深圳深圳市育才教育集团育才中学九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案

深圳深圳市育才教育集团育才中学九年级上册压轴题数学模拟试卷及答案
一、压轴题
1．如图，Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝15，BC ＝9，点P ，Q 分别在BC ，AC 上，CP ＝3x ，CQ ＝4x （0＜x ＜3）．把△PCQ 绕点P 旋转，得到△PDE ，点D 落在线段PQ 上． （1）求证：PQ ∥AB ；
（2）若点D 在∠BAC 的平分线上，求CP 的长；
（3）若△PDE 与△ABC 重叠部分图形的周长为T ，且12≤T ≤16，求x 的取值范围．
2．定义：对于二次函数2y ax bx c =++(0)a ≠，我们称函数
221()1111()222ax bx c x m y ax bx c x m ⎧++-≥⎪=⎨---+<⎪⎩为它的m 分函数（其中m 为常数）．例如：2
y x 的m 分函数为221()11()2
x x m y x x m ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩．设二次函数244y x mx m =-+的m 分函数的图象
为G ．
（1）直接写出图象G 对应的函数关系式．
（2）当1m =时，求图象G 在14x -≤≤范围内的最高点和最低点的坐标．
（3）当图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点时，求m 的取值范围．
（4）当0m >，图象G 到x 轴的距离为m 个单位的点有三个时，直接写出m 的取值范围．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线21322
y x bx =-++与x 轴正半轴交于点A ，且点A 的坐标为()3,0，过点A 作垂直于x 轴的直线l ．P 是该抛物线上的任意一点，其横坐标为m ，过点P 作PQ l ⊥于点Q ；M 是直线l 上的一点，其纵坐标为32m -+
，以PQ ，QM 为边作矩形PQMN ．
（1）求b 的值．
（2）当点Q 与点M 重合时，求m 的值．
（3）当矩形PQMN 是正方形，且抛物线的顶点在该正方形内部时，求m 的值．
（4）当抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小时，直接写出m 的取值范围．
4．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A ，B 两点，A 点坐标为(2,0)-，与y 轴交于点(0,4)C ，直线12y x m =-
+与抛物线交于B ，D 两点．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求m 的值和D 点坐标；
（3）点P 是直线BD 上方抛物线上的动点，过点P 作x 轴的垂线，垂足为H ，交直线BD 于点F ，过点D 作x 轴的平行线，交PH 于点N ，当N 是线段PF 的三等分点时，求P 点坐标；
（4）如图2，Q 是x 轴上一点，其坐标为4,05⎛⎫- ⎪⎝⎭
，动点M 从A 出发，沿x 轴正方向以每秒5个单位的速度运动，设M 的运动时间为t （0t >），连接AD ，过M 作MG AD ⊥于点G ，以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，点M 在运动过程中，线段A Q ''的位置也随之变化，请直接写出运动过程中线段A Q ''与抛物线有公共点时t 的取值范围．
5．四边形ABCF 中，AF ∥BC ，∠AFC =90°，△ABC 的外接圆⊙O 交CF 于E ，与AF 相切于点A ，过C 作CD ⊥AB 于D ，交BE 于G ．
（1）求证：AB =AC ；
（2）①证明：GE =EC ；
②若BC =8，OG =1，求EF 的长．
6．如图1，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，AD ＝AE ，连接DC ，点M ，P ，N 分别为DE ，DC ，BC 的中点．
（1）观察猜想：图1中，线段PM 与PN 的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：把△ADE 绕点A 逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN ，BD ，CE ，判断△PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把△ADE 绕点A 在平面内自由旋转，若AD ＝4，AB ＝10，请直接写出△PMN 面积的最大值．
7．如图①，在ABC 中，AB AC =，BAC α∠=，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，AD AE =，连接BE ，点M 、P 、N 分别为DE 、BE 、BC 的中点．
（1）观察猜想：图①中，线段PM 与PN 的数量关系是_____________，用含α的代数式表示MPN ∠的度数是________________________；
（2）探究证明：把ADE 绕点A 顺时针方向旋转到图②的位置，连接MN ，BD ，CE ，当120α=︒时，判断PMN 的形状，并说明理由；
（3）拓展延伸：把ADE 绕点A 在平面内任意旋转，若90α=︒，3AD =，7AB =，请直接写出线段MN 的最大值和最小值．
8．在锐角△ABC 中，AB=AC ，AD 为BC 边上的高，E 为AC 中点．
（1）如图1，过点C 作CF ⊥AB 于F 点，连接EF ．若∠BAD =20°，求∠AFE 的度数；
（2）若M 为线段BD 上的动点（点M 与点D 不重合），过点C 作CN ⊥AM 于N 点，射线EN ，AB 交于P 点．
①依题意将图2补全；
②小宇通过观察、实验，提出猜想：在点M 运动的过程中，始终有∠APE =2∠MAD ． 小宇把这个猜想与同学们进行讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：连接DE ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证∠PED =2∠MAD ．
想法2：设∠MAD =α，∠DAC =β，只需用α，β表示出∠PEC ，通过角度计算得∠APE =2α．
想法3：在NE 上取点Q ，使∠NAQ =2∠MAD ，要证∠APE =2∠MAD ，只需证
△NAQ ∽△APQ ．……
请你参考上面的想法，帮助小宇证明∠APE =2∠MAD ．（一种方法即可）
9．将抛物线2:(2)C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ．
（1）直接写出抛物线1C ，2C 的解析式；
（2）如图（1），点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上，OAB 是以OB 为斜边的等腰直角三角形，求点A 的坐标；
（3）如图（2），直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，M 为
线段EF 的中点；直线4y x k
=-与抛物线2C 交于G ，H 两点，N 为线段GH 的中点．求证：直线MN 经过一个定点．
10．在直角坐标平面内，O 为原点，点A 的坐标为(1
0)，，点C 的坐标为(0)4，，直线CM x ∥轴（如图所示）．点B 与点A 关于原点对称，直线y x b =+（b 为常数）经过点B ，且与直线CM 相交于点D ，联结OD ．
（1）求b 的值和点D 的坐标；
（2）设点P 在x 轴的正半轴上，若POD 是等腰三角形，求点P 的坐标；
11．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝8，点E ，F 分别在边BC ，AB 上，AF ＝BE ＝2，连结DE ，DF ，动点M 在EF 上从点E 向终点F 匀速运动，同时，动点N 在射线CD 上从点C 沿CD 方向匀速运动，当点M 运动到EF 的中点时，点N 恰好与点D 重合，点M 到达终点时，M ，N 同时停止运动．
（1）求EF 的长．
（2）设CN ＝x ，EM ＝y ，求y 关于x 的函数表达式，并写出自变量x 的取值范围． （3）连结MN ，当MN 与△DEF 的一边平行时，求CN 的长．
12．在平面直角坐标系中，抛物线2y ax bx c =++经过点A 、B 、C ，已知A （-1，0），B （3，0），C （0，-3）.
