八年级(下)期末数学试卷3+参考答案与试题解析

八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）
A ．4个
B ．3个
C ．2个
D ．1个
2．下列式子中，属于最简二次根式的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
3．下列各式计算正确的是（ ）
A ．8
﹣2
=6 B ．5
+5
=10
C ．4
÷2
=2
D ．4
×2
=8
4．不能判定四边形ABCD 为平行四边形的条件是（ ） A ．AB ∥CD ，AD=BC B ．AB ∥CD ，∠A=∠C C ．AD ∥BC ，AD=BC D ．∠A=∠C ，
∠B=∠D
5．下列条件中，不能判断△ABC 为直角三角形的是（ ） A ．a 2=1，b 2=2，c 2=3 B ．a ：b ：c=3：4：5 C ．∠A+∠B=∠C D ．∠A ：∠B ：∠C=3：4：5 6．下列命题中逆命题成立的有（ ） ①同旁内角互补，两直线平行； ②如果两个角是直角，那么它们相等； ③全等三角形的对应边相等；
④如果两个实数相等，那么它们的平方相等． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个
7．如图，四边形ABCD 中，AB=6cm ，BC=8cm ，CD=24cm ，DA=26cm ，且∠ABC=90°，则四边形ABCD 的面积是（ ）cm 2．
A．336 B．144 C．102 D．无法确定
8．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（）
A．16 B．14 C．12 D．10
9．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第6个图形有（）个小圆．
A．42 B．44 C．46 D．48
10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）
A．10 B．8 C．6 D．5
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=65°，则∠B=．
12．一个等腰直角三角形中，它的斜边与斜边上的高的和是18cm，那么斜边上的高为cm．
13．如图，已知▱ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的高AE=2，则DC边上的高AF的长是．
14．▱ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB=cm．
15．已知在▱ABCD中，AB=5cm，AD=8cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=cm．
16．一个多边形的每一个外角等于30°，则此多边形是边形，它的内角和等于．
17．如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是．
18．点P（a，a﹣3）在第四象限，则a的取值范围是．
19．如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，若点A的坐标是（﹣1，4），则点C的坐标是．
20．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=5cm，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE 折叠，点B恰好与AC上的点B′重合，则AC=cm．
三、解答题（共6小题，满分60分）
21．已知x=+1，y=﹣1，求下列各式的值：
（1）x2﹣y2；
（2）x2+xy+y2．
22．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，∠C=30°，BC=4，求BD的长．
23．如图所示，如果▱ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE=BE，求▱ABCD 各内角的度数．
24．已知，如图在平面直角坐标系中，S△ABC=30，∠ABC=45°，BC=12，求△ABC三个顶点的坐标．
25．已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
26．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，
b满足b=++16．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）
（1）求B、C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．
八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（）
A．4个B．3个C．2个D．1个
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个、第四个图形既是轴对称图形又是中心对称图形，共2个．
故选C．
【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．下列式子中，属于最简二次根式的是（）
A．B．C． D．
【考点】最简二次根式．
