2018-2019学年重庆市大学城第一中学校高二下学期期中数学(理)试题(解析版)

2018-2019学年重庆市大学城第一中学校高二下学期期中数
学试题
一、单选题
1．设i 为虚数单位，则复数()
21i
z i i -=
+的共轭复数z =（ ）
A ．3122
i -
- B ．
3122i + C ．
3122
i - D ．3122
i -
+ 【答案】D
【解析】根据复数乘法和除法运算法则求出z ，即可求解. 【详解】
()2(2)(1)31(1)(1)2
i i i i
z i i i i ------=
==+-+--，
3122
z i =-+.
故选:D. 【点睛】
本题考查复数的代数运算，以及共轭复数，属于基础题. 2．已知函数23()22x f x x e =-，则02()2(0)lim x f x f x
∆→∆-=∆（ ）
A ．4
B ．2
C ．-2
D ．-4
【答案】D
【解析】由导数的定义得02()2(0)
lim
2(0)x f x f f x
∆→∆-'=∆，再求得函数()f x 的导数
()f x '，得到
(0)2f '=-，即可得到答案.
【详解】
由题意，根据导数的定义可得002()2(0)()(0)
lim 2lim 2(0)x x f x f f x f f x x
∆→∆→'∆-∆-==∆∆，
又由函数函数2
3()22
x f x x e =
-，则()32x f x x e -'=，所以0(0)3022f e =-'⨯=-， 所以02()2(0)
lim
2(0)4x f x f f x
∆→∆-'==-∆，故选D. 【点睛】
本题主要考查了导数的概念及其导数的运算问题，其中解答中正确理解导数的定义，以
及准确求解函数的导数是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题. 3．设函数
，则
是（ ）
A ．仅有最小值的奇函数
B ．仅有最大值的偶函数
C ．既有最大值又有最小值的偶函数
D ．非奇非偶函数
【答案】C
【解析】试题分析：先求导，转化为二次函数型的函数并利用三角函数的单调性求其最值，再利用函数的奇偶性的定义进行判断其奇偶性即可． 解：∵函数f （x ）=
，
∴f ′（x ）=cos2x+cosx=2cos 2x+cosx ﹣1=，当cosx=
时，f ′（x ）
取得最小值
；当cosx=1时，f ′（x ）取得最大值2．
且f ′（﹣x ）=f ′（x ）．即f ′（x ）是既有最大值，又有最小值的偶函数． 故选C ．
点评：熟练掌握复合函数的导数、二次函数型的函数的最值、三角函数的单调性及函数的奇偶性是解题的关键．
4．直线4y x =与曲线3
y x =在第一象限围成的封闭图形面积为a ，则5
a x x ⎛- ⎝展开
式中，x 的系数为 （ ） A ．20 B ．-20
C ．5
D ．-5
【答案】A
【解析】先通过积分运算得出a 的值为4，再通过二项展开式的通项公式计算含有x 的项，得出系数. 【详解】 由34y x
y x
=⎧⎨
=⎩， 得x=0，或x=2，或x=-2，因为a 为在第一象限围成的封闭图形面积， 所以()2
3
044a x x dx =
-=⎰，
5
4x x ⎛- ⎝展开式中的第1r +项为(()53552
55
414
r
r r
r
r r
r
C x C x
x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，
由
3512
r -=可得4r =，所以展开式中x 的系数为()44
51420C -⋅=. 【点睛】
本题考查定积分的应用、二项式定理、二项展开式通项公式、考查一定的计算能力，本题的易错点在于区分项的系数和二项式系数，属于基础题.
5．某研究机构在对具有线性相关的两个变量x y ，进行统计分析时，得到如下数据，由
表中数据求得y 关于x 的回归方程为$$0.65y x a
=+，则在这些样本中任取一点，该点落在回归直线下方的概率为（ ）
A ．
1
4
B ．
12
C ．
34
D ．0
【答案】B
【解析】求出,x y 代入回归方程，求出$a ，将自变量代入方程，求出$y ，找出$y y <的
点，即可求解. 【详解】
6,3,(6,3)x y ==代入回归方程得$$30.656,0.9a a =⨯+=-，
回归方程为$0.650.9y x =-，当3x =时，$1.051y =>， 当5x =时，$ 2.352y =>，当7x =时，$3.65y =，
当9x =时，$ 4.95y =，点落在回归直线下方有两点(3,1),(5,2)， 所以概率为1
2
. 故选:B. 【点睛】
本题考查回归中心点、样本点与线性回归直线的关系，以及古典概型的概率，属于基础题.
