八年级数学上册第五章相交线与平行线单元测试卷易错题(Word版 含答案)

八年级数学上册第五章相交线与平行线单元测试卷易错题（Word 版 含答案）
一、选择题
1．如图，A 、P 是直线m 上的任意两个点，B 、C 是直线n 上的两个定点，且直线m ∥n ．则下列说法正确的是（ ）
A ．AC=BP
B ．△AB
C 的周长等于△BCP 的周长 C ．△ABC 的面积等于△ABP 的面积
D ．△ABC 的面积等于△PBC 的面积
2．如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A ．∠1和∠2是同旁内角
B ．∠1和∠3是对顶角
C ．∠3和∠4是同位角
D ．∠1和∠4是内错角
3．如图，下列条件不能判定AB ∥CD 的是（ ）
A ．12∠∠=
B ．2E ∠∠=
C ．B E 180∠∠+=
D ．BAF C ∠∠=
4．如图，五边形ABCDE 中，AE ∥BC ，则∠C +∠D +∠E 的度数为（ ）
A ．180°
B ．270°
C ．360°
D ．450°
5．如图，直线a ∥b ，把三角板的直角顶点放在直线b 上，若∠1＝60°，则∠2的度数为
（ ）
A ．45°
B ．35°
C ．30°
D ．25°
6．下列图形中，1∠与2∠是同位角的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
7．如图1n //AB CB ，则∠1+∠2+∠3+…+∠n=（ ）
A ．540°
B ．180°n
C ．180°(n-1)
D ．180°(n+1)
8．如图，直线,a b 被直线c 所截，下列条件中不能判定a//b 的是（ ）
A ．25∠=∠
B ．45∠=∠
C ．35180∠+∠=︒
D ．12180∠+∠=︒
9．下列所示的四个图形中，∠1和∠2是同位角的是（ ）
A ．②③
B ．①②③
C ．①②④
D ．①④
10．如图，A 是直线l 外一点，过点A 作AB l ⊥于点B ，在直线l 上取一点C ，连接
AC ，使2AC AB =，P 在线段BC 上，连接AP ．若3AB =，则线段AP 的长不可能是（ ）
A ．4
B ．5
C ．2
D ．5.5
11．下列说法中，正确的是
A ．相等的角是对顶角
B ．有公共点并且相等的角是对顶角
C ．如果1∠和2∠是对顶角，那么12∠=∠
D ．两条直线相交所成的角是对顶角 12．下列命题是假命题的是（ ） A ．等腰三角形底边上的高是它的对称轴 B ．有两个角相等的三角形是等腰三角形 C ．等腰三角形底边上的中线平分顶角 D ．等边三角形的每一个内角都等于60°
二、填空题
13．如图，△ABC 中，∠C =90︒，AC =5cm ，CB =12cm ，AB =13cm ，将△ABC 沿直线CB 向右平移3cm 得到△DEF ，DF 交AB 于点G ，则点C 到直线DE 的距离为______cm ．
14．如图，已知，∠ABG 为锐角，AH ∥BG ，点C 从点B （C 不与B 重合）出发，沿射线BG 的方向移动，CD ∥AB 交直线AH 于点D ，CE ⊥CD 交AB 于点E ，CF ⊥AD ，垂足为F （F 不与A 重合），若∠ECF ＝n°，则∠BAF 的度数为_____度．（用n 来表示）
15．如图，有两个正方形夹在AB 与CD 中，且AB//CD,若∠FEC=10°，两个正方形临边夹角为150°，则∠1的度数为________度(正方形的每个内角为90°)
16．设a 、b 、c 为平面上三条不同直线，
（1）若//,//a b b c ，则a 与c 的位置关系是_________； （2）若,a b b c ⊥⊥，则a 与c 的位置关系是_________； （3）若//a b ，b c ⊥，则a 与c 的位置关系是________． 17．如图，直线a ∥b ，且∠1＝28°，∠2＝50°，则∠ABC ＝_______．
18．已知M 、N 是线段AB 的三等分点，C 是BN 的中点，CM =6 cm ，则AB =_________ cm ．
19．如图，a ∥b ，∠2＝∠3，∠1＝40°，则∠4的度数是______度．
20．如图，已知AB ，CD ，EF 互相平行，且∠ABE ＝70°，∠ECD ＝150°，则∠BEC ＝________°.
