江苏省盐城市中学2013-高二上学期期中考试数学(理)试题 (2)

第Ⅰ卷（共50分）
一、填空题：本大题共14小题,每小题5分,计70分. 不需写出解答过程,请把答
案写在答题纸的指定位置上.
1.命题“x R ∀∈，2
0x ≥”的否定是 .
2.抛物线2
4x y =的焦点坐标是 .
3.已知点(3,2,1)A -，(2,4,0)B -，则向量AB 的坐标为 .
4.双曲线
2
21
4
y
x-
=的渐近线方程为.
5.“两条直线不相交”是“两条直线是异面直线”的条件．（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不必要又不充分”中的一个）
6.已知直线
12
l l
，的方向向量分别为(1,2,2)(2,3,)
a b k
=-=-
，，若
12
l l
⊥，则实数k=．
7.设x，y R
∈且
1
230
x
x y
y x
≥
⎧
⎪
-+≥
⎨
⎪≥
⎩
，则2
z x y
=+的最小值是．
8.设集合{
}2
230A x x x =--<，{
}
21x
B x =>，则A
B = .
9.已知动点M 到点(2,0)A 的距离等于它到直线1x =-的距离，则点M 的轨迹方程是 .
10.已知正数y x ,满足21x y +=，则
21
x y
+的最小值为 .
11.P 为椭圆14
52
2=+y x 上的点，21,F F 是其两个焦点，若 3021=∠PF F ，则21PF F ∆的面积
是 ．
12.已知O 为坐标原点，(1,2,3)OA =，(2,1,2)OB =，(1,1,2)OC =，若点M 在直线OC 上运动，则AM BM ⋅的最小值为 .
13.过椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>的左顶点A 且斜率为k 的直线交椭圆C 于另一点B ，
且点B 在x 轴上的射影恰为右焦点F ,若11
32
k <<，则椭圆的离心率e 的取值范围是 .
率e e ac a c a a ac b a c a b k +-=+-=+=+=112222222
，因为1132
k <<，所以2111312<+-<
e e ，从而
14.已知函数2
()(,)f x x bx c b c R =++∈，若b 、c 满足2
14
b c ≥+，且22()()()f c f b M c b -≤-恒成立，则M 的最小值为 .
第Ⅱ卷（共80分）
二、解答题：（本大题共6小题，计80分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内）
15.已知命题p ：任意x R ∈，2
1x a +≥，命题q ：函数2
()21f x x ax =-+在(,1]-∞-上
单调递减．
（1）若命题p 为真命题，求实数a 的取值范围； （2）若p 和q 均为真命题，求实数a 的取值范围．
【解析】
16.已知顶点在原点O ，焦点在x 轴上的抛物线过点(3,6). （1）求抛物线的标准方程；
（2）若抛物线与直线2y x =-交于A 、B 两点，求证：1OA OB k k ⋅=-.
所以，
17.如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥平面ABCD，SD=AD=2，请建立空间直
角坐标系解决下列问题．
；（2）求直线SB与平面ADS所成角的正弦值．
（1）求证：AC SB
18.某工厂拟建一座平面图为矩形，面积为2200m 的三段式污水处理池，池高为1m ，如果池的四周墙壁的建造费单价为400元2
/m ，池中的每道隔墙厚度不计，面积只计一面，隔墙的建造费单价为248元2
/m ，池底的建造费单价为80元2/m ，则水池的长、宽分别为多少米时，污水池的造价最低？最低造价为多少元？
44800
40036216000160000129621600016000012961600022482400200
240020080=⨯⨯+=⨯+≥++=⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯=x
x x x
x y
19.在长方体1111ABCD A B C D -中，11,AA AD E ==为线段CD 中点． (1) 求直线1B E 与直线1AD 所成的角的余弦值； (2）若2AB =,求二面角11A B E A --的大小；
(3） 在棱1AA 上是否存在一点P ,使得//DP 平面1B AE ？若存在，求AP 的长；若不存在,说明理由．
20.已知抛物线2
8y x =与椭圆22221x y a b +=有公共焦点F ，且椭圆过点D (2,3)-. （1）求椭圆方程；
（2）点A 、B 是椭圆的上下顶点，点C 为右顶点，记过点A 、B 、C 的圆为⊙M ，过点D 作⊙M 的切线l ，求直线l 的方程；
（3）过椭圆的上顶点作互相垂直的两条直线分别交椭圆于另外一点P 、Q ，试问直线PQ 是否经过定点，若是，求出定点坐标；若不是，说明理由.。