6．某市一次高三年级数学统测，经抽样分析，成绩X 近似服从正态分布2(84,)N σ，且(7884)0.3P X <≤=.该市某校有400人参加此次统测，估计该校数学成绩不低于90分的人数为（ ）
A ．60
B ．80
C ．100
D ．120
【答案】B
【解析】由题意，成绩X 近似服从正态分布(
)2
84,N σ
，则正态分布曲线的对称轴为
84X =，
根据正态分布曲线的对称性，求得()1
90[12(7884)]2
P X P X ≥=⨯-⨯<≤,进而可求解，得到答案. 【详解】
由题意，成绩X 近似服从正态分布(
)2
84,N σ，则正态分布曲线的对称轴为84X =，
又由(7884)0.3P X <≤=， 根据正态分布曲线的对称性，可得
()()11
90[12(7884)]10.60.222
P X P X ≥=⨯-⨯<≤=-=,
所以该市某校有400人中，估计该校数学成绩不低于90分的人数为4000.280⨯=人， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了正态分布曲线的性质的应用，其中解答中熟练应用正态分布曲线的对称性，求得成绩不低于90分的概率是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
7．261(1)(1)x x
+-的展开式中，常数项为( ) A ．－15 B ．16
C ．15
D ．－16
【答案】B
【解析】把6
11x ⎛⎫- ⎪⎝⎭
按照二项式定理展开，可得()
6
211x 1x ⎛⎫+- ⎪
⎝⎭
的展开式中的常数项．
【详解】 ∵(
)
2
611x
(1)x +-=（21x +）•（123456615201561
x x x x x x
-+-+-+），故它的展开式中
的常数项是1+15=16 故选：B 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，项的系数的性质，熟记公式是关键，属于基础题．
8．据统计，连续熬夜48小时诱发心脏病的概率为0.055 ，连续熬夜72小时诱发心脏
病的概率为0.19 . 现有一人已连续熬夜48小时未诱发心脏病，则他还能继续连续熬夜24小时不诱发心脏病的概率为（ ） A ．
67
B ．
335
C ．
1135
D ．0.19
【答案】A
【解析】分析：首先设出题中的事件，然后由题意结合条件概率公式整理计算即可求得最终结果.
详解：设事件A 为48h 发病，事件B 为72h 发病， 由题意可知：()()0.055,0.19P A P B ==， 则()()
0.945,0.81P A P B ==， 由条件概率公式可得：()
()()
()
()
0.816
|0.9457
P AB P B P B A P A P A ==
=
=. 本题选择A 选项.
点睛：本题主要考查条件概率公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
9．停车场划出一排9个停车位置，今有5辆不同的车需要停放，若要求剩余的4个空车位连在一起，则不同的停车方法有（ ） A ．
59A 种
B ．54
542A A 种
C ．5
55A 种
D ．5
56A 种
【答案】D
【解析】4个空车位连在一起与5辆进行排序，即可求出结果. 【详解】
4个空车位连在一起捆绑当作一个元素与5辆车构成6个元素， 共有6
6A 种排法. 故选:D. 【点睛】
本题考查排列的应用问题，注意运用相邻位置捆绑法，属于基础题.