（1）求此抛物线的函数表达式；
（2）若P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴的平行线，交抛物线于点D ，当△BCD 面积最大时，求点P 的坐标；
（3）若M （m ，0）是x 轴上一个动点，请求出CM+12
MB 的最小值以及此时点M 的坐标.
13．如图，在直角ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，作ABC ∠的平分线交AC 于点D ，在AB 上取点O ，以点O 为圆心经过B 、D 两点画圆分别与AB 、BC 相交于点E 、F （异于点B ）．
（1）求证：AC 是O 的切线；
（2）若点E 恰好是AO 的中点，求BF 的长；
（3）若CF 的长为34
． ①求O 的半径长；
②点F 关于BD 轴对称后得到点F '，求BFF '∆与DEF '∆的面积之比．
14．如图，在平面直角坐标系中，以原点O 为中心的正方形ABCD 的边长为4m ，我们把AB y ∥轴时正方形ABCD 的位置作为起始位置，若将它绕点O 顺时针旋转任意角度α时，它能够与反比例函数(0)k y k x
=>的图象相交于点E ，F ，G ，H ，则曲线段EF ，HG 与线段EH ，GF 围成的封闭图形命名为“曲边四边形EFGH”．
（1）①如图1，当AB y ∥轴时，用含m ，k 的代数式表示点E 的坐标为________；此时存在曲边四边形EFGH ，则k 的取值范围是________；
②已知23k m =，把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转45º时，是否存在曲边四边形EFGH ？请在备用图中画出图形，并说明理由．当把图1中的正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转任意角度α时，直接写出使曲边四边EFGH 存在的k 的取值范围．
③若将图1中的正方形绕点O 顺时针旋转角度()0180a a ︒<<︒得到曲边四边形EFGH ，根据正方形和双曲线的对称性试探究四边形EFGH 是什么形状的四边形？曲边四边形EFGH 是怎样的对称图形？直接写出结果，不必证明；
（2）正方形ABCD 绕点O 顺时针旋转到如图2位置，已知点A 在反比例函数
(0)k y k x
=>的图象上，AB 与y 轴交于点M ，8AB =，1AM =，试问此时曲边四边EFGH 存在吗？请说明理由．
15．如图，在直角坐标系中，点C 在第一象限，CB x ⊥轴于B ，CA y ⊥轴于A ，3CB =，6CA =，有一反比例函数图象刚好过点C ．
（1）分别求出过点C 的反比例函数和过A ，B 两点的一次函数的函数表达式；
（2）直线l x ⊥轴，并从y 轴出发，以每秒1个单位长度的速度向x 轴正方向运动，交反比例函数图象于点D ，交AC 于点E ，交直线AB 于点F ，当直线l 运动到经过点B 时，停止运动．设运动时间为t （秒）．
①问：是否存在t 的值，使四边形DFBC 为平行四边形？若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由；
②若直线l 从y 轴出发的同时，有一动点Q 从点B 出发，沿射线BC 方向，以每秒3个单位长度的速度运动．是否存在t 的值，使以点D ，E ，Q ，C 为顶点的四边形为平行四边形；若存在，求出t 的值，并进一步探究此时的四边形是否为特殊的平行四边形；若不存在，说明理由．
16．如图，在平面直角坐标系中，抛物线()2
0y ax bx c a =++>与x 轴交于点()1,0A -和点()3,0B ，与y 轴交于点C ，且30OBC ∠=︒．点E 在第四象限且在抛物线上．
（1）如（图1），当四边形OCEB 面积最大时，在线段BC 上找一点M ，使得12EM BM +最小，并求出此时点E 的坐标及12
EM BM +的最小值； （2）如（图2），将AOC △沿x 轴向右平移2单位长度得到111AO C △，再将111AO C △绕点1A 逆时针旋转α度得到122AO C △，且使经过1A 、2C 的直线l 与直线BC 平行（其中0180α︒<<︒），直线l 与抛物线交于K 、H 两点，点N 在抛物线上．在线段KH 上是否存在点P ，使以点B 、C 、P 、N 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
17．在平面直角坐标系中，经过点()0,2A 且与33
y x =-
平行的直线，交x 轴于点B ，如图1所示．
（1）试求B 点坐标，并直接写出ABO ∠的度数；
（2）过()1,0M 的直线与AB 成45︒夹角，试求该直线与AB 交点的横坐标；
（3）如图2，现有点(,)C m n 在线段AB 上运动，点,(320)D m -+在x 轴上，N 为线段CD 的中点．
①试求点N 的纵坐标y 关于横坐标x 的函数关系式；
②直接写出N 点的运动轨迹长度为 ．
18．在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝1，记∠ABC ＝α，点D 为射线BC 上的动点，连接AD ，将射线DA 绕点D 顺时针旋转α角后得到射线DE ，过点A 作AD 的垂线，与射线DE 交于点P ，点B 关于点D 的对称点为Q ，连接PQ ．
