安徽省宣城市郎溪县2020届高三下学期仿真模拟考试(最后一卷)理科数学试题

安徽省宣城市郎溪县2020届高三下学期仿真模拟考试（最后
一卷）理科数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合{}220A x x x =--≤，(){}ln 1B x y x ==-，则A B =（ ）．
A ．(]0,2
B ．()(),12,-∞-+∞
C ．[)1,1-
D ．()()1,00,2-⋃
2．若复数z 满足()1i 1z +=
，则复数z 的虚部是（ ） A ．i - B ．1-
C ．i
D ．1 3．设0.3222,0.3,log 0.3a b c ===，则,,a b c 的大小关系（ ）
A ．a b c <<
B ．b a c <<
C ．c b a <<
D ．c a b << 4．如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据我国古代数学家赵爽弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客．已知图中直角三角形两个直角边的长分别为2和3．若从图中任选一点，则该点恰在阴影区域的概率为（ ）
A ．23
B ．89
C ．1213
D ．2425
5．函数f （x ）＝xe ﹣|x|的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
6．若变量x ，y 满足约束条件1
{211
x y x y y +≥--≤≤，则3z x y =-的最小值为（ ）
A ．-7
B ．-1
C ．1
D ．2
7．己知a 、b 是非零向量且满足()3a b a -⊥，()4a b b -⊥，
则a 与b 的夹角是（ ） A ．56π B ．24π C ．3π D ．6
π 8．为了得到函数()sin 2cos2f x x x =+的图象，可以将函数(
)2g x x =的图象（ ）
A ．向右平移
12π个单位长度 B ．向右平移
8π个单位长度 C ．向左平移12π
个单位长度 D ．向左平移8π个单位长度 9．若执行如图所示的程序框图，输出S 的值为( )
A ．2log 23
B ．log 27
C ．3
D ．2
10．一块石材表示的几何体的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的体积等于（ ）
A ．43π
B ．323π
C ．36π
D ．2563
π 11．抛物线24y x =的焦点F ，准线是l ，点()4,4M 是抛物线上一点，则经过点F ，M 且与l 相切的圆的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．无数多个
12．已知函数()ln ,11,12
x x f x x x ≥⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()1F x f f x m =++⎡⎤⎣⎦有两个零点1x ，2x ，则12x x ⋅的取值范围是（ ）
A ．[)42ln 2,-+∞
B
．)+∞ C ．(],42ln 2-∞-
D
．(-∞
二、填空题
13．设1
02a xdx =⎰，则二项式621ax x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中的常数项为________. 14．某盒中装有10只乒乓球，其中6只新球，4只旧球，不放回地依次摸出2个球使用，在第一次摸出新球的条件下，第二次也取到新球的概率为_______．
15．在等比数列{}n a 中，若1234158a a a a +++=，2398
a a =-，则12341111a a a a +++=_____．
16．已知F 是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左焦点，过点F 倾斜角为30°的直线与C 的两条渐近线依次交于,A B 两点，若2FB FA =，则C 的离心率为__________．
三、解答题
17．在ABC ∆ 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .已知cos 2cos 2cos A C c a B b
--= （1） 求
sin sin C A
的值 （2） 若1cos ,24B b == ，求ABC ∆的面积. 18．已知12,F F 分别为椭圆22
22:1(0)x y E a b a b
+=>>的左、右焦点，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆E 上，且124PF PF +=．
（1）求椭圆E 的方程；
（2）过1F 的直线12,l l 分别交椭圆E 于,A C 和,B D ，且12l l ⊥，问是否存在实数λ，使得11,,||||
AC BD λ成等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 19．如图，在四棱锥S ABCD -中，SD ⊥底面ABCD ，//AB DC ，AD DC ⊥，1AB AD ==，2DC SD ==，E 为棱SB 上任意一点．
（1）求证：BC DE ⊥；
（2）当平面EDC ⊥平面SBC 时，求二面角A DE C --的大小．
20．某贫困户为了实现2020国家全面脱贫计划，在当地政府的精准扶贫帮扶下种植蜜桔增加收入，为了给该户制定蜜桔销售计划，对蜜桔产量进行了预估，从蜜桔中采摘了
100个进行单个称重，其质量（单位：克）分布在区间[)0,10，[)10,20，[
)20,30，[) 30,40，[]40,50上，并将数据进行汇总整理，得到蜜桔质量的频率分布直方图如图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）．
（1）视频率为概率，已知该户的蜜桔树上大约有10万个蜜桔等待出售，某水果批发商提出了两种收购方案：
方案一：所有蜜桔均以2元/千克收购；
方案二：由于质量适中的蜜桔深受消费者青睐，该批发商建议低于20克的蜜桔以1元/千克收购，不低于40克的蜜桔以2元/千克收购，其他蜜桔以3元/千克收购．
请你通过计算判断哪种收购方案能使该户收益最大．
（2）现采用不放回抽取的方法从该户的蜜桔中随机逐个抽取，直到抽到的蜜桔的质量在区间[)10,20内或抽取了1000个为止，设抽取的蜜桔个数为X ．求随机变量X 的数学期望（结果精确到个位）．
21．已知函数()()ln x
f x xe a x x =-+，若对任意0x >，恒有不等式()1f x ≥成立． （1）求实数a 的值；
（2）证明：2 2ln 2sin x x x x +>+．
22．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 过点()1,2P ，且倾斜角为4
π．若以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=． （1）写出直线l 参数方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，求PA PB +．
23．设函数f (x )＝|x －a |.
