(3份试卷汇总)2019-2020学年湖北省襄樊市高二数学下学期期末教学质量检测试题

基础练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．小明同学喜欢篮球，假设他每一次投篮投中的概率为
2
3
，则小明投篮四次，恰好两次投中的概率是（）A．
4
81
B．
8
81
C．
4
27
D．
8
27
2．已知函数
2
(1),0
()4
3,0
x
e x
f x
x x
x
+
⎧≤
⎪
=⎨
+->
⎪
⎩
，函数()
y f x a
=-有四个不同的零点，从小到大依次为
1
x，
2
x，
3
x，4
x，则
1234
x x x x
+的取值范围为（）
A．(4,5]B．[4,5)C．[4,)
+∞D．(,4]
-∞
3．设函数()
'
f x是奇函数()
f x的导函数，当0
x>时，()ln()0
f x x x f x
'⋅+<，则使得2
(1)()0
x f x
-<
成立的x的取值范围是（）
A．(,1)(1,)
-∞-+∞B．(,1)(0,1)
-∞-
C．(1,0)(0,1)
-D．(1,0)(1,)
4．已知函数y=f（x）的图象是下列四个图象之一，且其导函数y=f′（x）的图象如图所示，则该函数的图象是（）
A． B．C．D．
5．执行如图所示的程序框图，输出S的值为（）
A ．3
B ．-6
C ．10
D ．12 6．用数学归纳法证：11112321
n n ++++<-…（*n N ∈时1n >）第二步证明中从“k 到1k +”左边增加的项数是（ ） A ．21k +项
B ．21k -项
C ．12k -项
D ．2k 项
7．设0x 为方程28x x +=的解.若0(,1)()x n n n N +
∈+∈，则n 的值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
8．某城市关系要好的A ，B ，C ，D 四个家庭各有两个小孩共8人，分别乘甲、乙两辆汽车出去游玩，每车限坐4名（乘同一辆车的4名小孩不考虑位置），其中A 户家庭的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名小孩恰有2名来自于同一个家庭的乘坐方式共有（ ） A ．18种 B ．24种 C ．36种 D ．48种
9．若复数11mi
z i
+=+在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是（ ） A ．()1,1-
B ．()1,0-
C ．()1,+∞
D ．(),1-∞-
10．已知8
3a x x ⎫⎪⎭展开式中的常数项是4与10的等差中项，则a 的值为（ ） A ．
1
2
B ．2
C ．12
±
D ．2±
11．已知1F 、2F 是双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的两焦点，以线段12F F 为边作正三角形12MF F ，若边1
MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A ．423+
B 31
C 31
D 31
+ 12．抛掷一枚均匀的骰子两次，在下列事件中，与事件“第一次得到6点”不互相独立的事件是（ ） A ．“两次得到的点数和是12” B ．“第二次得到6点” C ．“第二次的点数不超过3点”
D ．“第二次的点数是奇数” 二、填空题：本题共4小题
13．若复数z 满足()12i Z i +=（i 为虚数单位），则Z 的共轭复数Z =__________． 14．已知函数()lgx f x =，实数(),a b a b ≠满足()()f a f b =，则ab 的值为__________．
15．2
2
318lg1002-⎛⎫++= ⎪⎝⎭
______.
16．已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则其焦点到准线的距离为________.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．甲，乙两人进行射击比赛，各射击4局，每局射击10次，射击中目标得1分，未命中目标得0分，两人4局的得分情况如下：
（1）若从甲的4局比赛中，随机选取2局，求这2局的得分恰好相等的概率；
（2）从甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，求X 的分布列和数学期望． 18．已知函数()3f x x a x a =-+- （1）若1a =，解不等式：()4f x >；
（2）若当34x ≤≤时，函数()f x 都能取到最小值，求实数a 的取值范围.
19．（6分）已知ABC ∆的角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，设向量(,)m a b =，(sin ,n B =
sin )A ，(2,2)p b a =--.
（1）若//m n ，求证：ABC ∆为等腰三角形；
（2）若m p ⊥，边长2c =，角π
3
C =
，求ABC ∆的面积. 20．（6分）已知函数()ln()(0)f x a x a a =-<，2
1()2
g x x x =-.
（1）若()f x 在(1,(1))f 处的切线与()g x 在11
(,())22
g 处的切线平行，求实数a 的值；
（2）若()()()F x f x g x =-，讨论()F x 的单调性；
（3）在（2）的条件下，若12(ln 21)a -<<-，求证：函数()F x 只有一个零点0x ，且012a x a +<<+． 21．（6分）如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，60ABE ∠=︒，G 为BE 中点.
()1求证：平面ACG ⊥平面BCE ； ()2若3AB BC =
，求二面角B CA G --的余弦值.
