晶体结构与常见晶体结构类型
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坐标系体的构成； 原点和三个不共面的基矢a、b、和c。
2.1.2 三维空间点阵中直线点阵与平面点阵的表达
定义：表示晶面、晶列（棱）等在晶体上方位的简单的数字符号。
结晶符号
定义：用简单数字符号来表达晶棱或者其他直线（如坐标轴）在晶体上的方向的结晶学符号。也称Miller指数。 三轴定向通式为[uvw]，四轴定向通式为[uvtw]， 晶向符号的确定步骤： ①选定坐标系，以晶轴x、y、z为坐标轴，轴单位分别是a、b和c； ②通过原点作一直线，使其平行于待标定晶向AB； ③在直线上任取一点P，求出P点在坐标轴上的坐标xa、yb、zc； ④xa/a:yb/b:zc/c=u:v:w应为整数比，去掉比号，以方括号括之，写成[uvw]即晶向AB的晶向符号。
把结构单元放回到几何点
把结构单元抽象为几何点
把结构单元放回到几何点
空间点阵几何要素(点线面）
1 结点（node)：点阵中的点。 结点间距：相邻结点间的距离。
2 行列(row) ：结点在直线上的排列。 特点：平行的行列间距相等。
空间点阵几何要素(点线面）
面网：由结点在平面上分布构成的平面。 特点：任意两个相交行列便可以构成一个面网。
计算由基矢构成的平行六面体点阵点数量时必须考虑： （1）在平行六面体顶角上的点阵点时由8个相邻平行六面体所共有的； （2）位于平行六面体棱上的点阵点是由4个相邻平行六面体所共有的； （3）位于平行六面体面上的点阵点时2个相邻平行六面体所共有的； （4）位于平行六面体内部的点阵点完全属于该平行六面体。
（1）直线点阵或晶列的表达
晶向符号(晶棱符号)
在立方晶系中，晶向指数与晶面指数相同时，则晶面与晶向垂直。 不同晶面与晶向具有不同的原子密度，因而晶体在不同方向上表现出不同的性质。
A
B
C
O
[111]晶向垂直于（111）面
OA晶向:[120] OB晶向:[103] OC晶向:[123]
x
y
z
③ 取截距系数的倒数比，并化简。即： 1/p:1/q:1/r=h:k:l （h:k:l应为简单整数比） ④ 去掉比例符号，以小括号括之， 写成（hkl）,即为待标定晶面的晶面指数。
基元：晶体的基本结构单元 (1) 一个基元对应一个节点 (2) 基元（结点）周围的环境相同（等效性） (3) 基元内部有结构，可以由一种或数种原子构成
点阵 + 基元 = 晶体结构
晶体的对称性
点阵的对称性
（2）点阵：
晶体结构
基元
点阵
用 表示所有的点阵点。
（3）布拉菲点阵
复式格子的特点 复式格子是由若干相同的布拉菲格子相互位移套构而成。
（4）复式点阵（格子）
若晶体的基元中包括两种或两种以上的原子，则基元中每种原子可分别构成彼此完全相同的点阵，但它们之间存在相对位移，形成复式点阵。
复式格子的特点
点阵类型：（1）直线点阵
补充 2、数学的证明方法为： t’ = mt t’= 2tsin(-90)+ t = -2tcos + t 所以，mt = -2tcos + t 2cos = 1- m cos = (1 - m)/2 -2 1 - m 2 m = -1,0,1,2,3 相应的 ＝ 0 或2 ， /3, /2， 2 /3, ，相应的轴次为1，6，4，3，2。 （但是，在准晶体中可以有5、8、10、12次轴）
（3）晶胞：晶体结构的基本重复单元称为晶胞.