10．若函数()3
x
f x x ke =-在()0+∞，
上单调递减，则k 的取值范围为（ ） A ．[)0+∞，
B ．327e ⎡⎫+∞⎪⎢
⎣⎭
， C ．212e ⎡⎫
+∞⎪⎢
⎣⎭
， D ．3
e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
，
【答案】C
【解析】求导求出()f x '
，求出()0f x '
≤在()0+∞，
恒成立k 的范围，分离参数k ，构
造新函数，求出k 与新函数的最值关系，即可求解. 【详解】
()32,()30x x f x x ke f x x ke '=-≤=-在()0+∞，
上恒成立， 即23,(0,)x x k x e ≥∈+∞恒成立，设2
3(),(0,)x x g x x e =∈+∞，
所以2max 633(2)(),()x x
x x x x k g x g x e e
---'≥==， 当()0,02g x x '><<，当()0,2g x x '<>， 当2x =时，()g x 取得极大值，也是最大值为2
12
()g x e =
， 212k e
≥
. 故选:C. 【点睛】
本题考查应用导数求单调区间，考查恒成立问题，分离参数是解题的关键，属于中档题. 11．已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，其导函数为()f x '，若对任意的正实数x ，
都有()()20xf x f x '+>恒成立，且1f =，则使()2
2x
f x <成立的实数x 的集
合为（ ）
A ．()
-∞+∞U
B ．(
C ．(-∞，
D ．)+∞
【答案】B
【解析】抽象函数解不等式考虑用函数的单调性，构造函数()()2
h x x f x ＝，可得()
h x
为偶函数，且在()h x 在()0+∞，
上为增函数，将不等式化为(||)h x h <，即可求解. 【详解】
令()()2
h x x f x ＝，易知函数()h x 为偶函数，
当0x >时，()()()()()()
2220h x xf x x f x x f x xf x '+'+'＝＝>，
所以()h x 在()0+∞，
上为增函数，
所以()2
2
2x f x f =
<，
即()||h x h
<，所以x <
，
解之得x <<.
故选:B. 【点睛】
本题考查抽象函数不等式，利用函数的单调性将不等式等价转换，解题的关键构造函数，构造函数通常从已知条件不等式或所求不等式结构特征入手，属于中档题.
12．已知函数()(3)(2ln 1)x f x x e a x x =-+-+在(1,)+∞上有两个极值点，且()f x 在
(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,)e +∞
B ．2(,2)e e
C ．2(2,)e +∞
D ．22(,2)(2,)e e e +∞U
【答案】C
【解析】求得函数的导数()(2)()x xe a f x x x
-'=-⋅，根据函数()f x 在(1,)+∞上有两
个极值点，转化为0x xe a -=在(1,)+∞上有不等于2的解，令()x
g x xe =，利用奥数
求得函数的单调性，得到()1a g e >=且()2
22a g e ≠=，又由()f x 在(1,2)上单调递
增，得到()0f x '≥在(1,2)上恒成立，进而得到x a xe ≥在(1,2)上恒成立，借助函数
()x g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，求得2(2)2a g e >=，即可得到答案.
【详解】
由题意，函数()(3)(2ln 1)x
f x x e a x x =-+-+，
可得2()(3)(1)(2)()(2)()x x
x
x
a xe a f x e x e a x e x x x x
-'=+-+-=--=-⋅，
又由函数()f x 在(1,)+∞上有两个极值点，
则()0f x '=，即(2)()0x xe a
x x
--⋅=在(1,)+∞上有两解，
即0x xe a -=在在(1,)+∞上有不等于2的解， 令()x
g x xe =，则()(1)0,(1)x
g x x e x '=+>>，
所以函数()x
g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，
所以()1a g e >=且()2
22a g e ≠=，
又由()f x 在(1,2)上单调递增，则()0f x '≥在(1,2)上恒成立，
即(2)()0x xe a
x x
--⋅≥在(1,2)上恒成立，即0x xe a -≤在(1,2)上恒成立，
即x a xe ≥在(1,2)上恒成立，
又由函数()x
g x xe =在(1,)+∞为单调递增函数，所以2(2)2a g e >=，
综上所述，可得实数a 的取值范围是22a e >，即2
(2,)a e ∈+∞，故选C.
【点睛】
本题主要考查导数在函数中的综合应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用.
二、填空题
13．某射手对一目标进行4次射击(每次射击互不影响且每次命中概率不变)，若其恰好命中2次的概率为8
27
，则此射手的命中率为__________. 【答案】
13或23
【解析】设命中的概率为p ，根据相互对立概率关系，求出恰好2次命中的概率，且等于
8
27
，即可求解. 【详解】
设命中的概率为p ，则没有命中的概率为1p -， 4次射击恰好命中2次的概率为2
2
2
48(1)27
C p p -=
， 2
(1)9p p -=
，解得13p =或23p =. 故答案为:13p =或2
3
p =. 【点睛】
本题考查相互独立事件发生的概率，属于基础题.
14．已知728
0128(1)(),,x a x a a x a x a x a R +-=++++∈L 若
01280a a a a ++++=L ，则3a =______．
【答案】-14
【解析】先根据赋值法求a ，再利用二项式定理求特定项系数. 【详解】
令1x =，得07
8122(1)01a a a a a a ++⋯+=+-=∴=，
因为7777
(1)()(1)(1)(1)(1)x a x x x x x x +-+-+--==，
所以含3x 项系数为3322
77(1)(1)14C C -+-=-
【点睛】
本题考查二项式定理，考查基本分析与运算能力，属基础题.
