2020-2021高中三年级数学下期末第一次模拟试卷带答案(4)

2020-2021高中三年级数学下期末第一次模拟试卷带答案(4)
一、选择题
1．如果42
ππ
α<<，那么下列不等式成立的是（ ）
A ．sin cos tan ααα<<
B ．tan sin cos ααα<<
C ．cos sin tan ααα<<
D ．cos tan sin α
αα<<
2．在二项式4
2n
x x ⎛
+ ⎪⎭的展开式，前三项的系数成等差数列，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为（ ） A ．
1
6
B ．
14
C ．
512
D ．
13
3．函数2
||()x x f x e -=的图象是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4．如图，AB 是圆的直径，PA 垂直于圆所在的平面，C 是圆上一点(不同于A 、B )且PA ＝
AC ，则二面角P －BC －A 的大小为( )
A ．60︒
B ．30°
C ．45︒
D ．15︒
5．若θ是ABC ∆的一个内角，且1
sin θcos θ8=-，则sin cos θθ-的值为（ ） A ．3 B ．
32
C ．52
-
D 5 6．5
22x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10 B ．20 C ．40 D ．80 7．由a 2，2﹣a ，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则实数a 的取值可以是（ ）
A ．1
B ．﹣2
C ．6
D ．2
8．若0,0a b >>，则“4a b +≤”是 “4ab ≤”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件 9．已知锐角三角形的边长分别为2，3，x ，则x 的取值范围是（ ）
A ．513x <<
B ．135x <<
C ．25x <<
D ．55x <<
10．样本12310,?
,?,? a a a a ⋅⋅⋅的平均数为a ，样本12310,?,?,? b b b b ⋅⋅⋅的平均数为b ，那么样本1122331010,? ,,? ,?,,?,? a b a b a b a b ⋅⋅⋅的平均数为（ ）
A ．()a b +
B ．2()a b +
C ．
1
()2
a b + D ．
1
()10
a b + 11．在[0,2]π内，不等式3
sin x <-的解集是（ ） A ．(0)π，
B ．4,33ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭
C ．45,33ππ⎛⎫
⎪⎝⎭ D ．5,23ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
12．已知长方体的长、宽、高分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ） A ．25π
B ．50π
C ．125π
D ．都不对
二、填空题
13．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北
的方向上，行驶600m 后到达处，测得此山顶在西偏北
的方向上，仰角为
，则此山的高度
________ m.
14．在区间[1,1]-上随机取一个数x ，cos
2
x
π的值介于1
[0,]2
的概率为 ．
15．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于y 轴对称.若1
sin 3
α=
，则cos()αβ-=___________. 16．若函数3
211()23
2f x x x ax =-++ 在2,3⎡⎫
+∞⎪⎢⎣⎭
上存在单调增区间，则实数a 的取值范围是_______.
17．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，
从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查．已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽取_______名学生．
18．ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2b =，3c =，2C B =，则
ABC V 的面积为______．
19．如图，长方体1111ABCD A B C D -的体积是120，E 为1CC 的中点，则三棱锥E -BCD 的体积是_____.
20．若函数2
()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是
__________．
三、解答题
21．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳
不喜欢游泳
合计
男生
10
女生
20
合计
已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为． （1）请将上述列联表补充完整；
（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；
（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机
抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率． 下面的临界值表仅供参考： P
（K 2≥k）
0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
（参考公式：2
2
n(ad bc)K (a b)(c d)(a c)(b d)
-=++++，其中n=a+b+c+d ）
22．已知数列{}n a 满足1112,22n n n a a a ++==+. （1）设2n
n n
a b =
，求数列{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ； （3）记()
()
2
1
1422n
n
n n n n
n c a a +-++=
，求数列{}n c 的前n 项和n T .
23．已知2256x ≤且21log 2x ≥
，求函数22
()log log 2
2
x x
f x =⋅的最大值和最小值． 24．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E .124AA AB AD ===.
