2020年湖北恩施中考数学试卷(解析版)

2020年湖北恩施中考数学试卷（解析版）
一、选择题
A.
B.
C.
D.
1.的绝对值是（ ）．
A.
B.
C.
D.
2.茶中精品“恩施绿”“利川红”享誉世界．去年恩施州茶叶产量约为吨，将数用科学
记数法表示为（ ）．A.
B.
C.
D.
3.下列交通标识，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）．
4.下列计算正确的是（ ）．A.B.C.D.
5.函数的自变量的取值范围是（ ）．
A.B.且
C.D.
且6.“彩缕碧筠粽，香梗白玉团”．端午佳节，小明妈妈准备了豆沙粽个、红枣粽个、腊肉粽个、白米粽个，其中豆沙粽和红枣粽是甜粽．小明任意选取一个，选到甜粽的概率是（ ）．
A.B.C.
D.
7.在实数范围内定义运算“”：
，例如：
．如果，则
的值是（ ）．A.B.C.
D.
☆
☆
☆
☆8.我国古代数学著作《九章算术》“盈不足”一章中记载：“今有大器五小器一容三斛，大器一小器五容二斛，问大小器各容几何”．意思是：有大小两种盛酒的桶，已知个大桶加上个小桶可以盛酒斛，个大桶加上个小桶可以盛酒斛．问个大桶、个小桶分别可以盛酒多少斛？设个大桶盛酒斛，个小桶盛酒斛，下列方程组正确的是（ ）．A.B.C.
D.
9.如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形，它的主视图为（ ）．
主视方向
A.
B.
C.
D.
10.甲乙两车从城出发前往城，在整个行程中，汽车离开城的距离与时刻的对应关系如图所示，则下列结论错误的是（ ）．
甲乙
A.甲车的平均速度为
B.乙车的平均速度为
C.乙车比甲车先到城
D.乙车比甲车先出发
11.如图，正方形的边长为，点在上且，为对角线上一动点，则周
长的最小值为（ ）．
A.
B.
C.
D.
12.如图，已知二次函数的图象与轴相交于、两点．则以下结论：
①；②二次函数的图象的对称轴为；③；④．
其中正确的有（ ）个．
x
y
O
A.
B.
C.
D.
二、填空题
13.
的算术平方根是 ．
14.如图，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则
．
15.如图，已知半圆的直径，点在半圆上，以点
为圆心，为半径画弧交于点，连接．若
，则图中阴影部分的面积为 ．（结果不取近似值）
16.如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为：，，．已知
，作点关于点的对称点，点关于点的对称点，点关于点的对称点，
点关于点
的对称点
，点关于点的对称点
，，依此类推，则点的坐标
为 ．
x
y
O
三、解答题
17.先化简，再求值：，其中．
18.如图，，
平分交于点，点在上且，连接．求证：四
边形
是菱形．
（1）（2）（3）
19.某中学为了解九年级学生对新冠肺炎防控知识的掌握情况，从全校九年级学生中随机抽取部分学生进行调查．调查结果分为四类：类—非常了解；类—比较了解；—一般了解；类—不了解．现
将调查结果绘制成如下不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题：
类别
学生数名
类
类
类
类
本次共调查了 名学生．补全条形统计图．类所对应扇形的圆心角的大小为 ．
（4）若该校九年级学生共有名，根据以上抽样结果，估计该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的约有 名．
20.如图，一艘轮船以每小时海里的速度自东向西航行，在处测得小岛位于其西北方向(北偏西
方向)，小时后轮船到达处，在处测得小岛位于其北偏东
方向．求此时船与小岛的距离(结果保留整数，参考数据：
，
)．
北
（1）
（2）
21.如图，在平面直角坐标系中，直线与
轴、轴分别相交于、两点，与双曲线
的一个交点为，且
．
求点
的坐标．
