四川省绵阳中学2009届高三3月月考(数学理)

绵阳中学09级3月月考试题
（数学理科）
一、选择题（每题5分，共60分） 1、已知集合{}1111242x M N x x z +⎧⎫
=-=<<∈⎨⎬⎩⎭
，，，，则M
N =（ ）
A ．
{}11-，
B ．
{}1-
C ．
{}0
D ．
{}10-，
2、在复平面内，复数2009
1i
i
+对应点位于（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3、平面//α平面β的一个充分条件是（ ） A ．存在一条直线////a a a αβ，
，
B ．存在一条直线//a a a αβ⊂，
， C ．存在两条平行直线////a b a b a b αββα⊂⊂，
，，，，
D ．存在两条异面直线////a b a b a b αββα⊂⊂，
，，，，
4、随机变量()()~2140.2N P ξξ>=，，，则()02P ξ<<=（ ）
A ．0.1
B ．0.2
C ．0.3
D ．0.4
5、在ABC ∆中，角A B C 、、
所对的边分别为a b c 、、，若30c B ==︒
，，则角C
=
（ ）
A ．60°
B ．120°
C ．90°
D ．75°
6、将函数()y f x =sin x ⋅的图象向右平移
4
π
个单位后，再作关于x 轴的对称变换，得
到函数212sin y x =-的图象，则()f x 可以是（ ）
A ．cos x
B ．2sin x
C ．sin x
D ．2cos x
7、若数列{}n a 是首项为1、公比为3
2
a -
的无穷等比数列，且{}n a 各项和为a ，则a =（ ）
A ．1
B ．2
C ．12
或2
D ．54
8、已知
20a b =≠，且关于x 的函数()3211
32
f x x a x a b x =++⋅⋅在R 上有极
值，则a 与b 的夹角范围为（ ）
A ．
03π⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， B ．3ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
， C ．
3ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
， D ．233ππ⎛⎤
⎥⎝⎦
， 9、若不等式
22
2
9t t a t t
+≤≤+在(]02t ∈，上恒成立，则a 的范围是（ ） A ．
116⎡⎤⎢⎥⎣⎦，
B ．
2113⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， C ．
14613⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
， D ．
16⎡⎢⎣， 10、若直线4mx ny +
=和圆22:4O x y +=没有交点，则过点()m n ，的直线与椭圆
22
194
x y +=的交点个数为（ ）
Ａ．至多１个
Ｂ．2个
Ｃ．1个
Ｄ．0个
11、若正整数a
使得函数)0y x x =+≥的最大值也是正整数，则这个最大
值等于（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
12、动点P 为椭圆22
221x y a b
+=()0a b >>上异于椭圆顶点()0a ±，的一点，12F F ，
为椭圆的两个焦点，动圆C 与线段112F P F F ，
的延长线及线段2PF 相切，则圆心C 的轨迹为除去坐标轴上的点的（ ）
A ．一条直线
B ．双曲线右支
C ．抛物线
D ．椭圆
二、填空题（每小题4分，共16分） 13、关于x 的方程()2
2120x
a x a +-+-=的两根满足()()12110x x --<，则a 的
取值范围____________． 14、定义在
R
上的函数
()
f x 满足
()()23
f x f x ⋅+=，若
()12
f =则
()2009f =_______．
15、将函数
()()()333
sin sin 2sin 3442
f x x x x ππ=⋅+⋅+在区间()0+∞，内的全
部极值点按从小到大的顺序排成数列{}()*n a n N ∈，则数列{}n a 的通项公式为
__________． 16、已知
()()()32131f x x x f xf ''=++-，则()()11f f ''+-=_______．
三、解答题
17、已知函数(
)()2
cos cos 0f x x x x ωωωω=⋅->的周期为
2
π
．
（1）求ω的值；
（2）设ABC ∆的三边a b c 、、
满足2
b a
c =，且边b 所对角为x ，求此时函数()f x 的值
域．
18、如图已知在直四棱柱
1111