22．（8分）已知函数()()2
1ln 12
g x a x x b x =+
+-. （1）若()g x 在点1,1g 处的切线方程为8230x y --=,求,a b 的值;
（2）若121,,b a x x =+是函数()g x 的两个极值点,试比较4-与()()12g x g x +的大小.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．D 【解析】
分析：利用二项分布的概率计算公式：概率22
24
22133P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
即可得出．
详解：：∵每次投篮命中的概率是
2
3
， ∴在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率2
2
24
2281.3327P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
． 故在连续四次投篮中，恰有两次投中的概率是8
27
． 故选D.
点睛：本题考查了二项分布的概率计算公式，属于基础题． 2．B 【解析】
分析：通过f （x ）的单调性，画出f （x ）的图象和直线y=a ，考虑四个交点的情况，得到x 1=-2-x 2，-1＜x 2≤0，x 3x 4=4，再由二次函数的单调性，可得所求范围．
详解：当x ＞0
时，f （x ）=4
31x x
+
-≥， 可得f （x ）在x ＞2递增，在0＜x ＜2处递减， 由f （x ）=e (x+1)2，x≤0，
x ＜-1时，f （x ）递减；-1＜x ＜0时，f （x ）递增， 可得x=-1处取得极小值1， 作出f （x ）的图象，以及直线y=a ， 可得
e (x 1+1)2=e (x 2+1)2=
3434
44
33x x x x +
-=+-， 即有x 1+1+x 2+1=0，可得x 1=-2-x 2，-1＜x 2≤0，
()34344334
444x x x x x x x x --=
-=
可得x 3x 4=4，
x 1x 2+x 3x 4=4-2x 2-x 22=-（x 2+1）2+5，在-1＜x 2≤0递减， 可得所求范围为[4，5）． 故选B.
点睛：本题考查函数方程的转化思想，以及数形结合思想方法，考查二次函数的最值求法，化简整理的运算能力，属于中档题． 3．D 【解析】
分析：根据题意，设()()()ln 0g x x f x x =⋅>，对()g x 求导，利用导数与函数单调性的关系分析可得
()g x 在()0,∞+上为减函数，分析()g x 的特殊值，结合函数的单调性分析可得在区间()0,1和()1,+∞上
都有()0f x <，结合函数的奇偶性可得在区间()1,0-和(),1-∞-上都有()0f x >，进而将不等式变形
转化可得()2100x f x -><或()210
x f x -<>，解可得x 的取值范围，即可得答案.
详解：根据题意，设()()()ln 0g x x f x x =⋅>， 其导数()()()()()ln 1
ln f x x x f x g x f x x f x x x
+⋅=
⋅+=
'⋅''， 又当0x >时，()()ln 0f x x x f x '⋅+<， 则有()()()
ln 0f x x x f x g x x
'+⋅'=
<，
即函数()g x 在()0,∞+上为减函数， 又()()1ln110g f =⋅=，
则在区间()0,1上，()()ln 0g x x f x =⋅>，又由ln 0x <，则()0f x <， 在区间()1,+∞上，()()ln 0g x x f x =⋅<，又由ln 0x >，则()0f x <， 则()f x 在区间()0,1和()1,+∞上都有()0f x <，
又由()f x 为奇函数，则在区间()1,0-和(),1-∞-上都有()0f x >，
()()2
10x f x -<⇒()2100x f x -><或()2
100x f x -<>，
解可得：10x -<<或1x >. 则x 的取值范围是()()1,01,-⋃+∞. 故选：D.
点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性的关系，以及不等式的解法，关键是分析()0f x <与()0f x >的解集. 4．B 【解析】 【分析】 【详解】
由y ＝f′(x)的图象知，y ＝f(x)的图象为增函数， 且在区间(－1,0)上增长速度越来越快， 而在区间(0,1)上增长速度越来越慢． 故选B. 5．C 【解析】 试题分析：当
时，为奇数，，；
当时，为偶数，，； 当时，为奇数，，； 当时，为偶数，，
；
当
时，
输出
．
考点：程序框图． 6．D 【解析】 【分析】
分别写出当n k =，和1n k =+时，左边的式子，分别得到其项数，进而可得出结果. 【详解】
当n k =时，左边11112321k =+
+++-…，易知分母为连续正整数，所以，共有21k -项； 当1n k =+时，左边1111
12321
k +=++++-…，共有121k +-项；
所以从“k 到1k +”左边增加的项数是1
21(21)2k k k +---=项.
故选D 【点睛】
本题主要考查数学归纳法，熟记数学归纳法的一般步骤即可，属于常考题型. 7．B 【解析】 【分析】
由题意可得0028x
x +=，令()28x
f x x =+-，由()()20,30f f <>，可得0(2,3)x ∈，再根据
0(,1)x n n ∈+，即可求解n 的值.
【详解】
有题意可知0x 是方程28x x +=的解，所以0028x
x +=，
令()28x
f x x =+-，由()()220,330f f =-=，所以0(2,3)x ∈，
再根据0(,1)()x n n n N +
∈+∈，可得2n =，故选B.