当时，求和的值．
（1）
（2）
22.某校足球队需购买、两种品牌的足球，已知品牌足球的单价比品牌足球的单价高元，且用元购买品牌足球的数量用元购买品牌足球的数量相等．
求、两种品牌足球的单价．
若足球队计划购买、两种品牌的足球共个，且品牌足球的数量不小于品牌足球数量的倍，购买两种品牌足球的总费用不超过元．设购买品牌足球个，总费用为元，则该队共
有几种购买方案？采用哪一种购买方案可使总费用最低？最低费用是多少元？
23.如图，是⊙的直径，直线与⊙相切于点，直线与⊙相切于点，点（异于点）在上，点在⊙上，且，延长与相交于点，连接并延长交于
（1）（2）（3）点．
求证：是⊙的切线．
求证：
．
如图，连接
并延长与⊙分别相交于点
、
，连接
．若
，
，求
．
（1）（2）（3）
24.如图，抛物线经过点，顶点为，对称轴与轴相交于点，为
线段
的中点．
x
y
求抛物线的解析式．为线段
上任意一点，
为轴上一动点，连接
，以点为中心，将
逆时针旋转
，记点的对应点为，点的对应点为．当直线
与抛物线
只有一个
交点时，求点的坐标．
在（）的旋转变换下，若
（如图）．
【答案】解析:
在数轴上，数所表示的点到原点的距离是．故选．解析:
．
故选．解析:
根据轴对称图形与中心对称图形的概念，知：
选项：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误；选项：不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故错误；
12x
y
求证：．
当点在（）所求的抛物线上时，求线段
的长．
A 1.
B 2.D 3.
选项：是轴对称图形，但不是中心对称图形，故错误；选项：既是中心对称图形，又是轴对称图形，故正确．故选．解析:根据题意得，且
， 解得
且
． 故选：．
解析:
由题意可得：粽子总数为个，其中个为甜粽，所以选到甜粽的概率为：
．
故选．解析:
由题意知：，
又，∴，
∴
．
故选．解析:
∵个大桶加上个小桶可以盛酒斛，∴
．
∵个大桶加上个小桶可以盛酒斛，∴
，
∴得到方程组．
故选．B 4.B 5.D 6.C 7.☆☆A 8.A
9.
解析:由图可知：
．是图形的主视图；．是图形的俯视图；．不是图形的三视图；．是图形的右视图；∴选．解析:由图象知：
．甲车的平均速度为，故此选项正确．．乙车的平均速度为，故此选项正确．
．甲
时到达城，乙时到达城，所以乙比甲先到城，故此选项正确．
．甲时出发，乙时出发，所以乙比甲晚出发，故此选项错误．
故选：．解析:连接
交
于一点，连接
，
∴四边形是正方形，∴点与点关于对称，
∴，∴的周长
，此时周长最小，
∵正方形的边长为，∴
，
，
D 10.B 11.
∵点在上且，
∴，
∴，
∴的周长
，
故选．解析:
对于①：二次函数开口向下，故，与轴的交点在的正半轴，故
，故，故①错误．
对于②：二次函数的图象与轴相交于
、
，由对称性可知，其对称轴为：
，故②错误．
对于③：设二次函数的交点式为，比较一般式与交
点式的系数可知：，，故
，故③正确．
对于④：当
时对应的，观察图象可知
时对应的函数图象的值在轴上方，故
，故④正确．
∴只有③④是正确的．故选：．解析:∵
，
∴的算术平方根．
故答案为：．解析:如图，延长
交于点
，
C 12.13.14.
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
即，
∴，
故答案为．
15.
解析:
∵是直径，
∴，，
∴，，
∴，
由以上可知，
∴扇形的面积，∴阴影部分的面积为．
故答案为：．
16.
解析:
由题意得，作出如下图形：
x
y
点坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
点关于点对称的点的坐标为，
此时刚好回到最开始的点处，
∴其每个点循环一次，
∴
即循环了次后余下，
故的坐标与点的坐标相同，其坐标为．故答案为：．
解析:，．
17.
