辽宁省沈阳市2018届高三教学质量监测(一)数学(理)试卷(含答案)

2018年沈阳市高中三年级教学质量监测（一）
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若i 是虚数单位，则复数
231i
i
++的实部与虚部之积为（ ） A ．54- B ．54 C ．54i D ．54
i -
2.设集合{|1}A x x =>，{|21}x B x =>，则（ ） A ．{|0}A B x x => B ．A B R =
C ．{|0}A
B x x => D ．A B =∅
3.命题“若0xy =，则0x =”的逆否命题是（ ） A ．若0xy =，则0x ≠ B ．若0xy ≠，则0x ≠ C ．若0xy ≠，则0y ≠ D ．若0x ≠，则0xy ≠
4.已知一个算法的程序框图如图所示，当输出的结果为0时，输入的实数x 的值为（ ）
A ．-3
B ．-3或9 C.3或-9 D ．-9或-3
5.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度.割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积.若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边
形的概率是（ ） A
．
4π B
．2π C.12π D ．14π
6.如图所示，络纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某简单几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
43π B ．83π C.163π D ．323
π 7.设x y 、满足约束条件2330
233030
x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪+≥⎩
，则12z x y =+的最大值是（ ）
A ．-15
B ．-9 C.1 D ．9
8.若4个人按原来站的位置重新站成一排，恰有一个人站在自己原来的位置，则共有（ ）种不同的站法.
A ．4
B ．8 C.12 D ．24
9.函数22sin 2sin cos 3cos y x x x x =++在(0,)2
x π
∈的单调递增区间是（ ）
A ．(0,)4
π B ．(,)42ππ C.(0,)8π D ．(,)84ππ
10.已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的一条渐近线与圆22(4)4x y -+=相切，则该双曲线
的离心率为（ ） A ．2 B 23
3 D ．32
11.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，若12a =，且1564a a ⋅=，则数列1{}
(1)(1)
n
n n a a a +--的前n 项和是（ ）
A ．11121
n +-
- B ．1121n -
+ C.1121n -+ D ．1
121
n -- 12.设函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且(2)(2)f x f x +=-，当[2,0]x ∈-时，
2()(
1x
f x =-，若在区间(2,6)-内关于x 的方程()lo
g (2)0a f x x -+=（0a >且1a ≠）有且只有4个不同的根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．1(,1)4
B ．(1,4) C.(1,8) D ．(8,)+∞
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题纸上.
13.已知随机变量2(1,)N ξ
σ，若(3)0.2P ξ>=，则(1)P ξ≥-= ．
14.在推导等差数列前n 项和的过程中，我们使用了倒序相加的方法，类比可求得
222sin 1sin 2sin 89︒︒︒+++= ．
15.已知正三角形AOB ∆（O 为坐标原点）的顶点A B 、在抛物线23y x =上，则AOB ∆的边长是 ．
16.已知ABC ∆是直角边为2的等腰直角三角形，且A 为直角顶点，P 为平面ABC 内一点，则PA PB PC ⋅+（）
的最小值是 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.
（一）必考题：共60分.
17.在ABC ∆中，已知内角,,A B C 对边分别是,,a b c ，且2cos 2c B a b =+. （Ⅰ）求C ∠；
（Ⅱ）若6a b +=，ABC ∆的面积为23，求c .
18.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是正方形，且
PA PD =，90APD ︒∠=.
（Ⅰ）证明：平面PAB ⊥平面PCD ； （Ⅱ）求二面角A PB C --的余弦值.
19.高中生在被问及“家，朋友聚集的地方，个人空间”三个场所中“感到最幸福的场所在哪里？”这个问题时，从中国某城市的高中生中，随机抽取了55人，从美国某城市的高中生中随机抽取了45人进行答题.中国高中生答题情况是：选择家的占
2
5
、朋友聚集的地方占15、个人空间占25.美国高中生答题情况是：家占15、朋友聚集的地方占35、个人空间占15
.为了考察高中生的“恋家（在家里感到最幸福）”是否与国别有关，构建了如下22⨯列联表.
（Ⅰ）请将22⨯列联表补充完整；试判断能否有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关； （Ⅱ）从中国高中生的学生中以“是否恋家”为标准采用分层抽样的方法，随机抽取了5人，再从这5人中随机抽取2人.若所选2名学生中的“恋家”人数为X ，求随机变量X 的分布列及期望.
附：22
()()()()()
n ad bc k a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++.
20.设O 为坐标原点，动点M 在椭圆194
x y +=上，过M 作x 轴的垂线，垂足为N ，点P
满足2NP NM =.（Ⅰ）求点P 的轨迹方程E ；
（Ⅱ）过(1,0)F 的直线1l 与点P 的轨迹交于A B 、两点，过(1,0)F 作与1l 垂直的直线2l 与点P 的轨迹交于C D 、两点，求证：
11
||||
AB CD +
为定值. 21.已知2()2x f x e ax x =--，a R ∈. （Ⅰ）求函数()f x 图象恒过的定点坐标； （Ⅱ）若'()1f x ax ≥--恒成立，求a 的值；
（Ⅲ）在（Ⅱ）成立的条件下，证明：()f x 存在唯一的极小值点0x ，且012()4
f x -<<-.
