山东省新泰二中2020届高三上学期第二次阶段性考试数学试卷含答案

新泰二中高三阶段性测试二
数学试题
一、选择题：本大题共13个小题,每小题4分,共52分.前10题为单选，后三题为多选题，
选对而不全得2分。

1.已知集合{}|2A x x =≤，集合{}3|log 1B x x =<，则A B =（ ）
A ．{}|2x x ≤
B ．{}|3x x <
C ．{}|02x x <≤
D ．{}|12x x <≤
2.下列命题中假命题的是（ ）
A ．x R ∃∈，lg 0x =
B ．,x R ∃∈tan 0x =
C ．x R ∀∈，20x >
D ．x R ∀∈，20x >
3.下列函数中，既是奇函数又在区间(0,)+∞上是减函数的是（ ）
A ．y =
B ．1
y x -=
C ．3
y x =
D ．2x
y -=
4.数列{}n a 为等差数列，n S 是其前n 项的和，若7703
S π
=，则4sin a =（ ）
A ．2
-
B ．12
-
C ．
12 D ．
2
5.已知向量a ，b 的夹角为60︒，且||2a =，|2|27a b -=，则||b =（ ）
A
B
C ．2
D ．3
6.要得到函数()cos(2)6
f x x π
=-
的图象，只需将函数()sin 2g x x =的图象（ ）
A ．向左平移6π
个单位 B ．向右平移
6π
个单位 C ．向左平移3
π
个单位
D ．向右平移3
π
个单位
7.ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若a 、b 、c 成等比数列，且2c a =，则c o s C =（ ）
A ．14
-
B ．-
C ．
14
D 8.函数3
31
x x y =-的大致图象是（ ）
9.我国数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法前两步分为： 第一步：构造数列1，
12，13，14，…，1
n
．① 第二步：将数列①的各项乘以n ，得数列（记为）1a ，2a ，3a ，…，n a ． 则时，12231n n a a a a a a -+++=…（ ） A ．2
(1)n -
B ．(1)n n -
C ．2n
D ．(1)n n +
10.函数223,0,
()|2|ln ,0
x x x f x x x x ⎧+-≤=⎨-->⎩零点的个数为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
11.（多选题）下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（ ） A ． B ． C ． D ． 12.（多选题）设是等比数列，下列命题正确的是（ ）
A.
是等比数列； B. 是等比数列；
C.
是等比数列； D. 是等差数列.
13．（多选题）已知函数，则下列命题正确的是（ ） A.函数的最大值为4； B.函数的图象关于点对称； C.函数的图像关于直线对称； D.函数在上单调递减 二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
14.数列{}n a 的通项公式为n a
a n n
=+
，则“21a a >”是“数列{}n a 单调递增”的___条件．
2n ≥(0,)+∞3y x =1ln ||y x =sin y x =1y 2x
⎛⎫= ⎪⎝⎭
{}*()n a n N ∈{}2
*
()n
a n N ∈*1
()
n n a a
n N +∈*1()
n n a a n N ++
∈()sin f x x x =()f x ()f x ,03π⎛⎫
⎪⎝⎭()f x 6x π
=
()f x ,6π
π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
15.计算：
cos102sin 20sin10︒-︒
=︒
________．
16.函数()()2
2ln 0f x x x =-++∞在，上的极大值为___________．
17.若对任意的x D ∈，均有()()()g x f x h x ≤≤成立，则称函数()f x 为函数()g x 和函数()h x 在区间D 上的“中间函数”．已知函数()(1)1f x k x =--，()2g x =-，()(1)ln h x x x =+，且()f x 是()g x 和()h x 在区间[]
1,2上的“中间函数”，则实数k 的取值范围是_______．
三、解答题 （本大题共6小题，共82分.）
18.（本小题10分）已知函数22()cos ()sin 6
f x x x π
=-
-．
（1）求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；
（2）求()f x 在0,2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值．
19.（本小题14分）已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，且满足24n n S a n -=-． (I)证明{}2n S n -+为等比数列； (II)设数列{}n S 的前n 项和为n T ，求n T
20.（本小题4分）已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3
C π
=．
（1）若224ab a c =-，求
sin sin B
A
的值； （2）求sin sin A B 的取值范围．
21.（本小题14分）已知定义域为R 的函数()22x x b
f x a
-+=+是奇函数.
