2018届黑龙江省哈尔滨市第六中学高三第三次模拟考试(5月)数学(理)试题(word版)

哈尔滨市第六中学2018届高三第三次模拟考试
理科数学试卷
考试说明：本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，
满分150分，考试时间120分钟．
（1）答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚；
（2）选择题必须使用2B 铅笔填涂, 非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写, 字体工整,
字迹清楚；
（3）请在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效； （4）保持卡面清洁，不得折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀．
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一个是符合题目要求的．
1.已知R 为实数集，集合(){}
|lg 3A x y x ==+，{|2}B x x =≥，则()R A
B =ð( )
.A
.B {|3}x x <- .C {|3}x x ≤- .D {|23}x x ≤< 2.已知复数z 满足2zi i =+，则复数z 在复平面内对应的点位于( )
.A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限
.D 第四象限
3.若平面向量()1,a x =， ()23,b x x =+-，且a b ⊥，则a b -=( )
.A 2或10 .B 2或 .C 2或5 .D 5或10
4.若将函数2sin2y x =的图象向左平移12π
个单位长度，则平移后的图象的对称轴为( )
.A ()26k x k Z ππ
=
-∈ .B ()26k x k Z ππ
=+∈ .C ()212k x k Z ππ=-∈ .D ()212
k x k Z ππ
=+∈
5.《九章算术》中有这样一道题：“今有垣厚若干尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半,问何日相逢,各穿
B
C
D
进一尺,以后每天加倍；小老鼠第一天也进一尺,以后每天减半.”假设墙厚16尺,现根据该题条件设计一个程序框图,执行该程序框图,则输出的n =( )
.A 4
.B 6
.C 8
.D 10
6.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为( )
.
A 16+
.
B 32+
.C 48
.
D 643
7.某天，甲、乙同桌两人随机选择早上7:00—7:30的某一时刻到达学校自习，则甲比乙提前到达超过10分钟的概率为( )
.
A 23 .
B 13 .
C 29 .
D 79
8.函数()21x
x f x e -=的图象大致为( )
.A .B .C .D 9.()()6
221x x -+的展开式中4x 的系数为( )
.A 160- .B 320 .C 480 .D 640
10.如图在矩形ABCD
中，AB =2BC =，将ACD ∆沿着AC 折起。

使得D 折起的位置为1D ，且
1D 在平面ABC 的射影恰好落在AB 上，在四面体1D ABC 的四个面中，其中
面面互相垂直的对数为( )
.A 2对 .B 3对 .C 4对 .D 5对
11.已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左焦点和右焦点，且2
122b F F a
=， 点P 为双曲线C 右支上一点，I 为12PF F ∆的内心，若1212IPF IPF IF F S S S λ∆∆∆=+成立，则λ的值为( )
.A
1 .
B .
C 1 .D
1
12.若存在正实数,,x y z
，满足
2
y z =，且
2x
z x e
≤≤，则ln ln y x -的取值范围是（ ） .A 1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .B []l n 2,1l n
2e --- .C 11l n 2,2⎡
⎤-⎢⎥⎣
⎦ .D []1ln2,1ln2e ---
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在机读卡上相应的位置．
13.已知变量x ,y 满足约束条件1
2 1 8y y x x y ≥⎧⎪
≤-⎨⎪+≤⎩
，则z x y =-的最小值为__________．
14.“五一”期间小王、小刘、小董、小韩到影院看电影，她们到影院之后发现，当天正在放映甲、乙、丙、丁、戊五部影片，于是她们一起看其中的一部影片： 小王：只要不是乙就行；
小刘：乙、丙、丁、戊都行,其它的不行； 小董说：我喜欢丁，但是只要不是丙就行； 小韩说：除了戊之外，其它的都可以．
据此判断，她们可以共同看的影片为______________． 15.在ABC ∆
中，13
AC BC AB ==
=，且,,CE xCA CF yCB ==（其中(),0,1x y ∈）
，且41x y +=，若,M N 分别为线段,EF AB 中点，则线段MN 的最小值为 ． 16.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，
点(00,()2
p
M x x >是抛物线C 上一点，以M 为圆心的圆与线段MF 相交于点A ，且被直线2p
x =
MA ，若2MA AF
=， 则AF = ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知等比数列
{}
n a 的公比11,1q a >=且132,,14a a a +成等差数列，数列
{}
n b 满足
()*11223
3
131,n
n n a b a b a b a b n n N ++++=-⋅+∈.
