2013年高考数学总复习 9-7 用向量方法证明平行与垂直(理)课件 新人教B版

故取 B1B 的中点 M 就能满足 D1M⊥平面 EFB1.
点评：①证明直线 l1 与 l2 垂直时，取 l1、l2 的方向向 量 a、b，证明 a· b＝0. ②证明直线 l 与平面 α 垂直时，取 α 的法向量 n，l 的方向向量 a，证明 a∥ n. 或取平面 α 内的两相交直线的方向向量 a、b 与直线 l 的方向向量 e，证明 a· e＝0，b· e＝0.
→ → 证法二：∵M、N 为 BC 的三等分点，∴BM＝MN， → → → → → → → → A1N ＝ A1A ＋ AM ＋ MN ＝ B1B ＋ AM ＋ BM ＝ AM ＋ → B1M， ∵A1N⊄平面 AB1M，∴A1N∥平面 AB1M.
用向量证明线面垂直
[例 2] 在棱长为 1 的正方体 ABCD－A1B1C1D1 中， E、F 分别为棱 AB 和 BC 的中点，试在棱 B1B 上找一点 M，使得 D1M⊥平面 EFB1.
证明：(1)因为∠ACB＝90° ，所以 AC⊥CB， 又侧面 ACC1A1⊥平面 ABC， 且平面 ACC1A1∩平面 ABC＝AC， BC⊂平面 ABC，所以 BC⊥平面 ACC1A1， 又 AA1⊂平面 ACC1A1，所以 BC⊥AA1.
(2)证法一：连接 A1B，交 AB1 于 O 点，连接 MO， 在△A1BN 中，O，M 分别为 A1B，BN 的中点， 所以 OM∥ A1N. 又 OM⊂平面 AB1M，A1N⊄平面 AB1M， 所以 A1N∥平面 AB1M.
三、平面的法向量 1．如果表示向量 a 的有向线段所在直线垂直于平面 α，则称这个向量垂直于平面 α，记作 a⊥α，如果 a⊥α， 那么向量 a 叫做平面 α 的法向量． 2．求平面的法向量的方法 设 n 是平面 M 的一个法向量，AB、CD 是 M 内的两 → → 条相交直线， n· ＝0，n· ＝0.由此可求出一个法向 则 AB CD → → 量 n(向量AB及CD已知)．
，
取 x＝1，得 y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
1 1 → 又MN· ，0， · n＝ (1，－1，－1)＝0， 2 2
→ ∴MN⊥n， 又∵MN⊄平面 A1BD， ∴MN∥平面 A1BD. 1→ → → → 1 → 方法 2：∵MN＝C1N－C1M＝ C1B1－ C1C 2 2 1 → 1→ → ＝ (D1A1－D1D)＝ DA1， 2 2 → → ∴MN∥DA1，又∵MN⊄平面 A1BD. ∴MN∥平面 A1BD.
2．基向量法 如果在所给问题中，不好寻找交于一点的互相垂直 的三条直线，或者其坐标难于求出，这时常选图中不共 面的三条直线上的线段构造基底，将所给问题的条件和 待解决的结论，用基底及其线性表示来表达，通过向量 运算来解决．
二、运用空间向量的坐标运算解决立体几何问题的 一般步骤 ①建立恰当的空间直角坐标系；②求出相关点的坐 标；③写出向量的坐标；④结合公式进行计算，论证； ⑤转化为几何结论．
用向量方法
第 七 节
证明平行与垂直(理)
重点难点 重点：用向量方法讨论空间中的平行、垂直关系 难点：将立体几何问题转化为向量问题．
知识归纳 一、用空间向量解决立体几何问题的思路 1．坐标法：如果所给问题的图形中存在互相垂直的 直线(或平面)， 比较方便建立空间直角坐标系写出点的坐 标，这种情况下，一般是建立恰当的空间直角坐标系， 用坐标法通过坐标运算来解决．
→ 1→ 1 1 ∴EF＝ AC＝－ ， ，0. 2 2 2
1 → → 0，－ ，－1 ，D1M＝(1,1，m－1)， 又∵B1E＝ 2
∵D1M⊥平面 FEB1，∴D1M⊥EF 且 D1M⊥B1E. → → → → 即D1M· ＝0，且D1M· 1E＝0. EF B 1 1 0＝0 －2＋2＋m－1· ∴ 0－1＋1－m＝0 2 1 ，∴m＝ . 2
(3)证明平面 α∥平面 β 时，设 α、β 的法向量分别为 a、b，则只须证明 a∥ b.