三、解答题
21．如图，两个形状，大小完全相同的含有30°、60°的三角板如图放置，PA 、PB 与直线MN 重合，且三角板PAC ，三角板PBD 均可以绕点P 逆时针旋转． （1）①如图1，∠DPC ＝ 度．
②我们规定，如果两个三角形只要有一组边平行，我们就称这两个三角形为“孪生三角形”，如图1，三角板BPD 不动，三角板PAC 从图示位置开始每秒10°逆时针旋转一周（0°<旋转<360°），问旋转时间t 为多少时，这两个三角形是“孪生三角形”． （2）如图3，若三角板PAC 的边PA 从PN 处开始绕点P 逆时针旋转，转速3°
/秒，同时三角板PBD 的边PB 从PM 处开始绕点P 逆时针旋转，转速2°
/秒，在两个三角板旋转过程中，（PC 转到与PM 重合时，两三角板都停止转动）．设两个三角板旋转时间为t 秒，以
下两个结论：①CPD
BPN
∠∠为定值；②∠BPN +∠CPD 为定值，请选择你认为对的结论加以证
明．
22．如图1，在平面直角坐标系中，()()02A a C b ，，
，，且满足()2
40a b a b ++-+=，过C 作CB x ⊥轴于B
（1）求三角形ABC 的面积．
（2）发过B 作//BD AC 交y 轴于D ，且,AE DE 分别平分,CAB ODB ∠∠，如图2，若
,90()CAB ACB a αββ∠=∠=+=︒，求AED ∠的度数．
（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等？若存在，求
出P 点坐标；若不存在；请说明理由． 23．阅读下面材料： 彤彤遇到这样一个问题：
已知：如图甲，AB //CD ，E 为AB ，CD 之间一点，连接BE ，DE ，得到∠BED ． 求证：∠BED ＝∠B +∠D ． 彤彤是这样做的： 过点E 作EF //AB ， 则有∠BEF ＝∠B ． ∵AB //CD ， ∴EF //CD ． ∴∠FED ＝∠D ．
∴∠BEF +∠FED ＝∠B +∠D ． 即∠BED ＝∠B +∠D ．
请你参考彤彤思考问题的方法，解决问题：如图乙．
已知：直线a //b ，点A ，B 在直线a 上，点C ，D 在直线b 上，连接AD ，BC ，BE 平分∠ABC ，DE 平分∠ADC ，且BE ，DE 所在的直线交于点E ．
（1）如图1，当点B 在点A 的左侧时，若∠ABC ＝60°，∠ADC ＝70°，求∠BED 的度数； （2）如图2，当点B 在点A 的右侧时，设∠ABC ＝α，∠ADC ＝β，直接写出∠BED 的度数（用含有α，β的式子表示）．
24．如图1所示，AB ∥CD ，E 为直线CD 下方一点，BF 平分∠ABE ．
（1）求证：∠ABE +∠C ﹣∠E ＝180°．
（2）如图2，EG 平分∠BEC ，过点B 作BH ∥GE ，求∠FBH 与∠C 之间的数量关系． （3）如图3，CN 平分∠ECD ，若BF 的反向延长线和CN 的反向延长线交于点M ，且∠E +∠M ＝130°，请直接写出∠E 的度数．
25．如图，已知C 为两条相互平行的直线AB ，ED 之间一点，ABC ∠和CDE ∠的角平分线相交于F ，180FDC ABC ∠+∠=︒．
（1）求证：//AD BC ；
（2）连结CF ，当//CF AB ，且3
2
CFB DCF ∠=
∠时，求BCD ∠的度数；
（3）若DCF CFB ∠=∠时，将线段BC 沿直线AB 方向平移，记平移后的线段为PQ （B ，C 分别对应P ，Q ，当20PQD QDC ∠-∠=︒时，请直接写出DQP ∠的度数______．
