作用下，点 P(x，y) 对应到点 P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
本课师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
跟踪训练1 在▱ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
证明 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线
为x轴，建立平面直角坐标系. 设 B(a，0)，C(b，c)，则 AC 的中心 Eb2，2c， 由对称性知D(b－a，c)，
所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，
(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的
三步：把代数运算结果翻译成
_____结论.
元素，将几何问题转化为
几何
问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第
代数
几何
知识点二 平面直角坐标系中的伸缩变换
思考1 如何由y＝sin x的图象得到y＝3sin 2x的图象？ 1
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
学习目标 1.了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用. 2.理解平面直角坐标系中的伸缩变换. 3.能够建立适当的平面直角坐标系，运用解析法解决数学 问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 平面直角坐标系
思考1 在平面中，你最常用的是哪种坐标系？坐标的符号有什么特点？ 答案 直角坐标系； 在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横纵坐标均为正，第二象限内 的点的横坐标为负，纵坐标为正，第三象限内的点的横纵坐标均为负， 第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负.
规律与方法
1.平面直角坐标系的作用与建立 平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和位置的平台， 建立平面直角坐标系，常常利用垂直直线为坐标轴，充分利用图形的 对称性等特征． 2.伸缩变换的类型与特点 伸缩变换包括点的伸缩变换，以及曲线的伸缩变换，曲线经过伸缩变 换对应的曲线方程就会变化，通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间 的数形转化与联系．
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
解答
反思与感悟 建立坐标系的几个基本原则：①尽量把点和线段放在 坐标轴上；②对称中心一般放在原点；③对称轴一般作为坐标轴.
跟踪训练2 在△ABC中，B(－3,0)，C(3,0)，直线AB，AC的斜率之积为49 ， 求顶点A的轨迹方程. 解 设 A(x，y)，则 kAB＝x＋y 3， kAC＝x－y 3(x≠±3). 由 kAB·kAC＝x＋y 3·x－y 3＝49， 化简可得x92－y42＝1， 所以顶点 A 的轨迹方程为x92－y42＝1(x≠±3).
∴|AB|＋|AC|＝6>4.
∴A点的轨迹为除去长轴两顶点的椭圆，且2a＝6，2c＝4.
∴a＝3，c＝2，
∴b2＝a2－c2＝5. ∴A 点的轨迹方程为x92＋y52＝1(y≠0)．
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解析 答案
5.用解析法证明：若C是以AB为直径的圆上的任意一点(异于A，B)，则 AC⊥BC.
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证明
解答
达标检测
1.在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸 缩变换是
x＝2x′， A.y＝13y′
√x′＝2x，
B.y′＝13y
x＝2x′， C.y＝3y′
x′＝2x， D.y′＝3y
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答案
2.在同一平面直角坐标系中，曲线y＝3sin 所得曲线为
跟踪训练3 在同一直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4， 求满足条件的伸缩变换． 解 设满足条件的伸缩变换为xy′ ′＝ ＝λμxyλμ>>00，， 将其代入方程 2x′－y′＝4， 得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4.比较系数得λ＝1，μ＝4. 所以xy′ ′＝ ＝4x，y. 直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得 到直线2x′－y′＝4.
思考2 伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗？ 答案 不一定，伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的 点的坐标和位置，但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限.
思考2 坐标法解问题的关键是什么？如何建立恰当的坐标系？ 答案 建立平面直角坐标系； 通常选图形的特殊点为坐标原点，边所在直线为坐标轴.比如，对称中 心为图形的顶点，为原点，对称轴边所在直线为坐标轴.
梳理 (1)平面直角坐标系的概念 ①定义：在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系， 简称直角坐标系. ②相关概念： 数轴的正方向：水平放置的数轴 向右 的方向、竖直放置的数轴 向上 的方向分别 是数轴的正方向. x轴或横轴：坐标轴 水平 的数轴. y轴或纵轴：坐标轴 竖直 的数轴. 坐标原点：坐标轴的 公共点O . ③对应关系：平面直角坐标系内的点与 有序实数对(x,y) 之间一一对应.
|AC|2＝b2＋c2，|BD|2＝(b－2a)2＋c2，
|AC|2＋|BD|2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，
|AB|2＋|AD|2＝2a2＋b2＋c2－2ab，
所以|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
证明
命题角度2 求轨迹方程 例2 如图，圆O1与圆O2的半径都是1，| O1O2|＝4，过动点P分别作圆 O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得|P2M|＝ |PN|，试建 立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.
梳理 平面直角坐标系中伸缩变换的定义 (1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为 _坐__标__的__伸缩变换，这就是用代数方法研究 几何变换. (2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任 意一点，在变换 φ：xy′ ′＝ ＝λμxyλμ>>00， 的作用下，点 P(x，y)对应到点 P′(x′，
2x经过伸缩变换
x′＝2x， y′＝3y
后，
A.y＝sin x
B.y＝9sin 4x
C.y＝sin 4x
√D.y＝9sin x
解析
∵伸缩变换yx′ ′＝ ＝32yx， ，
∴x＝12x′， y＝13y′，
代入 y＝3sin 2x，可得13y′＝3sin x′，
即y′＝9sin x′.故选D.
解答
类型二 伸缩变换
例并说3 明求新圆曲x2线＋的y2形＝状1经. 过φ：yx′′＝＝43yx，
变换后得到的新曲线的方程，
解答
引申探究
1.若曲线C经过
x′＝12x，
变换后得到圆x2＋y2＝1，求曲线C的方程.
y′＝31y
解答
2.若圆x2＋y2＝1经过变换φ后得到曲线C′：2x52 ＋1y62 ＝1，求φ的坐标变换公式．
y′)，称__φ_为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.