【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件是否同时满足，同时满足的就是最简二次根式，否则就不是．
【解答】解：A、被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，故A正确；
B、被开方数含能开得尽方的因数，故B错误；
C、被开方数含能开得尽方的因数，故C错误；
D、被开方数含分母，故D错误；
故选：A．
【点评】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．
3．下列各式计算正确的是（）
A．8﹣2=6 B．5+5=10C．4÷2=2D．4×2=8
【考点】二次根式的加减法；二次根式的乘除法．
【分析】根据同类二次根式的合并，及二次根式的乘除法则，分别进行各选项的判断即可．
【解答】解：A、8﹣2=6，原式计算错误，故A选项错误；
B、5与5不是同类二次根式，不能直接合并，故B选项错误；
C、4÷2=2，原式计算错误，故C选项错误；
D、4×2=8，原式计算正确，故D选项正确；
故选：D．
【点评】本题考查了二次根式的加减及乘除运算，属于基础题，解答本题的关键是掌握各部分的运算法则．
4．不能判定四边形ABCD为平行四边形的条件是（）
A．AB∥CD，AD=BC B．AB∥CD，∠A=∠C C．AD∥BC，AD=BC D．∠A=∠C，
∠B=∠D
【考点】平行四边形的判定．
【分析】根据平行四边形的判定定理进行判断．
【解答】解：A、“AB∥CD，AD=BC”是四边形ABCD的一组对边平行，另一组对边相等，该四边形可以是等腰梯形，不可以判定四边形ABCD是平行四边形．故本选项符合题意；
B、根据“AB∥CD，∠A=∠C”可以判定AD∥BC，由“两组对边相互平行的四边形为平行四边形”可以判定四边形ABCD为平行四边形．故本选项不符合题意；
C、“AD∥BC，AD=BC”是四边形ABCD的一组对边平行且相等，可以判定四边形ABCD 是平行四边形．故本选项不符合题意；
D、“∠A=∠C，∠B=∠D”是四边形ABCD的两组对角相等，可以判定四边形ABCD是平行四边形；故本选项不合题意；
故选：A．
【点评】本题考查平行四边形的判定，需注意一组对边相等，另一组对边相互平行的四边形不一定是平行四边形，等腰梯形也满足该条件．
5．下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（）
A．a2=1，b2=2，c2=3 B．a：b：c=3：4：5
C．∠A+∠B=∠C D．∠A：∠B：∠C=3：4：5
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【分析】根据三角形内角和定理，以及勾股定理逆定理分别进行分析可得答案．
【解答】解：A、可利用勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
B、根据勾股定理的逆定理可判断△ABC是直角三角形，故此选项不合题意；
C、根据三角形内角和定理可以计算出∠A=90°，△ABC为直角三角形，故此选项不合题意；
D、根据三角形内角和定理可以计算出∠A=45°，∠B=60°，∠C=75°，可判定△ABC不是直角三角形，故此选项符合题意；
故选：D．
【点评】此题主要考查了勾股定理逆定理，判断三角形是否为直角三角形可利用勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．
6．下列命题中逆命题成立的有（）
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③全等三角形的对应边相等；
④如果两个实数相等，那么它们的平方相等．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】命题与定理．
【分析】把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题，再把逆命题进行判断即可．【解答】解：①同旁内角互补，两直线平行的逆命题是两直线平行，同旁内角互补，成立；
②如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是直角，不成立；
③全等三角形的对应边相等的逆命题是对应边相等的三角形全等，成立；
④如果两个实数相等，那么它们的平方相等的逆命题是如果两个实数的平方相等，那么这两个实数相等，不成立；
逆命题成立的有2个；
故选B．
【点评】此题考查了命题与定理，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．
7．如图，四边形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，CD=24cm，DA=26cm，且∠ABC=90°，则四边形ABCD的面积是（）cm2．
A．336 B．144 C．102 D．无法确定
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】利用勾股定理求出AC2的值，再由勾股定理的逆定理判定三角形ACD也为直角三=S△ABC+S△ACD．
角形，则S
四边形ABCD
【解答】解：如图，连接AC．
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2=100，
∵AC2+CD2=AD2=676
∴△CDA也为直角三角形，
=S△ABC+S△ACD=AB×BC+AC×CD=×6×8+×10×24=144（cm2），