【点睛】
本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系，以及函数的零点的判定定理的应用，其中解答中合理吧方程的根转化为函数的零点问题，利用零点的判定定理是解答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于基础题.
8．B 【解析】
若A 户家庭的李生姐妹乘坐甲车,即剩下的两个小孩来自其他的2个家庭,有22
3212C ⋅=种方法.
若A 户家庭的李生姐妹乘坐乙车,那来自同一家庭的2名小孩来自剩下的3个家庭中的一个,有12
3212C ⋅=.
所以共有12+12=24种方法. 本题选择B 选项.
点睛：(1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)．
(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法． 9．A 【解析】
11mi z i +=+(1)(1)11
222mi i m m i +-+-==+ ，所以10211102
m
m m +⎧>⎪⎪∴-<<⎨
-⎪<⎪⎩，选A. 10．C 【解析】 【分析】
利用二项式展开式的通项公式求出8
a x ⎫+⎪⎭展开式中的常数项的值，由常数项是4与10的等差中项，
求得a 的值 【详解】
由题意得8843
3
18
8r
r r r
r r r a T C x
C a x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭
，令
8403
r
-=，解得2r ．又因为4与10的等差中项为7，
所以22
87C a =，即1
2
a =±
，故选C ． 【点睛】
本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题． 11．C 【解析】 【分析】
设P 为边1MF 的中点，由双曲线的定义可得122PF PF a -=，因为正三角形12MF F 的边长为2c ，所以
2c a -=，进而解得答案。

【详解】
因为边1MF 的中点在双曲线上，设中点为P ，则122PF PF a -=，122F F c =,
因为正三角形12MF F 的边长为2c 2c a -=，
整理可得1
c e a === 故选C 【点睛】
本题考查双曲线的定义及离心率，解题的关键是由题意求出,a c 的关系式，属于一般题。

12．A 【解析】 【分析】
利用独立事件的概念即可判断． 【详解】
“第二次得到6点”，“第二次的点数不超过3点”，“第二次的点数是奇数”与事件“第一次得到6点”均相互独立，
而对于“两次得到的点数和是12”则第一次一定是6点，第二次也是6点，故不是相互独立， 故选D ． 【点睛】
本题考查了相互独立事件，关键是掌握其概念，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题 13．
2155
i - 【解析】 【分析】
先由复数的除法运算，求出复数Z ，进而可得出其共轭复数. 【详解】
因为()12i Z i +=，所以(12)22112(12)(12)555
i i i i Z i i i i -+=
===+++-， 因此其共轭复数为2155
Z i =
- 故答案为2155
i - 【点睛】
本题主要考查复数的运算，以及共轭复数，熟记运算法则与共轭复数的概念即可，属于基础题型. 14．1 【解析】 【分析】
根据图像分析，设01a b <<<，代入函数求值即可. 【详解】
由图像可知，设01a b <<<，
lg lg lg lg lg lg 0a b a b a b =⇒-=⇒+=，
即lg 01ab ab =⇒=. 故填：1. 【点睛】
本题考查了lg y x =的图像，以及对数运算法则，属于基础题型，本题的关键是根据图像，判断lg a 和lg b 的正负，去绝对值. 15．10 【解析】 【分析】
利用指数和对数运算，化简所求表达式. 【详解】 原式()
2
2
323
22
lg1044210=++=++=.
故答案为：10 【点睛】
本小题主要考查指数和对数运算，属于基础题. 16．
92
【解析】 【分析】
根据抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，且过点(1,3)M ,可以设出抛物线的标准方程,代入(1,3)M 后可计算得9
2
p =,再根据抛物线的几何性质可得答案. 【详解】
因为抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，且过点(1,3)M , 所以可设抛物线的标准方程为:2
2(0)y px p =>,
将(1,3)M 代入可得2
321p =⨯,解得92
p =
, 所以抛物线的焦点到准线的距离为92
p =
. 故答案为:92
. 【点睛】
本题考查了求抛物线的标准方程,考查了抛物线的焦准距,属于基础题. 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．（1）
1
3；（2）分布列见解析，103()8
E X = 【解析】 【分析】
（1）求出基本事件总数24n C =，这2局的得分恰好相等包含的基本事件个数22
22m C C =+.由此能求出这
2局的得分恰好相等的概率P ；
（2）甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列和数学期望. 【详解】
解：（1）从甲的4局比赛中，随机选取2局，
基本事件总数2
46n C ==，
这2局的得分恰好相等包含的基本事件个数222
22m C C =+=. ∴这2局的得分恰好相等的概率21
63
m p n =
==； （2）甲，乙两人的4局比赛中随机各选取1局，记这2局的得分和为X ， 则X 的可能取值为13，15，16，18，
2363
(13)44168
P X ==⨯==，
2121
(15)
44168P X ==⨯==，
2363
(16)44168P X ==⨯==，
211
(18)448
P X ==⨯=，
∴X 的分布列为：
∴X 的数学期望为3131103()1315161888888
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查相互独立事件概率计算公式等基础知识，是中档题. 18．（1）(,0)(4,)-∞+∞；（2）4
(,)(3,)3
-∞⋃+∞
【解析】 【分析】
（1）分类讨论去绝对值，然后解不等式即可；
（2）对0a >，0a <，0a =分类讨论，发现()f x 在[
],3a a
[]()3,a a 上是常数函数，只要[]3,4不是
[],3a a []()3,a a 即可，列不等式求解实数a 的取值范围.