(1)当a ＝2时，解不等式f (x )≥4－|x －1|；
(2)若f (x )≤1的解集为[0,2]，
112a m n
+=(m >0，n >0)，求证：m ＋2n ≥4.
参考答案
1．C
【分析】
化简集合A ，B ，利用交集运算求解即可.
【详解】
{}2|20{|12}A x x x x x =--≤=-≤≤
(){}{}ln 11B x y x x x =-=<=
所以{|11}A B x x ⋂=-≤<
故选：C
【点睛】
本题主要考查了求集合的交集，属于基础题.
2．B
【分析】
根据复数模及代数形式的运算法则，求出复数z ，即可得出结论.
【详解】
由于12+，则22(1)11(1)(1)
i z i i i i -===-++-， 所以复数z 的的虚部是-1，
故选：B
【点睛】
本题考查了复数的代数形式的运算及复数的概念，属于基础题.
3．C
【分析】
判断,,a b c 与0,1大小关系，即可得到答案.
【详解】
因为0.30221a =>=，2000.30.31b <=<=，22log 0.3log 10c =<=，
所以c b a <<.
故选：C.
【点睛】
本题主要考查对数函数、指数函数的性质，关键是与中间量0,1进行比较，然后得三个数的大小关系，属于基础题.
4．C
【分析】
直接根据几何概型计算得到答案.
【详解】
2
1
13
S==，
2
1
23412
2
S=⨯⨯⨯=，故2
1
12
13
S
p
S
==.
故选：C.
【点睛】
本题考查了几何概型，意在考查学生的计算能力.
5．C
【解析】
因为函数()
f x的定义域为R，()
()
f x f x
-=-，所以函数()
f x为奇函数，排除A，B；当
(0,)
x∈+∞时，()x
f x xe-
=，因为0
x
e>
－，所以()0
f x>，即()
f x在(0,)
x∈+∞时，其图象恒在x轴上方，排除D，故选C.
点睛：本题考查函数的图象的判断与应用，考查函数的零点以及特殊值的计算，是中档题；已知函数解析式，选择其正确图象是高考中的高频考点，主要采用的是排除法，最常见的排出方式有根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性等性质，同时还有在特殊点处所对应的函数值或其符号，其中包括,,0,0
x x x x
+-
→+∞→-∞→→等.
6．A
【解析】
试题分析：如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线l：30
x y
-=，平移l，从
而可知当，时，min3(2)17
z=⨯--=-的最小值是，故选A.
考点：线性规划.
【名师点睛】本题主要考查了利用线性规划求线性目标函数的最值，属于容易题，在画可行域时，首先必须找准可行域的范围，其次要注意目标函数对应的直线斜率的大小，从而确定目标函数取到最优解时所经过的点，切忌随手一画导致错解.
7．D
【分析】
由条件得到23a a b =⋅和23b a =即可.
【详解】
因为()3a b a -⊥，()4a b b -⊥
所以()30a b a -⋅=，()
40a b b -⋅=
即23a a b =⋅，24a b b ⋅=，所以2212b a =，所以23b a = 所以23cos ,2
23a b
a b a b a a ⋅===⋅ 因为[],0,π∈a b ，所以a 与b 的夹角是
6π 故选：D
【点睛】
本题考查的是平面向量的数量积的应用，属于基础题.