∴S
四边形ABCD
故选B．
【点评】本题考查了三角形面积和勾股定理逆定理的应用，注意：在一个三角形中，如果有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形．
8．如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于O，EF过点O与AD，BC分别相交于E，F，若AB=4，BC=5，OE=1.5，那么四边形EFCD的周长为（）
A．16 B．14 C．12 D．10
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的对边相等得：CD=AB=4，AD=BC=5．再根据平行四边形的性质和对顶角相等可以证明：△AOE≌△COF．根据全等三角形的性质，得：OF=OE=1.5，CF=AE，故四边形EFCD的周长为CD+EF+AD=12．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，AD=BC=5，OA=OC，AD∥BC，
∴∠EAO=∠FCO，∠AEO=∠CFO，
在△AOE和△COF中，
，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OF=OE=1.5，CF=AE，
故四边形EFCD的周长为CD+EF+ED+FC=CD+EF+AE+ED=CD+AD+EF=4+5+1.5×2=12．
故选C．
【点评】能够根据平行四边形的性质证明三角形全等，再根据全等三角形的性质将所求的线段转化为已知的线段是解题的关键．
9．将一些半径相同的小圆按如图所示的规律摆放，请仔细观察，第6个图形有（）个小圆．
A．42 B．44 C．46 D．48
【考点】规律型：图形的变化类．
【分析】分析数据可得：第1个图形中小圆的个数为6；第2个图形中小圆的个数为10；第3个图形中小圆的个数为16；第4个图形中小圆的个数为24；则知第n个图形中小圆的个数为n（n+1）+4．据此可以再求得第6个图形小圆的个数即可．
【解答】解：根据第1个图形有6个小圆，第2个图形有10个小圆，第3个图形有16个小圆，第4个图形有24个小圆，
∵6=4+1×2，10=4+2×3，16=4+3×4，24=4+4×5…，
∴第n个图形有：4+n（n+1）个小圆，
∴第6个图形有：4+6×（6+1）=46个小圆．
故选：C．
【点评】此题主要考查了图形的规律以及数字规律，通过归纳与总结结合图形得出数字之间的规律是解决问题的关键．
10．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，点D在BC上，以AC为对角线的所有平行四边形ADCE中，DE的最小值是（）
A．10 B．8 C．6 D．5
【考点】三角形中位线定理；垂线段最短；平行四边形的性质．
【分析】平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小，根据三角形中位线定理即可求解．
【解答】解：平行四边形ADCE的对角线的交点是AC的中点O，当OD⊥BC时，OD最小，即DE最小．
∵OD⊥BC，BC⊥AB，
∴OD∥AB，
又∵OC=OA，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD=AB=3，
∴DE=2OD=6．
故选C．
【点评】此题考查的是三角形中位线的性质，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，正确理解DE最小的条件是关键．
二、填空题（共10小题，每小题3分，满分30分）
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=65°，则∠B=25°．
【考点】直角三角形的性质．
【分析】根据直角三角形两锐角互余列式计算即可得解．
【解答】解：∵∠C=90°，∠A=65°，
∴∠B=90°﹣65°=25°．
故答案为：25°．
【点评】本题考查了直角三角形两锐角互余的性质，是基础题，熟记性质是解题的关键．
12．一个等腰直角三角形中，它的斜边与斜边上的高的和是18cm，那么斜边上的高为6 cm．
【考点】等腰直角三角形．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质及已知不难求得斜边的长．
【解答】解：因为等腰直角三角形中，斜边上的高即是斜边上的中线，所以高等于斜边的一半，已知斜边与斜边上的高的和是18cm，则高是6cm，斜边是12cm．
故答案为：6．
【点评】此题考查等腰直角三角形的性质，关键是利用三线合一，求得斜边与斜边上的高的关系．
13．如图，已知▱ABCD中，AB=4，BC=6，BC边上的高AE=2，则DC边上的高AF的长是3．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的对边相等，可得CD=AB=6，又因为S▱ABCD=BC•AE=CD•AF，所以求得DC边上的高AF的长是3．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC=AD=6，
∴S▱ABCD=BC•AE=CD•AF=6×2=12，
∴AF=3．
∴DC边上的高AF的长是3．
故答案为3．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边相等．还要注意平行四边形的面积的求解方法：底乘以高．