15．如图为我国数学家赵爽（约3世纪初）在为《周髀算经》作注时验证勾股定理的示意图，现在提供5种颜色给其中5个小区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案种数为_______.
【答案】420
【解析】分成1,2,3号区间用2种颜色和3种颜色两种情况，分别计算涂色方案种数，再根据加法原理求得结果. 【详解】
将区域标注数字序号如下图：
当1,2,3号区间共用2种颜色，即1,3同色且与2异色时
共有涂色方法：211
533180A C C =种
当1,2,3共用3种颜色时，共有涂色方法：311
522240A C C =种
则不同的涂色方案总数为：180240420+=种 本题正确结果：420 【点睛】
本题考查排列组合问题中的涂色问题，解决涂色问题的关键是能够找到“中轴线”，根据“中轴线”的颜色数量确定剩余区域的可选颜色数量；也可以根据对称区间同异色来进行讨论.
16．已知函数()()
2
3x
f x x e =-，设关于x 的方程()()2
0f
x af x -=（a R ∈）有4
个不同的实数解，则a 的取值范围是__________． 【答案】3
6
a e =
或20e a -<< 【解析】 由题意， ()()
()
2
2
2323x
x
x
f x xe x e e
x
x =+-=++'，
令()0f x '=，解得1x =或3x =-，
所以当3x <-或1x >时， ()0f x '>，当31x -<<时， ()0f x '<，
所以()f x 在(),3-∞-上单调递增，在()3,1-上单调递减，在()1,+∞上单调递增， 所以当3x =-时， ()f x 取得极大值36
e
；当1x =时， ()f x 取得极大值2e -， 作出函数()f x 的图象，如图所示， 由()()2
0f
x af x -=得()0f x =或()f x a =，
由图象可知()0f x =有两解，所以()f x a =也有两解， 所以3
6
a e =
或20e x -<<.
点睛：本题主要考查了方程的根与函数的图象之间的关系的应用，其中解答中涉及到利用导数判定函数的单调性、利用导数求解函数的极值等知识点综合应用，其中把方程的根的个数转化为函数的图象的交点个数是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及数形结合思想的应用.
三、解答题
17．已知曲线32()2f x x x x =-+.
(Ⅰ) 求曲线()y f x =在2x =处的切线方程； (Ⅱ) 求曲线()y f x =过原点O 的切线方程. 【答案】(Ⅰ) 580x y --= (Ⅱ) ,0y x y ==
【解析】(Ⅰ)直接利用导函数的定义便可得到函数在2x =处切线的斜率，然后将
()()22f ,代入点斜式方程可直接得出切线方程。

(Ⅱ)设出切点，利用点斜式写出直线方程，因为直线过原点，将原点坐标代入，可得到切点坐标，从而得到切线方程。

【详解】
(Ⅰ)由题意得()2
341f x x x '=-+，所以()25f '=， ()22f =，可得切线方程为
()252y x -=-，整理得580x y --=。

(Ⅱ)令切点为()00,x y ，因为切点在函数图像上，所以32
00002y x x x =-+，
()2
000341f x x x '=-+，所以在该点的切线为()()()3220000002=341y x x x x x x x --+-+-
因为切线过原点，所以()()
()3
2
2
00000002=3410x x x x x x --+-+-，解得
0001x x ==或，可得切点为()0,0，()1,0()01f '=，()10f '=，所以切线方程为
y x =或0y =。

【点睛】
本题考查函数函数切线问题，若已知切点，则直接利用()()()000y f x f x x x '-=-写出切线方程即可；在此需要注意在某点的切线和过某点的切线的区别。

18．“双十一网购狂欢节”源于淘宝商城（天猫）2009年11月11日举办的促销活动，当时参与的商家数量和促销力度均有限，但营业额远超预想的效果，于是11月11日成为天猫举办大规模促销活动的固定日期.如今，中国的“双十一”已经从一个节日变成了全民狂欢的“电商购物日”.某淘宝电商为分析近8年“双十一”期间的宣传费用x （单位：万元）和利润y （单位：十万元）之间的关系，搜集了相关数据，得到下列表格：
x （万元）
y （十万元）
（1）请用相关系数r 说明y 与x 之间是否存在线性相关关系（当0.81r >时，说明y 与
x 之间具有线性相关关系）；
（2）建立y 关于x 的线性回归方程（系数精确到0.1），预测当宣传费用为30万元时的利润.