（1）（2）
，当
时，原式
．
解析:∵，
∴，又平分
，∴，∴，
∴为等腰三角形，∴，
又已知，
∴，又，即
，
∴四边形为平行四边形，
又，
∴四边形为菱形．解析:
本次共调查的学生数为：名．
类学生人数为：
名，条形图如下：
证明见解析．18.（1）
（2）画图见解析．（3）（4）19.
（3）
（4）（1）类别
学生数名
类所对应扇形的圆心角为：
．
该校九年级学生对新冠肺炎防控知识非常了解的人数为：名．
解析:如图，
北
过点作，设，由题意，，
，，
在中，，
在中，
，
，
∴，即
，解得：，
∴
（海里）．
答：此时船与小岛的距离约为海里．
解析:
由题意得：令
中，
即
，解得
，
∴点的坐标为，
故答案为
．
此时船与小岛的距离约为海里．
20.（1）．（2），
．
21.
（2）（1）过点作轴的垂线交轴于点，作轴的垂线交轴于点，如下图所示：
显然，，∴，且，
∴，∴，代入数据：即：，
∴，
又，即：，
∴
，∴点的坐标为，
故反比例函数的，
再将点代入一次函数中，
即，解得
，故答案为：
，
．
解析:
设购买品牌足球的单价为元，则购买品牌足球的单价为
元，
根据题意，得，
解得：，
经检验
是原方程的解，
．
答：购买品牌足球的单价为
元，则购买品牌足球的单价为
元．
（1）购买品牌足球的单价为
元，购买品牌足球的单价为元．
（2）该队共有种购买方案，购买个品牌，
个品牌的总费用最低，最低费用是
元．
22.
（2）（1）（2）设购买
个品牌足球，则购买个品牌足球，则
，
∵品牌足球的数量不小于品牌足球数量的倍，购买两种品牌足球的总费用不超过元．
∴
，
解不等式组得：，所以，
的值为：
，
，，
，
，
，
即该队共有种购买方案，当
时，最小，
时，
（元）．答：该队共有种购买方案，购买
个品牌，
个品牌的总费用最低，最低费用是
元．
解析:连接
，∵，
∴，
∵，
∴，
∵直线与⊙相切于点．
∴，∴，
∴
是⊙的切线．连接
，
，
（1）证明见解析．（2）证明见解析．（3）．
23.
（3）∵，
∴，
∵是⊙的切线，是⊙的切线，∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
过点作于，
则四边形是矩形，
设，则，，∴，
解得：，
∴，
∵，
（1）（2）∴，
解得：或
（
不合题意舍去），
∴
．解析:∵点
在抛物线上，
∴，
得到，又∵对称轴，
∴
，
解得，
∴
，
∴二次函数的解析式为
．
当点
在点的左侧时，如下图：
x
y
∵抛物线的解析式为，对称轴为，，
∴点，顶点
，
∴，
∴是等腰直角三角形，∴
，
（1）．（2）．1
2
（3）证明见解析．
或．
24.
1
（3）∵将逆时针旋转得到
，
∴，，
设点的坐标为
，
∴点，又∵，
∴直线与轴的夹角为，
∴设直线的解析式为
，
把点代入得：
，解得：，
直线的解析式为，
∵直线与抛物线
只有一个交点，
∴，整理得：，∴，解得
，
点的坐标为；
当点
在点的右侧时，如下图：
x
y
由图可知，直线与轴的夹角仍是，因此直线与抛物线不可能只有一
个交点．综上，点
的坐标为．
当点
在点的左侧时，如下图，过点作
轴于点
．过点作
轴于点
．
x
∵，由（）知，
∴，
∴点，
设点的坐标为，
∵将逆时针旋转得到，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴≌（），
∴，，
∴点，
∴点的坐标为；
∴，又∵为线段的中点，，，
∴点，
∴，∴．
当点在点的右侧时，如下图：
2
x
同理，点的坐标仍为，因此．当点在（）所求的抛物线上时，把代入，整理得：．解得或，
∴或．。