湛江市普通高中2018届高考数学一轮复习模拟试题09

广东省湛江市普通高中2018届高考数学一轮复习模拟试题09 一、选择题：本大题共10小题,每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求。

1．设集合=⋂∈-==≥--=Q P P x x y y Q x x x P 则},,12
1|{},02|{2
2
( )
A ．{|12}x x -≤<
B ．}2|{≥x x C. }21|{<<-y y
D ．}1{-
2．已知命题:p “[]0,1,x
x a e ∀∈≥”，命题:q “2
,40x R x x a ∃∈-+=",若命题,p q 均
是真命题，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．[4,)+∞
B ．[1,4]
C ．[,4]e
D ．(,1]-∞
3．要得到函数sin y x =的图象，只需将函数cos y x π⎛⎫=- ⎪3⎝
⎭
的图象( ）
A ．向右平移π6
个单位 B ．向右平移π3
个单位
C ．向左平移π3
个单位
D ．向左平移π6
个单位
4. 设数列{}n
a 是等差数列，且15432
=++a a a
,则这个数列的前5项和
5S =( )
A 。

10
B 。

15
C 。

20 D. 25
5．设l ,m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ )
A ．若l m ⊥，m α⊂,则l α⊥
B ．
若l α⊥，l m //，则m α⊥
C ．若l α//,m α⊂,则l m //
D ．若l α//，m α
//，则l m //
6．利用如图所示程序框图在直角坐标平面上打印一系列点，则打印 的点落在坐标轴上
的个数是 （ ）
A.0 B 。

1 C 。

2 D 。

3
7．与向量a =（3,1），b =（1，3-）的夹角相等且模为2的向量为 （ ) A ．1313
(,)22
+- B 。

1313
(,)22
-
+ C ．13131313(,),(,)2222+
-+--- D.13131313
(,),(,)2222
-+-+-- 8．函数()M
f x 的定义域为R ，且定义如下:
1,()
()0,()∈⎧=⎨
∉⎩M x M f x x M （其中M 是实
数集R 的非空真子集），在实数集R 上有两个非空真子集A 、B 满足
Φ
=⋂B A ,则函数
()1
()()()1
+=
++A B A B f x F x f x f x 的值域为
（ )] A ．{}0 B ．}{1 C ．{}0,1 D ．∅
9．函数2
1ln ||1y y x x
==--+与在同一平面直角坐标系内的大致图象为
（ ）
10．定义在(—∞,0)⋃（0，+∞）上的函数()f x ，如果对于任意给定的等比数列｛n
a ｝，｛()n
f a ）仍是等比数列，则称()f x 为“保等比数列
函数”．现有定义在（—∞,0）⋃(0，+∞）上的如下函数：①()f x =2
x :
②()2x
f x =；③；④()ln ||f x x =．则其中是“保等比数列函数”的()f x 的
序号为( ）
A ．①②
B ．③④
C ．①③
D ．②④ 二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分. 11。

:cm 某个几何体的三视图如下,单位则此几何体的体积为____.
正视图侧视图
俯视图
12. 已知
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥
-
<
=
-
,3
),
6
(
log
3
,
3
)
(
2
3
1
x
x
x
e
x
f
x
则))3((f f的值为 .
13.在△ABC中，已知60
A=,1
AB AC
•=，则△ABC的面积为。

14. 已知x和y是实数，且满足约束条件y
x
z
x
y
x
y
x
3
2
,
7
2
2
10
+
=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≥
≤
-
≤
+
则的最小值是。

15．已知函数2
2
(1)sin
()
1
x x
f x
x
++
=
+
，其导函数记为'()
f x，则
(2012)'(2012)(2012)'(2012)
f f f f
++---=。

三、解答题:共6小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16。

（本小题满分12分) 已知函数.
cos
3
cos
sin
)
(2x
x
x
x
f+
=
（Ⅰ)求)(x f的最小正周期;
（Ⅱ）求)(x f在区间]
2
,
6
[
π
π
-上的最大值和最小值．
17.（本小题满分12分）已知ABC
∆的角A、B、C所对的边分别是,,
a b c，
设向量(,)
m a b
=, (sin,sin)
n B A
=，(2,2)
p b a
=--
(Ⅰ）若m ∥n,求证：ABC
∆为等腰三角形；
（Ⅱ)若m ⊥p ，边长2c =，3
C π=，求ABC ∆的面积。

18. （本小题满分12分） 已知 1:(),3
x
p f x -=
且|()|2f a <；
q ：集合2{|(2)10,}A x x a x x =+++=∈R ，且A ≠∅．
若p ∨q 为真命题,p ∧q 为假命题,求实数a 的取值范围.
19. （本小题满分12分）
如图：在三棱锥D-ABC 中，已知BCD ∆是正三角形，AB ⊥平面BCD ，
AB BC a ==，E 为
BC 的中点，F 在棱AC 上,且3AF FC =
（1）求三棱锥D －ABC 的表面积； (2)求证AC ⊥平面DEF ；
（3）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN ∥平面DEF ？若存在，说
明点N 的位置；若不存在,试说明
理由．
20. (本小题满分13分） 在数列{}n
a 中，已知)(log 32,41,41*4
111
N n a b a a a
n n n n ∈=+==+。