附参考公式：回归方程ˆˆˆy
bx a =+中ˆb 和ˆa 最小二乘估计公式分别为 122
1ˆn i
i
i n
i
i x y nx y b
x nx ==-⋅=-∑∑，ˆˆa y bx
=-，相关系数()()
122
1
1
n
i n n i
i
i i x y nx y r x x y y ===-⋅=-⋅-∑∑∑参考数据：
8
1
241i i
i x y
==∑，8
21
356i i x ==∑()
8
2
1
8.25i i x x =-≈∑()
8
2
1
6i i y y =-=∑
【答案】（1）y 与x 之间具有线性相关关系（2）0.7.3ˆ0y
x =- ,207 【解析】（1）先求均值，再代入公式计算r ，最后作判断，（2）代入公式计算ˆb
以及ˆa ，再代入自变量得预测值. 【详解】
解：（1）由题意得6x =，4y =
又
8
1
241i i
i x y
==∑()81
8.25i
i x x =-≈∑()8
1
6i
i y y =-=∑，
所以()()
818
8
2
2
118i i i i i x y x y
r x x y y ===-⋅=
-⋅-∑
∑∑241864
0.990.818.256
-⨯⨯≈
≈>⨯
所以，y 与x 之间具有线性相关关系.
（2）因为8
18
2
2
2
18241-864490.72356-86688ˆi
i i i
i x y x y b
x x
==-⋅⨯⨯===≈⨯-∑∑，
40.ˆ3ˆ7260.a
y bx =-=-⨯≈-（或490.768ˆb =≈，49460.368ˆa =-⨯≈-） 所以y 关于x 的线性回归方程为0.7.3ˆ0y x =- . 当30x =时，0.7300.0.ˆ327y
=⨯-=
故可预测当宣传费用为30万元时的利润为20.7十万元（或207万元） 【点睛】
本题考查线性回归方程及其应用，考查基本分析求解判断能力，属基础题.
19．某校为了推动数学教学方法的改革，学校将高一年级部分生源情况基本相同的学生分成甲､乙两个班，每班各40人，甲班按原有模式教学，乙班实施教学方法改革.经过一年的教学实验，将甲､乙两个班学生一年来的数学成绩取平均数，两个班学生的平均
成绩均在[]50100，，按照区间[)[)50606070，，，，[)7080，，[)[]809090100
，，，进行分组，绘制成如下频率分布直方图，规定不低于80分(百分制)为优秀.
（1）完成表格，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”；
甲班 乙班 总计 大于等于80分的人数 小于80分的人数 总计
（2）从乙班[)[)[]7080809090100，，，，，分数段中，按分层抽样随机抽取7名学生座谈，从中选三位同学发言，记来自[)8090，
发言的人数为随机变量X ，求X 的分布列和期望.附:()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，
()20P K k ≥ 0.10 0.05 0.025
0k
2.706
3.841 5.024
【答案】（1）表格见解析，有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”（2）
分布列见解析，期望为
97
【解析】（1）根据频率分别直方图分别求出甲、乙两班大于等于80分的人数，即可完成列联表，求出2K 对比所提供的数据，即可得出结论；
（2）先求出乙班[)7080，
的频率，根据条件7人中来自[)8090，发言的人数为3人，随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，按照求古典概型的概率方法，求出随机变量的概率，即可求解. 【详解】
（1）列联表如下：
依题意得()2
24012202820 3.333 2.70640403248
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，
有90%以上的把握认为“数学成绩优秀与教学改革有关”.
（2）从乙班[)[)[]7080809090100
，，，，， 乙班[)[)[]7080809090100
，，，，，频率分别为0.2,0.3,0.2， 分数段中抽人数分别为2，3，2，
依题意随机变量X 的所有可能取值为0，1，2，3，
()3
4374
035C P X C ===，()21433
718135
C C P X C ===， ()12433712235C C P X C ===，()33371
335
C P X C ===，
∴X 的分布列为:
∴()18121459123353535357
E X =⨯+⨯+⨯==. 【点睛】
本题考查频率分布直方图的应用，以及独立性检验，考查随机变量的分布列和期望，属于中档题.