【详解】
解：（1）当1a =时，()13f x x x =-+-， 当1x <时，
()(1)(3)244f x x x x =----=-+>，得0x <；
当13x ≤≤时，()(1)(3)24f x x x =---=>，得无解；
当3x >时，
()(1)(3)244f x x x x =-+-=->，得4x >，
综上所述：()4f x >的解集为：(,0)
(4,)-∞+∞；
（2）当0a >时，()24,32,324,3x a x a
f x x a x a a a x a x a x a -+<⎧⎪
=-+-=≤≤⎨⎪->⎩
，
若函数()f x 都能取到最小值，则[]3,4不是[]
,3a a 的子集， 当[]3,4是[],3a a 的子集时，343a a
≤⎧⎨≤⎩，解得4
33a ≤≤，
因为[]3,4不是[]
,3a a 的子集，所以4
03
a <<
或3a >； 同理：当0a <时，()24,332,324,x a x a f x x a x a a a x a x a x a -+<⎧⎪
=-+-=≤≤⎨⎪->⎩
，
因为[]3,4不可能是[]
3,a a 的子集，所以此时函数()f x 都能取到最小值 当0a =时，()2f x x =，其在34x ≤≤时明显有最小值， 综上所述：a 的取值范围是4
(,)(3,)3
-∞⋃+∞. 【点睛】
本题考查绝对值不等式，分类讨论去绝对值是常用处理方法，其中将在区间上有最值的问题转化为集合的包含关系问题，是第（2）的关键，本题是中档题. 19．（1）见解析（2）3 【解析】 【分析】 【详解】 ⑴因为
，所以sin sin a A b B =，即·
·22a b
a b R R
=,其中R 是ABC ∆的外接圆半径， 所以a b =，所以ABC ∆为等腰三角形.
⑵因为m p ⊥，所以()()220a b b a -+-=.
由余弦定理可知，()2
2243a b ab a b ab =+-=+-，即()2
340ab ab --= 解方程得：4ab =（1ab =-舍去） 所以11sin 4sin 3223
S ab C π
=
=⨯⨯=20． (1) 1a =- (2)见解析（3）见解析 【解析】
分析：（1）先求一阶导函数()x f '，()'
0x k f
=，用点斜式写出切线方程
（2）先求一阶导函数()x 0F '=的根，求解()x 0f '>或()x 0f '<的解集，判断单调性。

（3）根据（2）的结论，求出极值画出函数的示意图，分析函数()F x 只有一个零点0x 的等价条件是极小值大于零，函数()F x 在()1,a ++∞是减函数，故必然有一个零点。

详解：（1）因为()a f x x a '=
-，所以()11a f a '=-；又1122g ⎛⎫
'=- ⎪⎝⎭。

由题意得1
12
a a =--，解得1a =- （2）
，其定义域为
，
又()()211x a x a
F x x x a x a
-++=-+=
'--，令()00F x x ='⇒=或。

①当10a +>即10a -<<时，函数与()F x '随的变化情况如下：
当时，()0F x '>，当
时，()0F x '<。

所以函数
在
单调递增，在
和()1,a ++∞单调递减
②当10a +=即1a =-时，()2
01
x F x x '-=≤+，
所以，函数
在
上单调递减
③当10a +<即1a <-时，函数()F x 与()F x '随x 的变化情况如下： 当
时，()0F x '>，当()(),10,x a a ∈+⋃+∞时，()0F x '<。

所以函数()F x 在()1,0a +单调递增在(),1a a +和()0,+∞ 上单调递减 （3）证明：当()12ln210a -<<-<时， 由①知，()F x 的极小值为()0F ，极大值为.
因为
且又由函数
在()1,a ++∞是减函数，可得
至多有一个零点 又因为()()2112ln22ln21022
F a a a a a a ⎡⎤+=--=---<⎣⎦， 所以 函数
只有一个零点0x ， 且012a x a +<<+.