（1）证明：AE ⊥平面ECD ；
（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值.
25．2016年某市政府出台了“2020年创建全国文明城市简称创文”的具体规划，今日，作为“创文”项目之一的“市区公交站点的重新布局及建设”基本完成，市有关部门准备对项目进行调查，并根据调查结果决定是否验收，调查人员分别在市区的各公交站点随机抽取若干市民对该项目进行评分，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图，相关规则为：
调查对象为本市市民，被调查者各自独立评分；
采用百分制评分，
内认定为满意，80分及以上认定为非常满意；
市民对公交站点布局的满意率不低于
即可进行验收；
用样本的频率代替概率．
求被调查者满意或非常满意该项目的频率；
若从该市的全体市民中随机抽取3人，试估计恰有2人非常满意该项目的概率； 已知在评分低于60分的被调查者中，老年人占，现从评分低于60分的被调查者中按年龄分层抽取9人以便了解不满意的原因，并从中选取2人担任群众督察员，记为群众督查员中老年人的人数，求随机变量的分布列及其数学期望
．
26．一个盒子里装有三张卡片，分别标记有数字1，2，3，这三张卡片除标记的数字外完全相同．随机有放回地抽取3次，每次抽取1张，将抽取的卡片上的数字依次记为a ，b ，
c .
（Ⅰ）求“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率； （Ⅱ）求“抽取的卡片上的数字a ，b ，c 不完全相同”的概率.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题 1．C 解析：C 【解析】 【分析】
分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解. 【详解】
如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.
【点睛】
本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
2．C
解析：C 【解析】 【分析】
先根据前三项的系数成等差数列求n ，再根据古典概型概率公式求结果 【详解】
因为42n
x x 前三项的系数为1212111(1)1,,112448n n n n n n C C C C n -⋅⋅∴=+⋅∴-= 1634
18
118,0,1,2,82
r
r r r n n T C x r -
+>∴=∴=⋅=Q L ，
当0,4,8r =时，为有理项，从而概率为63679
95
12
A A A =,选C. 【点睛】
本题考查二项式定理以及古典概型概率，考查综合分析求解能力，属中档题.
3．A
解析：A 【解析】 【分析】
通过(0)1f =，和函数f(x)>0恒成立排除法易得答案A ． 【详解】
2
||()x x f x e -=，可得f(0)=1,排除选项C,D;
由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B ， 故选A 【点睛】
图像判断题一般通过特殊点和无穷远处极限进行判断，属于较易题目．
4．C
解析：C
由条件得：PA ⊥BC ，AC ⊥BC 又PA ∩AC ＝C ，
∴BC ⊥平面P AC ，∴∠PCA 为二面角P －BC －A 的平面角．在Rt △P AC 中，由P A ＝AC 得∠PCA ＝45°，故选C ．
点睛：二面角的寻找主要利用线面垂直，根据二面角定义得二面角的棱垂直于二面角的平面角所在平面.
5．D
解析：D 【解析】
试题分析：θ是ABC ∆的一个内角,
，又，所以有
，故本题
的正确选项为D.
考点：三角函数诱导公式的运用.
6．C
解析：C 【解析】
分析：写出103152r r r
r T C x -+=n n ，然后可得结果
详解：由题可得()
52
10315522r
r
r r r r
r T C x C x
x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
n n 令103r 4-=,则r 2=
所以22
552240r r C C n =⨯=
故选C.