（1）当△ABD 为等边三角形时，
①依题意补全图1；
②PQ 的长为 ；
（2）如图2，当α＝45°，且BD ＝43
时，求证：PD ＝PQ ； （3）设BC ＝t ，当PD ＝PQ 时，直接写出BD 的长．（用含t 的代数式表示）
19．新定义：在平面直角坐标系中，过一点分别作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成的长方形的周长与面积相等，则这个点叫做“和谐点”．例如，如图①，过点P 分别作x 轴、y 轴的垂线，与坐标轴围成长方形OAPB 的周长与面积相等，则点P 是“和谐点”．
（1）点M （1，2）_____“和谐点”（填“是”或“不是”）；若点P （a ，3）是第一象限内的一
个“和谐点”，3
x a y =⎧⎨=⎩是关于x ，y 的二元一次方程y x b =-+的解，求a ，b 的值． （2）如图②，点E 是线段PB 上一点，连接OE 并延长交AP 的延长线于点Q ，若点P （2，3），2OBE EPQ S S ∆∆-=，求点Q 的坐标；
（3）如图③，连接OP ，将线段OP 向右平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到线段11O P ．若M 是直线11O P 上的一动点，连接PM 、OM ，请画出图形并写出OMP ∠与1MPP ∠，1MOO ∠的数量关系．
20．如图，抛物线23y ax bx =++经过点A （1,0），B （4,0）与y 轴交于点C ．
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图①，在抛物线的对称轴上是否存在点P ，使得四边形PAOC 的周长最小？若存在，求出四边形PAOC 周长的最小值；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，点Q 是线段OB 上一动点，连接BC ，在线段BC 上是否存在这样的点M ，使△CQM 为等腰三角形且△BQM 为直角三角形？若存在，求M 的坐标；若不存在，请说明理由．
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一、压轴题
1．（1）证明见解析；（2）6；（3）1≤x ≤
136． 【解析】
【分析】
（1）先根据勾股定理求出AC 的长，再根据计算可知3PC x QC BC AC
==，结合定理两边成比例且夹角相等的三角形相似证明△PQC ∽△BAC ，再根据相似三角形的性质得出∠CPQ=∠B ，由此可得出PQ ∥AB ；
（2）连接AD ，根据PQ ∥AB 和点D 在∠BAC 的平分线上可证∠ADQ=∠DAQ ，由此可得AQ ＝DQ ，分别表示AQ 和DQ 由此可得方程12﹣4x ＝2x ，解出x ，即可求出CP ；· （3）先求出当点E 在AB 上时x 的值，再分990388x
x ，<<<两种情况进行分类讨论． 【详解】
（1）证明：∵在Rt △ABC 中，AB ＝15，BC ＝9，
∴AC 22AB BC -22159-＝12．
∵PC BC ＝39x ＝3x ，QC AC ＝412x ＝3x ，
∴PC
BC
＝
QC
AC
．
∵∠C＝∠C，
∴△PQC∽△BAC，
∴∠CPQ＝∠B，
∴PQ∥AB；
（2）解：连接AD，
∵PQ∥AB，
∴∠ADQ＝∠DAB．
∵点D在∠BAC的平分线上，
∴∠DAQ＝∠DAB，
∴∠ADQ＝∠DAQ，
∴AQ＝DQ．
∵PD＝PC＝3x，QC=4x
∴在Rt△CPQ中，根据勾股定理PQ=5x.∴DQ＝2x．
∵AQ＝12﹣4x，
∴12﹣4x＝2x，解得x＝2，
∴CP＝3x＝6．
（3）解：当点E在AB上时，
∵PQ∥AB，
∴∠DPE＝∠PGB．
∵∠CPQ＝∠DPE，∠CPQ＝∠B，
∴∠B＝∠PGB，
∴PB＝PG＝5x，
∴3x+5x＝9，解得x＝9
8
．
①当0＜x≤9
8
时，T＝PD+DE+PE＝3x+4x+5x＝12x，此时0＜T≤
27
2
；
②当9
8
＜x＜3时，设PE交AB于点G，DE交AB于F，作GH⊥PQ，垂足为H，
∴HG＝DF，FG＝DH，Rt△PHG∽Rt△PDE，
∴
GH ED ＝PG PE ＝PH
PD ． ∵PG ＝PB ＝9﹣3x ， ∴
GH 4x ＝935x x -＝PH
3x
， ∴GH ＝
45（9﹣3x ），PH ＝3
5
（9﹣3x ）， ∴FG ＝DH ＝3x ﹣
3
5
（9﹣3x ）， ∴T ＝PG+PD+DF+FG ＝（9﹣3x ）+3x+45（9﹣3x ）+[3x ﹣3
5
（9﹣3x ）] ＝
125x+54
5
， 此时，
27
2
＜T ＜18． ∴当0＜x ＜3时，T 随x 的增大而增大， ∴T ＝12时，即12x ＝12，解得x ＝1； T ＝16时，即
125x+545
＝16，解得x ＝136． ∵12≤T ≤16， ∴x 的取值范围是1≤x ≤13
6
． 【点睛】
本题考查几何变换——旋转综合题，勾股定理，相似三角形的性质和判定，平行线的性质和判定.熟练掌握定理并能灵活运用是解决此题的关键，（3）中需注意要分类讨论.
