2023年高考数学一轮复习精讲精练第2练 不等式(解析版)

第2讲 不等式的性质及其解法
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知集合{}2
|280{|1]M x x x N y y =--<=≥-，，则M N ⋂=（ ）
A ．[-1，4)
B ．[-1，2)
C ．(-2，-1)
D ．∅
【答案】A 【详解】
由题设，{|24}M x x =-<<，而{|1}N y y ≥-， 所以{|14}M N x x ⋂=-≤<. 故选：A
2．已知二次函数()2
2f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，则14c a
+的最小值为（ ）
A ．4-
B ．4
C ．8
D ．8-
【答案】B 【详解】
由于二次函数()2
2f x ax x c =++（x ∈R ）的值域为[)0,∞+，
所以0Δ440a ac >⎧⎨=-=⎩
，所以1,0ac c =>，
所以144c a +≥=，
当且仅当14c a =即1
2,2
a c ==时等号成立.
故选：B
3．若实数a ，b 满足1a b +=，则ab 的最大值为（ ） A ．2 B ．1
C ．1
2
D ．1
4
【答案】D 【详解】
∵2
2a b ab +⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，1a b +=，
∴2
12ab ⎛⎫
≤ ⎪⎝⎭
，即14ab ≤，当且仅当12a b ==时等号成立，∴()max 14ab =．
故选：D ．
4．已知集合(){}
2log 21M x y x ==-，103x N x
x ⎧⎫
+=≤⎨⎬-⎩⎭
，则M N =（ ） A ．1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
B ．[)1,-+∞
C ．1,32⎛⎫
⎪⎝⎭
D ．1,32⎛⎤
⎥⎝⎦
【答案】C 【详解】
由题意知(){}
21log 21,2M x y x ∞⎛⎫
==-=+ ⎪⎝⎭，[)101,33x N x
x ⎧⎫+=≤=-⎨⎬-⎩⎭
， 所以1,32M N ⎛⎫
⋂= ⎪⎝⎭
．
故选：C ．
5．已知函数()2
1f x ax x a =+++为偶函数，则不等式()0f x >的解集为（ ）
A ．∅
B ．()()1,00,1-
C ．()1,1-
D ．()(),11,-∞-⋃+∞
【答案】B 【详解】
因为()f x 为偶函数，所以()()11f f -=，即2a a a a ++=+
解之得1a =-，经检验符合题意.则()2
f x x x =-+
由2
0x x -+>，可得()()1,00,1x ∈-
故()2
0f x x x =-+>的解集为()
()1,00,1-，
故选：B.
6．对于任意实数x ，不等式()()2
12140a x a x ----<恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(),3∞-
B ．(],3∞-
C ．()3,1-
D ．(]3,1-
【答案】D 【详解】
当1a =时，不等式为40-<恒成立，故满足要求；当1a ≠时，要满足：
10
Δ0
a -<⎧⎨
<⎩，解得：31a -<<，
综上：实数a 的取值范围是(]3,1-. 故选：D
7．函数()1111642x x x f x -=++的最小值为（ ） A ．4 B
．C ．3
D
．【答案】A 【详解】
因为116224x
x x +≥=⨯，当且仅当1164x
x =，即0x =时等号成立，
1122222422x x
x x
-⨯+
=⨯+≥=，当且仅当2222x x ⨯=，即0x =时等号成立，
所以()f x 的最小值为4. 故选：A
8．设0a >，0b >
，若221a b +=
2ab -的最大值为（ ） A
．3B
．C
．1D
．2+【答案】D 【详解】
解：法一：（基本不等式）
设c b =-
2ab -
=)a b ac -=，
条件222211a b a c +=⇔+=，
2212a c ac +=+≥
，即2≤ac 故选：D.
法二：
（三角换元）由条件22
1()14
a b +=，
故可设cos sin 2a b θθ
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，
即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，由于0a >，0b >，
故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<
所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪
<<⎨
=⎪⎩
，
22sin 22ab θ-=≤当且仅当4
π
θ=
时取等号.
