广汉市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

广汉市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 已知幂函数y=f （x ）的图象过点（，），则f （2）的值为（ ）
A ．
B ．﹣
C ．2
D ．﹣2
2． 如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为棱11A B 中点，点Q 在侧面11DCC D 内运动，若
1PBQ PBD ∠=∠，则动点Q 的轨迹所在曲线为（ ）
A.直线
B.圆
C.双曲线
D.抛物线
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识，意在考查空间想象能力.
3． 已知△ABC 中，a=1，b=，B=45°，则角A 等于（ ）
A ．150°
B ．90°
C ．60°
D ．30°
4． 已知函数f （x ）=31+|x|﹣，则使得f （x ）＞f （2x ﹣1）成立的x 的取值范围是（ ）
A ．
B ．
C ．（﹣，）
D ．
5． 在ABC ∆中，b =3c =，30B =
，则等于（ ）
A B ． C D ．2 6． 已知函数f （2x+1）=3x+2，且f （a ）=2，则a 的值等于（ ） A ．8 B ．1 C ．5 D ．﹣1 7． 已知x ∈R ，命题“若x 2＞0，则x ＞0”的逆命题、否命题和逆否命题中，正确命题的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8． 已知正三棱柱111ABC A B C -的底面边长为4cm ，高为10cm ，则一质点自点A 出发，沿着三棱 柱的侧面，绕行两周到达点1A 的最短路线的长为（ ）
A ．16cm
B ．
C ．
D ．26cm
9． 如图，长方形ABCD 中，AB=2，BC=1，半圆的直径为AB ．在长方形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）
A ．
B ．1﹣
C ．
D ．1﹣
10．已知向量(1,2)a = ，(1,0)b = ，(3,4)c = ，若λ为实数，()//a b c λ+
，则λ=（ ）
A ．14
B ．1
2
C ．1
D ．2
11．高三年上学期期末考试中，某班级数学成绩的频率分布直方图如图所示，数据分组依次如下：[70，90），[90，110），[100，130），[130，150），估计该班级数学成绩的平均分等于（ ）
A ．112
B ．114
C ．116
D ．120
12．()()
2
2f x a x a =-+ 在区间[]0,1上恒正，则的取值范围为（ ）
A ．0a >
B ．0a <<
C ．02a <<
D ．以上都不对
二、填空题
13．已知等差数列{a n }中，a 3=
，则cos （a 1+a 2+a 6）= ．
14．已知点E 、F 分别在正方体 的棱上，且, ,则
面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .
15．函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()1y f x =+的定义域是__________.111]
16．双曲线x 2﹣my 2=1（m ＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m 的值为 ．
17．将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，若第一次朝上一面的点数为a ，第二次朝上一面的点数为b ，则函
数y=ax 2
﹣2bx+1在（﹣∞，2]上为减函数的概率是 ．
18．下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是____．
三、解答题
19．若点（p ，q ），在|p|≤3，|q|≤3中按均匀分布出现．
（1）点M （x ，y ）横、纵坐标分别由掷骰子确定，第一次确定横坐标，第二次确定纵坐标，则点M （x ，y ）
落在上述区域的概率？
（2）试求方程x 2+2px ﹣q 2
+1=0有两个实数根的概率．
20．如图，过抛物线C ：x 2=2py （p ＞0）的焦点F 的直线交C 于M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）两点，且x 1x 2=﹣4．
（Ⅰ）p 的值；
（Ⅱ）R ，Q 是C 上的两动点，R ，Q 的纵坐标之和为1，RQ 的垂直平分线交y 轴于点T ，求△MNT 的面积的最小值．
21． 坐标系与参数方程 线l ：3x+4y ﹣12=0与圆C
：（θ为参数 ）试判断他们的公共点个数．
22．（本小题满分12分）
已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114
n n n n
a a a a ++-=+.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和n S ．
23．（本小题满分12分）
已知函数2
1
()cos cos 2
f x x x x =--. （1）求函数()y f x =在[0,
]2
π
上的最大值和最小值；
（2）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，满足2c =，3a =，()0f B =，求sin A 的值.1111]
24．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
选修41-：几何证明选讲
如图，,,A B C 为O 上的三个点，AD 是BAC ∠的平分线，交O 于 点D ，过B 作O 的切线交AD 的延长线于点E ． （Ⅰ）证明：BD 平分EBC ∠； （Ⅱ）证明：AE DC AB BE ⨯=⨯．
广汉市二中2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】A
【解析】解：设幂函数y=f （x ）=x α
，把点（，
）代入可得=
α
，
∴α=，即f （x ）=，
故f （2）=
=
，
故选：A ．
2． 【答案】C.