点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。

7．C
解析：C 【解析】
试题分析：通过选项a 的值回代验证，判断集合中有3个元素即可． 解：当a=1时，由a 2=1，2﹣a=1，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 当a=﹣2时，由a 2=4，2﹣a=4，4组成一个集合A ，A 中含有1个元素， 当a=6时，由a 2=36，2﹣a=﹣4，4组成一个集合A ，A 中含有3个元素， 当a=2时，由a 2=4，2﹣a=0，4组成一个集合A ，A 中含有2个元素， 故选C ．
点评：本题考查元素与集合的关系，基本知识的考查．
8．A
解析：A 【解析】
本题根据基本不等式，结合选项，判断得出充分性成立，利用“特殊值法”，通过特取
,a b 的值，推出矛盾，确定必要性不成立.题目有一定难度，注重重要知识、基础知识、逻辑推理能力的考查. 【详解】
当0, 0a >b >时，a b +≥，则当4a b +≤时，有4a b ≤+≤，解得
4ab ≤，充分性成立；当=1, =4a b 时，满足4ab ≤，但此时=5>4a+b ，必要性不成
立，综上所述，“4a b +≤”是“4ab ≤”的充分不必要条件. 【点睛】
易出现的错误有，一是基本不等式掌握不熟，导致判断失误；二是不能灵活的应用“赋值法”，通过特取,a b 的值，从假设情况下推出合理结果或矛盾结果.
9．A
解析：A 【解析】
试题分析：因为三角形是锐角三角形，所以三角形的三个内角都是锐角，则设边3对的锐
角为角α，根据余弦定理得22223
cos 04x x
α+-=>，解得x >x 边对的锐角为
β
，根据余弦定理得222
23cos 012
x β+-=>，解得0x <<x 的取值范
x << A. 考点：余弦定理.
10．C
解析：C 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可知1210121010,10a a a a b b b b +++=+++=L L ，所以所求平均数为
()
12101210121012101
2020202
a a a
b b b a a a b b b a b +++++++++++++=+=+L L L L
考点：样本平均数
11．C
解析：C 【解析】 【分析】
根据正弦函数的图象和性质，即可得到结论． 【详解】
解：在[0，2π]内，
若sin x 3
2
-
＜，则43π＜x 53π＜， 即不等式的解集为（43π，53
π）， 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查利用三角函数的图象与性质解不等式，考查数形结合的思想，属于基础题．
12．B
解析：B 【解析】 【分析】
根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得2
25
2
R =，再由球的表面积公式，即可求解． 【详解】
设球的半径为R ，根据长方体的对角线长等于其外接球的直径，可得
2
2
2
3524R =++，解得2
252R =
，所以球的表面积为2
2544502
S R πππ==⨯
=球. 故选：B 【点睛】
本题主要考查了长方体的外接球的性质，以及球的表面积的计算，其中解答中熟练应用长方体的对角线长等于其外接球的直径，求得球的半径是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题．
二、填空题
13．1006【解析】试题分析:由题设可知在中由此可得由正弦定理可得解之得又因为所以应填1006考点：正弦定理及运用 解析：
【解析】
试题分析:由题设可知在中,,由此可得,由
正弦定理可得,解之得,又因为,所以
,应填
.
考点：正弦定理及运用．
14．【解析】试题分析：由题意得因此所求概率为考点：几何概型概率
解析：1
3
【解析】
试题分析：由题意得
1220cos
,[1,1]112232222333
x
x x x x x πππππππ≤≤∈-⇒≤≤-≤≤-⇒≤≤-≤≤-或或，因此所求概率为22(1)
13.1(1)3-=--
考点：几何概型概率
15．【解析】试题分析：因为和关于轴对称所以那么（或）所以【考点】同角三角函数诱导公式两角差的余弦公式【名师点睛】本题考查了角的对称关系以及诱导公式常用的一些对称关系包含：若与的终边关于轴对称则若与的终边
解析：7
9
-
【解析】
试题分析：因为α和β关于y 轴对称，所以2,k k Z αβππ+=+∈，那么
1sin sin 3βα==，22cos cos αβ=-=（或22
cos cos βα=-=），
所以()2
2
2
7
cos cos cos sin sin cos sin 2sin 19
αβαβαβααα-=+=-+=-=-
. 【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：若α与β的终边关于y 轴对称，则2,k k Z αβππ+=+∈ ，若α与β的终边关于x 轴对称，则2,k k Z αβπ+=∈，若α与β的终边关于原点对称，则2,k k Z αβππ-=+∈.