ABCD A B C D -中．
A D D C ⊥，//A
B DC
，
1222DC DD AD AB ====．
（1）求证：DB ⊥平面11B BCC ；
（2）求二面角11A BD C --的余弦值．
19、某种家用电器每台的销售利润与该电器的无故障使用时间T （单位：年）有关．若1T ≤，则销售利润为0元；若13T <≤，则销售利润为100元；若3T >，则销售利润为200元，设每台该种电器的无故障使用时间1T ≤，13T <≤，3T >这三种情况发生的概率分别
是123P P P ，，，又知12P P ，是方程2
25150x x a -+=的两个根，且23P P =．
（1）求123P P P ，
，的值； （2）记ξ表示销售两台该种电器的销售利润总和，求ξ的分布列及期望．
20、椭圆C 的中心在原点O ，它的短轴长为()10F c ，
（0c >）的准线l 与x 轴相交于A ，
112OF F A =．
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆C 的左焦点作一条与两坐标轴都不垂直的直线l ，交椭圆于P Q 、两点，若点M 在x 轴上，且使2MF 为MPQ ∆的一条角平分线，则称点M 为椭圆的“左特征点”，求椭圆C 的左特征点；
（3）根据（2）中结论，猜测椭圆22
221x y a b
+=左特征点位置．
21、设n S 是正项数列{}n a 的前n 项和，且2113424
n n n
S a a =+-． （1）求数列
{}n a 的通项公式；
（2）是否存在等比数列
{}n b ，使()111222122n n n a b a b a b n ++++=-⋅+对一切
正整数都成立？并证明你的结论． （3
()*
11n n N a =
∈+，且数列{}n c 的前n 项和为n T ，试比较n
T 与16
的大小．
22、已知函数
()()1
ln 0f x x ax x x
=+
+∈+∞，，（a 为实常数） （1）当0a =时，求
()f x 最小值；
（2）若()f x 在[)2+∞，是单调函数，求a 的取值范围；
（3）设各项为正的无穷数列{}n x 满足()*
1
1l n 1n n x n N x ++<∈，证明：
()*1n x n N ≤∈．
绵中09级3月月考试题参考解答
一、选择题：BDDCB DBBBB AA 二、填空题：13、()21-，
14、2 15、()*21
6
n n a n N π-=∈ 16、34-
三、解答题： 17、（1）(
)cos f x x x ωω=⋅2cos x ω-
=11cos2222x x ωω-- =1sin 262x πω⎛
⎫-- ⎪⎝
⎭ …………4分
又由222T ππω==知2ω= ()1sin 462f x x π⎛
⎫∴=-- ⎪⎝
⎭ ……6分
（2）由余弦定理知22221
cos 222
a c
b a
c ac x ac ac +--=≥=知
03
x π
<≤
…………9分
74666x ππ
π∴-<-≤ 111sin 4622x π⎛
⎫∴-≤--≤ ⎪⎝
⎭
()f x ∴的值域为112⎡⎤
-⎢⎥⎣⎦
，
18、证（1）取CD 中点N ，连BN
易证DBN BNC ∆∆，
为等腰Rt ∆ DBC Rt ∠=∠ 又1DB BB ⊥
故DB ⊥面11BB C C 4
分
（2）有设E M ，
分别为11DB D C ，中点
计算知111A D A B A E BD =
=⇒⊥
又1//EF BC EF BD ⇒⊥
1A EF ∴∠为11A BD C --平面角
…………8分
计算得111122A E
EF BC A F =
====
2
2
21cos A EF ++∴∠==
…………12分
注：此题用坐标法解更简单（略） 19、解：（1）由已知得1231P P P ++=
231221P P P P =∴+=， 12
P P ，是方程2
25150x x a -+=的两个根 1235P P ∴+= 1231255
P P P ∴===， …………3分 （2）ξ的可能取值为为0，100，200，300，400 …………4分
()111
05525
P ξ==⨯=
()124
10025525
P ξ==⨯⨯=
()12228
2002555525P ξ==⨯⨯+⨯=
()228
30025525P ξ==⨯⨯=
()224
4005525
P ξ==⨯=
…………9分
随机变量ξ的分布列为：
14884
01002003004002402525252525
E ξ=⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= ……11分
∴销售两台这种家用电器的利润总和的平均值为240元 ……12分
20、解：（1）由条件知2b =22
212
x y a +=
又222222a c a a c c c c ⎧-=⎧=⎪⎪