【解析】易得//BP 平面11CC D D ，所有满足1PBD PBX ∠=∠的所有点X 在以BP 为轴线，以1BD 所在直线为母线的圆锥面上，∴点Q 的轨迹为该圆锥面与平面11CC D D 的交线，而已知平行于圆锥面轴线的平面截圆锥面得到的图形是双曲线，∴点Q 的轨迹是双曲线，故选C. 3． 【答案】D
【解析】解：∵，B=45°
根据正弦定理可知
∴sinA==
∴A=30° 故选D ．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用．属基础题．
4． 【答案】A
【解析】解：函数f （x ）=31+|x|
﹣为偶函数，
当x ≥0时，f （x ）=31+x
﹣
∵此时y=3
1+x
为增函数，y=为减函数，
∴当x ≥0时，f （x ）为增函数， 则当x ≤0时，f （x ）为减函数， ∵f （x ）＞f （2x ﹣1）， ∴|x|＞|2x ﹣1|， ∴x 2＞（2x ﹣1）2，
解得：x∈，
故选：A．
【点评】本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的奇偶性，函数的单调性，难度中档．
5．【答案】C
【解析】
考点：余弦定理．
6．【答案】B
【解析】解：∵函数f（2x+1）=3x+2，且f（a）=2，令3x+2=2，解得x=0，
∴a=2×0+1=1．
故选：B．
7．【答案】C
【解析】解：命题“若x2＞0，则x＞0”的逆命题是“若x＞0，则x2＞0”，是真命题；
否命题是“若x2≤0，则x≤0”，是真命题；
逆否命题是“若x≤0，则x2≤0”，是假命题；
综上，以上3个命题中真命题的个数是2．
故选：C
8．【答案】D
【解析】
考
点：多面体的表面上最短距离问题．
【方法点晴】本题主要考查了多面体和旋转体的表面上的最短距离问题，其中解答中涉及到多面体与旋转体的侧面展开图的应用、直角三角形的勾股定理的应用等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，学生的空间想象能力、以及转化与化归思想的应用，试题属于基础题． 9． 【答案】B
【解析】解：由题意，长方形的面积为2×1=2，半圆面积为，所以阴影部分的面积为2﹣
，由几何概型
公式可得该点取自阴影部分的概率是；
故选：B ．
【点评】本题考查了几何概型公式的运用，关键是明确几何测度，利用面积比求之．
10．【答案】B 【解析】
试题分析：因为(1,2)a = ，(1,0)b = ，所以()()1,2a b λλ+=+ ，又因为()//a b c λ+
，所以
()1
4160,2
λλ+-==，故选B.
考点：1、向量的坐标运算；2、向量平行的性质. 11．【答案】B
【解析】解：根据频率分布直方图，得； 该班级数学成绩的平均分是
=80×0.005×20+100×0.015×20 +120×0.02×20+140×0.01×20
=114． 故选：B ．
【点评】本题考查了根据频率分布直方图，求数据的平均数的应用问题，是基础题目．
12．【答案】C 【解析】
试题分析：由题意得，根据一次函数的单调性可知，函数()()
2
2f x a x a =-+在区间[]0,1上恒正，则
(0)0(1)0f f >⎧⎨>⎩，即2
020
a a a >⎧⎨-+>⎩，解得02a <<，故选C. 考点：函数的单调性的应用.
二、填空题
13．【答案】 ．
【解析】解：∵数列{a n }为等差数列，且a 3=，
∴a 1+a 2+a 6=3a 1+6d=3（a 1+2d ）=3a 3=3×=
，
∴cos （a 1+a 2+a 6）=cos =
．
故答案是：．
14．【答案】
【解析】延长EF 交BC 的延长线于P ，则AP 为面AEF 与面ABC 的交线，因为，所以
为
面AEF 与面ABC 所成的二面角的平面角。

15．【答案】[]1,1- 【解析】
考
点：函数的定义域.