(2011· 北京海淀期末)在斜三棱柱 ABC－A1B1C1 中， 侧面 ACC1A1⊥平面 ABC，∠ACB＝90° .
(1)求证：BC⊥AA1； (2)若 M，N 是棱 BC 上的两个三等分点，求证：A1N ∥平面 AB1M.
n⊥v 1 ②α⊥β⇔ n⊥v2 n· ＝0 v1 ⇔ n· 2＝0 v
.
用向量证明线面平行
[例 1] 在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，M、N 分别 是 C1C、B1C1 的中点．求证：MN∥平面 A1BD.
证明：方法 1：如下图所示，以 D 为原点，DA、DC、 DD1 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标 系 ， 设 正方 体的 棱 长为 1， 则 可求得
(1)设 n1＝(x1，y1，z1)，n2＝(x2，y2，z2)分别是平面 → → ADE、平面 B1C1F 的法向量，则 n1⊥DA，n1⊥AE. → n1· ＝0 DA ∴ → n · ＝0 1 AE
2x ＝0 1 ，∴ 2y1＋z1＝0
，
取 y1＝1，z1＝－2，∴n1＝(0,1，－2)． 同理可求 n2＝(0,1，－2)． ∵n1∥ n2，∴平面 ADE∥平面 B1C1F.
.
3．用向量方法研究两个平面的位置关系 设平面 α、β 的法向量分别为 n1、n2. (1)α∥β 或 α 与 β 重合⇔n1∥n2⇔存在实数 t，使 n1 ＝tn2. (2)α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·2＝0. n 若 v1、v2 是与 α 平行的两个不共线向量，n 是平面 β 的法向量．

则①α∥β 或 α 与 β 重合⇔v1∥β 且 v2∥β⇔存在实数 λ、μ，对 β 内任一向量 a，有 a＝λv1＋μv2.
1 3 1 → 又AE＝( ， ， )， 4 4 2 1 1 3 3 → → ∴AE· ＝－ × ＋ × ＝0， AD 2 4 6 4 → → ∴AE⊥CD，即 AE⊥CD.
(2)设平面 ABE 的一个法向量为 n＝(x，y，z)， 1 3 1 → → ∵AB＝(1,0,0)，AE＝( ， ， )， 4 4 2 → n· ＝0 AB ∴ → n· ＝0 AE x＝0 ，即1 3 1 4x＋ 4 y＋2z＝0 ，
(1)平面 ADE∥平面 B1C1F； (2)平面 ADE⊥平面 A1D1G； (3)在 AE 上求一点 M，使得 A1M⊥平面 DAE.
→ → → 解析：以 D 为原点，DA、DC、DD1为正交基底建立 空间直角坐标系 O－xyz， D(0,0,0)， 1(0,0,2)， 则 D A(2,0,0)， A1(2,0,2)， E(2,2,1)， F(0,0,1)， G(0,1,0)， 1(2,2,2)， 1(0,2,2)． B C
2．用向量方法研究直线与平面的位置关系 设直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，v1、 v2 是与 α 平行的两个不共线向量． (1)l∥α 或 l⊂α⇔存在两个实数 λ、μ，使 a＝λv1＋μv2 ⇔a· n＝0. (2)l⊥α⇔a∥n⇔存在实数 t，使 a＝tn.
a⊥v 1 l⊥α⇔ a⊥v2 a· ＝0 v1 ⇔ a· 2＝0 v
令 y＝2，则 z＝－ 3，∴n＝(0,2，－ 3)．
2 3 3 → → ∵PD＝(0， ，－1)，显然PD＝ n. 3 3 → → ∵PD∥ n，∴PD⊥平面 ABE.即 PD⊥平面 ABE.