E C
B
D
A
F
N
M
（Ⅰ）求数列{}n
a 的通项公式；
（Ⅱ）求证：数列{}n
b 是等差数列；
（Ⅲ)设数列{}n
c 满足n n n
b a c
⋅=，求{}n c 的前n 项和n
S 。

21。

（本小题满分14分） 已知函数2
()()x f x ax
x e =+,其中ｅ是自然数的底数，a R ∈．
（1)当0a <时,解不等式()0f x >；
（2）当0a =时,求正整数ｋ的值,使方程()2f x x =+在［ｋ，ｋ＋１]上有解;
（3)若()f x 在［－１，１］上是单调增函数，求a 的取值范围．
参考答案
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.把答案填写在答题卡上
二、填空题：(本大题共5小题,每小题5分,共25分）
11. 40/3 ； 12。

3；
13.
; 14. 23/2;
15。

2
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤（共6题,共75分）
16. （本小题满分12分） 已知函数.cos 3cos sin )(2x x x x f +
=
(Ⅰ)求)(x f 的最小正周期；
(Ⅱ）求)(x f 在区间]2
,6[ππ-上的最大值和最小值．
解：（Ⅰ)x x x x f 2cos 3cos sin )(+=
)12(cos 2
3
cos sin 221++
⋅=x x x 2
32cos 232sin 21++=
x x 2
3
)3
2sin(+
+
=π
x ∴
函数
)
(x f 的最小正周期
ππ
==
2
2T ． …………………6分
（Ⅱ）∵26ππ≤≤-x ，3
4320π
π≤+≤x ，
∴,1)3
2sin(23≤+≤-π
x (9)
分
∴0sin(2)13x π≤++
≤= ∴
)
(x f 在区间
]
2
,6[π
π-
上的最大值为
2
32+,最小值为
0． ……………12分 17。

（本小题满分12分)
已知ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别是,,a b c ，设向量(,)m a b =,
(sin ,sin )n B A =, (2,2)p b a =--
（Ⅰ）若m ∥n ，求证：ABC ∆为等腰三角形； （Ⅱ)若m ⊥p ，边长2c =，3
C π=，求ABC ∆的面积。

证明：(Ⅰ） ∵m ∥n ， ∴sin sin a A b B =，由正弦定理可知,
22a b a b R R
⋅
=⋅，其中R 是ABC ∆外接圆的半径，
∴a b =. 因
此，
ABC
∆为等腰三角
形. …………………6分
（Ⅱ）由题意可知,0m p ⋅=,即(2)(2)0,.a b b a a b ab -+-=∴+= 由余弦定理可知，2
224()3,a
b ab a b ab =+-=+-即2()340ab ab --=
4ab ∴=，(1ab =舍去）
∴11
sin 4sin 2
2
3
S ab C π==⋅⋅=
(12)
分
18．(本小题满分12分）已知 1:(),3
x
p f x -=
且|()|2f a <；
q ：集合2{|(2)10,}A x x a x x =+++=∈R ，且A ≠∅．
若p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，求实数a 的取值范围. 解答：若1|()|||23
a f a -=<成立，则616a -<-<，
即当57a -<<时p 是真命
题； ……………………4分 若A ≠∅，则方程2
(2)10x a x +++=有实数根，
由2
(2)
40a ∆=+-≥，解得4a ≤-,或0a ≥，
即当4a ≤-，或0a ≥时q 是真命
题; ……………………8分
由于p ∨q 为真命题，p ∧q 为假命题，∴p 与q 一真一假， 故知所求a 的取值范围是
(,5](4,0)[7,)-∞--+∞． (12)
分
19。

（本小题满分12分)
如图：在三棱锥D —ABC 中,已知BCD
∆是
正三角形，AB
⊥
平面BCD ，
AB BC a ==,E 为BC 的中点,F 在棱AC 上，且
3AF FC =
（1）求三棱锥D －ABC 的表面积； （2）求证AC ⊥平面DEF ;
（3）若M 为BD 的中点，问AC 上是否存在一点N ，使MN ∥平面DEF ？若存在，说明点N 的位置；若不存在，试说明理由． 解：（1）∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥BC ，AB ⊥BD ．
E
C
B
D
A
F
N
M
∵△BCD 是正三角形，且AB ＝BC ＝a ，∴AD ＝AC
．
设G 为CD 的中点,则CG ＝12a ，AG
．
∴2
12
ABC
ABD S
S a ∆∆==
，2BCD
S
∆=
，2ACD
S
∆=
．
三棱锥D －ABC
的表面积为2
ACD
S ∆=
．……………。

