(物理)高考必备物理万有引力与航天技巧全解及练习题(含答案)及解析

（物理）高考必备物理万有引力与航天技巧全解及练习题(含答案)及解析
一、高中物理精讲专题测试万有引力与航天
1．如图所示，A 是地球的同步卫星，另一卫星B 的圆形轨道位于赤道平面内，离地面高度为h.已知地球半径为R ，地球自转角速度为ω0，地球表面的重力加速度为g ，O 为地球中心．
(1)求卫星B 的运行周期．
(2)如卫星B 绕行方向与地球自转方向相同，某时刻A 、B 两卫星相距最近(O 、B 、A 在同一直线上)，则至少经过多长时间，它们再一次相距最近？ 【答案】(1)3
2
()
2B R h T gR +=2
3
()t gR R h ω=
-+ 【解析】 【详解】
（1）由万有引力定律和向心力公式得()
()2
2
24B Mm
G
m R h T R h π=++①，2
Mm G mg R =②
联立①②解得：()
3
2
2B R h T R g
+=
（2）由题意得()02B t ωωπ-=④，由③得()
2
3
B gR R h ω=
+
代入④得
()
203
t R g
R h ω=
-+
2．一宇航员在某未知星球的表面上做平抛运动实验：在离地面h 高处让小球以某一初速度水平抛出，他测出小球落地点与抛出点的水平距离为x 和落地时间t ，又已知该星球的半径为R ，己知万有引力常量为G ，求： （1）小球抛出的初速度v o （2）该星球表面的重力加速度g （3）该星球的质量M
（4）该星球的第一宇宙速度v （最后结果必须用题中己知物理量表示） 【答案】(1) v 0=x/t (2) g=2h/t 2 (3) 2hR 2/(Gt 2) (4) 2hR
【解析】
（1）小球做平抛运动，在水平方向：x=vt ， 解得从抛出到落地时间为：v 0=x/t
（2）小球做平抛运动时在竖直方向上有：h=12
gt 2
， 解得该星球表面的重力加速度为：g=2h/t 2；
（3）设地球的质量为M ，静止在地面上的物体质量为m ， 由万有引力等于物体的重力得：mg=2
Mm
G
R 所以该星球的质量为：M=2
gR G
= 2hR 2/(Gt 2)； （4）设有一颗质量为m 的近地卫星绕地球作匀速圆周运动，速率为v ，
由牛顿第二定律得： 2
2Mm v G m R R
=
重力等于万有引力，即mg=2
Mm
G
R ， 解得该星球的第一宇宙速度为：2hR
v gR t
=
=
3．一名宇航员到达半径为R 、密度均匀的某星球表面，做如下实验：用不可伸长的轻绳拴一个质量为m 的小球，上端固定在O 点，如图甲所示，在最低点给小球某一初速度，使其绕O 点在竖直面内做圆周运动，测得绳的拉力大小F 随时间t 的变化规律如图乙所示．F 1、F 2已知，引力常量为G ，忽略各种阻力．求：
（1）星球表面的重力加速度； （2）卫星绕该星的第一宇宙速度； （3）星球的密度． 【答案】（1）126F F g m -=（212()6F F R
m
-(3) 128F F GmR ρπ-= 【解析】 【分析】
【详解】
（1）由图知：小球做圆周运动在最高点拉力为F 2，在最低点拉力为F 1 设最高点速度为2v ，最低点速度为1v ，绳长为l
在最高点：2
22mv F mg l += ① 在最低点：2
11mv F mg l
-= ② 由机械能守恒定律，得
221211222
mv mg l mv =⋅+ ③ 由①②③，解得1
2
6F F g m
-= （2）
2
GMm
mg R = 2
GMm R =2
mv R
两式联立得：v=
12()6F F R
m -
（3）在星球表面：2
GMm
mg R
= ④ 星球密度：M
V ρ=
⑤ 由④⑤，解得12
8F F GmR
ρπ-=
点睛：小球在竖直平面内做圆周运动，在最高点与最低点绳子的拉力与重力的合力提供向心力，由牛顿第二定律可以求出重力加速度；万有引力等于重力，等于在星球表面飞行的卫星的向心力，求出星球的第一宇宙速度；然后由密度公式求出星球的密度．
4．一艘宇宙飞船绕着某行星作匀速圆周运动，已知运动的轨道半径为r ，周期为T ，引力常量为G ，行星半径为求： (1)行星的质量M ；
(2)行星表面的重力加速度g ； (3)行星的第一宇宙速度v ． 【答案】（1） （2）
（3）
【解析】 【详解】
(1)设宇宙飞船的质量为m ，根据万有引力定律
求出行星质量 (2)在行星表面
求出:
(3)在行星表面
求出:
【点睛】
本题关键抓住星球表面重力等于万有引力，人造卫星的万有引力等于向心力．
5．如图所示是一种测量重力加速度g 的装置。

在某星球上，将真空长直管沿竖直方向放置，管内小球以某一初速度自O 点竖直上抛，经t 时间上升到最高点，OP 间的距离为h ，已知引力常量为G ，星球的半径为R ；求：
（1）该星球表面的重力加速度g ； （2）该星球的质量M ； （3）该星球的第一宇宙速度v 1。

