【百强校】2019届山东省平度一中高三12月阶段性质量检测数学理试卷(word版)

2019届山东省平度一中高三12月阶段性质量检测数学
理试卷
注意事项：
1．考试范围：集合与简单逻辑用语，函数与初等函数，导数及其应用，三角函数，解三角形，平面向量，数列，不等式，立体几何，解析几何(直线、直线与圆的位置关系为主，可少量涉及圆锥曲线)。

2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}()(){}
0,150=A x B x x x A B =≥=+-<⋂，则 A ．[－1，4)
B ．[0，5)
C ．[1，4]
D ．[－4，－1) ⋃ [4，5)
2．若直线()1:110l ax a y -++=与直线2:210l x ay --=垂直，则实数a = A ．3
B ．0
C ．3-
D ．03-或
3．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，若511612894,8a a a a a a ===，则 A ．12
B ．42
C ．62
D ．32
4．若0,0x y >>，则“222x y xy +=”的一个充分不必要条件是 A ．x y =
B ．2x y =
C ．2,1x y ==且
D ．,1x y y ==或
5．设实数,,a b c 满足：221log 3
3
2,,ln a b a c a -
-===，则,,a b c 的大小关系为
A ．c<a <b
B ．c<b< a
C ．a <c<b
D ．b<c< a
6．已知锐角α满足tan 21,tan 22sin 2ααα=-+=则
A ．
32
B ．2
C ．22
D ．21+
7．已知实数,x y 满足不等式组010,240y x y x y ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪+-≤⎩
，则函数3z x y =++的最大值为
A ．2
B ．4
C ．5
D ．6 8．已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．
816
3
π+ B ．1683
π+
C ．126π+
D ．443
π+
9．函数()()f x x g x =-的图象在点2x =处的切线方程是()()122y x g g '=--+=，则 A ．7
B ．4
C ．0
D ．－ 4
10．设点12,F F 分别是双曲线()22
2102x y C a a
-=>：的左、右焦点，过点1F 且与x 轴垂直的直线l 与双曲线C 交于A ，B 两点．若2ABF ∆的面积为26，则该双曲线的渐近线方程为 A. 3y x =±
B. 33
y x =±
C. 2y x =±
D. 22
y x =±
11．已知1
2
a xdx =⎰，函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛
⎫=+>>< ⎪⎝
⎭的部分图象如图所示，则函数4f x a π⎛
⎫-+ ⎪⎝
⎭图象的一个对称中心是
A ．,112π⎛⎫-
⎪⎝⎭
B ．,212π⎛⎫
⎪⎝⎭
C ．7,112π⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．3,24π⎛⎫
⎪⎝⎭
12．已知定义在R 上的函数()f x 满足()()()()(]
(]22
log 1,1,00173,,122
x x f x f x f x x x x ⎧--∈-⎪
-+==⎨---∈-∞-⎪⎩，且，
若关于x 的方程()()f x t t R =∈恰有5个不同的实数根12345,,,,x x x x x ，则12345x x x x x ++++的取值范围是 A ．()2,1--
B ．()1,1-
C ．(1，2)
D ．(2，3)
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填写在题中的横线上． 13．已知()()1,1,3,a b x a b a ==+，若与垂直，则x 的值为_________．
14．已知椭圆()222210x y a b a b
+=>>的半焦距为c ，且满足22
0c b ac -+<，则该椭圆的离心率e 的取
值范围是__________．
15．“斐波那契数列”由十三世纪意大利数学家列昂纳多·斐波那契发现，因为斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称该数列为“兔子数列”．斐波那契数列
{}
n a 满足：
()121
21,1,3,n n
n
a a a
a a n n N *--===+≥
∈，记其前n 项和为2018=n S a t ，设(t 为常数)，则
20162015
2014
=S S
S
S +--___________ (用t 表示)．
16．正四面体A —BCD 的所有棱长均为12，球O 是其外接球，M ，N 分别是△ABC 与△ACD 的重心，则球O 截直线MN 所得的弦长为___________．
三、解否题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分10分) 已知函数()22f x x x =-．
(1)当1,32
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时，求函数()f x 的值域；
(2)若定义在R 上的奇函数()f x 对任意实数x ，恒有()()[]40,2g x g x x +=∈，且当
()g x =时，()()()()122017f x g g g ++⋅⋅⋅+，求的值．
18．(本小题满分12分)
如图所示，在ABC ∆中，M 是AC 的中点，,23
C AM π
∠==．
(1)若4
A π
∠=
，求AB ；
(2)若7BM ABC =∆，求的面积S ．
19．(本小题满分12分)
设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为()()