故选：D. 二、多选题
9．已知236a b ==，则a ，b 满足（ ） A ．a b < B ．111a b
+<
C ．4ab >
D ．4a b +>
【答案】ACD 【详解】
由236a b ==，则23log 6,log 6a b ==,则0,0a b >> 所以()23lg6lg3lg 2lg6lg6log 6log 60lg 2lg3lg 2lg3
a b --=-=
-=>⋅，所以选项A 正确. 6611
log 2log 31a b +=+=,所以选项B 不正确.
由111a b =
+>(因为a b ，故等号不成立)，则4ab >，故选项C 正确.
()14212a b b a a b a b a b ⎛⎫
+=+>+ ⎪⎝⎭+=++(因为a
b ，故等号不成立)，故选项D 正确.
故选：ACD
10．已知正数a ，b 满足22a b ab +=，则下列说法一定正确的是（ ） A ．24a b +≥ B ．4a b +≥ C ．8ab ≥ D ．2248a b +≥
【答案】AD 【详解】 由题意可知1112b a +=，1122(2)2422a b a b a b b a b a ⎛⎫
+=++=++ ⎪⎝⎭
（当且仅当22a b ==时取等号），故A 正
确；
取1,2b a ==，则3,2a b ab +==，故BC 错误；
因为
22a b ab +=≥所以2ab （当且仅当22a b ==时取等号），则22448a b ab +（当且仅当22a b ==时取等号），故D 正确； 故选：AD
11．已知0,0a b >>，直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切，则下列不等式成立的是（ ） A ．1
8
ab ≤
B ．218a b
+≤
C D ．3a b +≤【答案】AC 【详解】
设直线y x a =+与曲线1e 21x y b -=-+相切的切点为00(,)x y ， 由1e 21x y b -=-+求导得：1e x y -'=，则有01e 1x -=，解得01x =， 因此，0122y a b =+=-，即21a b +=，而0,0a b >>，
对于A ，211212(
)2228
a b ab a b +=⋅⋅≤=，当且仅当1
22a b ==时取“=”，A 正确；
对于B ，21214(2)()448b a a b a b a b a b +=++=++≥+=，当且仅当4b a a b =，即122a b ==时取“=”，B 不正确；
对于C ，因22332(2)222a a b b a b +=+++=+=，则有2
32≤，，
=4a b =时取“=”，由214a b a b
+=⎧⎨=⎩得21,36a b ==，所以当21,36a b ==时，
max =
C 正确； 对于
D ，由21a b +=，0,0a b >>得，102b <<，1
1(,1)2
a b b +=-∈，而函数3x y =在R 上单调递增，
33a b +<，D 不正确. 故选：AC
12．已知正数a ，b 满足221a b +=，则（ ）
A ．a b +
B ．ab 的最大值是1
2
C ．-a b 的最小值是1-
D ．2a b -的最小值为【答案】ABD 【详解】
由2
2222a b a b ++⎛⎫
≤
⎪⎝⎭
得a b +≤，当且仅当a b ==时取等，A 正确；
由222a b ab +≤得12≤ab ，当且仅当a b ==时取等，B 正确；
由正数a ，b 及221a b +=知01a <<，01b <<，可得10b -<-<，故11a b -<-<，C 错误； 令
2
a k
b =-，则()2a k b =-，两边同时平方得()2
22221k b a b -==-，整理得()222214410k b k b k +-+-=，
又存在,a b 使2a k b =-，故()()()22222441411240k k k k ∆=--+-=-+≥，解得k ≤≤，D 正确. 故选：ABD. 三、填空题
13．命题“,e 1e x x x R a -∃∈+<-”为假命题，则实数a 的取值范围为___________. 【答案】(,3]-∞ 【详解】
若命题“,e 1e x x x R a -∃∈+<-”为假命题，则命题“,e 1e x x x R a -∀∈+≥-”为真命题，即e e 1x x a -≤++在R 上恒成立，
则()min e e 1x x
a -≤++，