14．▱ABCD的周长为60cm，其对角线交于O点，若△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB=20cm．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质知，平行四边形的对边相等，则已知周长，可以求出一组邻边的长，△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，则AB比BC的值多10，则进一步可求出AB和BC的长．
【解答】解：∵▱ABCD的周长为60cm，
AB+BC=30cm，
∵△AOB的周长比△BOC的周长多10cm，
∴AB﹣BC=10cm，
∴AB=20cm，BC=10cm．
故答案为：20．
【点评】本题考查的是平行四变形的性质：平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
15．已知在▱ABCD中，AB=5cm，AD=8cm，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，则DF=3cm．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由在▱ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，交CD的延长线于点F，易证得AB=AE，DE=DF，继而可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴∠AEB=∠CBE，∠FED=∠CBE，∠ABF=∠F，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠ABE=∠AEB，∠FED=∠F，
∴AB=AE=5cm，DF=DE，
∵AD=8cm，
∴DE=AD﹣AE=3（cm），
∴DF=3cm．
故答案为：3．
【点评】此题考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的判定与性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
16．一个多边形的每一个外角等于30°，则此多边形是十二边形，它的内角和等于1800°．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据任何多边形的外角和都是360°，利用360°除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．n边形的内角和是（n﹣2）•180°，把多边形的边数代入公式，就得到多边形的内角和．
【解答】解：∵多边形的每一个外角等于30°，360°÷30°=12，
∴这个多边形是十二边形；
其内角和=（12﹣2）•180°=1800°．
故答案为：十二，1800°．
【点评】本题考查了多边形的内角与外角，理解多边形的外角和是360度，外角和不随边数的变化而变化是关键．
17．如图，正方形ODBC中，OC=1，OA=OB，则数轴上点A表示的数是﹣．
【考点】勾股定理；实数与数轴．
【专题】压轴题．
【分析】在直角三角形中根据勾股定理求得OB的值，即OA的值，进而求出数轴上点A 表示的数
【解答】解：∵OB==，
∴OA=OB=，
∵点A在数轴上原点的左边，
∴点A表示的数是﹣，
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了实数与数轴、勾股定理的综合运用．
18．点P（a，a﹣3）在第四象限，则a的取值范围是0＜a＜3．
【考点】点的坐标；解一元一次不等式组．
【分析】根据第四象限的点的横坐标是正数，纵坐标是负数列出不等式组求解即可．
【解答】解：∵点P（a，a﹣3）在第四象限，
∴，
解得0＜a＜3．
故答案为：0＜a＜3．
【点评】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣）．
19．如图，正方形ABCD的顶点B、C都在直角坐标系的x轴上，若点A的坐标是（﹣1，4），则点C的坐标是（3，0）．
【考点】坐标与图形性质．
【分析】根据点A的坐标求出正方形的边长与OB的长度，再求出OC的长，然后写出点C 的坐标即可．
【解答】解：∵点A的坐标是（﹣1，4），
∴BC=AB=4，OB=1，
∴OC=BC﹣OB=4﹣1=3，
∴点C的坐标为（3，0）．
故答案为：（3，0）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，主要利用了正方形的性质，根据点A的坐标求出正方形的边长是解题的关键．
20．如图所示，矩形纸片ABCD中，AB=5cm，点E在BC上，且AE=EC．若将纸片沿AE 折叠，点B恰好与AC上的点B′重合，则AC=10cm．
【考点】翻折变换（折叠问题）．
【分析】由矩形与折叠的性质，即可求得EB′⊥AC，又由AE=EC，根据三线合一的性质，即可求得答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
根据题意得：∠BAE=∠EAB′，∠AB′E=∠B=90°，
∴EB′⊥AC，
∵AE=EC，
∴AB′=CB′=AB=5cm，
∴AC=10cm．
故答案为：10．
【点评】此题考查了矩形的性质，折叠的性质以及等腰三角形的性质．此题难度不大，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