2．（1）22441()1221()2x mx m x m y x mx m x m ⎧-+-≥⎪
=⎨-+-+<⎪⎩（2）图象G 在14x -≤≤范围内的最高点和
最低点的坐标分别为(4,3)，71,2⎛⎫-- ⎪⎝
⎭（3）当1
3m <或12m =或1m 时，图象G 在
x m ≥的部分与x 轴只有一个交点（4
m <<
，14m <<．
【解析】 【分析】
（1）根据分函数的定义直角写成关系式即可；
（2）将m=1代入（1）所得的分函数可得2243(1)121(1)2
x x x y x x x ⎧-+≥⎪
=⎨-+-<⎪⎩，然后分11
x -≤<和14x ≤≤两种情况分别求出最高点和最低点的坐标，最后比较最大值和最小值即可解
答；
（3）由于图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点时，则可令对应二元一次方程的根的判别式等于0，即可确定m 的取值；同时发现无论m 取何实数、该函数的图象与x 轴总有交点，再令x=m 代入原函数解析式，求出m 的值，据此求出m 的取值范围； （4）先令2441x mx m m -+-=或-m①，利用根的判别式小于零确定求出m 的取值范围，然后再令x=m 代入2441x mx m m -+-=或-m②，然后再令判别式小于零求出m 的取值范围，令x=m 代入2
12212
x mx m m -
+-+=或-m③，令判别式小于零求出m 的范围，然后取①②③两两的共同部分即为m 的取值范围． 【详解】
（1）图象G 对应的函数关系式为22441()1221()2x mx m x m y x mx m x m ⎧-+-≥⎪
=⎨-+-+<⎪⎩
（2）当1m =时，图象G 对应的函数关系式为2243(1)121(1)2
x x x y x x x ⎧-+≥⎪
=⎨-+-<⎪⎩．
当11x -≤<时，将2
1212y x x =-
+-配方，得21(2)12
y x =--+． 所以函数值y 随自变量x 的增大而增大，此时函数有最小值，无最大值． 所以当1x =-时，函数值y 取得最小值，最小值为7
2
y =-． 所以最低点的坐标为71,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭
． 当14x ≤≤时，将2
43y x
x =-+配方，得2(2)1y x =--．
所以当2x =时，函数值y 取得最小值，最小值为1y =- 所以当4x =时，函数值y 取得最大值，最大值为3y = 所以最低点的坐标为(2,1)-，最高点的坐标为(4,3)
所以，图象G 在14x -≤≤范围内的最高点和最低点的坐标分别为(4,3)，71,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭
． （3）当x m ≥时，令0y =，则24410x mx m -+-=
2(4)4(41)m m ∆=-- 24(21)m =-
所以无论m 取何实数，该函数的图象与x 轴总有交点． 所以当1
2m =
时，图象G 在12
x ≥的部分与x 轴只有一个交点． 当x m =时，222441341y m m m m m =-+-=-+-．
令0y =，则23410m m -+-=． 解得11
3
m =
，21m =． 所以当1
3
m <或1m 时，图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点．
综上所述，当1
3m <或12
m =或1m 时，图象G 在x m ≥的部分与x 轴只有一个交点．
（4）当2441x mx m m -+-=即24310x mx m -+-=， △=()()2
2443116124m m m m --=-+＞0，
方∵212416452<0-⨯⨯=-， ∴m 不存在；
当2441x mx m m -+-=-即24510x mx m -+-=， △=()()2
2445116204m m m m --=-+＜0，解得
1
4
＜m ＜1；① 将x=m 代入2441>x mx m m -+-得-3m 2+3m-1＞0，因△=()()2
34133<0-⨯--=-则m 不存在；
将x=-m 代入2441>x mx m m -+-得-3m 2+5m-1＞0， 解得m 或m ；
②
将x=m 代入212212x mx m m -
+-+=得 221023
<m m -+，解得m <或
m <
③ 将x=m 代入212212x mx m m -+-+=-得 21=023m m -+，因△=2
3145<02-⨯=-故
m 不存在；
在①②③m <14m <<，即为图象G 到x 轴的距离为m 个单位的点有三个时的m 的取值范围． 【点睛】
本题属于二次函数综合题，考查了新定义函数的定义、二次函数最值和二次函数图像，正确运用二次函数图像的性质和分类讨论思想是解答本题的关键．
3．（1）1b =；（2）120,4m m ；（3）1m =；（4）03m <<或4m >．
【解析】 【分析】
（1）将A 点坐标代入函数解析式即可求得b 的值；
（2）分别表示出P 、Q 、M 的坐标，根据Q 、M 的横坐标相同，它们重合时纵坐标也相
同，列出方程求解即可；
（3）分别表示出PQ 和MQ 的长度，根据矩形PQMN 是正方形时PQ MQ =，即可求得m 的值，再根据顶点在正方形内部，排除不符合条件的m 的值；
（4）分1m ，13m <<，3m =，3m >四种情况讨论，结合图形分析即可． 【详解】
解：（1）将点()3,0A 代入21322
y x bx =-
++ 得2
1
303322
b =-⨯++
， 解得b=1,；
（2）由（1）可得函数的解析式为21322
y x x =-
++， ∴213,22P m m m ⎛