2113,1,1,n n S S n n a n N a a *
=+-∈-，且
57a +成等比数列．
(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)设1
1
n n n b a a +=
，求数列{}n b 的前n 项和n T ．
20．(本小题满分12分)
已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，且y 轴和直线320x y -+=均与圆C 相切． (1)求圆C 的标准方程；
(2)设点()0,1P ，若直线y x m =+与圆C 相交于M ，N 两点，且MPN ∠为锐角，求实数m 的取值范围．
21．(本小题满分12分)
如图，在直三棱柱ABC —1111=24,25,A B C BC AB CC AC M N ===中，，，分别是111,A B B C 的中点． (1)求证：//MN 平面11ACC A ；
(2)求平面MNC 与平面11A B B 所成的锐二面角的余弦值．
22．(本小题满分12分)
已知函数()12x f x e kx k +=--(其中e 是自然对数的底数，k ∈R)． (1)讨论函数()f x 的单调性；
(2)当函数()f x 有两个零点12,x x 时，证明：122x x +>-．
理科数学参考答案及解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】B 2.【答案】D 3.【答案】B 4.【答案】
C
5.【答案】A
6.【答案】B
7.【答案】D
8.【答案】A
9.【答案】A 10.【答案】D 11.【答案】C
12.【答案】B
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填写在题中的横线上. 13.【答案】5-
【解析】由题知()0a b a +⋅=，即5,014-=∴=++x x . 14.【答案】1(0,)2
【解析】 2
2
0c b ac -+<，222()0c a c ac ∴--+<，即22
20c a ac -+<，22210,c c
a a
∴-+<即
2210e e +-<，解得211<<-e ，又01e <<，1
02
e ∴<<.
15.【答案】t
【解析】t a a a a a a a S S S S ==+=+++=--+20182016201720142015201520162013201420152016. 16.【答案】134
【解析】正四面体A BCD -可补全为棱长为26的正方体，所以球O 是正方体的外接球，其半径
63262
3
=⨯=
R ，设正四面体的高为h ，则64)34(1222=-=h ，故641===h ON OM ，
又43
1
==
BD MN ,所以O 到直线MN 的距离为22)6(22=-，
因此球O 截直线MN 所得的弦长为134)2()63(222=-.
三、解答题:解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17.解：(1)1)1(2)(22--=-=x x x x f ，
3,2
1
[∈x ］， ∴当1=x 时，[]1)(min -=x f ；当3=x 时，[]3)(max =x f . 即函数)(x f 的值域是]3,1[-.（5分）
(2)由g(4)()x g x +=可得：()g x 的周期4T =，
()()()()()()()1(1)1,2(2)0,3111,40(0)0g f g f g g g g g f ==-===-=-====，
()()()()12340g g g g ∴+++=，（8分） 故()(1)(2)(2017)150401g g g g ++
+=+⨯=-.（10分）
18. 解：（1）53
412
ABC π
π
ππ∠=-
-
=
, 在ABC ∆中，由正弦定理得sin sin AC AB
ABC C
=
∠∠ 3
4sin 26226sin 624
AC C
AB ABC
⨯
⨯∠∴=
=
=-∠+.(6分) （2）在BCM ∆中，由余弦定理得
222221
2cos
232
BM CM BC CM BC CM BC CM BC π
=+-⨯⨯=+-⨯⨯⨯ , 2742BC BC ∴=+-,解得3=BC （负值舍去）,
133sin 232
BMC S BC CM π∆∴=⨯⨯⨯=
， M 是AC 的中点，233BMC S S ∆∴==.（12分）
19. 解：（1）()()
211,n S n n a n N *=+-∈Q ， 又()2111(),222
n n n d d
S na d n a n -=+
=+- ∴2,d =（3分）
又7,1,531+-a a a 成等比数列．
∴2153(7)(1)a a a ⋅+=-，即2111(15)(3)a a a ⋅+=+，
解得11=a ，1(1)21n a a n d n ∴=+-=-.（6分） (2) 111111()(21)(21)22121
n n n b a a n n n n +=
==--+-+， 121n n n T b b b b -∴=++⋅⋅⋅++
11111111[(1)()()()]233523212121
n n n n =-+-+⋅⋅⋅+-+----+
21
n
n =
+.（12分） 20.解：（1）设圆C ：222()()(0),x a y b r r -+-=>
故由题意得0
0|||32|2
a b a r a b r
>⎧⎪=⎪⎪=⎨⎪-+⎪=⎪⎩，
解得202a b r =⎧⎪
=⎨⎪=⎩，
则圆C 的标准方程为：22(2)4x y -+=.（6分）
（2）将y x m =+代入圆C 的方程，消去y 并整理得
22
22(2)0x m x m +-+=. 令08)2(42
2>--=∆m m 得222222m --<<-+，（8分）
设),(),,(2211y x N y x M ，则212122,2
m x x m x x +=-=.