⇒⎛⎫⎨⎨
=-=⎪ ⎪⎩
⎪⎝⎭⎩
∴椭圆方程为22
162x y += …………4分 （2）设左特征点为()0M m ，，左焦点为()220F -，，可设直线PQ 的方程为
2.y
x k
=-
由2y x k =-与22162x y +=，消去x 得2214320y y k k ⎛⎫
+--= ⎪⎝⎭
又设()()1122P x y Q x y ，、，，则
122
413k
y y k +=+ ① 2
122
213k y y k
-=+ ② …………6分 因为2MF 为PMQ ∠的角平分线，所以PM QM k k +0=，即
12
120y y x m x m +=-- ③
将112y x k =-与222y
x k =-代入③化简，得
()()1212122
20y y y m y y k
-+-+= ④ 再将①②代入④得 ()222224201313k k m k k k ⎛⎫-⎛⎫
⋅-+⋅= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ∴3m =- 即左特征点为()30M -， …………10分
（3）椭圆的左准线与x 轴的交点为()30-，，故猜测椭圆的左特征点为左准线与x 轴
的交点．
…………12分
21、解：（1）2113
424n n n S a a =+-得 2111113
424
n n n S a a +++=+-，相减并整理为()()1120n n n n a a a a +++--=
又由于10n n a a ++>，则12n n a a +=+，故{}n a 是等差数列．
21111113
0424
a S a a ==+->，13a ∴=，故21n a n =+ ……3分
（2）当12n =，时
，
()()231111222211262221226a b a b a b =⨯-+=+=⨯-+=，
可解得，1
224b b ==，，，猜想2n
n b =使
()
1
1122
2212
n
n n
a b a b a b n
+
+++=-+成立…………5分下面证明()()
231
3252722122212
n n
n n
+
⋅+⋅+⋅+++=-+恒成立令()
23
325272212n
S n
=⋅+⋅+⋅+++①
()
2341
2325272212n
S n+
=⋅+⋅+⋅+++②②－①可得∴()()
111
2122222122
n n n
S n n
+++
=+-⋅+=-+…………8分
（3）
()()()
2
11111
212322123
22
n
C
n n n n
n
⎛⎫
=<=-
⎪
++++
⎝⎭
+
则
12
1111111
235572123 n n
T c c c
n n
⎛⎫=+++<-+-++-
⎪
++
⎝⎭1111
23236
n
⎛⎫
=-<
⎪
+
⎝⎭
，故
1
6
n
T<…………12分22、解（1）()
2
22
111
ax x
f x a
x x x
+-
'=-+=，当0
a=时，()21
x
f x
x
-
'=，01
x
<<时，()0;1
f x x
'<>时()0
f x
'>
故()()
min
11
f x f
==
⎡⎤
⎣⎦…………3分（2）()
2
22
111
ax x
f x a
x x x
+-
'=-+=，显然0
a≥时，()0
f x
'>符合要求；
当0
a<时，令()()
21
g x ax x x g x
=+-→+∞→-∞
，，
故此时()
f x在[)
2+∞
，上只能是单调递减的．
故140
a
∆=+≤或()
20
1
2
2
g
a
⎧
⎪∆>
⎪
≤
⎨
⎪
⎪-≤
⎩
解得
1
4
a≤-，可知
[)
1
4
a
⎛⎤
∈-∞-+∞
⎥
⎝⎦
，，…………8分
（3）反证法：不妨设
1
1
x b
=>，由（2）知
1
1
ln1ln
n
n
n n
x b
x
b x x
+
+≥>+
故()*
1
1
ln
n n
b
b n N
x x
+
>+∈故
123
111
1ln ln ln
b
b b b
x
x b x
⎛⎫
=>+>++
⎪
⎝⎭
2
4
ln11
ln ln
b
b b
b b x
⎛⎫
>+++>
⎪
⎝⎭
22
2
11111111 ln1ln1
n n n
n
b b
b b b b x b b b
+
⎛⎫⎛⎫>+++++⋅>++++
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
211
11
1limln 1ln 11n n b b b b
b b →∞
⎛⎫∴≥+++
+
=⋅ ⎪⎝⎭-
又由（2）知当1b >时，1
ln 1b b +>，故11ln 1ln 111b b b b
>-⋅>-，，这与上面
结论矛盾． 故1
1x ≤，同理()*231
11n x x x n N ≤≤≤∈，，，
…………14分。