（二）选考题：共10分.请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：极坐标与参数方程
设过原点O 的直线与圆22(4)16x y -+=的一个交点为P ，M 点为线段OP 的中点，以原点
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
（Ⅰ）求点M 的轨迹C 的极坐标方程；
（Ⅱ）设点A 的极坐标为(3,)3
π
，点B 在曲线C 上，求OAB ∆面积的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知0a >，0b >，函数()||||f x x a x b =+--. （Ⅰ）当1a =，1b =时，解关于x 的不等式()1f x >； （Ⅱ）若函数()f x 的最大值为2，求证：11
2a b
+≥.
试卷答案
一、选择题
1-5:BCDBB 6-10:ACBCB 11、12：AD
二、填空题
13.0.8 14.44.5 15.63三、解答题
17.解：（Ⅰ）由正弦定理得
2sin cos 2sin sin C B A B =+
又sin sin()A B C =+
∴2sin cos 2sin()sin C B B C B =++
∴2sin cos 2sin cos 2cos sin sin C B B C B C B =++ ∴2sin cos sin 0B C B +=
∴1cos 2
C =- 又(0,)C π∈∴23
C π= （Ⅱ）由面积公式可得1
sin 232
ABC S ab C ∆== ∴8ab =
2222cos c a b ab C =+-=222()28a ab b a b ab ++=+-=
∴27c =法2：可解出24a b =⎧⎨=⎩或4
2
a b =⎧⎨=⎩代入2222cos 28c a b ab C =+-=，∴27c =18.（Ⅰ）证明：∵底面ABCD 为正方形，∴CD AD ⊥. 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，∴CD ⊥平面PAD . 又∵AP ⊂平面PAD ，∴CD AP ⊥. ∵PD AP ⊥，CD
PD D =，∴AP ⊥平面PCD .
∵AP ⊂平面PAB ，∴平面PAB ⊥平面PCD .
（Ⅱ）取AD 的中点为O ，BC 的中点为Q ，连接,PO OQ 易得PO ⊥底面ABCD ，OQ AD ⊥
以O 为原点，以,,OA OQ OP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，不妨设正方形的边长为2，可得(1,0,0)A ，(1,2,0)B ，(1,2,0)C -，(0,0,1)P 设平面APB 的一个法向量为1111(,,)n x y z = 而(1,0,1)PA =-，(1,2,1)PB =-
2200n PA n PB ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩即111
110
20x z x y z -=⎧⎨+-=⎩ 取11x =得1(1,0,1)n =
设平面BCP 的一个法向量为2222(,,)n x y z = 而(1,2,1)PB =-，(1,2,1)PC =--
则2200n PB n PC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即2222222020x y z x y z +-=⎧⎨-+-=⎩取21y =得2(0,1,2)n =
121212cos ,||||n n n n n n ⋅=
=⋅10
2510
==⨯
由图知所求二面角为钝角 故二面角A PB C --的余弦值为10
.
法2：若以D 为原点，建立空间直角坐标，如图， 不妨设正方形的边长为2 可得面PAB 的法向量1(1,0,1)n = 面PBC 的法向量2(0,1,2)n =
12
1212cos ,||||
n n n n n n ⋅=
=
⋅10
25
⨯ 由图可得A PB C --为钝角 ∴余弦值为10
.
19.（Ⅰ）
∴2
100(2236933)31695545K ⨯⨯-⨯=⨯⨯⨯100113
4.628 3.8413123
⨯⨯=≈>⨯
∴有95%的把握认为“恋家”与否与国别有关.
（Ⅱ）依题意得，5个人中2人来自于“在家中”是幸福，3人来自于“在其他场所”是幸福，X 的可能取值为0，1，2
0223253(0)10C C P X C ===，1123253(1)5C C
P X C ===，2023251
(2)10
C C P X C ===
∴X 的分布列为
∴3314
(
)012105105
E X =⨯+⨯+⨯=.
20.解：（Ⅰ）设(,)P x y ，易知(,0)N x ，(0,)NP y =， 又因为2
2
NM NP =
=，所以()2
M x y ，
又因为M 在椭圆上，所以2219x +=，即22
198x y +=.
（Ⅱ）当1l 与x 轴重合时，||6AB =，16||3
CD =， ∴
1117
||||48
AB CD +=
. 当1l 与x 轴垂直时，16
||3
AB =，||6CD =， ∴
1117
||||48
AB CD +=
. 当1l 与x 轴不垂直也不重合时，可设1l 的方程为(1)(0)y k x k =-≠ 此时设11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y
把直线1l 与曲线E 联立22(1)19
8y k x x y =-⎧⎪
⎨+=⎪
⎩，
得2222(89)189720k x k x k +-+-=，
可得12122
21220188997289k x x k k x x k ⎧
⎪∆>⎪
⎪
+=⎨+⎪
⎪-=
⎪+⎩
∴22
2
12122
48(1)
||1()489k AB k x x x x k
+++-=+， 把直线2l 与曲线E 联立22
1(1)19
8y x k
x y ⎧=--⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 同理可得22
121222148(1)||1()498k CD x x x x k k +=++-=+.