8．B
【分析】
利用诱导公式把函数()2g x x =转化为22y x π⎛⎫=+ ⎪⎝
⎭，再利用辅助角公式把函
数()sin 2cos2f x x x =+转化为24y x π⎛⎫=
+ ⎪⎝⎭，利用函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换公式即可求解.
【详解】
由题意知，()sin 2cos2f x x x =+2248x x ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦，
由诱导公式可知，()2g x x =24x π⎡⎤⎛⎫=
+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，
所以函数()2g x x =向右平移8π个单位长度可得284y x ππ⎡⎤⎛⎫=-+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦，
即函数()2g x x =的图象向右平移
8
π个单位长度可得到函数()sin 2cos2f x x x =+的图象.
故选：B
【点睛】 本题考查函数()sin y A ωx φ=+的图象平移变换和三角函数诱导公式和辅助角公式的综合应用；属于中档题、常考题型.
9．C
【解析】
由题意，可得程序的功能是求S ＝log 23×
log 34×log 45×log 56×log 67×log 78的值，原式＝×××××＝＝3.故选C.
10．B
【分析】
由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形，当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大，然后求出半径即可.
【详解】
由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，底面为直角三角形， 如图所示，其中6,8,90AC BC ACB ==∠=︒，则10AB =
当打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半径最大 即6810
22
r +-=
= 所以能得到的最大球的体积等于343233
r ππ= 故选：B 【点睛】
本题考查的是几何体的三视图和球的体积公式，考查了学生的空间想象能力，属于中档题. 11．B 【分析】
根据抛物线的方程求得焦点坐标和准线的方程，设出所求圆的圆心，表示出半径，把M ，F 点的坐标代入整理，即可求得圆的方程. 【详解】
抛物线2
4y x =的焦参数2p =，
∴()1,0F ，准线:1l x =-，即10x +=，
设经过点(4,4), (1,0)M F ，且与直线l 相切的圆的圆心为(,)Q a b ， 则半径为Q 到l 的距离为即1a +，
∴圆的方程为222()()(1)x a y b a -+-=+
将M ､F 的坐标代入可得
222(4)(4)(1)a b a -+-=+——① 222(1)(1)a b a -+=+——②
由①-②可得：2222
(4)(4)(1)0a b a b -+--+⎡⎤-=⎣⎦
整理可得：68310a b +-=——③ 将②整理可得：2221212a a b a a -++=++ 即：24b a =——④ 由③④得：2316620b b +-=
解得1288
,33
b b =
=
将12,b b
分别代入④得：12157157,1818
a a -+==
故圆的个数为2个. 故选：B. 【点睛】
本题解题关键是掌握抛物线基础知识和圆的标准方程的求法，考查了分析能力和计算能力，属于中档题. 12．D 【分析】
求出()F x ，令()0F x =，解得1
1e m
e x --=，
242e m
x -=-，得()1
122e
2t x x t -⋅=-，
设e m t -=，根据ln(2)02x
m -+=得32
t >，设()()1
2e 2t g t t -=-，利用导数可求得结果。

【详解】
因为函数()ln ,1
1,12x x f x x
x ≥⎧⎪
=⎨-<⎪⎩，所以()()ln ln 1,1ln 2,12x m x F x x m x ⎧++≥⎪=⎨⎛⎫-+< ⎪⎪⎝⎭⎩
， 当1≥x 时，由()0F x =得ln(ln 1)0x m ++=，得ln 1m x e -+=，得1m
e x e --=，
当1x <时，由()0F x =得ln(2)02x
m -+=，得22
m x
e --=，得42m e --， 所以1
1e m
e
x --=，242e
m
x -=-，
其中3ln 2ln 22x m ⎛
⎫=--<- ⎪
⎝
⎭，∴2ln 3m <．
设e m t -=，则32
t >，所以()1
122e 2t x x t -⋅=-， 设()()1
2e 2t g t t -=-，则()()1112(2)22e 1t t t g t e t e t ---'=--=-，
因为32
t >
，所以()()1
2e 10t g t t -'=-<， 即函数()()1
2e
2t g t t -=-在区间3,2⎛⎫
+∞
⎪⎝⎭
上是减函数，
所以()3
12332(2)22g t g e -⎛⎫
<=-= ⎪⎝⎭
，
故选：D ． 【点睛】
本题考查了分段函数的零点，考查了对数的运算性质，考查了利用导数研究函数的单调性，属于中档题. 13．15 【分析】
根据微积分基本定理,先求得a 的值,再代入式子.由二项式定理展开式,即可求得取常数项时
r 的值,进而求得常数项.