点睛：利用导数求在某点()00,x y 切线方程利用()'
0k f x =，()0y f x =即可，方程的根、函数的零点、
两个函数图像的交点三种思想的转化，为解题思路提供了灵活性，导数作为研究函数的一个基本工具在使用。

21．()1证明见解析；()221. 【解析】 【分析】
()1推出CB AB ⊥，从而CB ⊥平面ABEF ，进而得出CB AG ⊥
，再得出AG BE ⊥，从而AG ⊥平面
BCE ，由此能证明平面ACG ⊥平面BCE ；
()2以A 为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B CA G --的余弦值.
【详解】 解：()1证明：平面ABCD ⊥平面ABEF ，CB AB ⊥，
平面ABCD
平面ABEF AB =.
∴CB ⊥平面ABEF ，∴CB AG ⊥.
在菱形ABEF 中，60ABE ∠=︒，可知ABE △为等边三角形，G 为BE 中点，
∴AG BE ⊥.
BE CB B =，∴AG ⊥平面BCE .
AG ⊂平面ACG ，∴平面ACG ⊥平面BCE .
()2由()1知，AD ⊥平面ABEF ，AG BE ⊥，∴AG ，AF ，AD 两两垂直，
以A 为原点，如图建立空间直角坐标系.
设2AB =，则23
BC =，()0,0,0A ，(
)
3,0,0G
，233,1,C ⎛⎫
- ⎪ ⎪⎭
，(
)
3,1,0B
-.
设(),,m x y z =为平面ABC 的法向量，
由00m AB m AC ⎧⋅=⎨⋅=⎩可得30
23
30x y x y z ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩
， 取()
1,3,0m =，同理可求平面ACG 的法向量()
0,2,3n =，
∴2321cos ,27
m n m n m n
⋅=
=
=⨯，
即二面角B CA G --的余弦值等于
21
7
.
【点睛】
本题考查面面垂直的证明，线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知
识，考查运算能力，考查函数与方程思想，属于中档题. 22．（1）1,1a b ==-； （2）()()124g x g x +<-. 【解析】 【分析】
（1）先求得切点的坐标，然后利用切点和斜率列方程组，解方程组求得,a b 的值.（2）将()g x 转化为只含有a 的式子.对函数()g x 求导，利用二次函数零点分布的知识求得a 的取值范围并利用韦达定理写出
12,x x 的关系式.化简()()12g x g x +的表达式，并利用构造函数法求得()()128ln212g x g x +<-.用差比
较法比较出8ln212-与4-的大小关系. 【详解】
（1）根据题意可求得切点为51,
2⎛⎫
⎪
⎝⎭
,由题意可得,()()'1a g x x b x =++-, ∴()()512'14g g ⎧=⎪
⎨⎪=⎩
,即15122114b a b ⎧+-=⎪⎨⎪++-=⎩,解得1,1a b ==-.
（2）∵1b a =+,∴()21ln 2g x a x x ax =+
-,则()'a
g x x a x
=+-. 根据题意可得20x ax a -+=在()0,∞+上有两个不同的根12,x x .
即2
02400a
a a a ⎧>⎪⎪->⎨⎪>⎪⎩
,解得4a >,且1212,x x a x x a +==. ∴()()()()
()2221212121211
ln ln 22
g x g x a x x x x a x x a a a a +=++-+=--. 令()2
1ln (4)2
f x x x x x x =-
->,则()'ln 11ln f x x x x x =+--=-, 令()ln h x x x =-,则当4x >时,()1
'10h x x
=-<,
∴()h x 在()4,∞+上为减函数,即()()()4ln440,'0h x h f x <=-<<即, ∴()f x 在()4,∞+上为减函数,即()()48ln212f x f <=-, ∴()()128ln212g x g x +<-,
又∵()()22
8ln21248ln288ln218ln ,ln 0e e
而---=-=-=<, ∴2
8ln
0e
<,即8ln2124-<-, ∴()()124g x g x +<-.
【点睛】
本小题主要考查利用导数求解有关切线方程的问题，考查利用导数研究函数的极值点问题，难度较大.