16．【解析】【分析】【详解】试题分析：当时的最大值为令解得所以a 的取值范围是考点：利用导数判断函数的单调性
解析：1(,)9
-+∞ 【解析】 【分析】
【详解】
试题分析：2
211()2224f x x x a x a ⎛⎫=-++=--++ ⎪⎝
⎭'．当23x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，时，()f x '的最大值为
22239f a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭'，令2209a +>，解得19a >-，所以a 的取值范围是1,9⎛⎫
-+∞ ⎪⎝⎭
．
考点：利用导数判断函数的单调性．
17．60【解析】【分析】采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的【详解】∵该校一年级二年级三年级四年级的本科生人数之比为4:5:5:6∴应从一年级本科生中抽取学生人
解析：60 【解析】 【分析】
采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查的. 【详解】
∵该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为4:5:5:6， ∴应从一年级本科生中抽取学生人数为：4
300604556
⨯=+++.
故答案为60.
18．【解析】【分析】由已知利用正弦定理二倍角的正弦函数公式可求的值根据同角三角函数基本关系式可求的值利用二倍角公式可求的值根据两角和的正弦函数公式可求的值即可利用三角形的面积公式计算得解【详解】由正弦定
【解析】 【分析】
由已知利用正弦定理，二倍角的正弦函数公式可求cos B 的值，根据同角三角函数基本关系式可求sin B 的值，利用二倍角公式可求sin C ，cos C 的值，根据两角和的正弦函数公式可求sin A 的值，即可利用三角形的面积公式计算得解． 【详解】
2b =Q ，3c =，2C B =，
∴由正弦定理sin sin b c B C =，可得：23
sin sin B C
=，可得：
233sin sin22sin cos B B B B
==，
∴可得：3cos 4B =
，可得：sin B ==，
∴可得：sin sin22sin cos 8C B B B ===，21
cos cos22cos 18C B B ==-=，
()13sin sin sin cos cos sin 84A B C B C B C ∴=+=+=
+=
，
11sin 2322S bc A ∴=
=⨯⨯=
．
． 【点睛】
本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说 ,当条件中同时出现ab 及2b 、2a 时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.
19．【解析】【分析】由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积【详解】因为长方体的体积为120所以因为为的中点所以由长方体的性质知底面所以是三棱锥的底面上的高所以三棱锥的体积【点睛】本题蕴
解析：【解析】 【分析】
由题意结合几何体的特征和所给几何体的性质可得三棱锥的体积. 【详解】
因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为120， 所以1120AB BC CC ⋅⋅=， 因为E 为1CC 的中点， 所以11
2
CE CC =
， 由长方体的性质知1CC ⊥底面ABCD ， 所以CE 是三棱锥E BCD -的底面BCD 上的高， 所以三棱锥E BCD -的体积
1132V AB BC CE =⨯⋅⋅=11111
1201032212AB BC CC =⨯⋅⋅=⨯=.
【点睛】
本题蕴含“整体和局部”的对立统一规律.在几何体面积或体积的计算问题中，往往需要注意理清整体和局部的关系，灵活利用“割”与“补”的方法解题.
20．【解析】【分析】由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立根据分离变量的方式得到在上恒成立利用二次函数的性质求得的最大值进而得
到结果【详解】函数在上单调递增在上恒成立在上恒成立令根据二次函数的
解析：1
8
【解析】 【分析】
由函数单调递增可得导函数在区间内大于等于零恒成立，根据分离变量的方式得到
22a x x ≥-在()0,∞+上恒成立，利用二次函数的性质求得22x x -的最大值，进而得到结
果. 【详解】
Q 函数()21ln f x x x a x =-++在()0,∞+上单调递增
()210a
f x x x
'∴=-+
≥在()0,∞+上恒成立 22a x x ∴≥-在()0,∞+上恒成立 令()2
2g x x x =-，0x > 根据二次函数的性质可知：当14
x =
时， ()max 18g x =
1
8a ∴≥
，故实数a 的最小值是18
本题正确结果：1
8
【点睛】
本题考查根据函数在区间内的单调性求解参数范围的问题，关键是能将问题转化为导函数的符号的问题，通过分离变量的方式将问题转变为参数与函数最值之间的关系问题.
