高等代数中的待定系数法-精品文档

高等代数中的待定系数法
对于某些数学问题,如果已知所求结果具有某种确定的形式,则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果,通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式,得到以待定系数为元的方程或方程组,解之即得待定的系数。

这种解题方法就称为待定系数法。

从更广泛的意义上说,待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数,利用已知条件确定这些未知数,使问题得到解
决的方法。

其实质是方程思想,就是把具有某种确定形式的数学问题,通过引入一些待定的系数,转化为两个多项式恒等或方程
组的条件来解决的方法,体现的是“恒等变形”和“形变而值不变”的解题功能。

待定系数法是一种重要的数学方法,在中学数学里已多次使用。

因此它是一种大家都很熟悉的方法。

在高等数学中,也有许多问题可以用待定系数法解决。

所以在高等数学的教学中引导学生用好这一方法非常必要。

本文主要对待定系数法在高等代数中的应用加以总结。

1.在整除问题中的应用:
例1:如果(x-1)2 | Ax4+Bx2+1,求A,B。

解:因(x-1)2 | Ax4+Bx2+1,所以
令Ax4+Bx2+1=A(x-1)2(x2+px+q),其中p,q为待定系数。

则Ax4+Bx2+1=Ax4+A(p-2)x3+A(q-2p+1)x2+A(p-2q)x+Aq,
比较系数,得p-2=0A(q-2p+1)=Bp-2q=0Aq=1,解得
A=1B=-2p=2q=1,即A=1,B=-2。

例2:求t值,使f(x)=x3-3x2+tx-1有重根。

解:要使f(x)=x3-3x2+tx-1有重根,可设f(x)=(x-p)2(x-q),其中p,q为待定系数,则
f(x)=x3-3x2+tx-1=x3-(2p+q)x2+(2pq+p2)x-p2q,
比较系数,得2p+q=32pq+p2=tp2q=1,解得
p1,2=1q1,2=1t1,2=3,p3=-1/2q3=4t3=-15/4
所以,当t=3时,f(x)=x3-3x2+tx-1=(x-1)3有三重根x=1;
当t=-15/4时,f(x)=x3-3x2+tx-1=(x+1/2)(x-4)有二重根
x=-1/2。

2.在向量的线性关系中的应用:
(1)向量的线性表示:
例3:把向量表成向量1,2,3,4的线性组合,其中
=(0,0,0,1),1=(1,1,0,1),2=(2,1,3,1),3=(1,1,0,0),4=(0,1,-1,-1)。

解:设=x11+x22+x33+x44,
则x1+2x2+x3=0x1+x2+x3+x4=03x2-x4=0x1+x2-x4=1,解得
x1=1x2=0x3=-1x4=0,从而=1-3。

(2)向量线性相(无)关的判定:
例4:讨论下列向量组的线性相关性:
1=(1,1,1),2=(1,-1,2),3=(1,2,3)。

解:设有一组数x1,x2,x3,使得x11+x22+x33=0,
则x1+x2+x3=0x1-x2+2x3=0x1+2x2+3x3=0,(*)
因为齐次方程组(*)的系数矩阵的行列式
D==-5≠0,
所以该方程组(*)只有唯一的零解,即x1=x2=x3=0。

因此,向量组1,2,3线性无关。

3.在求逆矩阵中的应用:
例5:求D=的逆矩阵,其中A,B分别是k级和r级的可逆矩阵,C是r×k矩阵,0是k×r零矩阵。

解:因D=AB,所以当可逆时,D也可逆。

设D-1=,则=,这里Ek,Er分别是k级和r级的单位矩阵。

乘出并比较等式两边,得
AX11=EkAX12=0CX11+BX21=0CX12+BX22=Er,解得
X11=A-1X12=0X21=-B-1CA-1X22=B-1。

因此,D-1=。

4.在求与已知矩阵可交换的矩阵中的应用:
定义如果AB=BA,矩阵B就称为与A可交换。

例6:设A=,求所有与A可交换的矩阵。

解:因A==+=E+A1,
其中A1=,所以,设与A可交换的矩阵为B=,则AB=BA,从而(E+A1)B=B(E+A1),即A1B=BA1,比较等式两边对应的(i,j)元,可
得a=b1-a1,b=0,c=0a2=c1,b2=c1,c2=b1+c1,于是所有与A可交换的矩阵为:
B=
通过以上几个典型实例,可以看出待定系数法在高等代数中用途极为广泛。

它不仅是解决初等数学问题的有力工具,也是打开高等数学大门的一把钥匙。

在教学中要注重引导学生对其归纳分类,以提高他们的抽象能力和实际应用能力。