新教材高中人教A版数学必修第2册课堂作业10-3-110-3-2频率的稳定性随机模拟

第十章 10.3
A 组·素养自测
一、选择题
1．在进行n 次重复试验中，事件A 发生的频率为m
n ，当n 很大时，事件A 发生的概率P (A )
与m
n
的关系是( A ) A ．P (A )≈m
n
B ．P (A )<m
n
C ．P (A )>m
n
D ．P (A )＝m
n
2．在下列各事件中，发生的可能性最大的为( D ) A ．任意买1张电影票，座位号是奇数 B ．掷1枚骰子，点数小于等于2
C ．有10 000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票
D ．一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球 [解析] P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝1100，P (D )＝4
5.
3．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明( A ) A ．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防 B ．小概率事件很少发生，不用怕 C ．小概率事件就是不可能事件，不会发生 D ．大概率事件就是必然事件，一定发生
[解析] 因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件.故选A ．
4．某次数学考试中，共有12道选择题，每道选择题有4个选项，其中只有1个选项是正确的，则随机选择其中一个选项正确的概率是1
4，某家长说：“要是都不会做，每道题都随
机选择其中一个选项，则一定有3道题答对.”这句话( B )
A ．正确
B ．错误
C ．不一定
D ．无法解释
[解析] 把解答一个选择题作为一次试验，答对的概率是14，说明答对的可能性大小是1
4.
做12道选择题，即进行了12次试验，每个结果都是随机的，那么答对3道题的可能性较大，但是并不一定能答对3道题，也可能都答错或答对1道题、2道题、4道题，……甚至12道题.
5．(多选)下列说法正确的是( AB )
A ．掷一枚硬币正面朝上的机会与抛一枚图钉钉尖着地的机会不一样大
B．射击运动员击中靶的概率是0.9，说明他中靶的可能性很大
C．某彩票中奖的概率是1%，买100张一定有1张中奖
D．某中学生对他所在的住宅小区的家庭进行调查，发现拥有空调的家庭占65%，于是他得出该市拥有空调的家庭的百分比为65%的结论
[解析]掷一枚硬币正面朝上的概率是0.5，抛一枚图钉钉尖着地的概率不是0.5(钉尖朝上的概率比较大)，所以A对；射击运动员击中靶的概率是0.9，所以中靶的可能性是非常大的，所以B对；概率只是一种可能性的预测，并不是绝对的，所以C错；只对一个小区抽样并不能代表整个城市，所以D错.故选AB．
二、填空题
6．把一枚质地均匀的硬币连续掷1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则可认为掷一次硬币正面朝上的概率为__0.5__.
[解析]通过做大量重复试验可以发现，正面朝上的频率都在0.5附近摆动，故掷一次硬币正面朝上的概率是0.5．
7．采用随机模拟试验的方法估计三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4表示下雨，用5,6,7,8,9,0表示不下雨，再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况.经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907966191925271932812458569683
431257393027556488730113537989
据此估计，这三天中均下雨的概率为__0.1__.
[解析]根据题中随机数表中的数据，这三天均下雨的随机数组有431,113，则估计这三
天均下雨的概率为2
20
＝0.1．
8．种子公司在春耕前采购了一批稻谷种子，进行了种子发芽试验.在统计的2 000粒种子中有1 962粒发芽，“种子发芽”这个事件发生的频率是__0.981__，若用户需要该批可发芽的稻谷种100 000粒，需采购该批稻谷种子__3__千克(每千克约35 000粒).(结果取整数)
[解析]“种子发芽”这个事件发生的频率为1 962
2 000
＝0.981；若用户需要该批可发芽的稻
谷种100 000粒，则需采购该批稻谷种子100 000×1
0.981(粒)，故需要购买该批稻谷种子100
000×1
0.981÷35 000≈3(千克).
三、解答题
9．为了估计某自然区天鹅的数量，可以使用以下方法：先从该保护区中捕出一定数量的天鹅，如200只，给每只天鹅作上记号且不影响其存活，然后放回保护区，经过适当的时间，让它们和保护区中其余的天鹅充分混合，再从保护区中捕出一定数量的天鹅，如150只.查看其中有记号的天鹅，设有20只，试根据上述数据，估计该自然保护区中天鹅的数量.