⎫-++ ⎪⎝
⎭,
∵PQ l ⊥于点Q ， ∴233,122m m Q ⎛⎫ ⎪⎝-
+⎭
+, ∵M 是直线l 上的一点，其纵坐标为3
2
m -+， ∴3(3,)2
m M -+， 若点Q 与点M 重合，则
2133222
m m m -++=-+， 解得1
20,4m m ；
（3）由（2）可得|3|PQ
m ，
2
23131
)22
22
|(()||2|MQ m m m
m m
，
当矩形PQMN 是正方形时，PQ MQ = 即2
12
|2||3|m m m ， 即22123m m m 或2
21
23m
m m ，
解22123m m m 得1271,71m m ， 解
2212
3m
m m 得3
2
3
3,3
3m m ，
又2131
(1)2222
y x x x =-
++=--+， ∴抛物线的顶点为(1，2)， ∵抛物线的顶点在该正方形内部，
∴P 点在抛物线对称轴左侧，即1m <，且M 点的纵坐标大于抛物线顶点的纵坐标，即
322
m
，
解得1
2
m <-
，故m 的值为71；
（4）①如下图
当1m 时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小， 则M 点的纵坐标应该小于P 点纵坐标，且P 点应该在x 轴上侧， 即2313
222m m m 且213022
m m -++>， 解2313
2
2
2
m m m
得04m <<， 解213
022m m -
++>得13m -<<， ∴01m <≤，
②如下图
当13m <<时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小，
则M 点的纵坐标应该小于P 点纵坐标， 即2313
22
2
m
m m
，解得04m <<， ∴13m <<；
③当3m =时，P 点和M 点都在直线x=3上不构成矩形，不符合题意； ④如下图
当3m >时，若抛物线在矩形PQMN 内的部分所对应的函数值y 随x 的增大而减小， 则M 点的纵坐标应该大于P 点纵坐标， 即2313
22
2
m
m m
，解得0m <或4m >， 故4m >，
综上所述03m <<或4m >． 【点睛】
本题考查二次函数综合，正方形的性质定理，求二次函数解析式．能分别表示出M 、P 、Q 的坐标并结合图形分析是解决此题的关键，注意分类讨论．
4．（1）2
1y=x +x+42﹣；（2）m=2，D(﹣1，
52)；（3）P （52，27
8 ）或P(1，92
)； （4）0＜t≤261
200
． 【解析】 【分析】
(1)根据A ，C 两点坐标，代入抛物线解析式，利用待定系数法即可求解． (2)通过(1)中的二次函数解析式求出B 点坐标，代入一次函数1
2
y x m =-+,即可求出m 的值，联立二次函数与一次函数可求出D 点坐标．
(3)设出P 点坐标，通过P 点坐标表示出N ，F 坐标，再分类讨论PN=2NF ，NF=2PN ，即可求出P 点(4)由A ，D 两点坐标求出AD 的函数关系式，因为以MG 所在直线为对称轴，线
段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''，所以QQ '∥AD ，即可求出QQ '的函数关系式，设直线QQ '与抛物线交于第一象限P 点，所以当Q '与P 重合时，t 有最大值，利用中点坐标公式求出PQ 中点H 点坐标,进而求出MH 的函数关系式，令y=0求出函数与x 轴交点坐标，从而可求出t 的值,求出t 的取值范围． 【详解】
解：(1)∵A (2,0)-，(0,4)C 把A,C 代入抛物线2
12
y x bx c =-
++， 得：1
42b+c=02
c=4
⎧⨯⎪
⎨⎪⎩﹣－ 解得b=1
c=4⎧⎨⎩
∴2
1y=x +x+42
﹣．
（2）令y=0即
21x +x+4=02
﹣， 解得1x =2﹣
，2x =4 ∴B （4,0） 把B （4,0）代入1
2
y x m =-+ 得1042
m =-⨯+ m=2
1
22
y x =-
+， ∴21y=x +x+42
122y x ⎧
⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩
﹣ 得11x =15y =2⎧⎪⎨⎪⎩﹣ 或22x =4y =0⎧⎨
⎩ ∴B(4,0),D(﹣1，
5
2) ∴,m=2，D(﹣1，
52)． （3）设P （a ，
21a +a+42
﹣），则F （a ，1
a 22
-+）， ∵DN ⊥PH ，
∴N 点纵坐标等于D 点的纵坐标
∴N(a ，52
) FN=
52－（1a 22-+）=11a 22+，PN=
21a +a+42﹣－52=213
a +a+22
﹣， ∵N 是线段PF 的三等分点， ∴①当FN=2PN 时，
11a 22+=2（213
a +a+22
﹣）， 解得：a=5
2
或a=﹣1（舍去）， ∴P （
52，
27
8
）． ②当2FN=PN 时， 2（
11a 22+）=（213
a +a+22
﹣）， 得a=1或a=﹣1（舍去）， ∴P(1,
9
2
)， 综上P 点坐标为P （
52，
27
8 ）或P(1,92
)， (4)由（2）问得D(﹣1，5
2
)，又A (2,0)-， 设AD ：y=kx+b ，
5k+b=22k 0b ⎧
⎪
⎨
⎪+=⎩
﹣﹣ ， ∴5k=2b=5
⎧⎪⎨⎪⎩ ， ∴AD ：y=
5
2
x+5， 又GM ⊥AD ，
∴可设GM ： y=
25
﹣x+p ， 以MG 所在直线为对称轴，线段AQ 经轴对称变换后的图形为A Q ''， ∴QQ '∥AD ， 可设QQ '：y=
52x+q ，又Q 4,05⎛⎫
- ⎪⎝⎭
，代入QQ '，
得：
52
×45⎛⎫
-
⎪⎝⎭
+q=0， q=2， ∴QQ '：y=