NaCl 三维周期排列的结构及其点阵
(0, 0, 0)
(1/2, 1/2, 0)
(1/2, 0, 1/2)
(0, 1/2, 1/2)
原子在晶胞中的位置坐标
Cl-
NaCl 三维周期排列的结构及其点阵
原子在晶胞中的位置
§2.2 点阵宏观对称性与类型
晶体对称的特点
1）由于晶体内部都具有格子构造，通过平移，可使相同质点重复，因此所有的晶体结构都是对称的。 2）晶体的对称受格子构造规律的限制，它遵循晶体对称定律 。 3）晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性质上。 由以上可见:格子构造使得所有晶体都是对称的，格子构造也使得并不是所有对称都能在晶体中出现的。为什么
2.2.2 点阵结构的点对称性与点群
（1）点对称特点：由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3，4，6这五种，不可能出现n = 5， n > 6的情况。为什么 1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶体结构。
(010)
（001）
（001）
(010)
(100)
(100)
立方体各晶面的晶面符号
x
y
z
（0001）
六方柱后面三个晶面的晶面符号:
x
y
z
u
晶面符号：
(1100)
(0110)
（1010）
2.2.1 对称性的基本概念 对称就是物体相同部分有规律的重复。
对称不仅针对几何形态，还有更深和更广的含义，它包含了自然科学、社会科学、文学艺术等各领域的对称性，如战争中的非对称战略。
六方晶系 四方晶系 三方晶系
低级晶族（无高次轴）
斜方晶系 单斜晶系 三斜晶系
立方晶系
晶体的分类
n﹥2
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
（2）点群：晶体可能存在的对称类型。 通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。只能有32种对称类型，称32种点群
晶族和晶系 在晶体的对称型中，根据有无高次轴和高次轴多少，把32个对称型划分出三个晶族；又根据对称特点划分为7个晶系。
晶体
高级晶族（高次轴多于一个）
中级晶族（高次轴只有一个）
（a）Po
实例
结构
点阵
晶格
结构
点阵
晶格
（ b ）CsCl
实例
结构
点阵
晶格
（ c ） Na
实例
结构
点阵
晶格
（ d ）Cu
实例
点阵与晶体关系图
晶体（点阵结构）
点阵
晶胞
正当单位
并置
切分
并置
切分
把结构单元抽象为几何点
由原子、分子或离子等微粒在空间按一定规律、周期性重复排列所构成的固体物质。
§ 2.1 晶体的周期结构与点阵
以NaCl晶体为例
Cl
Na
0.563nm
（1）结构周期：晶体内部质点在三维空间周期性重复排列构成周期结构。
2.1.1 周期结构与点阵
为了研究晶体的周期结构，用数学上的几何点来代表基元的位置，得到空间点阵。几何点称为空间点阵的格点（结点）。
t
t’
t
t
晶系
第一位
第二位
第三位
点群 （共32个）
可能对称元素
方向
可能对称元素
方向
可能对称元素
方向
三斜
1,`1
任意
无
无
1，`1
单斜
2,m,2/m
Y
无
无
2,m,2/m
正交
2，m
X
2，m
Y
2，m
Z
222,mm2,mmm
四方
4,`4，4/m
Z
无， 2，m
X
无， 2，m
底对角线
4,`4，4/m，422，4mm, `42m, 4/mmm
面网密度：面网上单位面积内的结点数目。 面网间距：两个相邻面网间的垂直距离，平行面网间距相等。
3 面网（）
平行六面体：结点在三维空间的分布构成空间格子。 特点：任意三个相交且不在同一个平面的行列构成一个空间点阵。 根据基矢的不同选择可以得到不同的平行六面体。
4 平行六面体（parallelepiped）