题型探究
类型一 坐标法的应用
命题角度1 研究几何问题 例1 已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高，求证：BD ＝CE.
证明
反思与感悟 根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则： ①如果图形有对称中心，选对称中心为原点；②如果图形有对称轴，可 以选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
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解析 答案
3.已知▱ABCD中三个顶点A，B，C的坐标分别是(－1,2)，(3,0)，(5,1)，则
点D的坐标是 A.(9，－1)
B.(－3,1)
√C.(1,3)
D.(2,2)
解析 由平行四边形对边互相平行，即斜率相等，可求出点D的坐标．
设D(x，y)，
2－0 y－1
则kkAADB＝＝kkDBCC，，
－1－3＝x－5， 即－21－－yx＝30－－51.
解得xy＝＝13.，
故点D的坐标为(1,3)．
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解析 答案
4.在△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周长为10，则A点的轨迹方程 为__x9_2＋__y5_2_＝__1_(y_≠__0_)__．
解析 ∵△ABC的周长为10，∴|AB|＋|AC|＋|BC|＝10，而|BC|＝4，
解答
反思与感悟 (1)平面直角坐标系中的方程表示图形，则平面图形的伸缩 变换就可归结为坐标的伸缩变换，这就是用代数的方法研究几何变换． (2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中 的任意一点，在变换 φ：xy′ ′＝ ＝λμxyλμ>>00， 的作用下，点 P(x，y) 对应到点 P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
本课师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的问 题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
跟踪训练1 在▱ABCD中，求证：|AC|2＋|BD|2＝2(|AB|2＋|AD|2).
证明 如图，以A为坐标原点，AB所在的直线
为x轴，建立平面直角坐标系. 设 B(a，0)，C(b，c)，则 AC 的中心 Eb2，2c， 由对称性知D(b－a，c)，
所以|AB|2＝a2，|AD|2＝(b－a)2＋c2，
(2)坐标法解决几何问题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的
三步：把代数运算结果翻译成
_____结论.
元素，将几何问题转化为
几何
问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第
代数
几何
知识点二 平面直角坐标系中的伸缩变换
思考1 如何由y＝sin x的图象得到y＝3sin 2x的图象？ 1
第一讲 坐标系
一 平面直角坐标系
学习目标 1.了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用. 2.理解平面直角坐标系中的伸缩变换. 3.能够建立适当的平面直角坐标系，运用解析法解决数学 问题.
内容索引
问题导学 题型探究 达标检测
问题导学
知识点一 平面直角坐标系
思考1 在平面中，你最常用的是哪种坐标系？坐标的符号有什么特点？ 答案 直角坐标系； 在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横纵坐标均为正，第二象限内 的点的横坐标为负，纵坐标为正，第三象限内的点的横纵坐标均为负， 第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负.
规律与方法
1.平面直角坐标系的作用与建立 平面直角坐标系是确定点的位置、刻画方程的曲线形状和位置的平台， 建立平面直角坐标系，常常利用垂直直线为坐标轴，充分利用图形的 对称性等特征． 2.伸缩变换的类型与特点 伸缩变换包括点的伸缩变换，以及曲线的伸缩变换，曲线经过伸缩变 换对应的曲线方程就会变化，通过伸缩变换可以领会曲线与方程之间 的数形转化与联系．
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
解答
反思与感悟 建立坐标系的几个基本原则：①尽量把点和线段放在 坐标轴上；②对称中心一般放在原点；③对称轴一般作为坐标轴.
跟踪训练2 在△ABC中，B(－3,0)，C(3,0)，直线AB，AC的斜率之积为49 ， 求顶点A的轨迹方程. 解 设 A(x，y)，则 kAB＝x＋y 3， kAC＝x－y 3(x≠±3). 由 kAB·kAC＝x＋y 3·x－y 3＝49， 化简可得x92－y42＝1， 所以顶点 A 的轨迹方程为x92－y42＝1(x≠±3).
∴|AB|＋|AC|＝6>4.
∴A点的轨迹为除去长轴两顶点的椭圆，且2a＝6，2c＝4.
∴a＝3，c＝2，
∴b2＝a2－c2＝5. ∴A 点的轨迹方程为x92＋y52＝1(y≠0)．
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解析 答案
5.用解析法证明：若C是以AB为直径的圆上的任意一点(异于A，B)，则 AC⊥BC.
12345
证明
解答
达标检测
1.在同一平面直角坐标系中，将曲线y＝3sin 2x变为曲线y′＝sin x′的伸 缩变换是
x＝2x′， A.y＝13y′
√x′＝2x，
B.y′＝13y
x＝2x′， C.y＝3y′
x′＝2x， D.y′＝3y
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答案
2.在同一平面直角坐标系中，曲线y＝3sin 所得曲线为
跟踪训练3 在同一直角坐标系中，将直线x－2y＝2变成直线2x′－y′＝4， 求满足条件的伸缩变换． 解 设满足条件的伸缩变换为xy′ ′＝ ＝λμxyλμ>>00，， 将其代入方程 2x′－y′＝4， 得2λx－μy＝4，与x－2y＝2比较，将其变成2x－4y＝4.比较系数得λ＝1，μ＝4. 所以xy′ ′＝ ＝4x，y. 直线x－2y＝2图象上所有点的横坐标不变，纵坐标扩大到原来的4倍可得 到直线2x′－y′＝4.