),1,(),1,(2211-=-=y x PN y x PM
依题意，得0PM PN ⋅>,即1212(1)(1)0x x x m x m ++-+->210m m ⇒+-> 解得152m --<
或15
2
m -+>. 故实数m 的取值范围是1515
(222,
)(,222)22
---+---+.(12分) 21. (1)证明：如图，连接11,AC AB ,∵该三棱柱是直三棱柱，
111AA A B ∴⊥,则四边形11ABB A 为矩形，
由矩形性质得1AB 过1A B 的中点M,（3分） 在△11AB C 中，由中位线性质得1//MN AC ， 又11A ACC MN 平面⊄
，111A ACC AC 平面⊂,
11//MN ACC A ∴平面；(6分)
(2) 解： 12,4,25BC AB CC AC ====，AB ∴BC ⊥, 如图，分别以1
,,BB BA BC 为z y x ,,轴正方向建立空间直角坐标系， 11(0,0,0),(2,0,0),(0,4,4),(2,0,4)B C A C ∴,(0,2,2),(1,0,4)M N ,
)4,0,1(),2,2,2(-=-=∴CN CM ,（8分）
设平面MNC 的法向量为(,,)m x y z =，则
02220,40
0m CM x y z x z m CN ⎧⋅=-++=⎧⎪∴⎨
⎨-+=⋅=⎩⎪⎩，令
1,z =则4,y 3x ==，
(4,3,1)m ∴=，
（10分） 又易知平面B B A 11的一个法向量为(1,0,0)n =，
224226
cos ,13||||431
m n m n m n ⋅∴<>=
==
++， 即平面MNC 与平面B B A 11所成的锐二面角的余弦值为
226
13
.（12分） 22.（1）解：因为k e x f x -='+1)(，（1分）
当0k >时，令1ln 0)(-=='k x x f 得，所以当(,ln 1)x k ∈-∞-时，0)(<'x f ， 当(ln 1,)x k ∈-+∞时，0)(>'x f ，所以函数)(x f 在区间(,ln 1)k -∞-上单调递减， 在区间(ln 1,)k -+∞上单调递增；（3分）
当0k ≤时，0)(1>-='+k e x f x 恒成立，故此时函数)(x f 在R 上单调递增.（5分） （2）证明：当0k ≤时，由（1）知函数)(x f 单调递增，不存在两个零点，所以0k >， 设函数)(x f 的两个零点为1212,,x x x x >且，
则1
2
11112121222(2),(2),20,20,ln 2
x x x e k x e k x x x x x x +++=+=+∴+>+>∴-=+，
设12
11
2122222,122ln 2x t
x x t t x x x x x +⎧=⎪++⎪=>⎨++⎪-=⎪+⎩
，则且， 解得12ln ln +2,+211t t t x x t t ==--，所以12(1)ln +41
t t x x t ++=-，（8分）
欲证122x x +>-，只需证明(1)ln 2,(1)ln 2(1)01
t t t t t t +>+-->-即证，
设,11ln 2)1(1ln )(),1(2ln )1()(-+=-++='∴--+=t
t t t t t g t t t t g
设)(,01
1)(,11ln )(2t h t
t t h t t t h >-='∴-+=单调递增，所以0)1()(='>'g t g ， 所以()g t 在区间(1,)+∞上单调递增，
所以(1)ln ()(1)0,21
t t
g t g t +>=∴>-，故12
2x x +>-成立．（12分）。