20．已知函数2()1x f x e x =--.
（1）若函数()
()f x g x x =
，(0,)x ∈+∞，求函数()g x 的单调区间； （2）若不等式()2
1()32202
f x x x k +--≤有解，求k 的取值范围.
【答案】（1）()g x 的单调减区间为：()0,1，单调增区间为：()1,+∞；（2）k>-1
【解析】（1）由题可得21
()x e x g x x
--=
求导得()22
(1)1()()()(0)x x e x xf x f x g x x x x
''----==>， 令()1x
t x e x =--，由()1x
t x e x =--的单调性得()g x 的单调性。

（2）不等式()2
1()32202f x x x k +--≤有解，则2min
112x k e x x ⎛⎫≥+-- ⎪⎝⎭
设2
1()12
x
h x e x x =+--，求()h x 的最小值，从而求k 的取值范围。

【详解】
（1）因为2()1
()x f x e x g x x x
--==
. 所以()22(1)1()()()(0)x x e x xf x f x g x x x x
''----==>. 设()1x t x e x =--，则()10x
t x e '=->，即()t x 在(0,)+∞上单调递增，所以
()(0)0t x t >=
所以，当(0,1)x ∈时，()0g x '<，则()g x 单调递增； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，则()g x 单调递增.
（2）因为x R ∃∈，()21
()32202
f x x x k +--≤. 所以2min
112x
k e x x ⎛
⎫≥+-- ⎪⎝
⎭. 设2
1()12
x
h x e x x =+
--，则()1x h x e x '=+-. 由于()h x '在R 上单调递增，且(0)0h '=.
所以当(,0)x ∈-∞时，()0h x '<，则()h x 单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0h x '>，则()h x 单调递增. 所以min ()(0)0h x h ==.综上，k 的取值范围是[0,)+∞. 【点睛】
本题考查利用导函数解不等式
（1）恒成立问题或存在性问题常利用分离参数法转化为最值求解 （2）证明不等式可通过构造函数转化为函数的最值问题，属于偏难题目。

21．为了保障某种药品的主要药理成分在国家药品监督管理局规定的值范围内，某制药厂在该药品的生产过程中，检验员在一天中按照规定每间隔2小时对该药品进行检测，每天检测4次:每次检测由检验员从该药品生产线上随机抽取20件产品进行检测，测量其主要药理成分含量(单位:mg).根据生产经验，可以认为这条药品生产线正常状态下生产的产品的其主要药理成分含量服从正态分布()2
N
μσ，.
（1）假设生产状态正常，记X 表示某次抽取的20件产品中其主要药理成分含量在
()33μσμσ+-，之外的药品件数，求()1P X =(精确到0.001)及X 的数学期望；
（2）在一天内四次检测中，如果有一次出现了主要药理成分含量在()33μσμσ+-，之外的药品，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对本次的生产过程进行检查；如果在一天中，有连续两次检测出现了主要药理成分含量在
()33μσμσ+-，之外的药品，则需停止生产并对原材料进行检测.
①下面是检验员在某一次抽取的20件药品的主要药理成分含量:
经计算得20
1
19.9620i i x x ===∑
，0.19s ==≈.其中i x 为抽取的第i 件药品的主要药理成分含量，1220i ⋯＝，
，，.用样本平均数x 作为μ的估计值µμ
，用样本标准差s 作为σ的估计值µσ，利用估计值判断是否需对本次的生产过程进行检查?
②试确定一天中需停止生产并对原材料进行检测的概率(精确到0.001).附:若随机变量Z 服从正态分布()2
N
μσ，，则()3309974P Z μ
σμσ+≈﹣<<．， 1920220997409517099740949300507000260949309012≈≈≈≈．．，．．，．．，．．.