(1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
(2)若8n n ma b ≥-恒成立，求实数m 的最小值．
18.（本小题满分12分）
某学校高三年级有1000名学生，按分层抽样从高三学生中抽取30名男生，20名女生分析期末某学科的考试成绩，得到如图所示男生成绩的频率分布直方图和女生成绩的茎叶图. (Ⅰ)试计算男生、女生考试成绩的平均分;
(Ⅱ)若由直方图可以认为，男生考试成绩服从正态分布(
)2
,N μσ，
其中μ近似为样本平均数x ，σ为10，利用该正态分布，求： （ⅰ）()6282P Z <<；
（ⅱ）若全校所有男生考试成绩在区间()62,82人数记为X ，利用（ⅰ）的结果，求()E X .
(Ⅲ)若从50名学生中任意抽取两名考试优秀的（90分以上为优秀包括90分）学生参加该学科的竞赛，若两名男生参加可以获A 奖励；若两名女生参加可以获B 奖励；若一名男生和一名女生参加可以获C 奖励，试判断三种奖励的哪种奖励的可能性大？
参考数据：若()
2
~,Z N μσ，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=.
19．（本小题满分12分）
如图，在三棱柱111ABC A B C -
中，1,AA CA CB
==11C AB H 在线段上的射影为，H 是正方形11AA B B
的中心，1C H =.
（1） 求证：11C AB ⊥平面平面11AA B B ；
（2） 求二面角11C BC A --的余弦值.
20.（本小题满分12分）
已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12,F F ，P 在椭圆上（异于椭圆C 的左右顶点），过右
焦点2F 作12F PF ∠的外角平分线
L 的垂线2F Q ，交L 于点Q ，且2OQ =（O 为坐标原点），椭圆的四个顶点围成的平行四边形的面积为4. （1）求椭圆的方程；
（2）若直线:4()l x my m R =+∈与椭圆交于,A B 两点，点A 关于x 轴的对称点为1A ，直线1A B 交x 轴于点D ，求证：点D 的横坐标为定值；并求当三角形ABD 的面积最大时，直线l 的方程.
1
1
21.（本小题满分12分） 已知：函数()ln f x x ax =-．
（1）当1a =时，求函数()y f x =的极值；
（2）若函数()()2
g x x f x =--，讨论()y g x =的单调性；
（3）若函数()()2
h x x f x =-的图象与x 轴交于两点()()12,0,,0A x B x ，且120x x <<．
设012x x x λμ=+，其中常数λ、μ满足条件1λμ+=，且0μλ≥>． 试判断在点()()
00,M x h x 处的切线斜率的正负，并说明理由．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知曲线θρcos 2:1=C 和曲线3cos :2=θρC ，以极点O 为坐标原点，极轴为x 轴非负半轴建立平面直角坐标系。

（1）求曲线1C 和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）若点P 是曲线1C 上一动点，过点P 作线段OP 的垂线交曲线2C 于点Q ，求线段PQ 长度的最小值.
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数11)(--+=x a x x f . （1）当2-=a 时，解不等式5)(>x f ； （2）若3)(+≤x a x f ，求a 的最小值.
高三理科数学答案 一、CDABC BCDBB BD
二、13. 14.丁 15. 16.