4分
（2）取AC 的中点H ，∵AB ＝BC ，∴BH ⊥AC ．
∵AF ＝3FC ，∴F 为CH 的中点． ∵E 为BC 的中点,∴EF ∥BH ．则EF ⊥AC ．
∵△BCD 是正三角形，∴DE ⊥BC ． ∵AB ⊥平面BCD ，∴AB ⊥DE ．
∵AB ∩BC ＝B ，∴DE ⊥平面ABC ．∴DE ⊥AC ． ∵DE ∩EF ＝E ，∴AC ⊥平面DEF ．[。

(8)
(3）存在这样的点N ，当CN ＝3
8CA 时，MN ∥平面DEF ．
连CM ,设CM ∩DE ＝O ，连OF ．由条件知，O 为△BCD 的重心，CO ＝23
CM ．
∴当CF ＝23CN 时,MN ∥OF ．∴CN ＝313
248
CA CA
⋅=……….12分
20。

(本小题满分13分）在数列{}n
a 中,已知)(log 32,41
,41*4
111
N n a b a a a
n n n n ∈=+==+. （Ⅰ）求数列{}n
a 的通项公式；
(Ⅱ）求证:数列{}n
b 是等差数列；
(Ⅲ）设数列{}n
c 满足n n n
b a c
⋅=，求{}n c 的前n 项和n
S 。

解：（Ⅰ）∵4
1
1=
+n
n a
a E
C
B
D
A
F
N
M
G
H
O
∴数列｛n
a }是首项为41，公比为4
1
的等比数列，
∴
)
()4
1
(*N n a n n ∈=。

……………………………………………………………
……………3分 （
Ⅱ)∵
2
log 34
1-=n n a b …………………………………………………………………
… 4分 ∴
2
32)41
(log 32
1-=-=n b n n 。

………………………………………………………
…… 5分 ∴1
1
=b
，公差d=3
∴数列
}
{n b 是首项
1
1=b ，公差
3
=d 的等差数
列。

…………………………………………7分 （Ⅲ)由（Ⅰ)知，n
n
a )4
1
(=，2
3-=n b
n
（n *
N ∈）
∴
)
(,)4
1
()23(*N n n c n n ∈⨯-=。

………………………………………………………
………8分 ∴n
n n
n n S
)4
1()23()41()53()41(7)41(4411132⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=-， ①
于是1
432)4
1()23()41()53()41(7)41(4)41(141+⨯-+⨯-+⋯+⨯+⨯+⨯=n n n
n n S ②
…………………………………………………………………………………………… 9分 两式①—②相减得132)4
1
()23(])41()41()41[(3414
3+⨯--+⋯+++=
n n n
n S
=1
)4
1
()23(21+⨯+-n n .………………………………………………………………………11分 ∴
)()4
1(381232*1
N n n S n n ∈⨯+-=
+.………………………………………………………
13分.
21。

（本小题满分14分)已知函数2
()()x f x ax x e =+，其中ｅ是自然数的
底数，a R ∈．
（1）当0a <时,解不等式()0f x >；
（2)当0a =时，求正整数ｋ的值，使方程()2f x x =+在［ｋ,ｋ＋１］上有解；
（3）若()f x 在［－１，１］上是单调增函数，求a 的取值范围． 解 ⑴因为e
x
>,所以不等式()0f x >即为2
ax
x +>，
又因为0a <，所以不等式可化为1()0x x a
+<，
所以不等式()0f x >的解集为1(0,)a -．…………………………4分
⑵当0a =时, 方程即为e 2x
x x =+,由于e
x
>,所以0x =不是方程的解，
所以原方程等价于2
e 10x
x
-
-=，令2()e
1x
h x x
=-
-，
因为2
2()e
0x
h x x '=+
>对于∈x ()0,+∞恒成立，
所以()h x 在()0,+∞内是单调增函数，……………………………6分[又(1)e 30h =-<,2
(2)e
20
h =->， ，
所以方程()2f x x =+有且只有1个实数根， 在区间[]12，
， 所以整数k 的值为 1．……………………………………………9分 ⑶22()(21)e
()e [(21)1]e x
x x
f x ax ax x ax a x '=+++=+++，
①
当0a =时,()(1)e x
f x x '=+，()0f x '≥在[11]-，上恒成立,当且仅当1x =-时
取等号，故
a =符
合要
求；………………………………………………………11分 ②当0a ≠时,令2
()(21)1
g x ax
a x =+++，因为2
2(21)
4410
a a a ∆=+-=+>，
所以()0g x =有两个不相等的实数根1
x ，2
x ，不妨设1
2
x x >， 因此()f x 有极大值又有极小值．
若0a >，因为(1)(0)0g g a -⋅=-<,所以()f x 在(11)-，内有极值点， 故
()
f x 在[]11-，
上不单
调．………………………………………………………12分 若0a <，可知1
2
0x
x >>，
因为()g x 的图象开口向下，要使()f x 在[11]-，上单调,因为(0)10g =>，
必须满足(1)0,(1)0.g g ⎧⎨-⎩
≥≥即320,0.a a +⎧⎨
-⎩
≥≥所以203
a -<≤.—--———--——----—-—--—-——---13分 综
上可知，
a
的取值范围是
2
[,0]3
-．………………………………………14分。