【答案】（1）()100495P X =≈．，0052EX ＝．（2）①需要，②0.007
【解析】（1）根据已知求出主要药理成分含量在()33μ
σμσ+﹣，之外的概率为0.0026，且
()2000026X B ～，.，根据独立重复实验概率关系，以及二次分布的期望，即可求解； （2）求出µμ，µσ，进而求出µµµµ(33)μσμ
σ-+，的值，对照数据有没有都在范围内，否则需要需对本次的生产过程进行检查；
（3）求出“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”的概率，按独立事件
概率关系，求出有连续两次出现了主要药理成分含量在()33μ
σμσ+﹣，之外的药品，即可求解. 【详解】
（1）抽取的一件药品的主要药理成分含量在
()33μ
σμσ+﹣，之内的概率为0.9974， 从而主要药理成分含量在()33μ
σμσ+﹣， 之外的概率为0.0026，故()20
00026X B ～，.. 因此()()19
1
2010.99740.002600495P X C ==⨯≈．
， X 的数学期望为20000260052EX ⨯＝．
＝．； （2）①由9.96x =，019s =．，得μ的估计值为
µ9.96μ=，σ的估计值为µ019σ=．，
由样本数据可以看出有一件药品的主要药理成分(9.22)含量在
µµµµ()(33)9.3910.53μσμσ-+=，，之外，因此需对本次的生产过程进行检查.
②设“在一次检测中，发现需要对本次的生产过程进行检查”为事件A ，则
()()()2020
1010997410949300507P A P X ≈⎡⎤⎣⎦=-=-．
=-．=．； 如果在一天中，需停止生产并对原材料进行检测，
则在一天的四次检测中，有连续两次出现了主要药理成分含量
在()33μ
σμσ+﹣，之外的药品，故概率为()()()()2
2
2
2
31300507094930007P P A P A ⨯≈⨯⨯≈⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦=-．
．．. 故确定一天中需对原材料进行检测的概率为0.007. 【点睛】
本题考查正态分布曲线特点，以及独立重复实验的概率公式，考查了计算能力，属于中档题.
22．已知函数()()4ln
02x a
f x ax a x
=-+>. （1）讨论()f x 的单调性；
（2）当()f x 存在三个不同的零点时，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）讨论见解析（2）104⎛
⎫ ⎪⎝⎭
，
【解析】（1）求导求出()f x '，对()0f x '
≤（或()0f x '≥）是否恒成立，作为参数a
分类标准分类标准，若不恒成立，求出()0,()0f x f x ''
><的解，即可求出结论； （2）由（1）可得，函数有三个零点须1
04
a <<
，求出(2)0f =，得出122,()0x f x <<，
（12,x x 为()f x 的极值点）并证明2
()0f a >，根据零点存在性定理21(,)a x 存在一个零
点0x ，再由4()()f f x x
=-可求另一零点，即可求解. 【详解】 （1）()()4ln
02x a
f x ax a x
-+＝>, ()()222
214402a ax x a
f x a x x x x
-+-'⋅--==>. 令()2
4g x ax x a +＝--.2116a ∆=-.
若21160a ∆≤=-，即1
4
a ≥
，则()0g x ≤，即()0f x '≤，
∴()f x 在()0+∞，
上单调递减； 若21160a ∆＝->，即1
04
a <<
. 由()2
40g x ax x a +＝--＝，
解得10x =>
，20x >.
∴当12(0,)(,)x x x ∈+∞U 时， ()0g x <，即()0f x <′，
()f x
在)0+∞(上单调递减；
当12(,)x x x ∈时， ()0g x >，即()0f x >′，
()f x
在上单调递增；
（2）由（1）知，1
4
a ≥
，()f x 在(0,)+∞上单调递减， 至多只有一个零点，不合题意； 当1
04
a <<
时， ()f x 在12(0,),(,)x x +∞上单调递减， ()f x 在12(,)x x 上单调递增，()f x ∴至多有三个零点，
1212(2)ln1220,4,2f a a x x x x =-+==∴<<，
22
314
()(2)0,()ln 2a f x f f a a a
∴<==-+，
设233441
()ln 2ln ln 2,(0,)24x g x x x x x x x =-+=-+-∈ ，
42
22
2432(2)1()30,(0,)4x x g x x x x x x -+-'=--=<∈， ()g x 在1(0,)4上减函数，11
()()165ln 20464g x g >=-->，
21
0,()04
a f a ∴<<>，∴存在201(,)x a x ∈，使得0()0f x =，
又00000
424(
)ln ()0a f ax f x x x x =-+=-=， ()f x ∴恰有三个不同的零点：00
4
,2,
x x ，
()
f x
∴存在三个不同的零点时，实数a的取值范围是
1 (0,)
4
.
【点睛】
本题考查导数的运用：求函数单调区间和函数的零点，考查函数与方程转化思想的应用，以及分类讨论思想，考查运算求解能力，属于较难题.。