三、解答题（共6小题，满分60分）
21．已知x=+1，y=﹣1，求下列各式的值：
（1）x2﹣y2；
（2）x2+xy+y2．
【考点】二次根式的化简求值．
【分析】（1）先代入分别求出x+y，x﹣y的值，根据平方差公式分解因式，代入求出即可；（2）先代入分别求出x+y，xy的值，根据完全平方公式代入求出即可；
【解答】解：∵x=+1，y=﹣1，
∴x+y=2，x﹣y=2，xy=（+1）×（﹣1）=2，
（1）x2﹣y2；
=（x+y）（x﹣y）
=2×2
=4．
（2）x2+xy+y2．
=（x+y）2﹣xy
=（2）2﹣2
=10．
【点评】本题考查了对平方差公式，完全平方公式，二次根式的混合运算的应用，主要考查学生能否选择恰当的方法进行计算．
22．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AD是△ABC的高，∠C=30°，BC=4，求BD的长．
【考点】含30度角的直角三角形．
【分析】在直角△ABC中，根据“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得AB=BC=2；
然后在直角△ABD中，根据“30度角所对的直角边等于斜边的一半”求得BD=AB=1．
【解答】解：如图，∵在△ABC中，∠BAC=90°，∠C=30°，AD是高，
∴∠ADB=90°，∠BAD=∠C=30°，
∴在直角△ABC中，AB=BC=2，
∴在直角△ABC中，BD=AB=1．
∴BD的长为1．
【点评】本题考查了含30度角的直角三角形．应用时，要注意找准30°的角所对的直角边和斜边是解题的关键．
23．如图所示，如果▱ABCD的一内角∠BAD的平分线交BC于点E，且AE=BE，求▱ABCD 各内角的度数．
【考点】平行四边形的性质．
【分析】由平行四边形ABCD中，∠BAD的平分线交BC于E，易得∠BAE=∠BEA，则AB=BE；又因为AE=BE，所以△ABE是等边三角形；即能求得∠BCD的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，∠AEB=∠DAE，
∵AE是∠BAD的平分线，
∴∠BAE=∠DAE，
∴∠BAE=∠AEB，
∴AB=BE，
∵AE=BE，
∴△ABE是等边三角形，
∴∠B=60°，
∴∠BCD=120°．
∴▱ABCD各内角的度数分别是：∠B=∠D=60°，∠BAD=∠C=120°．
【点评】此题考查了平行四边形的性质：平行四边形的对边平行．还考查了等边三角形的判定与性质：等角对等边；等边三角形的三个角都等于60°，把四边形问题转化为三角形问题是关键．
24．已知，如图在平面直角坐标系中，S△ABC=30，∠ABC=45°，BC=12，求△ABC三个顶点的坐标．
【考点】坐标与图形性质；三角形的面积．
【分析】根据S△ABC=30，求出OA，根据∠ABC=45°，所以OA=OB，根据BC=12，所以OC=7，即可解答．
【解答】证明：∵∠ABC=45°，
∴OA=OB，
∵BC•OA=30，BC=12，
∴OA=OB=60÷12=5，
∴OC=BC﹣BO=12﹣5=7，
∴A（0，5），B（﹣5，0），C（7，0）．
【点评】本题考查了坐标与图形性质，解决本题的关键是利用三角形的面积求出OA的长．
25．已知两个共一个顶点的等腰Rt△ABC，Rt△CEF，∠ABC=∠CEF=90°，连接AF，M是AF的中点，连接MB、ME．
（1）如图1，当CB与CE在同一直线上时，求证：MB∥CF；
（2）如图1，若CB=a，CE=2a，求BM，ME的长；
（3）如图2，当∠BCE=45°时，求证：BM=ME．
【考点】三角形中位线定理；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形．
【专题】压轴题．
【分析】（1）证法一：如答图1a所示，延长AB交CF于点D，证明BM为△ADF的中位线即可；
证法二：如答图1b所示，延长BM交EF于D，根据在同一平面内，垂直于同一直线的两直线互相平行可得AB∥EF，再根据两直线平行，内错角相等可得∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，然后求出BE=DE，从而得到△BDE是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出∠EBM=45°，从而得到∠EBM=∠ECF，再根据同位角相等，两直线平行证明MB∥CF即可，
（2）解法一：如答图2a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线；
解法二：先求出BE的长，再根据全等三角形对应边相等可得BM=DM，根据等腰三角形三线合一的性质可得EM⊥BD，求出△BEM是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求解即可；
（3）证法一：如答图3a所示，作辅助线，推出BM、ME是两条中位线：BM=DF，ME= AG；然后证明△ACG≌△DCF，得到DF=AG，从而证明BM=ME；
证法二：如答图3b所示，延长BM交CF于D，连接BE、DE，利用同旁内角互补，两直线平行求出AB∥CF，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAM=∠DFM，根据中点定义可得AM=MF，然后利用“角边角”证明△ABM和△FDM全等，再根据全等三角形对应边相等可得AB=DF，BM=DM，再根据“边角边”证明△BCE和△DFE全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DE，全等三角形对应角相等可得∠BEC=∠DEF，然后求出