∴2222
11899817
||||48(1)48(1)48
k k AB CD k k +++=+=++. 21.（Ⅰ）因为要使参数a 对函数值不发生影响，所以必须保证0x =， 此时02(0)0201f e a =-⨯-⨯=，所以函数的图象恒过点(0,1). （Ⅱ）依题意得：221x e ax ax --≥--恒成立，∴1x e ax ≥+恒成立.
构造函数()1x g x e ax =--，
则()=1x g x e ax --恒过(0,0)，'()x g x e a =-， ①若0a ≤时，'()0g x >，∴()g x 在R 上递增， ∴1x e ax ≥+不能恒成立.
②若0a >时，'()0g x =，∴ln x a =.
∵(,ln )x a ∈-∞时，'()0g x <，函数()1x g x e ax =--单调递减；
(ln ,)x a ∈+∞时，'()0g x >，函数()1x g x e ax =--单调递增，
∴()g x 在ln x a =时为极小值点，(ln )ln 1g a a a a =--， ∴要使221x e ax ax --≥--恒成立，只需ln 10a a a --≥. 设()ln 1h a a a a =--，则函数()h a 恒过(1,0)，
'()1ln 1ln h a a a =--=-，
(0,1)a ∈，'()0h a >，函数()h a 单调递增； (1,)a ∈+∞，'()0h a <，函数()h a 单调递减，
∴()h a 在1a =取得极大值0，
∴要使函数()0h a ≥成立，只有在1a =时成立. （Ⅲ）'()22x f x e x =--，设()22x m x e x =--
'()2x m x e =-，令'()0m x >，ln 2x >
∴()m x 在(,ln 2)-∞单调递减，在(ln 2,)+∞单调递增，(ln 2)2ln 20m =-<
'()()22x f x m x e x ==--在ln 2x =处取得极小值
可得'()f x 一定有2个零点，分别为()f x 的一个极大值点和一个极小值点
设0x 为函数()f x 的极小值点，则0(0,2)x ∈，∴0'()0f x =，00220x
e x --=，
02000()2x f x e x x =--=22
00002222x x x x +--=-
因为22
(2)22260m e e =-⨯-=->，因为3
3/2
233()225022
m e e =-⨯-=-<，
所以在区间3
(,2)2上存在一个极值点，所以最小极值点在3(,2)2
内. ∵函数()f x 的极小值点的横坐标03(,2)2
x ∈，
∴函数()f x 的极小值2
001()2(2,)4f x x =-∈--，∴12()4
f x ︒-<<-
22.（Ⅰ）设(,)M ρθ，则(2,)P ρθ 又点P 的轨迹的极坐标方程为8cos ρθ= ∴28cos ρθ=，4cos ρθ=，2
k π
θ≠
，k Z ∈. （Ⅱ）直线OA 的直角坐标方程为3y x = 点(2,0)到直线的距离为3d max 1323
()32)||33322
OAB S OA ∆+===.
23.解：（Ⅰ）当1,1a b ==时，2,11
()2,12
12,2x f x x x x ⎧
⎪≥⎪⎪=≤<⎨⎪⎪-<⎪⎩
.
不等式()1f x >为|1||1|1x x +-->.
①当1x ≥时，因为不等式为1121x x +-+=>，所以不等式成立， 此时符合；符合要求的不等式的解集为{|1}x x ≥；
②当11x -≤<时，因为不等式为1121x x x ++-=>，所以1
2
x >， 此时，符合不等式的解集为1
{|
1}2
x x <<； ③当1x ≥时，因为不等式为1121x x --+-=->不成立，解集为空集； 综上所述，不等式()1f x >的解集为1{|}2
x x >. （Ⅱ）由绝对值三角不等式可得
||||||||x a x b a b +--≤+，0a >，0b >
∴2a b +=.
∴
111111()()(2)222b a
a b a b a b a b
+=++=++≥， 当且仅当1a b ==时，等号成立.
另解：（Ⅱ）因为0a >，0b >，所以0a b -<<， 所以函数()|||||()|||f x x a x b x a x b =+--=----
,()2,()(),()a b x b x a b a x b a b x a +≥⎧⎪
=+--<<⎨⎪-+≤-⎩
， 所以函数()f x 的图象是左右两条平行于x 轴的射线和中间连结成的线段， 所以函数的最大值等于a b +，所以2a b +=. ∵2a b +=，
∴
11111
()()22a b a b a b +=++≥. 或者1122(2)a a a a a a -++==--222
22(2)()
2
a a a a ≥=+--，
当且仅当2a a =-，即1a =时，“等号”成立.。