【详解】
根据微积分基本定理可知
1
2
1
21a xdx x ===⎰
则二项式化为6
6
2211ax x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭ 根据二项式定理展开式通项为1C r n r r
r n T a b -+=
则其展开式的通项为()
()62
12316
611r
r r r r r
r T C x C x
x --+⎛
⎫=-=- ⎪⎝⎭
令1230r -= 解得4r =
则常数项为()4
46111515C -=⨯=
故答案为:15
本题考查了微积分基本定理的简单应用,二项式定理展开式中常数项的求法,属于中档题. 14．
59
【分析】
直接利用条件概率公式计算得到答案. 【详解】
记第一次摸出新球为事件A ，第二次取到新球为事件B ，
则()()()262
10161
10
155
456910C P AB C P B A C P A C =
===. 故答案为：5
9
. 【点睛】
本题考查了条件概率的计算，意在考查学生的计算能力和应用能力. 15．53
-
【分析】
根据等比数列下标和性质计算可得； 【详解】 解：
23
1412341423
1111a a a a a a a a a a a a +++++=+⋅⋅． ∵在等比数列{}n a 中，1423a a a a ⋅=⋅， ∴原式1234231595
883
a a a a a a +++⎛⎫=
=÷-=- ⎪⋅⎝⎭．
故答案为：53
- 【点睛】
本题考查等比数列的性质的应用，属于基础题. 16．2
分析：
直线方程为)y x c +，
与渐近线方程联立可求得B
c y a b
=
，C c y a b
=
，由2FB FA =可得2B C y y =，从而可得结果. 详解：
直线过左焦点，倾斜角为30°，
∴
直线方程为)3
y x c =+，
由)3y x c b
y x
a
⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，得B
c y a b =，
由)3y x c b y x a ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，得
C c y a b
=， 由2FB FA =，得2B C y y =，
即
2c
c b a a b
b
=
⇒=，
22
2
2
2
244,2c c
c a b a e a a
∴=+=⋅===，故答案为2.
点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造
,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的
统一定义求解． 17．（1）
sin 2sin C A = （2
【分析】
（1）正弦定理得边化角整理可得()()sin 2sin A B B C +=+，化简即得答案．
（2）由（1）知sin 2sin c C a A ==，结合题意由余弦定理可解得1a =
，sin B =，从而计算出面积．
（1）由正弦定理得2sin ,2sin ,2sin a R A b R b c R C ===， 所以
cos cos 22sin sin cos sin A C c a C A
B b B
---==
即sin cos 2sin cos 2sin cos sin cos B A B C C B A B -=- 即有()()sin 2sin A B B C +=+，即sin 2sin C A = 所以
sin 2sin C
A
= （2）由（1）知
sin 2sin c C a A
==，即2c a =， 又因为2b = ，所以由余弦定理得：
2222cos b c a ac B =+-，即222
124224
a a a a =+-⨯⨯，解得1a =,
所以2c =，又因为1cos 4B =
，所以sin B =
，
故ABC ∆的面积为11sin 1222ac B =⨯⨯⨯
4=4
. 【点睛】
正弦定理与余弦定理是高考的重要考点，本题主要考查由正余弦定理解三角形，属于一般题．
18．（1）22
143
x y +=；
（2）存在，724λ=. 【分析】
（1）根据椭圆的定义可得2a =，将31,2P ⎛⎫
⎪⎝⎭
的坐标代入椭圆方程可得b =结果；
（2）当AC x ⊥轴或BD x ⊥轴时，计算出||AC 和||BD ，根据
11
2||||
AC BD λ+=可得7
24
λ=
，当,AC BD 都不与x 轴垂直时，设出直线方程，代入椭圆方程，根据弦长公式计算出||AC 和||BD ，代入112||||AC BD λ+=可解得7
24
λ=. 【详解】
（1）由已知124PF PF +=，得24a =，即2a =．
又点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆上，所以219144b +=，解得b =故椭圆的标准方程为22
143
x y +=．
（2）当AC x ⊥轴时，2223||4,||32
b BD AC a ⨯====，由1172||||12BD AC λ=
+=，由7
24
λ=
． 当BD x ⊥轴时，2223||3,||42
b BD AC a ⨯====，由1172||||12BD AC λ=+=，得7
24
λ=
， 当,AC BD 都不与x 轴垂直时，
设1:(1)(0)l y k x k =+≠，设()()1122,,,A x y C x y ， 直线1l 的方程与椭圆E 的方程联立并消去y 得：(