(I)求,a b 的值；
(1I)若不等式()
()2210f kx f x +->恒成立，求实数k 的取值范围．
22.（本小题15分）．已知数列}{n a 满足：2,121==a a ，正项数列}{n b 满足1+=n n n a a b (
)*
N
n ∈，若}{n
b
是公比为2的等比数列 （Ⅰ）求}{n a 的通项公式；
（Ⅱ）n S 为{}n a 的前n 项和，求n S ．
23.（本小题15分）已知函数3
221()(1)3
f x x ax a x b =
-+-+（a ，b R ∈）
． （1）若()y f x =的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为30x y +-=，求()f x 在区间[]
2,4-上的最大值和
最小值；
（2）若()f x 在区间(1,1)-上不是单调函数，求a 的取值范围．
新泰二中高三阶段性测试二
数学试题答案
一、选择题
1-5:CDBAD 6-10:ABCBC 11、BD 12、AB 13、CD
二、填空题
14.充要条件 15.3 16.
17.1,22
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
三、解答题
18.解：（1）2
211
()cos ()sin 1cos(2)(1cos 2)6
232
f x x x x x π
π⎡⎤=-
-=
+---⎢⎥⎣⎦
1cos(2)cos 223x x π⎡⎤=
-+⎢⎥⎣⎦132cos 2)22x x =+)3x π=+， 所以函数()f x 的最小正周期为π． 由2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-≤+
≤+
，k Z ∈，
得51212
k x k ππ
ππ-
≤≤+，k Z ∈， 所以函数()f x 的单调递增区间为5,1212k k ππππ⎡
⎤
-
+⎢⎥⎣
⎦
，k Z ∈． （2）因为0,
2x π⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，
所以sin(2)123x π-
≤+≤，所以3
()4
f x ≥-， 所以()f x 在0,
2π⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上的最小值为34-． 19.解：（Ⅰ）当
时，；
时原式转化为： ，即
，所以
，
所以为首项为
，公比为
的等比数列.
（Ⅱ）由（1）知：，所以
.
于是，
20.解：（1）由余弦定理及题设可知：22224c a b ab a ab =+-=-，得b =，
由正弦定理
sin sin B b A a =，得sin sin B
A
=． （2）由题意可知23
A B π
+=．
21sin sin sin sin(
)sin sin )322A B A A A A A π=-=+11sin 2cos 2444
A A =-+11
sin(2)264
A π=-+． 因为203A π<<，所以2666A πππ7-<-<，故1sin(2)126
A π
-<-≤，
所以sin sin A B 的取值范围是3
(0,]4
．
21.解：(Ⅰ)因为
在定义域为
的奇函数，所以
，
即.
又由，即，
检验知，当时函数
为奇函数.
所以
.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
，故函数
在
上为减函数，
又因为是奇函数，从而不等式：
，
等价于，即
因为减函数，由上式可得
．
即有：
恒成立，
当时不成立； 当
时需
解得
. 综上k 的取值范围为.
22.解：(1)因为
所以，数列
奇数项成等比数列，偶数项也成等比数列，公比都是2
因为，所以
(2)当n 是偶数时＝
当n 是奇数时
综上得
23.解：（1）∵(1,(1))f 在30x y +-=上，∴(1)2f =， ∵点(1,2)在()y f x =的图象上，∴21
213
a a
b =
-+-+， 又'(1)1f =-，∴21211a a -+-=-，
∴2
210a a -+=，解得1a =，83
b =
． ∴3218
()33
f x x x =
-+，2'()2f x x x =-， 由'()0f x =可知0x =和2x =是()f x 的极值点． ∵8(0)3f =
，4
(2)3
f =，(2)4f -=-，(4)8f =， 1122
12n n n n n n n n b a a a b a a a +++++==={}n a 121,2a a =
=
1,n n n
n a n -⎧
⎪=⎨
⎪⎩为正奇数，为正偶数()()
1351246......n n n S a a a a a a a a -=+++++++++2
323n ∙-1112
2
2
132
3242
3n n n n n n S S a ----=+=∙-+=∙-21
2323,423n
n n n S n -⎧
∙-⎪=⎨⎪∙-⎩为偶数，为奇数
∴()f x 在区间[]
2,4-上的最大值为8，最小值为4-．
（2）因为函数()f x 在区间(1,1)-上不是单调函数，所以函数'()f x 在(1,1)-上存在零点． 而'()0f x =的两根为1a -，1a +，
若1a -，1a +都在(1,1)-上，则111,
111,a a -<+<⎧⎨-<-<⎩
解集为空集，这种情况不存在；
若有一个根在区间(1,1)-上，则111a -<+<或111a -<-<， ∴(2,0)(0,2)a ∈-．。