5
2
x+2， 设直线QQ '与抛物线交于第一象限N 点,,所以当Q '与N 点重合时,t 有最大值，
∴25+22
1y=x +x+42y x ⎧=⎪⎪⎨
⎪⎪⎩
﹣ ， 解得：11x =19y =2⎧⎪
⎨⎪⎩
或22x =4y =8⎧⎨⎩﹣﹣ ， ∴N(1,
92)又Q 4,05⎛⎫
- ⎪⎝⎭
， 设H 为N,Q 中点， 则H （
110，9
4
）， 又∵H 在直线GM 上，
∴把H 代入GM y=
25
﹣x+p ， 得：921
=+p 4510
⨯﹣， P=
229100 ， ∴y=
25
﹣x+229
100
， 令y=0得：0=
25
﹣x+229
100
， ∴x=
229
40
， 即QM=
22940+45=261
40
， ∵M 的速度为5， ∴t=
26140÷5=261
200
， ∴0＜t≤
261
200
．
【点睛】
本题考查的是二次函数与一次函数的综合，属于压轴题，涉及到的知识点有，一次函数图像与性质，二次函数图像与性质，二次函数解析式的求法，二次函数与一次函数结合的坐标求法，翻折问题等，解题关键在于正确理解题意，仔细分析题目，通过相关条件得出等量关系求出结论．
5．（1）见详解；（2）①见详解；②EF=2．
【解析】
【分析】
（1）连接OC ，则OA=OB=OC ，先证明OA ∥FC ，则有∠ACE=∠CAO ，由∠ABE=∠ACE ，然后得到∠AOB=∠AOC ，即可得到结论成立；
（2）①先证明BE 是直径，则先证明∠ACD=∠EBC ，由∠ABC=∠ACB ，则
∠BCD=∠ABG=∠ACE ，则得到∠EGC=∠ECG ，即可得到GE=EC ；
②由①可知，GE=EC=r+1，在直角三角形BCE 中，由勾股定理得222(2)8(1)r r =++，得到半径，然后得到EC 的长度；作OM ⊥CE 于点M ，则EM=3，即可求出EF 的长度．
【详解】
解：（1）连接OC ，则OA=OB=OC ，
∴∠ABO=∠BAO ，∠ACO=∠CAO ，
∵AF 是切线，
∴∠FAO=90°=∠AFC ，
∴OA ∥FC ，
∴∠CAO=∠ACE=∠ABO ，
∴∠ABO=∠BAO=∠ACO=∠CAO ，
∴∠AOB=∠AOC ，
∴AB=AC ；
（2）①∵AF ∥BC ，∠AFC=90°，
∴∠BCE=90°，
∴BE 是直径，
∵CD ⊥AB ，
∴∠DAC+∠ACD=∠BEC+∠EBC ，
∵∠DAC=∠BEC ，
∴∠ACD=∠EBC ，
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠ACB ，
∴∠ABO+∠EBC=∠ACD+∠BCD ，
∴∠ABO=∠BCD=∠ACE ，
∴∠EBC+∠BCD=∠ACD+∠ACE ，
∴∠EGC=∠ECG ，
∴EG=EC ；
②作OM ⊥CE 于点M ，如图：
则四边形AOMF 是矩形，
∴AO=FM ，
∵OG=1，
设GE=EC=r+1，
在Rt △BCE 中，由勾股定理得
222BE BC CE =+，
∴222(2)8(1)r r =++，
解得：=5r （负值已舍去），
∴AO=FM=5，EC=6，
∵OM ⊥EC ，OM 是半径，EC 是弦， ∴116322
EM EC ==⨯=， ∴532EF FM EM =-=-=．
【点睛】
本题考查了圆的综合问题，切线的性质定理，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，以及矩形的性质，同角的余角相等，解题的关键是熟练掌握所学的知识进行解题，注意正确作出
辅助线，运用数形结合的思想进行分析．
6．（1）PM ＝PN ，PM ⊥PN ；（2）△PMN 是等腰直角三角形．理由见解析；（3）S △PMN 最大＝492
． 【解析】
【分析】
（1）由已知易得BD CE =，利用三角形的中位线得出12PM CE =，12
PN BD =，即可得出数量关系，再利用三角形的中位线得出//PM CE 得出DPM DCA ∠=∠，最后用互余即可得出位置关系；
（2）先判断出ABD ACE ∆≅∆，得出BD CE =，同（1）的方法得出12PM BD =，12
PN BD =，即可得出PM PN =，同（1）的方法由MPN DCE DCB DBC ACB ABC ∠=∠+∠+∠=∠+∠，即可得出结论；
（3）方法1：先判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大，进而求出AN ，AM ，即可得出MN 最大AM AN =+，最后用面积公式即可得出结论．方法2：先判断出BD 最大时，PMN ∆的面积最大，而BD 最大是14AB AD +=，即可得出结论．
【详解】
解：（1）点P ，N 是BC ，CD 的中点，
//PN BD ∴，12
PN BD =， 点P ，M 是CD ，DE 的中点， //PM CE ∴，12PM CE =
， AB AC =，AD AE =，
BD CE ∴=，
PM PN ∴=，
//PN BD ，
DPN ADC ∴∠=∠，
//PM CE ，
DPM DCA ∴∠=∠，
90BAC ∠=︒，
90ADC ACD ∴∠+∠=︒，
90MPN DPM DPN DCA ADC ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒，
PM PN ∴⊥，
故答案为：PM PN =，PM PN ⊥；
（2）PMN ∆是等腰直角三角形．
由旋转知，BAD CAE ∠=∠，
AB AC =，AD AE =，
()ABD ACE SAS ∴∆≅∆，
ABD ACE ∴∠=∠，BD CE =， 利用三角形的中位线得，12PN BD =，12
PM CE =， PM PN ∴=，
