福建省晋江市季延中学高三数学 解答题 理 新人教版

福建省晋江市季延中学2013届高三数学解答题理新人教版
16.如图，已知平面上直线l1//l2，A、B分别是l1、l2上的动点，C是l1，l2之间一定点，C到l1的距离
(1)判断三角形ΔABC的形状；
17.某校举行环保知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分，初赛采用选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5次选题答题的机会，选手累计答对3题或答错3题即终止其初赛的比赛，答对3题者直接进
入决赛，答错3题者则被淘汰。

已知选手甲答题连续两次答错的概率为1
9
，（已知甲回答每个问题的正确
率相同，并且相互之间没有影响。

）
（I）求选手甲可进入决赛的概率；
（Ⅱ）设选手甲在初赛中答题的个数为ξ，试写出ξ的分布列，并求ξ的数学期望。

18.如图，四棱锥S-ABCD中，四边形ABCD为矩形,M为AB中点，且△SAB为等腰直角三角形， SA=SB=2, SC⊥BD, DA⊥平面SAB.
(1)求证：平面SBD⊥平面SMC
(2）设四棱锥S－ABCD外接球的球心为H，求棱锥H－MSC的高；
(3)求平面SAD与平面SMC所成的二面角的正弦值。

19. 己知A 、B 、C 是椭圆m ：22
221x y a b
+=（0a b >>）上的三点，其中点A 的坐标为，BC 过椭圆的中心，且0AC BC ⋅=，||2||BC AC =。

（Ⅰ）求椭圆m 的方程；
（Ⅱ）过点(0,)t 的直线l (斜率存在时)与椭圆m 交于两点P ，Q ，设D 为椭圆m 与y 轴负半轴的交点，且||||DP DQ =，求实数t 的取值范围．
20．对于定义在实数集R 上的两个函数(),()f x g x ，若存在一次函数()=+h x kx b 使得，对任意的∈x R ，都有()()()≥≥f x h x g x ，则把函数()h x 的图像叫函数(),()f x g x 的“分界线”。

现已知
2()(22)=++x f x ax x e （0≥a ，e 为自然对数的底数）
，2()41=-++g x x x 。

（1）求()f x 的递增区间；
（2）当0=a 时，函数(),()f x g x 是否存在过点(0,1)的“分界线”？若存在，求出函数()h x 的解析式，若不存在，请说明理由。

季延中学高三年数学（理）解答题专练6参考答案
19.解：（Ⅰ）∵||2|BC AC =且BC 过(0,0)，则||||OC AC =．
∵0AC BC ⋅=，∴90OCA ∠=︒
，即C ．……2分
又∵a =m 的方程为2
2
211212x y c +=-，
将C 点坐标代入得23
3
11212c +=-，
解得28c =，24b =．
∴椭圆m 的方程为22
1124x y +=． ……5分
（Ⅱ）由条件(0,2)D -，
当0k =时，显然22t -<<；………6分
当0k ≠时，设l ：y kx t =+，
2
2
1124x y y kx t
⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得222(13)
63120k x ktx t +++-=
由0∆>可得，22412t k <+ ……①………8分
设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，PQ 中点00(,)H x y ，则12023213x x kt x k +-==+，00213t
y kx t k =+=+, ∴
223(,)1313kt
t H k k -++．………10分
由|||DP DQ =，∴DH PQ ⊥，即1
DH k k =-。

∴
22211330
13t
k kt k k ++=---+，
化简得213t k =+……② ∴1t > 将①代入②得，14t <<。

∴t 的范围是(1,4)。

综上(2,4)t ∈-． (12)
20．解：（1）2'()(22)(22)(2)(2)=++++=++x x x f x a e ax x e x ax e ，
由'()0>f x 得(2)(2)0++>x ax
①若0=a ，则2>-x ，此时()f x 的递增区间为(2,)-+∞；
②若01<<a ，则2
<-x a 或2>-x ，此时()f x 的递增区间为2
(,),(2,)-∞--+∞a ；
③若1=a ，则()f x 的递增区间为(,)-∞+∞；
④若1>a ，则2<-x 或2
>-x a ，此时()f x 的递增区间为2
(,2),(,)-∞--+∞a 。

（2）当0=a 时，()(22)=+x f x x e ，假设存在实数k ，使不等式2()141≥+≥-++f x kx x x 对∈x R 恒
成立，
由2
141+≥-++kx x x 得到2(4)0+-≥x k x 对∈x R 恒成立，
则2(4)0-≤k ，得4=k ，
下面证明(22)41+≥+x x e x 对∈x R 恒成立。

设()(22)41=+--x x x e x ϕ，'()(24)4=+-x x x e ϕ，'(0)0=ϕ，
且0>x 时，(24)414+>⨯=x x e ，'()0>x ϕ， 0<x 时，(24)44,'()0+<<<x x x e e x ϕ，
所以min ()(0)10==>x ϕϕ，即(22)41+≥+x x e x 对∈x R 恒成立。

综上，存在函数()41=+h x x 的图像是函数(),()f x g x 过点(0,1)的“分界线”。