三、
17. 解：(1)∵等比数列{a n }满足a 1＝1且a 1，a 3，a 2＋14成等差数列，∴2a 3＝a 1＋a 2＋14， 即2a 1q 2＝a 1＋a 1q ＋14，∴2q 2－q －15＝0，∴q ＝3或q ＝－25
，
又q >1，∴q ＝3，
∴a n ＝3n －1.--------------------3分
∵a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(n －1)·3n ＋1，① ∴当n ≥2时，有
a 1
b 1＋a 2b 2＋…＋a n －1b n －1＝(n －2)·3n －1＋1，② ①－②可得a n b n ＝(2n －1)·3n －1(n ≥2)， ∴b n ＝2n －1(n ≥2)．
又n ＝1时，可得b 1＝1，适合b n ＝2n －1， ∴b n ＝2n －1. -----------------6分
(2)ma n ≥b n －8恒成立，即m ≥3n －12n －9
恒成立． 令C n ＝3n －12n －9
，
∴C n ＋1－C n ＝3n 2n －7－3n －12n －9＝3n 20－4n
， 当C n ＋1＝C n ，即n ＝5时，C 5＝C 6， 当C n ＋1>C n ，即n <5时，C 1<C 2<C 3<C 4<C 5， 当C n ＋1<C n ，即n >5时，C 6>C 7>C 8>…， ∴C n 的最大值为C 5＝C 6＝811
， ∴m 的最小值为811
.-----------------12分
18. 解: (Ⅰ)设男生考试成绩的平均分，女生考试成绩的平均分
，所以
……4分
(Ⅱ) （ⅰ）由已知, 服从正态分布
所以…….6分
（ⅱ）根据分层抽样可知,男生与女生人数的比为3:2，可知男生有600人，女生有400人，依题意知
，所以…….8分
(Ⅲ)有图可知，男生考试优秀人数为，女生考试优秀人数为4，
所以任意抽取两名男生参加即获奖励的概率为,
任意抽取两名女生参加即获奖励的概率为, ……..10分
任意抽取一名男生和一名女生参加即获奖励的概率为，
因为，所以获奖励的可能性较大. ……..12分
19. (1)
，
平面；-----------------4分
（2）如图建系：由计算可得
设，则
由可得：
答：二面角的余弦值为-------------------12分
20. （1）
延长交直线于点，,为的中点，，
（2）设
，
直线的方程为，令
设，当时，
直线的方程
21.（1）当时，∴，
令，则，列表得：
∴有极大值，无极小值；-----------------------3分
（2），∴，
设
①当时，恒成立，即恒成立，∴在上单调减；
②当且，即时，恒成立，且不恒为0，则恒成立，且不恒为0，∴在上单调减；
③当且，即时，
有两个实数根：，
且∴
∴当或时，，；
当时，，；
∴在和上单调减，
在上单调增．
∴综上：当时，在上单调减；
当时，在和上单调减，
在上单调增.-----------------------------7分（3），，问题即为判断的符号．
∵函数的图象与轴交于两点，且
∴两式相减得：
∴
∴
)
∵且∴∵∴
研究：的符号，即判断的符号．
令，，设
∴
方法（一）
设，其对称轴为：
∴在上单调减，则，
即在上恒成立∴在上单调增∴，
即∵∴
∴，即
∴在点处的切线斜率为正．---------------------------------------------12
方法（二）
∵，∴∴在上恒成立
∴在上单调增∴，即
∵∴
∴，即
∴在点处的切线斜率为正．
22.（1）的直角坐标方程为的直角坐标方程为------------5分
（2）设曲线与轴异于原点的交点为,过点
设直线的参数方程为，代入可得，解得或
，可知
代入可得，解得，可知
所以，当且仅当时取等号，
所以线段长度的最小值为.------------------------------------------------------------------10分
23.当时，得的解集为------------5分
（1）由得由得得（当且仅当
或时等号成立），故的最小值为.------------10分
（3）。