PMN ∴∆是等腰三角形，
同（1）的方法得，//PM CE ，
DPM DCE ∴∠=∠，
同（1）的方法得，//PN BD ，
PNC DBC ∴∠=∠，
DPN DCB PNC DCB DBC ∠=∠+∠=∠+∠，
MPN DPM DPN DCE DCB DBC ∴∠=∠+∠=∠+∠+∠
BCE DBC ACB ACE DBC =∠+∠=∠+∠+∠
ACB ABD DBC ACB ABC =∠+∠+∠=∠+∠，
90BAC ∠=︒，
90ACB ABC ∴∠+∠=︒，
90MPN ∴∠=︒，
PMN ∴∆是等腰直角三角形；
（3）方法1：如图2，同（2）的方法得，PMN ∆是等腰直角三角形，
MN ∴最大时，PMN ∆的面积最大，
//DE BC ∴且DE 在顶点A 上面，
MN ∴最大AM AN =+，
连接AM ，AN ，
在ADE ∆中，4AD AE ==，90DAE ∠=︒，
22AM ∴=，
在Rt ABC ∆中，10AB AC ==，52AN =
225272MN ∴=最大
222111149(72)22242
PMN S PM MN ∆∴==⨯=⨯=最大．
方法2：由（2）知，PMN ∆是等腰直角三角形，12
PM PN BD ==， PM ∴最大时，PMN ∆面积最大，
∴点D 在BA 的延长线上，
14BD AB AD ∴=+=，
7PM ∴=，
2211497222
PMN S PM ∆∴==⨯=最大． 【点睛】
此题属于几何变换综合题，主要考查了三角形的中位线定理，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判断和性质，直角三角形的性质的综合运用；解（1）的关键是判断出12PM CE =，12
PN BD =，解（2）的关键是判断出ABD ACE ∆≅∆，解（3）的关键是判断出MN 最大时，PMN ∆的面积最大．
7．（1）MP = NP ，180°－α；（2）PMN 是等边三角形，证明见解析；（3）MN 的最
大值为【解析】
【分析】
（1）由三角形的中位线的判定与性质不难得出，MP =12BD ，MP //BD 以及NP =12CE ，NP //CE ，因此MP = NP ，将MPN ∠利用平行线的性质转化为EBD ∠与PEA ∠的和求解即可．
（2）有（1）同理可证MP = NP ，MP //BD ，NP //CE ，在根据平行线的性质以及三角形外角的性质将MPN ∠转化为ABD ∠，ABE ∠，PBN ∠，ECB ∠这四个角的和，求出MPN ∠的度数，判断PMN 的形状即可．
（3）由题意不难得出M 的运动轨迹是以点A MN 最大与最小时M 的位置，分别求出最大最小值即可．
【详解】
（1）AB =AC ，AD =DE ，
∴BD =EC ，
M 、P 分别是DE 、BE 的中点， ∴MP =12
BD ，MP //BD ， ∴EPM EBD ∠=∠， 同理可证：NP =
12CE ，NP //CE ， ∴MP = NP ，
∴NPE PEA ∠=∠，
∴MPN ∠=EPM ∠+NPE ∠=EBD ∠+PEA ∠=180°－α．
（2）由旋转可得：CAB EAD ∠=∠，AD =AE ，
∴CAE BAD ∠=，
在CAE 与BAD 中，
AB AC CAE BAD AE AD =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩
，
∴CAE ≌BAD ，
∴CE =BD ，
由（1）同理可证MP =12BD ，MP //BD ，NP =12
CE ，NP //CE ， ∴MP = NP ，
∴PMN 是等腰三角形，
EPM ∠=EBD ∠=ABD ∠+ABE ∠，
NPE ∠=PBN ∠+PNB ∠=PBN ∠+ECB ∠，
∴MPN ∠=EPM ∠+NPE ∠=ABD ∠+ABE ∠+PBN ∠+ECB ∠=180°－120°=60°， ∴PMN 是等边三角形．
（3）等腰直角ADE 中，AD =3，
∴DE
M 是DE 的中点，
∴AM
=2
， ∴M 的运动轨迹是以点A
为圆心，2
为半径的一个圆， 如图，连接NA 并延长分别交⊙A 于点M 1、M 2，
等腰直角ABC 中，AB =7，
∴BC
N 是BC 的中点，
∴AN
=2
，AN ⊥BC ， 当点M 旋转至M 1位置时，MN 最大，MN
当点M 旋转至M 2位置时，MN 最小，MN
=
【点睛】
本题较为综合，主要考查了平行线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的中位线以及点的运动轨迹，本题关键在于利用平行线的性质将角进行转化以及分析出点的运动轨迹为圆．
8．（1）证明见解析;（2）① 补图见解析;②证明见解析.
【解析】
【分析】
【详解】
（1）证明：∵AB=AC，AD为BC边上的高，∠BAD=20°，
∴∠BAC=2∠BAD=40°．
∵CF⊥AB，
∴∠AFC=90°．
∵E为AC中点，
∴EF=EA=1
2 AC．
∴∠AFE=∠BAC=40°．
（2）① 当点P在边AB上是，补全图形如图当点P在AB的延长线上是，补全图形如图
②Ⅰ、当点P在边AB上时，证明：想法1:如图3，
连接DE.
∵AB=AC，AD为BC边上的高，∴D为BC中点．
∵E为AC中点，
∴ED∥AB，
∴∠PED=∠APE.
∵∠ADC=90∘，E为AC中点，
∴
1
2 AE DE CE AC ===
同理可证
1
2 AE NE CE AC ===
∴AE=NE=CE=DE.
∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上，∴∠PED=2∠MAD.
∴∠APE=2∠MAD.
想法2:设∠MAD=α，∠DAC=β，
∵CN⊥AM，
∴∠ANC=90∘.