26．钱塘江汛期即将来临，防汛指挥部在一危险地带两岸各安置了一探照灯，便于夜间查看江水及两岸河堤的情况．如图，灯A 射线自AM 顺时针旋转至AN 便立即回转，灯B 射线自BP 顺时针旋转至BQ 便立即回转，两灯不停交叉照射巡视．若灯A 转动的速度是a °/秒，灯B 转动的速度是b °/秒，且a 、b 满足|a ﹣3b|+（a+b ﹣4）2＝0．假定这一带长江两岸河堤是平行的，即PQ ∥MN ，且∠BAN ＝45°． （1）求a 、b 的值；
（2）若灯B 射线先转动30秒，灯A 射线才开始转动，在灯B 射线到达BQ 之前，A 灯转动几秒，两灯的光束互相平行？
（3）如图，两灯同时转动，在灯A 射线到达AN 之前，若射出的光束交于点C ，过C 作CD ⊥AC 交PQ 于点D ，则在转动过程中，∠BAC 与∠BCD 的数量关系是否发生变化？若不变，请求出其数量关系；若改变，请求出其取值范围．
27．问题情境：如图1，//AB CD ，128PAB ∠=︒，124PCD ∠=︒，求APC ∠的度数．小明的思路是过点P 作//PE AB ，通过平行线性质来求APC ∠．
（1）按照小明的思路，写出推算过程，求APC ∠的度数．
（2）问题迁移：如图2，//AB CD ，点P 在射线OM 上运动，记PAB α∠=，
PCD β∠=，当点P 在B 、D 两点之间运动时，问APC ∠与α、β之间有何数量关系？
请说明理由．
（3）在（2）的条件下，当点P 在线段OB 上时，请直接写出APC ∠与α、β之间的数量关系．
28．如图1,在四边形ABCD 中，A D BC ,A=C ∠∠.
(1)求证：B=D ∠∠;
(2)如图2,点E 在线段AD 上，点G 在线段AD 的延长线上，连接BG ,AEB=2G ∠∠,求证：BG 是EBC ∠的平分线;
(3)如图3,在(2)的条件下，点E 在线段AD 的延长线上，EDC ∠的平分线DH 交BG 于点H ,若ABE=66∠︒．,求B HD ∠的度数.
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一、选择题 1．D 解析：D 【分析】
根据平行线之间的距离及三角形的面积即可得出答案． 【详解】
解：∵A 、P 是直线m 上的任意两个点，B 、C 是直线n 上的两个定点，且直线m ∥n ， 根据平行线之间的距离相等可得：△ABC 与△PBC 是同底等高的三角形， 故△ABC 的面积等于△PBC 的面积． 故选D ． 【点睛】
本题考查平行线之间的距离；三角形的面积．
2．A
解析：A
【分析】
根据对顶角、邻补角、同位角、内错角定义判断即可．
【详解】
A. ∠1和∠2是邻补角，故此选项错误；
B. ∠1和∠3是对顶角，此选项正确；
C. ∠3和∠4是同位角，此选项正确；
D. ∠1和∠4是内错角，此选项正确；
故选A.
【点睛】
此题考查对顶角，邻补角，同位角，内错角，同旁内角，解题关键在于掌握各性质定义. 3．B
解析：B
【分析】
结合图形，根据平行线的判定方法对选项逐一进行分析即可得.
【详解】
A. ∠l=∠2，根据内错角相等，两直线平行，可得AB//CD，故不符合题意；
B. ∠2=∠E，根据同位角相等，两直线平行，可得AD//BE，故符合题意；
C. ∠B+∠E= 180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得AB//CD，故不符合题意；
D. ∠BAF=∠C，根据同位角相等，两直线平行，可得AB//CD，故不符合题意，
故选B.
【点睛】
本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键.