因为e e 113x x -++≥=，当且仅当e e x x -=，即0x =时，等号成立，
所以()min e e 13x x
-++=，
所以3a ≤， 故答案为：(,3]-∞
14．已知0x >，0y >，1x y +=，则311
y x x y
++的最小值为__． 【答案】6 【详解】
311y x x y ++3y x y x y x x y ++=++311y y x x x y =++++42y x x y =++2≥=6，当且仅当析23x =，13y =时，等号成立.故答案为：6
15．若0a >，0b >，0c >，2a b c ++=，则4a b
a b c
+++的最小值为______．
【答案】2+##2 【详解】
由题意，0a >，0b >，0c >，2a b c ++=得：2a b c +=-， 设2,,(0,0)c m c n m n -==>> ，则2m n += ， 故
44242421122a b c a b c c c c c m n
+-+=+=+-=+-+--
422
()1312m n n m m n m n +=
⨯+-=++-≥，
当且仅当222m n = ，即42m n c =-== 时取得等号，
故
4a b
a b c
+++的最小值为2+，
故答案为：2+
16．设0x >，0y >，1x y +=，则212x xy
+的最小值为______．
1#1【详解】
因为1x y +=，所以2211122222222x x x y x x x y x y
xy xy y y x y y x +++++==++=++
11
22222x x y y y x =
++++1112x y y x =++≥当且仅当1,2x y ==21
2x xy
+1，
1. 四、解答题
17．已知函数()12f x x x =---． (1)求函数()f x 的值域；
(2)已知0a >，0b >，且221a b +=，不等式()22
11
422f x a b ≤+恒成立，求实数x 的取值范围． 【答案】(1)[]1,1-(2)74⎛
⎤-∞ ⎥⎝
⎦，
【解析】(1)
解：当2x ≥时，()()()12=12=1f x x x x x =------；当1x ≤时，
()()()12=12=1f x x x x x =-----+--；
当12x <<时，()()()12=12=23f x x x x x x =----+--，所以 ()()1,1f x ∈-， 综上函数()f x 的值域为[]1,1- (2)
因为2
2
1a b +=，()22222222
111112222222b a a =b a b a b ⎛⎫+⨯+++≥+ ⎪⎝⎭
+，当且仅当222222=b a a b ，即
=a b 时等号成立，要使不等式()2211422f x a b ≤+恒成立，只需()42f x ≤，即()12f x ≤恒成立，由（1）
知当2x ≥时，()()()12=12=1f x x x x x =------不合题意；当1x ≤时，()()()1
12=122
f x x x x x =-----+-≤
恒成立；当12x <<时，()()()112=12=232f x x x x x x =----+--≤
，解得714x <≤，综上7
4x ≤，所以x 的取值范围为74⎛⎤-∞ ⎥⎝
⎦，.
18．已知函数()f x x =
(1)若不等式()24f ax +≤的解集为[]3,1-，求实数a 的值. (2)若[]0,2m ∈，求证
:(
(2f x f x -≤. 【解析】(1)
()24f ax +≤即24ax +≤，
所以424ax -≤+≤，即62ax -≤≤，显然0a ≠. 当0a >时，62
x a a -≤≤，则6
321a a
⎧-=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得：2a =；
当0a <时，26
x a a ≤≤-，则2
361a a
⎧=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，无解.
综上可知，2a =. (2) 证明：
(
(
f x f x x x -=-
((x x ≤-
=
等号成立的条件是x
x []0,2m ∈，()
2m m ∴+-≥
(
)2
22m m ⎡⎤∴+-≥
⎣⎦，当且仅当2m m =-，即1m
=时等号成立，
2
4∴
≤
，
2
≤，
((2
f x f x ∴-≤.。