∵E为AC中点，
∴AE=NE=1
2 AC.
∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β.∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β.
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAC=2∠DAC=2β.
∴∠APE=∠PEC−∠BAC=2α.
∴∠APE=2∠MAD.
Ⅱ、当点P在AB的延长线上时证明：想法1:
连接DE．
∵AB=AC，AD为BC边上的高，∴D为BC中点．
∵E为AC中点，
∴ED∥AB，
∴∠1=∠APE．
∵∠ADC=90°，E为AC中点，
∴
1
2
AE DE CE AC
===．
同理可证
1
2
AE NE CE AC
===．
∴AE=NE=CE=DE．
∴A，N，D，C在以点E为圆心，AC为直径的圆上．∴∠1=2∠MAD．
∴∠APE=2∠MAD．
想法2:设∠MAD=α，∠DAC=β，
∵CN⊥AM，
∴∠ANC=90∘.
∵E为AC中点，
∴AE=NE=1
2 AC.
∴∠ANE=∠NAC=∠MAD+∠DAC=α+β.∴∠NEC=∠ANE+∠NAC=2α+2β.
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAC=2∠DAC=2β.
∴∠APE=∠PEC−∠BAC=2α.
∴∠APE=2∠MAD.
想法3：在NE 上取点Q ，使∠NAQ =2∠MAD ，
12∠∠∴=
,AB AC AD BC =⊥
BAD CAD ∴∠=∠
12BAD CAD ∴∠-∠=∠-∠
即∠3=∠4.
34NAQ NAQ ∴∠+∠=∠+∠
即PAQ EAN ∠=∠
CN AM ⊥
90ANC ︒∴∠=
∵E 为AC 的中点，
12
AE NE AC ∴== ,ANE EAN PAQ ANE ∴∠=∠∠=∠
AQP AQP ∠=∠
~PAQ ANQ ∴
2APE NAQ MAD ∴∠=∠=∠
9．（1）抛物线1C 的解析式为： y=x 2-4x-2；抛物线2C 的解析式为：y=x 2-6；（2）点A 的坐标为（5，3）或（4，-2）；（3）直线MN 经过定点（0，2）
【解析】
【分析】
（1）根据函数图象上下平移：函数值上加下减；左右平移：自变量左加右减写出函数解析式并化简即可；
（2）先判断出点A 、B 、O 、D 四点共圆，再根据同弧所对的圆周角相等得到
∠BDA=∠BOA=45°，从而证出DAC △是等腰直角三角形．设点A 的坐标为（x ，x 2-4x-2），把DC 和AC 用含x 的代数式表示出来，利用DC=AC 列方程求解即可，注意有两种情况；
（3）根据直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，联立两个解析式，得到关于x 的一元二次方程，根据根与系数的关系求出点M 的横坐标，进而求出纵坐
标，同理求出点N 的坐标，再用待定系数法求出直线MN 的解析式，从而判断直线MN 经过的定点即可．
【详解】
解：（1）∵抛物线2:(2)C y x =-向下平移6个单位长度得到抛物线1C ，再将抛物线1C 向左平移2个单位长度得到抛物线2C ，
∴抛物线1C 的解析式为：y=(x-2)2-6，即y=x 2-4x-2，
抛物线2C 的解析式为：y=(x-2+2)2-6，即y=x 2-6．
（2）如下图，过点A 作AC ⊥x 轴于点C ，连接AD ，
∵OAB 是等腰直角三角形，
∴∠BOA =45°，
又∵∠BDO=∠BAO=90°，
∴点A 、B 、O 、D 四点共圆，
∴∠BDA=∠BOA=45°，
∴∠ADC=90°-∠BDA=45°，
∴DAC △是等腰直角三角形，
∴DC=AC ．
∵点A 在抛物线1C 对称轴l 右侧上，点B 在对称轴l 上，
∴抛物线1C 的对称轴为x=2，
设点A 的坐标为（x ，x 2-4x-2），
∴DC=x-2，AC= x 2-4x-2，
∴x-2= x 2-4x-2，
解得：x=5或x=0（舍去），
∴点A 的坐标为（5，3）；
同理，当点B 、点A 在x 轴的下方时，
x-2= -(x 2-4x-2)，
x=4或x=-1（舍去），
∴点A 的坐标为（4，-2），
综上，点A 的坐标为（5，3）或（4，-2）．
（3）∵直线y kx =（0k ≠，k 为常数）与抛物线2C 交于E ，F 两点，
∴26y kx y x =⎧⎨=-⎩
， ∴x 2-kx-6=0，
设点E 的横坐标为x E ，点F 的横坐标为x F ，
∴x E +x F =k ，
∴中点M 的横坐标x M =2E F x x +=2
k ， 中点M 的纵坐标y M =kx=2
2
k ， ∴点M 的坐标为（2k ，2
2
k ）； 同理可得：点N 的坐标为（2k -，28k
）， 设直线MN 的解析式为y=ax+b （a ≠0），
将M （2k ，22
k ）、N （2k -，28k ）代入得： 22
2282k k a b a b k k ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩， 解得：242k a k b ⎧-=⎪⎨⎪=⎩
，
∴直线MN 的解析式为y= 24k k
-·x+2（0k ≠）， 不论k 取何值时（0k ≠），当x=0时，y=2，
∴直线MN 经过定点（0，2）．
【点睛】
本题考查二次函数综合应用，熟练掌握图象平移的规律、判断点A 、B 、O 、D 四点共圆的方法、用待定系数法求函数解析式的步骤是解题的关键．
10．（1）1b =，点D （3，4）；
（2）P 1（5，0），P 2（6，0），P 3（
256
，0）. 【解析】
【分析】。