16．【答案】4．
【解析】解：双曲线x2﹣my2=1化为x2
﹣=1，
∴a2=1，b2
=，
∵实轴长是虚轴长的2倍，
∴2a=2×2b，化为a2=4b2，即
1=，
解得m=4．
故答案为：4．
【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．
17．【答案】
．
【解析】解：由题意，函数y=ax2﹣2bx+1在（﹣∞，2]
上为减函数满足条件．
∵第一次朝上一面的点数为a，第二次朝上一面的点数为b，
∴a取1时，b可取2，3，4，5，6；a取2时，b可取4，5，6；a取3时，b可取6，共9种∵（a，b）的取值共36种情况
∴
所求概率为
=．
故答案为：．18．【答案】27
【解析】由程序框图可知：43
符合，跳出循环．三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）根据题意，点（p，q），在|p|≤3，|q|≤3中，即在如图的正方形区域，
其中p、q都是整数的点有6×6=36个，
点M（x，y）横、纵坐标分别由掷骰子确定，即x、y都是整数，且1≤x≤3，1≤y≤3，
点M（x，y）落在上述区域有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（2，3），（3，1），（3，2），（3，3），有9个点，
所以点M（x，y）落在上述区域的概率P1=；
（2）|p|≤3，|q|≤3表示如图的正方形区域，易得其面积为36；
若方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根，则有△=（2p）2﹣4（﹣q2+1）＞0，
解可得p2+q2≥1，为如图所示正方形中圆以外的区域，其面积为36﹣π，
即方程x2+2px﹣q2+1=0有两个实数根的概率，P2=．
【点评】本题考查几何概型、古典概型的计算，解题时注意区分两种概率的异同点．
20．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）由题意设MN：y=kx+，
由，消去y得，x2﹣2pkx﹣p2=0（*）
由题设，x1，x2是方程（*）的两实根，∴，故p=2；
（Ⅱ）设R（x3，y3），Q（x4，y4），T（0，t），
∵T在RQ的垂直平分线上，∴|TR|=|TQ|．
得，又，
∴，即4（y3﹣y4）=（y3+y4﹣2t）（y4﹣y3）．
而y3≠y4，∴﹣4=y3+y4﹣2t．
又∵y3+y4=1，∴，故T（0，）．
因此，
．
由（Ⅰ）得，x 1+x 2=4k ，x 1x 2=﹣4，
=
．
因此，当k=0时，S △MNT 有最小值3．
【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查了直线和圆锥曲线间的关系，着重考查“舍而不求”的解题思想方法，考查了计算能力，是中档题．
21．【答案】
【解析】解：圆C
：
的标准方程为（x+1）2+（y ﹣2）2
=4
由于圆心C （﹣1，2）到直线l ：3x+4y ﹣12=0的距离 d=
=＜2
故直线与圆相交 故他们的公共点有两个．
【点评】本题考查的知识点是直线与圆的位置关系，圆的参数方程，其中将圆的参数方程化为标准方程，进而求出圆心坐标和半径长是解答本题的关键．
22．【答案】（本小题满分12分） 解： （Ⅰ）由114n n n n
a a a a ++-=
+得22
14n n a a +-=，∴{}2n a 是等差数列，公差为4，首项为4， （3分）
∴244(1)4n a n n =+-=，由0n a >
得n a =． （6分）
（Ⅱ）∵
111
2
n n a a +==+， （9分）
∴数列11n n a a +⎧
⎫
⎨⎬+⎩⎭
的前n 项和为
1111
1)1)2222
+++= ． （12分） 23．【答案】（1）最大值为，最小值为32-；（2
.
【解析】
试题分析：（1）将函数利用两角和的正余弦公式,倍角公式,辅助角公式将函数化简()sin(2)16
f x x π
=-
-
再利用()sin()(0,||)2f x A x b πωϕωϕ=++><
的性质可求在[0,]2
π
上的最值；（2）利用()0f B =,可得B ,再由余弦定理可得AC ,再据正弦定理可得sin A .1
试题解析：
（2）因为()0f B =，即sin(2)16
B π
-
=
∵(0,)B π∈，∴112(,
)666B πππ-∈-，∴262B ππ-=，∴3
B π
= 又在ABC ∆中，由余弦定理得，
2221
2cos 49223732b c a c a π=+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，所以AC .
由正弦定理得：sin sin b a B A =3sin sin 3
A =，所以sin 14A =.
考点：1.辅助角公式；2.()sin()(0,||)2
f x A x b π
ωϕωϕ=++><
性质；3.正余弦定理.
【思路点睛】本题主要考查倍角公式,正余弦定理.在利用正,余弦定理 解三角形的过程中,当所给的等式中既有正弦又有余弦时,常利用正弦定理将边的关系转化为角的关系;如果出现边的平方或者两边长的乘积时 可考虑使用余弦定理判断三角形的形状.解三角形问题时,要注意正,余弦定理的变形应用,解题思路有两个:一个是角化为边,二是边化为角. 24．【答案】
【解析】【解析】（Ⅰ）因为BE 是⊙O 的切线，所以BAD EBD ∠=∠…………2分 又因为CAD BAD CAD CBD ∠=∠∠=∠,………………4分 所以CBD EBD ∠=∠,即BD 平分EBC ∠．………………5分 （Ⅱ）由⑴可知BAD EBD ∠=∠，且BED BED ∠=∠，
BDE ∆∽ABE ∆,所以
AB
BD
AE BE =
,……………………7分 又因为DBC DBE BAE BCD ∠=∠=∠=∠,
所以DBC BCD ∠=∠，CD BD =．……………………8分
所以AB
CD
AB BD AE BE =
=，……………………9分 所以BE AB DC AE ⋅=⋅．……………………10分。