)2
2
223484120k
x
k x k +++-=，
则22121222
8412
,3434k k x x x x k k
--+==++， 所以
()2
122
121||34k AC x k +=-===+，
从而()22
134||121k AC k +=+， 同理可得()2
2143||121k BD k +=+． 所以()()2271117||||12121k AC BD k ++==+，令7
212λ=，得724
λ=． 综上，存在常数7
24
λ=，使得11,,||||AC BD λ成等差数列． 【点睛】
本题考查了待定系数法求椭圆的标准方程，考查了等差中项的应用，考查了弦长公式，考查
了运算求解能力，考查了分类讨论思想，属于中档题. 19．（1）证明见解析；（2）120︒． 【分析】
（1）先证明BC BD ⊥，SD BD ⊥，可得BC ⊥平面SBD ，即可证明无论E 点取在何处恒有BC DE ⊥；
（2）以D 为原点，DA ，DC ，DS 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，求出平面EDC 的一个法向量，以及平面ADE 的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A DE C --的大小． 【详解】
（1）连接BD
，则BD =
，又BC =2CD =，
∴BC DB ⊥，又SD ⊥底面ABCD ，
∴BC SD ⊥，BC ⊥平面SDB ，而DE ⊂平面SBD ， ∴BC DE ⊥；
（2）以D 为原点，DA ，DC ，DS 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系， 则()1,1,0B ，()0,2,0C ，()0,0,2S ． 设(),,E x y z ，
则()()2,,21,1,,,111SE EB x y z x y z E λ
λλλλλλ⎛⎫=⇔-=---⇔ ⎪+++⎝⎭
， 取平面EDC 的一个法向量()12,0,n λ=-， ∵()0,2,2SC =-，()1,1,2SB =-， 可取平面SBC 的一个法向量()21,1,1n =， 平面EDC ⊥平面SBC 1202n n λ⇔⋅=⇔=． ∴222,,333E ⎛⎫
⎪⎝⎭
． 取平面ADE 的一个法向量()30,1,1n =-，取平面CDE 的一个法向量()41,0,1n =-， 则343434
1
cos ,2
n n n n n n ⋅<>=
=
⋅，
由图可知，二面角为钝角，
故二面角A DE C --的平面角为120︒．
【点睛】
本题主要考查利用线面垂直证明向量垂直，利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
20．（1）方案二能使该户收益最大；（2）10. 【分析】
（1）先求方案一的总收益，再求方案二的总收益，最后比较即可解题；
（2）先确定随机抽取一个蜜桔，它的质量在区间[)10,20内的概率，再求随机变量X 的可能取值与数学期望是()E X ，最后再运用错位相减法求出()E X 即可. 【详解】
解：（1）若按方案一收购： 因为一个蜜桔质量的平均数
50.2150.1250.3350.15450.2526.5x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（克）
则总收益为10000026.5100025300⨯÷⨯=（元） 若按方案二收购： 根据题意得总收益为
()()100000100000100000
50.2150.11250.3350.153450.252100010001000
⨯⨯⨯⨯+⨯+⨯⨯+⨯+⨯⨯⨯6325=（元）
因为53006325<，所以方案二能使该户收益最大；
（2）由题意得，随机抽取一个蜜桔，它的质量在区间[)10,20内的概率为100.010.1⨯=．
X 的可能取值为1，2，3，…，1000，则
()10.1P X ==，()20.90.1P X ==⨯，
()230.90.1P X ==⨯，…，()9989990.90.1P X ==⨯， ()99910000.90.1P X ==⨯．
其数学期望是
()299899910.120.90.130.90.19990.90.110000.9E X =⨯+⨯⨯+⨯⨯+
+⨯⨯+⨯
29989991000
10.120.90.130.90.19990.90.110000.90.110000.9=⨯+⨯⨯+⨯⨯+
+⨯⨯+⨯⨯+⨯
()299899910000.1120.930.99990.910000.910000.9=⨯+⨯+⨯+
+⨯+⨯+⨯
其中，设
2998999120.930.99990.910000.9S =+⨯+⨯++⨯+⨯①，
2399910000.910.9+20.930.99990.9+10000.9S =⨯⨯+⨯+
+⨯⨯②，
应用错位相减法“①-②”得
299910000.1=10.90.90.910000.9S ++++-⨯
()10001000110.910000.90.1
⨯-=
-⨯
()10001001010001000.9S =-⨯+⨯．
故()()1000
1000
0.11001010001000.9
10000.9E X ⎡⎤=⨯-⨯+⨯+⨯⎣⎦
()10001010.9=⨯- 10≈
【点睛】
本题考查频率分布直方图、随机变量的数学期望、错位相减法求和，是中档题
21．（1）1a =；（2）证明见解析.