同步练习
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若a ，b 均为单位向量，且(2)a a b ⊥-，则a 与b 的夹角大小为 （ ） A ．
6
π B ．
4
π C ．
3
π D ．
23
π 2．设2019
220190122019(12)
x a a x a x a x -=+++⋅⋅⋅+，则201920182017012201820192222a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+的
值为（ ） A ．20192
B ．1
C ．0
D ．-1
3．把函数sin ()y x x =∈R 的图象上所有点向左平行移动
6
π
个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数是（ ）. A ．sin 26x y π⎛⎫
=+
⎪⎝⎭
B ．sin 23y x π⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭
C ．sin 26x y π⎛⎫=-
⎪⎝⎭
D ．sin 23y x π⎛⎫
=-
⎪⎝
⎭
4．若函数,0,
()ln ,0x a x f x x x +≤⎧=⎨>⎩
的图象上存在关于直线y x =对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．(,0)-∞
B ．[0,)+∞
C ．(,1]-∞
D ．[1,)+∞
5．若函数322ln ()x ex mx x
f x x
-+-=至少存在一个零点，则m 的取值范围为（ ）
A ．2
1,e e
⎛⎤-∞+ ⎥⎝
⎦
B ．2
1,e e ⎡⎫+
+∞⎪⎢⎣
⎭
C ．1,e e
⎛⎤-∞+ ⎥⎝
⎦
D ．1,e e ⎡⎫+
+∞⎪⎢⎣
⎭
6．在极坐标系中，由三条直线0θ=，3
π
θ=，cos sin 1ρθρθ+=围成的图形的面积为（ ）
A ．
1
4
B ．
33
4
- C ．
23
4
- D ．
13
7．若实数满足
，则( ) A ．都小于0 B ．
都大于0
C ．
中至少有一个大于0 D ．中至少有一个小于0
8．若实数，x y 满足条件1230x x y y x
≥⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩
，则1y
z x =+的最小值为
A ．
13
B ．
12
C ．
34
D ．1
9．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”.在一次考古挖掘中，考古学家发现一批鱼化石，经检测其碳14含量约为原始含量的3.1%，则该生物生存的年代距今约（） A ．1.7万年
B ．2.3万年
C ．2.9万年
D ．3.5万年
10．若双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b
-=>>的一条渐近线被圆22
(2)2x y +-=所截得的弦长为2，则双曲线C
的离心率为（ ）
A B ．2
C D ．11．在复平面内，复数1
1i
-的共轭复数对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限
D ．第四象限
12．甲，乙，丙，丁四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：甲：“我得第一名”；乙：“丁没得第一名”；丙：“乙没得第一名”；丁：“我得第一名”.已知他们四人中只有一个说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断得第一名的人是 （ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 二、填空题：本题共4小题
13．设F 为抛物线28y x =的焦点，A B 、为抛物线上两点，若2AF FB =,则2FA FB += ____________．
14．已知复数1223,z i z t i =+=-，且12·z z 是实数，则实数t =__________.
15．已知a b ==a 与b 的大小关系______．
16．吃零食是中学生中普遍存在的现象．长期吃零食对学生身体发育有诸多不利影响，影响学生的健康成长．下表给出性别与吃零食的列联表
根据下面2K 的计算结果，试回答，有_____的把握认为“吃零食与性别有关”． 参考数据与参考公式：
222
()85(140480)9826000
== 4.722()()()()176845402080800
n ad bc K a b c d a c b d --=≈++++⨯⨯⨯
20()P K k ≥
0.050 0.010 0.001
0k
3.841 6.635 10.828
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．求二项式500(12)x +的展开式中项系数最大的项的系数. 18．在数列
中，
．
（1）求的值；
（2）猜想
的通项公式，并用数学归纳法证明．
19．（6分）从某工厂的一个车间抽取某种产品50件，产品尺寸（单位：cm ）落在各个小组的频数分布如下表： 数据 分组
[12.5,15.5) [15.5,18.5) [18.5,21.5) [21.5,24.5) [24.5,27.5) [27.5,30.5) [30.5,33.5)
频数
3 8 9 12 10 5 3
（1）根据频数分布表，求该产品尺寸落在[
)27.5,30.5的概率； （2）求这50件产品尺寸的样本平均数x ；
（3）根据频率分布对应的直方图，可以认为这种产品尺寸z 服从正态分布(
)2
,N μσ
；其中μ近似为样本
平均值x ，2σ近似为样本方差2S ，经计算得222.37S =，利用正态分布，求(27.43)P z ≥． 20．（6分）已知函数()f x 的定义域为R ，值域为()0,∞+，且对任意,m n R ∈，都有
()()()f m n f m f n +=，()()()11
f x x f x ϕ-=+.
（Ⅰ）求()0f 的值，并证明()x ϕ为奇函数；
（Ⅱ）若0x >时，()1f x >，且()34f =，证明()f x 为R 上的增函数，并解不等式()1517
x ϕ>
. 21．（6分）现将甲、乙两个学生在高二的6次数学测试的成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图，进人高三后，由于改进了学习方法，甲、乙这两个学生的考试数学成绩预计同时有了大的提升.若甲（乙）的高二任意一次考试成绩为x ，则甲（乙）的高三对应的考试成绩预计为10x +（若10x +>100.则取10
x +
为100）.若已知甲、乙两个学生的高二6次考试成绩分别都是由低到高进步的，定义X 为高三的任意一次考试后甲、乙两个学生的当次成绩之差的绝对值.
（I ）试预测：在将要进行的高三6次测试中，甲、乙两个学生的平均成绩分别为多少？（计算结果四舍五入，取整数值）
（Ⅱ）求X 的分布列和数学期望. 22．（8分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy 中，曲线M 的参数方程为1cos 1sin x r y r α
α=+⎧⎨
=+⎩
（α为参数，0r >），以直角坐标系的原点
为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立坐标系，圆C 的极坐标方程为8sin ρθ=. （1）求圆C 的直角坐标方程（化为标准方程）及曲线M 的普通方程； （2）若圆C 与曲线M 的公共弦长为8，求r 的值.