线和垂直于线的平面
旋转反映轴
晶体的宏观对称操作与对称要素
1、对称中心i（inversion）：一个假想的几何点，在通过该点的任意直线的两端可以找到与其等距离的点。 对应的对称操作：对此点的反伸（倒反）。
C
一个晶体中可以有对称中心，也可以没有对称中心；如果有对称中心，那么只能有一个，且位于晶体的几何中心。
晶面符号 表示晶面在空间中方位的符号，又称米勒符号。三轴定向通式为(hkl)，四轴定向通式为(hkil)。 确定晶面符号的步骤： ① 选定坐标系； ② 求出待标晶面在x、y、z轴上的截距pa、qb、rc,则截距系数分别为p、q和r；
（2）平面点阵或晶面的表达
y
x
z
晶面符号 (332)
晶面在晶轴上的截距系数愈大其晶面符号中与该轴相应的米氏指数愈小。当晶面平行于某坐标轴时，其晶面符号中的米氏指数为0。
初基矢量
点阵参数
（1）点阵参数：空间点阵必然可选择3个不相平行的单位矢量a，b，c。点阵参数指三个矢量a，b，c的长度及两两之间的夹角。 （2）元胞：不在同一直线上的矢量a、b去连接与原点相邻的点阵点形成的平行四边形，当该平行四边形中只含有一个点阵点时，它就是该平面点阵的最小周期，称为元胞。
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晶体结构与常见晶体结构类型
第二章 晶体的结构与常见结构类型 Chapter 2 Structures and types of crystal
晶态结构示意图
非晶态结构示意图
晶体的定义
3 、旋转对称（n）：通过晶体中心的一条假想的直线，绕这 条直线旋转一定的角度后，能使图形相同的部分重复出现。 对应的对称操作：绕对称轴的旋转。
轴次（n）：旋转一周重复的次数 基转角（）：重复时所旋转的最小角度 n与之间的关系：
2
3
4
6
4 、旋转反伸对称（ ）：通过晶体中心的一条假想的直线，绕这 条直线旋转一定的角度后再反伸，能使图形相同的部分重复出现。 对应的对称操作：绕对称轴的旋转加反伸。
1= i
2= m
3
2
4（3个）
立方体 六方柱
（4个）
（6个）
6
3= 3i
4
6= 3m
值得指出的是，除4 外，其余各种旋转反伸轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下：
以直线连接各个阵点形成的点阵称为直线点阵.
结构基元
点阵
点阵参数：相邻点阵点的距离
实例
最简单的情况是等径圆球密置层. 每个球抽取为一个点. 这些点即构成平面点阵.
(2)二维－平面点阵
（ a ）NaCl
实例
（ b ）Cu
结构
点阵
晶格Leabharlann ab（c）石墨
实例
结构
点阵
晶格
(3)三维－空间点阵
简单立方晶格 (a) 简单立方晶格在三维空间延伸 (b)
(1/2,1/20,1/2)
( 0, 1/2， 0)
(1/2, 0, 0)
(0, 0, 1/2)
Na+
若晶体有完全相同的一种原子组成，则结构基元就只有一个原子，点阵点的位置即是这种原子的位置，由这种原子构成的点阵即是布拉菲点阵。 布拉菲点阵的特点： ①每个结点周围的情况都是一样的。 ②如果晶体是由完全相同的一种原子组成，则这种原子所围成的网格也就是布拉菲点阵或布拉菲格子，和结点组成的网格完全相同。
三方
3,`3
Z
无， 2，m
X
无
3,`3, 32,3m, `3m
六方
6,`6, 6/m
Z
无， 2，m
X
无， 2，m
底对角线
6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm
立方
2,m,4, `4
X
3,`3
体对角线
无， 2，m
面对角线
23,m3,432, `43m, m`3m
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
该切面不是矩形体的对称面
该切面是对称面