∠BED=∠CEF=90°，再根据等腰直角三角形的性质证明即可．
【解答】（1）证法一：
如答图1a，延长AB交CF于点D，
则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，
∴点B为线段AD的中点，
又∵点M为线段AF的中点，
∴BM为△ADF的中位线，
∴BM∥CF．
证法二：
如答图1b，延长BM交EF于D，
∵∠ABC=∠CEF=90°，
∴AB⊥CE，EF⊥CE，
∴AB∥EF，
∴∠BAM=∠DFM，
∵M是AF的中点，
∴AM=MF，
在△ABM和△FDM中，
，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，
∵BE=CE﹣BC，DE=EF﹣DF，
∴BE=DE，
∴△BDE是等腰直角三角形，
∴∠EBM=45°，
∵在等腰直角△CEF中，∠ECF=45°，
∴∠EBM=∠ECF，
∴MB∥CF；
（2）解法一：
如答图2a所示，延长AB交CF于点D，则易知△BCD与△ABC为等腰直角三角形，
∴AB=BC=BD=a，AC=CD=a，
∴点B为AD中点，又点M为AF中点，
∴BM=DF．
分别延长FE与CA交于点G，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，
∴CE=EF=GE=2a，CG=CF=a，
∴点E为FG中点，又点M为AF中点，
∴ME=AG．
∵CG=CF=a，CA=CD=a，
∴AG=DF=a，
∴BM=ME=×a=a．
解法二：如答图1b．
∵CB=a，CE=2a，
∴BE=CE﹣CB=2a﹣a=a，
∵△ABM≌△FDM，
∴BM=DM，
又∵△BED是等腰直角三角形，
∴△BEM是等腰直角三角形，
∴BM=ME=BE=a；
（3）证法一：
如答图3a，延长AB交CE于点D，连接DF，则易知△ABC与△BCD均为等腰直角三角形，∴AB=BC=BD，AC=CD，
∴点B为AD中点，又点M为AF中点，∴BM=DF．
延长FE与CB交于点G，连接AG，则易知△CEF与△CEG均为等腰直角三角形，∴CE=EF=EG，CF=CG，
∴点E为FG中点，又点M为AF中点，∴ME=AG．
在△ACG与△DCF中，
，
∴△ACG≌△DCF（SAS），
∴DF=AG，
∴BM=ME．
证法二：
如答图3b，延长BM交CF于D，连接BE、DE，
∵∠BCE=45°，
∴∠ACD=45°×2+45°=135°
∴∠BAC+∠ACF=45°+135°=180°，
∴AB∥CF，
∴∠BAM=∠DFM，
∵M是AF的中点，
∴AM=FM，
在△ABM和△FDM中，
，
∴△ABM≌△FDM（ASA），
∴AB=DF，BM=DM，
∴AB=BC=DF，
在△BCE和△DFE中，
，
∴△BCE≌△DFE（SAS），
∴BE=DE，∠BEC=∠DEF，
∴∠BED=∠BEC+∠CED=∠DEF+∠CED=∠CEF=90°，∴△BDE是等腰直角三角形，
又∵BM=DM，
∴BM=ME=BD，
故BM=ME．
【点评】本题考查了三角形中位线定理、全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，作辅助线构造出中位线、全等三角形和等腰直角三角形是解题的关键，也是本题的难点．
26．如图，在平面直角坐标系中，AB∥OC，A（0，12），B（a，c），C（b，0），并且a，
b满足b=++16．一动点P从点A出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向点B运动；动点Q从点O出发在线段OC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，点P、Q分别从点A、O同时出发，当点P运动到点B时，点Q随之停止运动．设运动时间为t（秒）
（1）求B、C两点的坐标；
（2）当t为何值时，四边形PQCB是平行四边形？并求出此时P、Q两点的坐标；
（3）当t为何值时，△PQC是以PQ为腰的等腰三角形？并求出P、Q两点的坐标．
【考点】平行四边形的判定；坐标与图形性质；等腰三角形的判定；勾股定理．
【分析】（1）根据二次根式的性质得出a，b的值进而得出答案；
（2）由题意得：QP=2t，QO=t，PB=21﹣2t，QC=16﹣t，根据平行四边形的判定可得21﹣2t=16﹣t，再解方程即可；
（3）①当PQ=CQ时，122+t2=（16﹣t）2，解方程得到t的值，再求P点坐标；②当PQ=PC 时，由题意得：QM=t，CM=16﹣2t，进而得到方程t=16﹣2t，再解方程即可．
【解答】解：（1）∵b=++16，
∴a=21，b=16，
故B（21，12）C（16，0）；
（2）由题意得：QP=2t，QO=t，
则：PB=21﹣2t，QC=16﹣t，
∵当PB=QC时，四边形PQCB是平行四边形，
∴21﹣2t=16﹣t，
解得：t=5，
∴P（10，12）Q（5，0）；
（3）当PQ=CQ时，过Q作QN⊥AB，
由题意得：122+t2=（16﹣t）2，
解得：t=，
故P（7，12），Q（，0），
当PQ=PC时，过P作PM⊥x轴，
由题意得：QM=t，CM=16﹣2t，
则t=16﹣2t，
解得：t=，2t=，
故P（，12），Q（，0）．
【点评】此题主要考查了平行四边形的判定，等腰三角形的判定，关键是注意分类讨论，不要漏解．。