【分析】
（1）转化为()min 1f x ≥，建立不等关系；
（2）利用（1）的结论简化要证明的结论，再分段讨论即可.
【详解】
解：（1）()()ln x
f x xe a x x =-+，则 ()()()1111x x a f x x e a x e x x ⎛⎫⎛⎫'=+-+=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭． 当0a <时，()0f x '>，()f x 在()0,∞+上单调递增，()f x 的值域为R ，不符合题意；
当0a =时，则1211122
f e ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，也不符合题意； 当0a >时，()0f x '=有唯一解0x x =，
此时00x e x a =，则()()00000min ln x
f x f x e x a x ax ==--． 注意到00x e x a =，因此()00min ln ln x f x a a ae ax a a a -=--=-，
故只需ln 1a a a -≥． 令1t a
=，上式即转化为ln 1t t ≥-． 设()ln 1h t t t =-+，
则()1t h t t
-'=，因此()h t 在()0,1单调递增，在()1,+∞上单调递减， 从而()()min 10h x h ==，所以ln 1t t ≤-．
因此，ln 1t t =-，所以1t =， 从而由11t a
==，所以1a =； （2）注意到（1）已经证明：1ln x x -≥，
因此只需证明：222sin x x x -+>．
当1x >时，恒有22sin 22x x x ≤<-+，且等号不能同时成立；
当01x <≤时，设()2
22sin g x x x x =-+-， 则()212cos g x x x '=--，
当(]0,1x ∈时，()g x '是单调递增函数，
且()112cos112cos 03g π
'=-<-=，
因而(]0,1x ∈时，恒有()0g x '<；
从而(]0,1x ∈时，()g x 单调递减，
所以()()122sin10g x g ≥=->，即222sin x x x -+>．
故22ln 2sin x x x x +>+．
【点睛】
恒成立求参数问题一般方法：求导求最值分类讨论，构造函数建立等式或不等式从而解决问题.
22．（1
）1222
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）；2240x y y +-=；（2
. 【分析】 （1）根据条件即可写出答案；
（2）将直线的参数方程代入曲线C
的直角坐标方程可得230t -=，然后利用
1212PA PB t t t t +=+=-=
.
【详解】 （1）直线l 参数方程为：1cos 42sin 4
x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）
即122x y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数） 由4sin ρθ=可得24sin ρρθ=，即224x y y +=
所以曲线C 的直角坐标方程为：22
40x y y +-=； （2
）∵2212420222t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++-+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭，
可得：230t +-=，设其根为12,t t
，则有12t t +=123t t =- ∴
1212PA PB t t t t +=+=-=
=
【点睛】
本题考查的是极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线参数方程的应用，考查了学生对基础知识的掌握情况，较简单. 23．(1)17,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
；(2)证明见解析. 【分析】
（1）利用零点分段法讨论x 的取值范围，去绝对值解不等式即可.
（2）根据不等式的解集求出a ，再利用基本不等式即可求解.
【详解】
(1)当a ＝2时，不等式为|x －2|＋|x －1|≥4.
当x ≥2时，原不等式化为2x －3≥4，解得x ≥
72，所以x ≥72； 当1≤x ＜2时，原不等式化为1≥4，无解；
当x <1时，原不等式化为3－2x ≥4，
解得x ≤－12，所以x ≤－12
. 所以原不等式的解集为17,,22⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭
. (2)证明：f (x )≤1，即|x －a |≤1，解得a －1≤x ≤a ＋1，
而f (x )≤1的解集是[0,2]，
所以
10
12
a
a
-=
⎧
⎨
+=
⎩
，解得a＝1，所以
11
2
m n
+＝1(m>0，n>0)．
所以m＋2n＝(m＋2n)
11
2
m n
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
＝2＋
2
24
2
n m
m n
+≥+=，
当且仅当m＝2n时，等号成立
【点睛】
本题考查了绝对值不等式的解法、基本不等式求最值，考查了分类讨论的思想，属于基础题.。