2 、对称面m（mirror plane）：一个假想的平面，它能将晶体分成互成镜像反 映的两个相同部分。
对应的对称操作：对此面的反映。
B2
B1
B4
B3
B2
B1
B4
B3
A2
A1
A4
A3
A2′
A1′
A4′
A3′
A2
A1
A4
A3
A2′
A1′
A4′
A3′
晶体的宏观对称要素和对称操作
对称操作：使对称图形中相同部分重复的操作。 对称要素：在进行对称操作时所应用的辅助几何要素（点、线、面）。
操作类型
对称操作
假想的辅助几何要素
对称要素
简单
反伸（倒反）
点
对称中心
反映
面
对称面
旋转
线
对称轴
复杂
旋转+反伸
线和线上的定点
旋转反伸轴
旋转+反映
2.1.2 三维空间点阵中直线点阵与平面点阵的表达
定义：表示晶面、晶列（棱）等在晶体上方位的简单的数字符号。
结晶符号
定义：用简单数字符号来表达晶棱或者其他直线（如坐标轴）在晶体上的方向的结晶学符号。也称Miller指数。 三轴定向通式为[uvw]，四轴定向通式为[uvtw]， 晶向符号的确定步骤： ①选定坐标系，以晶轴x、y、z为坐标轴，轴单位分别是a、b和c； ②通过原点作一直线，使其平行于待标定晶向AB； ③在直线上任取一点P，求出P点在坐标轴上的坐标xa、yb、zc； ④xa/a:yb/b:zc/c=u:v:w应为整数比，去掉比号，以方括号括之，写成[uvw]即晶向AB的晶向符号。
把结构单元放回到几何点
把结构单元抽象为几何点
把结构单元放回到几何点
空间点阵几何要素(点线面）
1 结点（node)：点阵中的点。 结点间距：相邻结点间的距离。
2 行列(row) ：结点在直线上的排列。 特点：平行的行列间距相等。
空间点阵几何要素(点线面）
面网：由结点在平面上分布构成的平面。 特点：任意两个相交行列便可以构成一个面网。
计算由基矢构成的平行六面体点阵点数量时必须考虑： （1）在平行六面体顶角上的点阵点时由8个相邻平行六面体所共有的； （2）位于平行六面体棱上的点阵点是由4个相邻平行六面体所共有的； （3）位于平行六面体面上的点阵点时2个相邻平行六面体所共有的； （4）位于平行六面体内部的点阵点完全属于该平行六面体。
（1）直线点阵或晶列的表达
晶向符号(晶棱符号)
在立方晶系中，晶向指数与晶面指数相同时，则晶面与晶向垂直。 不同晶面与晶向具有不同的原子密度，因而晶体在不同方向上表现出不同的性质。
A
B
C
O
[111]晶向垂直于（111）面
OA晶向:[120] OB晶向:[103] OC晶向:[123]
x
y
z
③ 取截距系数的倒数比，并化简。即： 1/p:1/q:1/r=h:k:l （h:k:l应为简单整数比） ④ 去掉比例符号，以小括号括之， 写成（hkl）,即为待标定晶面的晶面指数。
基元：晶体的基本结构单元 (1) 一个基元对应一个节点 (2) 基元（结点）周围的环境相同（等效性） (3) 基元内部有结构，可以由一种或数种原子构成
点阵 + 基元 = 晶体结构
晶体的对称性
点阵的对称性
（2）点阵：
晶体结构
基元
点阵
用 表示所有的点阵点。
（3）布拉菲点阵
复式格子的特点 复式格子是由若干相同的布拉菲格子相互位移套构而成。
（4）复式点阵（格子）
若晶体的基元中包括两种或两种以上的原子，则基元中每种原子可分别构成彼此完全相同的点阵，但它们之间存在相对位移，形成复式点阵。
复式格子的特点
点阵类型：（1）直线点阵
补充 2、数学的证明方法为： t’ = mt t’= 2tsin(-90)+ t = -2tcos + t 所以，mt = -2tcos + t 2cos = 1- m cos = (1 - m)/2 -2 1 - m 2 m = -1,0,1,2,3 相应的 ＝ 0 或2 ， /3, /2， 2 /3, ，相应的轴次为1，6，4，3，2。 （但是，在准晶体中可以有5、8、10、12次轴）
（3）晶胞：晶体结构的基本重复单元称为晶胞.