三、解答题
21．（1）列联表见解析；（2）有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关；（3）.
【解析】
试题分析：（1）根据在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为
35
， 可得喜爱游泳的学生，即可得到列联表；（2）利用公式求得2K 与邻界值比较，即可得到结论；（3）利用列举法，确定基本事件的个数，即利用古典概型概率公式可求出恰好有1人喜欢游泳的概率.
试题解析：（1）因为在100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为， 所以喜欢游泳的学生人数为人
其中女生有20人，则男生有40人，列联表补充如下：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 40 10 50 女生 20 30 50 合计 60
40
100
（2）因为
所以有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关
（3）5名学生中喜欢游泳的3名学生记为a ，b ，c ，另外2名学生记为1， 2，任取2名学
生，则所有可能情况为（a ，b ）、（a ，c ）、（a ，1）、（a ，2）、（b ，c ）、（b ，1）、（b ，2）、（c ，1）、（c ，2）、（1，2），共10种.
其中恰有1人喜欢游泳的可能情况为（a ，1）、（a ，2）、（b ，1）、（c ，1）、 （c ，2），共6种
所以，恰好有1人喜欢游泳的概率为
【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式，以及独立性检验的应用，属于中档题，利用古典概型概率公式,求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先11(,)A B ，12(,)A B …. 1(,)n A B ，再21(,)A B ，
22(,)A B …..2(,)n A B 依次31(,)A B 32(,)A B ….3(,)n A B … 这样才能避免多写、漏写现象
的发生.
22．（1）n b n =（2）()1
122n n S n +=-+（3）()()()1
1
4123312
n n n n +++---+⋅ 【解析】 【分析】 【详解】
（1）由1
122n n n a a ++=+得11n n b b +=+，得n b n =；
（2）易得2n
n a n =g ，1223112222,212222,n n n n S n S n +=⨯+⨯++⨯=⨯+⨯++⨯L L
错位相减得121
11222222212
n
n n n n S n n ++--=+++-⨯=⨯-⨯-L
所以其前n 项和()1
122n n S n +=-+； （3）()
()
()()
()()()()()()2
2
2
11
1
1422142
121·2?12?12?12n
n
n
n
n n n n n n
n n
n n
n n n
c n n n n n n +++-++-++-++++=
=
=+++
()
()()()()()11
11111111112?21?222?21?2n
n n n n
n n n n n n n n n ++++⎛⎫⎛⎫---⎛⎫ ⎪=
+-+=-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭⎝⎭
，
()()()()()()2231212231
111111*********?22?22?23?2?21?2n n n n n n T n n ++⎡
⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎤------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪=-+-++-+-+-++-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
L L ()()1112113621?2n n
n n ++-⎛⎫=-+-- ⎪+⎝⎭或写成()()()1
1
412331?2n n n n +++---+.
点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 23．最小值为1
4
-，最大值为2. 【解析】 【分析】 由已知条件化简得21
log 32
x ≤≤，然后化简()f x 求出函数的最值 【详解】
由2256x ≤得8x ≤，2log 3x ≤即
21
log 32
x ≤≤ ()()()2
22231log 1log 2log 24f x x x x ⎛
⎫=-⋅-=-- ⎪⎝
⎭.