参考答案
一、选择题：本题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．C 【解析】
分析：由向量垂直得向量的数量积为0，从而求得a b ⋅，再由数量积的定义可求得夹角． 详解：∵()
2a a b ⊥-，∴2
(2)20a a b a a b ⋅-=-⋅=，∴1
2
a b ⋅=， ∴1cos ,2a b a b a b
⋅<>==
，∴,3
a b π<>=． 故选C ．
点睛：平面向量数量积的定义：cos ,a b a b a b ⋅=<>，由此有cos ,a b a b a b
⋅<>=
，根据定义有性质：
0a b a b ⊥⇔⋅=．
【解析】 【分析】
首先采用赋值法，令12x =，代入求值2019
3
2019120232019112 (022222)
a a a a a ⎛⎫-⨯=+
++++= ⎪⎝
⎭，通分后即得结果. 【详解】 令1
2
x =
， 2019
3
2019120232019112 (022222)
a a a a a ⎛⎫-⨯=+
++++= ⎪
⎝
⎭, 2019201820173
2019012201820191202320192019
222...2 (022222)
a a a a a a a a a a ⋅+⋅+⋅++⋅++++++==， ∴ 2019201820170122018201922220a a a a a ⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅+=.
故选：C 【点睛】
本题考查二项式定理和二项式系数的性质，涉及系数和的时候可以采用赋值法求和，本题意在考查化归转化和计算求解能力，属于中档题型. 3．A 【解析】 【分析】
先根据左加右减的性质进行平移，再根据横坐标伸长到原来的2倍时w 的值变为原来的1
2
倍，得到答案． 【详解】 解：向左平移
6π
个单位，即以6x π+代x ，得到函数sin()6
y x π=+， 再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以12x 代x ，得到函数：1
sin 2
6y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．
故选：A ． 【点睛】
本题主要考查三角函数的变换，属于基础题． 4．D 【解析】
分析：设若函数(),0,
,0
x a x f x lnx x +≤⎧=⎨>⎩的图象上存在关于直线y x =对称的点，则函数y x a =+与函数
x y e =的图象有交点，即x x a e +=有解，利用导数法，可得实数a 的取值范围.
详解：由ln y x =的反函数为x y e =，
函数y x a =+与ln y x =的图象上存在关于直线y x =对称的点， 则函数y x a =+与函数x
y e =的图象有交点，即x x a e +=有解，
即x a e x =-，
令(),0x
h x e x x =-≤，
则()1x
h x e '=-，
当0x ≥时，()'
0h x >，()h x ∴在[)0,+∞上单调递增，
当0x =时，可得()h x 求得的最小值为1.
∴实数a 的取值范围是[)1,+∞，
故选：D.
点睛：本题考查的知识点是函数图象的交点与方程根的关系，利用导数求函数的最值，难度中档. 5．A 【解析】 【分析】
将条件转化为2
ln 2x
m x ex x
=-++有解，然后利用导数求出右边函数的值域即可. 【详解】
因为函数322ln ()x ex mx x
f x x
-+-=至少存在一个零点
所以322ln 0x ex mx x x
-+-=有解
即2
ln 2x
m x ex x =-++
有解 令()2
ln 2x h x x ex x =-++，则()2
1ln 22x h x x e x -'=-++
()()
342444
32ln 1ln 32ln 322ln 222x x x x x x x x x x x x h x x e x x x x -----+--+''=-++=-+==
因为0x >，且由图象可知3ln x x >，所以()0h x ''< 所以()h x '在0,
上单调递减，令()0h x '=得x e =
当0x e <<时()0h x '>，()h x 单调递增 当x e >时0h x '<，h x 单调递减
所以()()2
max 1h x h e e e
==+
且当x →+∞时()h x →-∞
所以m 的取值范围为函数()h x 的值域，即2
1,e e
⎛⎤-∞+ ⎥⎝
⎦
故选：A 【点睛】
1.本题主要考查函数与方程、导数与函数的单调性及简单复合函数的导数，属于中档题.
2. 若方程()a f x =有根，则a 的范围即为函数()f x 的值域 6．B 【解析】 【分析】
求出直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，直线3
π
θ=与直线cos sin 1
ρθρθ+=交点的极坐标2,3πρ⎛
⎫
⎪⎝
⎭
，然后利用三角形的面积公式121sin 23
S π
ρρ=
可得出结果. 【详解】
设直线0θ=与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标()1,0ρ，则1cos 01ρ=，得11ρ=. 设直线3
π
θ=
与直线cos sin 1ρθρθ+=交点的极坐标2,
3πρ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，
则22cos
sin
13
3π
π
ρρ+=，即22112ρρ+=，得21ρ=.