[解析] 设保护区中天鹅的数量为n ，假设每只天鹅被捕到的可能性是相等的，从保护区中任捕一只，
设事件A ＝{捕到带有记号的天鹅}， 则P (A )＝200
n
.
从保护区中捕出150只天鹅， 其中有20只带有记号， 由概率的定义可知P (A )≈20
150.
由
200n ≈20
150
，解得n ≈1 500， 所以该自然保护区中天鹅的数量约为1 500只.
10．随机抽取一个年份，对某市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：
(1)(2)该市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续两天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率.
[解析] (1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，用频率估计概率，4月份任选一天，该市在该天不下雨的概率约是2630＝13
15
.
(2)称相邻两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)，这样在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率约为1416＝78，用频率估计概率，运动会期间不下雨的概率约为7
8
.
B 组·素养提升
一、选择题
1．(2020·江西省上饶市统考)数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2 018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内
夹谷约为( B )
A ．222石
B ．224石
C ．230石
D ．232石
[解析] 以样本的频率230270＝19为概率，可算得谷约为2 018×1
9
≈224石.
2．(2020·郑州一中高三模拟)同时向上抛100个铜板，结果落地时100个铜板朝上的面都相同，你认为这100个铜板更可能是下面哪种情况( A )
A ．这100个铜板两面是一样的
B ．这100个铜板两面是不同的
C ．这100个铜板中有50个两面是一样的，另外50个两面是不相同的
D ．这100个铜板中有20个两面是一样的，另外80个两面不是相同的
[解析] 落地时100个铜板朝上的面都相同，根据极大似然法可知，这100个铜板两面是一样的可能性较大.
3．下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，
A ．游戏1
B ．游戏1和游戏3
C ．游戏2
D ．游戏3
[解析] 游戏1中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白).所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2).所以甲胜的可能性为1
3
，游戏是不公平的.故选D ． 4．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理( B )
A ．甲公司
B ．乙公司
C ．甲、乙公司均可
D ．以上都对
[解析] 由题意得肇事车是甲公司的概率为
1003 000＋100＝1
31
，是乙公司的概率为
3 0003 000＋100＝30
31
，可以认定肇事车为乙公司的车辆较为合理.故选B ．
二、填空题
5．容量为200的样本的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为 __64__，估计数据落在[2,10)内的概率约为__0.4__.
[解析] 数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率知，所求概率约为0.4．
6．某盒子中有四个小球，分别写有“中”“美”“建”“交”四个字(2019年是中美建交40周年)，从中任取一个小球，有放回抽取，直到取到“建”“交”二字就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中”“美”“建”“交”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
323 231 320 032 132 031 123 330 110 321 120 122 321 221 230 132 322 130 由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为__29
__.
[解析] 经随机模拟产生的18组随机数中恰好第三次就停止的有032,132,123,132，共4组随机数.所以恰好第三次就停止的概率为418＝2
9
.
三、解答题
7．某篮球爱好者做投篮练习，假设其每次投篮命中的概率是60%，若该篮球爱好者连续投篮4次，求至少投中3次的概率.用随机模拟的方法估计上述概率.
[解析] 利用计算机或计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，这样可以体现投中的概率是60%，因为投篮4次，所以每4个随机数作为1组.例如5727,7895,0123，…，4560,4581,4698，共100组这样的随机数，若所有数组中没有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一个数的数组的个数为 n ，则至少投中3次的概率近似值为n 100
.
8．某险种的基本保费为a (单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
(1)记A 的估计值. (2)记B 为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求P (B )的估计值.
(3)求续保人本年度平均保费的估计值.
[解析] (1)事件A 发生当且仅当一年内出险次数小于2．
由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为60＋50
200＝0.55，故P (A )的估计值为0.55．
(2)事件B 发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4．
由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为30＋30
200＝0.3，
故P (B )的估计值为0.3． (3)由所给数据得
调查的0.85a ×0.30＋a ×0.25＋1.25a ×0.15＋1.5a ×0.15＋1.75a ×0.10＋2a ×0.05＝1.192 5a . 因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a .。