当23log ,2x = ()min 1
4
f x =-，当2lo
g 3,x = ()max 2f x =． 【点睛】
熟练掌握对数的基本运算性质是转化本题的关键，将其转化为二次函数的值域问题，较为基础．
24．（1）证明见解析；（2
）9
【解析】 【分析】
（1）证明1AA CD ⊥，CD AD ⊥，推出CD ⊥平面11AA D D ，得到CD AE ⊥，证明
AE ED ⊥，即可证明AE ⊥平面ECD ；
（2）建立坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量的数量积求解直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值． 【详解】
（1）证明：∵四棱柱1111ABCD A B C D -是直四棱柱， ∴1AA ⊥平面ABCD ，而CD ⊂平面ABCD ，则1AA CD ⊥， 又CD AD ⊥，1AA AD A =I ，
∴CD ⊥平面11AA D D ，因为平面11AA D D ，∴CD AE ⊥， ∵1AA AD ⊥，1AA AD =， ∴11AA D D 是正方形，∴AE ED ⊥， 又CD ED D =I ，∴AE ⊥平面ECD .
（2）解：建立如图所示的坐标系，1A D 与1AD 交于点E ，124AA AD AB ===，
则()()()()10,0,0,0,0,4,2,4,0,0,4,0A A C D ， ∴()0,2,2E ， ∴()()()12,4,4,2,4,0,0,2,2A C AC AE =-==u u u u r u u u r u u u r
，
设平面EAC 的法向量为(),,n x y z =r ，则·0·
0n AC n AE ⎧=⎨=⎩u u u v v u u u v v ，即240220x y y z +=⎧⎨+=⎩，
不妨取()2,1,1n =--r
，
则直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值为4446
=63666n AC n AC
-+-==r u u u r g r u u u r g ．
【点睛】
本题主要考查直线与平面所成角的求法，考查直线与平面垂直的判断和性质，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 25．（1）；（2）
；（3）.
【解析】
试题分析：（1）根据直方图的意义，求出后四个小矩形的面积和即可求得被调查者满意或非常满意该项目的频率；（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是
，根据独立重复试验次发生次的概率公式可得结果；
（3）随机变量的所有可能取值为0，1，2，利用组合知识根据古典概型概率公式分别求出各随机变量的概率，即可得分布列，根据期望公式可得结果.
试题解析：（1）根据题意：60分或以上被认定为满意或非常满意，在频率分布直方图中，
评分在的频率为：
；
（2）根据频率分布直方图，被调查者非常满意的频率是
，
用样本的频率代替概率，从该市的全体市民中随机抽取1人， 该人非常满意该项目的概率为，
现从中抽取3人恰有2人非常满意该项目的概率为：
；
（3）∵评分低于60分的被调查者中，老年人占， 又从被调查者中按年龄分层抽取9人， ∴这9人中，老年人有3人，非老年人6人， 随机变量的所有可能取值为0，1，2，
的分布列为：
0 1 2
的数学期望
.
26．（1）19；（2）89
. 【解析】
试题分析：（1）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，而满足a b c +=的
(,,)a b c 共计3个，由此求得“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率；
（2）所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，用列举法求得满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 共计三个，由此求得“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率，再用1减去此概率，即得所求．
试题解析：（1） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种，
而满足a b c +=的(,,)a b c 有(1,1,2)、(1,2,3)、(2,1,3)共计3个 故“抽取的卡片上的数字满足a b c +=”的概率为
31279
= （2） 所有的可能结果(,,)a b c 共有33327⨯⨯=种
满足“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的(,,)a b c 有(1,1,1)、(2,2,2)、(3,3,3)共计三个
故“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 完全相同”的概率为
31279
= 所以“抽取的卡片上的数字a 、b 、c 不完全相同”的概率为18199
-= 考点：独立事件的概率．
【方法点睛】求复杂事件的概率通常有两种方法：一是将所求事件转化成彼此互斥的事件的和；二是先求其对立事件的概率，然后再应用公式求解．如果采用方法一，一定要将事件拆分成若干个互斥事件，不能重复和遗漏；如果采用方法二，一定要找准其对立事件，否则容易出现错误．。