因此，三条直线所围成的三角形的面积为)
1211
sin 11232
S πρρ==⨯⨯=
， 故选：B. 【点睛】
本题考查极坐标系中三角形面积的计算，主要确定出交点的极坐标，并利用三角形的面积公式进行计算，考查运算求解能力，属于中等题. 7．D
【解析】假设a,b 都不小于0,即a≥0,b≥0,则a+b≥0,这与a+b<0相矛盾,因此假设错误,即a,b 中至少有一个小于0. 8．B 【解析】
分析：作出约束条件的平面区域，易知z=1
y
x +的几何意义是点A （x ，y ）与点D （﹣1，0）连线的直线的斜率，从而解得．
详解：由题意作实数x ，y 满足条件1230x x y y x ≥⎧⎪
-+≥⎨⎪≥⎩
的平面区域如下，
z=
1y
x +的几何意义是点P （x ，y ）与点D （﹣1，0），连线的直线的斜率，由1x y x =⎧⎨=⎩
，解得A （1，
1）
故当P 在A 时，z=
1
y
x +有最小值， z=
1y
x +=12
．
故答案为：B ．
点睛：（1）本题主要考查线性规划和斜率的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和数形结合思想方
法.(2)2121
y y x x --表示两点1122(,),(,)x y x y 所在直线的斜率.
9．C 【解析】 【分析】
根据实际问题，可抽象出()150% 3.1%n
-=，按对数运算求解. 【详解】
设该生物生存的年代距今是第n 个5730年， 到今天需满足()150% 3.1%n
-=， 解得：0.5log 3.1%5n =≈，
5573028650⨯= 2.9≈万年.
本题考查了指数和对数运算的实际问题，考查了转化与化归和计算能力. 10．B 【解析】 【分析】
写出双曲线的渐近线方程，由圆的方程得到圆心坐标与半径，结合点到直线的距离公式与垂径定理列式求解． 【详解】
解：双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b -=>>的渐近线方程为b y x a
=±，
由对称性，不妨取b
y x a
=
，即0bx ay -=．
圆2
2
(2)2x y +-=的圆心坐标为(0,2)，
则圆心到渐近线的距离1d ==，
∴
1=，解得2c
e a
=
=． 故选：B ． 【点睛】
本题考查双曲线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，属于中档题． 11．D 【解析】
分析：将复数化为最简形式，求其共轭复数，找到共轭复数在复平面的对应点，判断其所在象限.
详解：
11111(1)(1)22i i i i i +==+--+的共轭复数为1122
i - 对应点为1
1(,)22
-，在第四象限，故选D.
点睛：此题考查复数的四则运算，属于送分题，解题时注意审清题意，切勿不可因简单导致马虎丢分. 12．B
【解析】分析：分别假设甲、乙、丙、丁得第一名，逐一分析判断即可. 详解：若甲得第一名，则甲、乙、丙说了真话，丁说了假话，不符合题意； 若乙得第一名，则乙说了真话，甲、丙、丁说了假话，符合题意； 若丙得第一名，则乙、丙说了真话，甲、丁说了假话，不符合题意； 若丁得第一名，则丙、丁说了真话，甲、乙说了假话，不符合题意
点睛：本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查逻辑推理能力，属于基础题． 二、填空题：本题共4小题
分析：过点,A B 两点分别作准线的垂线，过点B 作AC 的垂线，垂足为E ，在直角三角形ABE 中，求得
1
cos 3
AE BAE AB ∠=
=，进而得直线AB 的斜率为22k =，所以直线AB 的方程，联立方程组，求得点,A B 的坐标，即可求得答案．
详解：过点,A B 两点分别作准线的垂线，过点B 作AC 的垂线，垂足为E ， 设BF m =，则BD m =，
因为2AF FB =，所以2AC AF m ==，
在直角三角形ABE 中，2AE AC BD m m m ===-=，3AB m =, 所以1
cos 3
AE BAE AB ∠=
=， 所以直线AB 的斜率为tan 22k BAE =∠=，所以直线AB 的方程为22(2)y x =-， 将其代入抛物线的方程可得2540x x -+=，解得121,4x x ==，
所以点(4,42),(1,22)A B -，又由(2,0)F ，所以22(12)(22)3BF =-+= 所以2412FA FB FB +==．
点睛：本题主要考查了主要了直线与抛物线的位置关系的应用问题，同时涉及到共线向量和解三角形的知识，解答本题的关键是利用抛物线的定义作出直角三角形ABE ，确定直线的斜率，得出直线的方程，着重考查了数形结合思想和推理与运算能力．
14．23
-
【解析】
复数z 1=2+3i,z 2=t−i ， ∴2z =t+i ，
∴12·z z =(2+3i)(t+i)=(2t−3)+(3t+2)i ， 由12·z z 是实数,得3t+2=0,即2
3
t =-. 15．a ＜b。