【答案】（1）22h
g t
= （2）222hR Gt （32hR
【解析】（1）由竖直上抛运动规律得：t 上=t 下=t
由自由落体运动规律： 212
h gt = 2
2h g t =
（2）在地表附近： 2Mm
G
mg R
=
22
2
2gR hR M G Gt
== （3）由万有引力提供卫星圆周运动向心力得： 212v Mm G m R R
=
12GM
hR
v R t
=
= 点睛：本题借助于竖直上抛求解重力加速度，并利用地球表面的重力与万有引力的关系求星球的质量。

6．宇航员站在某质量分布均匀的星球表面一斜坡上P 点，沿水平方向以初速度v 0抛出一个小球，测得小球经时间t 落到斜坡另一点Q 上，斜坡的倾角α，已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的密度（已知球的体积公式是V=
43
πR 3
）．
【答案】
03tan 2V RGt α
π
【解析】
试题分析：平抛运动在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上做自由落体运动，根据平抛运动的规律求出星球表面的重力加速度．根据万有引力等于重力求出星球的质量，结合密度的公式求出星球的密度．
设该星球表现的重力加速度为g ，根据平抛运动规律： 水平方向：0x v t = 竖直方向：212
y gt =
平抛位移与水平方向的夹角的正切值2012tan gt y x v t
α== 得：02tan v g t
α
=
设该星球质量M ，对该星球表现质量为m 1的物体有112GMm m g R =，解得G
gR M 2
= 由343V R π=
，得：03tan 2v M V RGt α
ρπ
==
7．2019年4月，人类史上首张黑洞照片问世，如图，黑洞是一种密度极大的星球。

从黑
洞出发的光子，在黑洞引力的作用下，都将被黑洞吸引回 去，使光子不能到达地球，地球上观察不到这种星体，因此把这种星球称为黑洞。

假设有一光子（其质量m 未知）恰好沿黑洞表面做周期为T 的匀速圆周运动，求：
(1)若已知此光子速度为v ，则此黑洞的半径R 为多少？ (2)此黑洞的平均密度ρ为多少？（万有引力常量为G ） 【答案】（1）R =2vT π
（2）2
3GT πρ=
【解析】 【详解】
(1)此光子速度为v ，则2vT R π= 此黑洞的半径：2vT
R π
=
(2)根据密度公式得：
343
M M V R ρπ=
=
根据万有引力提供向心力，列出等式：22
24GMm R
m R T
π= 解得：23
2
4R M GT
π= 代入密度公式，解得：2
3GT π
ρ=
8．我国航天事业的了令世界瞩目的成就，其中嫦娥三号探测器与2013年12月2日凌晨1点30分在四川省西昌卫星发射中心发射，2013年12月6日傍晚17点53分，嫦娥三号成功实施近月制动顺利进入环月轨道，它绕月球运行的轨道可近似看作圆周，如图所示，设嫦娥三号运行的轨道半径为r ，周期为T ，月球半径为R ．
(1)嫦娥三号做匀速圆周运动的速度大小 (2)月球表面的重力加速度 (3)月球的第一宇宙速度多大．
【答案】(1) 2r T π；(2) 23224r T R π；【解析】 【详解】
(1)嫦娥三号做匀速圆周运动线速度：
2r
v r T
πω==
(2)由重力等于万有引力：
2
GMm
mg R
= 对于嫦娥三号由万有引力等于向心力：
222
4GMm m r
r T π=
联立可得：
23224r g T R
π=
(3)第一宇宙速度为沿月表运动的速度：
2
2
GMm mv mg R R
== 可得月球的第一宇宙速度：
v ==
9．双星系统一般都远离其他天体，由两颗距离较近的星体组成，在它们之间万有引力的相互作用下，绕中心连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动。

如地月系统，忽略其他星体的影响和月球的自转，把月球绕地球的转动近似看做双星系统。

已知月球和地球之间的距离为r ，运行周期为T ，引力常量为G ，求地球和月球的质量之和。

【答案】23
2
4r GT
π 【解析】 【分析】
双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．应用牛顿第二定律列方程求解． 【详解】
对地球和月球的双星系统，角速度相同，则：22122Mm
G
M r m r r
ωω== 解得：221Gm r r ω=； 22
2GM r r ω=；
其中2T
π
ω=
，r=r 1+r 2； 三式联立解得：23
2
4r M m GT
π+= 【点睛】
解决本题的关键知道双星靠相互间的万有引力提供向心力，具有相同的角速度．以及会用万有引力提供向心力进行求解．
10．如图所示，宇航员站在某质量分布均匀的星球表面沿水平方向以初速度v 0抛出一个小球，经时间t 落地，落地时速度与水平地面间的夹角为α，已知该星球半径为R ，万有引力常量为G ，求：
（1）该星球表面的重力加速 （2）该星球的第一宇宙速度v ； 【答案】（1）；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据平抛运动知识：
，解得
．
（2）物体绕星球表面做匀速圆周运动时万有引力提供向心力，则有：
又因为
，联立解得
．
考点：万有引力定律及其应用、平抛运动
【名师点睛】处理平抛运动的思路就是分解．重力加速度a 是天体运动研究和天体表面宏观物体运动研究联系的物理量．。