NaCl 三维周期排列的结构及其点阵
(0, 0, 0)
(1/2, 1/2, 0)
(1/2, 0, 1/2)
(0, 1/2, 1/2)
原子在晶胞中的位置坐标
Cl-
NaCl 三维周期排列的结构及其点阵
原子在晶胞中的位置
§2.2 点阵宏观对称性与类型
晶体对称的特点
1）由于晶体内部都具有格子构造，通过平移，可使相同质点重复，因此所有的晶体结构都是对称的。 2）晶体的对称受格子构造规律的限制，它遵循晶体对称定律 。 3）晶体的对称不仅体现在外形上，同时也体现在物理性质上。 由以上可见:格子构造使得所有晶体都是对称的，格子构造也使得并不是所有对称都能在晶体中出现的。为什么
2.2.2 点阵结构的点对称性与点群
（1）点对称特点：由于晶体是具有格子构造的固体物质，这种质点格子状的分布特点决定了晶体的对称轴只有n = 1，2，3，4，6这五种，不可能出现n = 5， n > 6的情况。为什么 1、直观形象的理解：垂直五次及高于六次的对称轴的平面结构不能构成面网，且不能毫无间隙地铺满整个空间, 即不能成为晶体结构。
(010)
（001）
（001）
(010)
(100)
(100)
立方体各晶面的晶面符号
x
y
z
（0001）
六方柱后面三个晶面的晶面符号:
x
y
z
u
晶面符号：
(1100)
(0110)
（1010）
2.2.1 对称性的基本概念 对称就是物体相同部分有规律的重复。
对称不仅针对几何形态，还有更深和更广的含义，它包含了自然科学、社会科学、文学艺术等各领域的对称性，如战争中的非对称战略。
六方晶系 四方晶系 三方晶系
低级晶族（无高次轴）
斜方晶系 单斜晶系 三斜晶系
立方晶系
晶体的分类
n﹥2
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
（2）点群：晶体可能存在的对称类型。 通过宏观对称要素在一点上组合运用而得到。只能有32种对称类型，称32种点群
晶族和晶系 在晶体的对称型中，根据有无高次轴和高次轴多少，把32个对称型划分出三个晶族；又根据对称特点划分为7个晶系。
晶体
高级晶族（高次轴多于一个）
中级晶族（高次轴只有一个）
（a）Po
实例
结构
点阵
晶格
结构
点阵
晶格
（ b ）CsCl
实例
结构
点阵
晶格
（ c ） Na
实例
结构
点阵
晶格
（ d ）Cu
实例
点阵与晶体关系图
晶体（点阵结构）
点阵
晶胞
正当单位
并置
切分
并置
切分
把结构单元抽象为几何点
由原子、分子或离子等微粒在空间按一定规律、周期性重复排列所构成的固体物质。
§ 2.1 晶体的周期结构与点阵
以NaCl晶体为例
Cl
Na
0.563nm
（1）结构周期：晶体内部质点在三维空间周期性重复排列构成周期结构。
2.1.1 周期结构与点阵
为了研究晶体的周期结构，用数学上的几何点来代表基元的位置，得到空间点阵。几何点称为空间点阵的格点（结点）。
t
t’
t
t
晶系
第一位
第二位
第三位
点群 （共32个）
可能对称元素
方向
可能对称元素
方向
可能对称元素
方向
三斜
1,`1
任意
无
无
1，`1
单斜
2,m,2/m
Y
无
无
2,m,2/m
正交
2，m
X
2，m
Y
2，m
Z
222,mm2,mmm
四方
4,`4，4/m
Z
无， 2，m
X
无， 2，m
底对角线
4,`4，4/m，422，4mm, `42m, 4/mmm
面网密度：面网上单位面积内的结点数目。 面网间距：两个相邻面网间的垂直距离，平行面网间距相等。
3 面网（）
平行六面体：结点在三维空间的分布构成空间格子。 特点：任意三个相交且不在同一个平面的行列构成一个空间点阵。 根据基矢的不同选择可以得到不同的平行六面体。
4 平行六面体（parallelepiped）
线和垂直于线的平面
旋转反映轴
晶体的宏观对称操作与对称要素
1、对称中心i（inversion）：一个假想的几何点，在通过该点的任意直线的两端可以找到与其等距离的点。 对应的对称操作：对此点的反伸（倒反）。
C