用向量方法证明面面垂直与平行
[例 3] 已知正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2， E、 F、G 分别是 BB1、DD1、DC 的中点，求证：
证明：分别以 DA、DC、DD1 所在直线为 x 轴、y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 D－xyz，
1 则 A(1,0,0)， 1(1,1,1)， B C(0,1,0)， 1(0,0,1)， 1， ，0， D E 2
→ M(1,1，m)．∴AC＝(－1,1,0)， 又 E、F 分别为 AB、BC 的中点，
1 N ，1，1，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， 2 1 M 0，1， ， 2
1 → 1 于是MN＝ ，0， ， 2 2 设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)． → → 则 n· 1＝0，且 n· ＝0， DA DB
x＋z＝0 ∴ x＋y＝0
③证明平面 α 与 β 垂直时， α、 的法向量 n1、 2， 取 β n 证明 n1·2＝0.或取一个平面 α 的法向量 n， n 在另一个平面 β 内取基向量{e1，e2}，证明 n＝λe1＋μe2. ④证明平行与垂直的关键是将待证问题中直线的方 向向量和平面的法向量表示出来(用已知向量表示或用坐 标表示)．
→ → (2)∵DA· 1G＝(2,0,0)· D (0,1，－2)＝0， → → ∴DA⊥D1G. → → → → ∵AE· 1G＝(0,2,1)· D (0,1，－2)＝0，∴AE⊥D1G. → → ∵DA、AE不共线，∴D1G⊥平面 ADE. 又∵D1G⊂平面 A1D1G，∴平面 ADE⊥平面 A1D1G.
(1)∵∠ABC＝60° ， ∴△ABC 为正三角形． 1 3 1 3 1 ∴C( ， ，0)，E( ， ， )． 2 2 4 4 2 设 D(0，y,0)，由 AC⊥CD， → → 得AC· ＝0， CD 2 3 2 3 ∴y＝ ，即 D(0， ，0)， 3 3 1 3 → ∴CD＝(－ ， ，0)． 2 6
2．空间问题如何转化为向量问题 (1)平行问题⇒向量共线，注意重合； (2)垂直问题⇒向量的数量积为零，注意零向量； (3)距离问题⇒向量的模； (4)求角问题⇒向量的夹角，注意角范围的统一．
3．向量的分解与组合是用向量法解决立体几何问题 中经常遇到的问题，确定合适的基向量或建立恰当的空 间直角坐标系是关键． 二、用空间向量研究空间线面的平行与垂直关系 1．用向量方法研究两直线间的位置关系 设直线 l1、l2 的方向向量分别为 a、b. (1)l1∥l2 或 l1 与 l2 重合⇔a∥b⇔存在实数 t， a＝tb. 使 (2)l1⊥l2⇔a⊥b⇔a· b＝0.
点评：(1)证明直线 l1∥ l2 时，分别取 l1、l2 的一个方 向向量 a、b，则 a∥ b⇔存在实数 k，使 a＝kb 或利用其 a1 a2 a3 坐标 ＝ ＝ (其中 a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3))． b1 b2 b3
(2)证明直线 l∥平面 α 时， ①可取直线 l 的方向向量 a 与平面 α 的法向量 n， 证 明 a· n＝0； ②可在平面 α 内取基向量{e1，e2}，证明直线 l 的方 向向量 a＝λ1e1＋λ2e2，然后说明 l 不在平面 α 内即可； ③在平面 α 内找两点 A、B，证明直线 l 的方向向量 → n∥ AB.
如下图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60° ，PA＝AB ＝BC，E 是 PC 的中点．
证明： (1)AE⊥CD； (2)PD⊥平面 ABE.
证明：∵AB、AD、AP 两两垂直，建立如图所示的 空间直角坐标系， 设 PA＝AB＝BC＝1，则 P(0,0,1)．
误区警示 1．建立坐标系一定要符合右手系原则． 2．证明线面平行时，一定要说明直线在平面外．
一、如何用空间向量解决立体几何问题 1．思考方向： (1)要解决的问题可用什么向量知识来解决？需要用 到哪些向量？ (2)所需要的向量是否已知？若未知，是否可用已知 条件转化成的向量直接表示？
(3)所需要的向量若不能直接用已知条件转化成的向 量表示，则它们分别最易用哪个未知向量表示？这些未 知向量与由已知条件转化的向量有何关系？ (4)怎样对已经表示出来的所需向量进行运算，才能 得到需要的结论？