一个晶体中可以有对称中心，也可以没有对称中心；如果有对称中心，那么只能有一个，且位于晶体的几何中心。
晶面符号 表示晶面在空间中方位的符号，又称米勒符号。三轴定向通式为(hkl)，四轴定向通式为(hkil)。 确定晶面符号的步骤： ① 选定坐标系； ② 求出待标晶面在x、y、z轴上的截距pa、qb、rc,则截距系数分别为p、q和r；
（2）平面点阵或晶面的表达
y
x
z
晶面符号 (332)
晶面在晶轴上的截距系数愈大其晶面符号中与该轴相应的米氏指数愈小。当晶面平行于某坐标轴时，其晶面符号中的米氏指数为0。
初基矢量
点阵参数
（1）点阵参数：空间点阵必然可选择3个不相平行的单位矢量a，b，c。点阵参数指三个矢量a，b，c的长度及两两之间的夹角。 （2）元胞：不在同一直线上的矢量a、b去连接与原点相邻的点阵点形成的平行四边形，当该平行四边形中只含有一个点阵点时，它就是该平面点阵的最小周期，称为元胞。
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第二章 晶体的结构与常见结构类型 Chapter 2 Structures and types of crystal
晶态结构示意图
非晶态结构示意图
晶体的定义
3 、旋转对称（n）：通过晶体中心的一条假想的直线，绕这 条直线旋转一定的角度后，能使图形相同的部分重复出现。 对应的对称操作：绕对称轴的旋转。
轴次（n）：旋转一周重复的次数 基转角（）：重复时所旋转的最小角度 n与之间的关系：
2
3
4
6
4 、旋转反伸对称（ ）：通过晶体中心的一条假想的直线，绕这 条直线旋转一定的角度后再反伸，能使图形相同的部分重复出现。 对应的对称操作：绕对称轴的旋转加反伸。
1= i
2= m
3
2
4（3个）
立方体 六方柱
（4个）
（6个）
6
3= 3i
4
6= 3m
值得指出的是，除4 外，其余各种旋转反伸轴都可以用其它简单的对称要素或它们的组合来代替，其间关系如下：
以直线连接各个阵点形成的点阵称为直线点阵.
结构基元
点阵
点阵参数：相邻点阵点的距离
实例
最简单的情况是等径圆球密置层. 每个球抽取为一个点. 这些点即构成平面点阵.
(2)二维－平面点阵
（ a ）NaCl
实例
（ b ）Cu
结构
点阵
晶格Leabharlann ab（c）石墨
实例
结构
点阵
晶格
(3)三维－空间点阵
简单立方晶格 (a) 简单立方晶格在三维空间延伸 (b)
(1/2,1/20,1/2)
( 0, 1/2， 0)
(1/2, 0, 0)
(0, 0, 1/2)
Na+
若晶体有完全相同的一种原子组成，则结构基元就只有一个原子，点阵点的位置即是这种原子的位置，由这种原子构成的点阵即是布拉菲点阵。 布拉菲点阵的特点： ①每个结点周围的情况都是一样的。 ②如果晶体是由完全相同的一种原子组成，则这种原子所围成的网格也就是布拉菲点阵或布拉菲格子，和结点组成的网格完全相同。
三方
3,`3
Z
无， 2，m
X
无
3,`3, 32,3m, `3m
六方
6,`6, 6/m
Z
无， 2，m
X
无， 2，m
底对角线
6,`6, 6/m,622, 6mm, `62m, 6/mmm
立方
2,m,4, `4
X
3,`3
体对角线
无， 2，m
面对角线
23,m3,432, `43m, m`3m
晶体学点群的对称元素方向及国际符号
该切面不是矩形体的对称面
该切面是对称面
2 、对称面m（mirror plane）：一个假想的平面，它能将晶体分成互成镜像反 映的两个相同部分。
对应的对称操作：对此面的反映。
B2
B1
B4
B3
B2
B1
B4
B3
A2
A1
A4
A3
A2′
A1′
A4′
A3′
A2
A1
A4
A3
A2′
A1′
A4′
A3′
晶体的宏观对称要素和对称操作
对称操作：使对称图形中相同部分重复的操作。 对称要素：在进行对称操作时所应用的辅助几何要素（点、线、面）。
操作类型
对称操作
假想的辅助几何要素
对称要素
简单
反伸（倒反）
点
对称中心
反映
面
对称面
旋转
线
对称轴
复杂
旋转+反伸
线和线上的定点
旋转反伸轴
旋转+反映