4．C
解析：C
【分析】
首先过点D作DF∥AE，交AB于点F，由AE∥BC，可证得AE∥DF∥BC，然后由两直线平行，同旁内角互补，证得∠A+∠B＝180°，∠E+∠EDF＝180°，∠CDF+∠C＝180°，继而证得结论．
【详解】
过点D作DF∥AE，交AB于点F，
∵AE∥BC，
∴AE∥DF∥BC，
∴∠A+∠B ＝180°，∠E+∠EDF ＝180°，∠CDF+∠C ＝180°， ∴∠C+∠CDE+∠E ＝360°， 故选C ． 【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题时掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．
5．C
解析：C 【分析】
由a 与b 平行，利用两直线平行同位角相等求出∠3的度数，再利用平角定义及∠4为直角，即可确定出所求角的度数． 【详解】
【解答】解：∵a ∥b ， ∴∠3＝∠1＝60°，
∵∠4＝90°，∠3+∠4+∠2＝180°， ∴∠2＝30°． 故选：C ．
【点睛】
本题考查了根据平行线的性质求角的度数，利用直角转化角是一种比较常见的方法，在一条直线上，3个角共顶点，且有一个角为直角，则另两个角的和为90°．
6．C
解析：C 【分析】
根据同位角的定义可以判断对错 ． 【详解】
解：两条直线a 、b 被第三条直线c 所截，在截线c 的同旁，且在被截直线a 、b 同一侧的角称为同位角，根据这个定义，A 选项的两角不在被截线的同侧，错误；B 选项的两角不是两条直线被第三条直线所截形成的角，错误；C 选项的角符合同位角的定义，正确；D 选项的两角不是两条直线被第三条直线所截形成的角，错误． 故选C ． 【点睛】
本题考查同位角的意义，通过同位角的意义进行灵活判断是解题关键．
7．C
解析：C 【分析】
根据题意，作21//DB AB ，31//EB AB ，41//FB AB ，由两直线平行，同旁内角互补，即
可求出答案．
【详解】
解：根据题意，作21//DB AB ，31//EB AB ，41//FB AB ，
∵1n //AB CB ，
∴121180B B D ∠+∠=︒，2323180DB B B B E ∠+∠=︒，
3434180EB B B B F ∠+∠=︒，……
∴122323343411803B B D DB B B B E EB B B B F ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒⨯，…… ∴123180(1)n n ∠+∠+∠+
+∠=︒⨯-；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了平行线的性质，解题的关键是正确作出辅助线，熟练运用两直线平行同旁内角互补进行证明． 8．D
解析：D
【分析】
根据平行线的判定定理逐项判断即可．
【详解】
解：A. 由2∠和5∠是同位角，则25∠=∠ ，可得a//b ，故该选项不符合题意；
B. 由4∠和5∠是内错角，则45∠=∠，可得a//b ，故该选项不符合题意；
C. 由∠3和∠1相等，35180∠+∠=︒，可得a//b ，故该选项不符合题意；
D. 由∠1和∠2是邻补角，则12180∠+∠=︒不能判定a//b ，故该选项满足题意． 故答案为D ．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，掌握同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行是解答本题的关键．
9．C
解析：C
【分析】
根据同位角的定义逐一判断即得答案．
【详解】
图①中的∠1与∠2是同位角，
图②中的∠1与∠2是同位角，
图③中的∠1与∠2不是同位角，
图④中的∠1与∠2是同位角，
所以在如图所示的四个图形中，图①②④中的∠1和∠2是同位角．
故选：C ．
【点睛】
本题考查了同位角的定义，属于基础概念题型，熟知概念是关键．
10．C
解析：C
【分析】
根据题意计算出AC 的长度，由垂线段最短得出AP 的范围，选出AP 的长度不可能的选项即可．
【详解】
3AB =，
26AC AB cm ∴==，
结合垂线段最短，得：36AP ≤≤．
故选：C ．
【点睛】
本题主要考查直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，熟记概念并求出对应线段的范围是解题关键．
11．C
解析：C
【分析】
本题考查对顶角的定义，两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角．由此逐一判断．
【详解】
A 、对顶角是有公共顶点，且两边互为反向延长线，相等只是其性质，错误；
B 、对顶角应该是有公共顶点，且两边互为反向延长线，错误；
C 、角的两边互为反向延长线的两个角是对顶角，符合对顶角的定义，正确．
D 、两条直线相交所成的角有对顶角、邻补角，错误；
故选C ．
【点睛】
要根据对顶角的定义来判断，这是需要熟记的内容．
12．A
解析：A
【分析】
分别分析各题设是否能推出结论，不能推出结论的既是假命题，从而得出答案．
【详解】
A.等腰三角形底边上的高所在的直线是它的对称轴，故该选项错误，是假命题，
B.有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，
C.等腰三角形底边上的中线平分顶角，正确，是真命题，
D.等边三角形的每一个内角都等于60°，正确，是真命题，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了命题与定理，判断命题的真假，关键是分析各题设是否能推出结论．
二、填空题
13．【分析】
根据平移前后图形的大小和形状不变，添加辅助线构造梯形，利用面积相等来计算出答案．
【详解】
解：如图，连接AD 、CD ，作CH⊥DE 于H ，
依题意可得AD=BE=3cm ，
∵梯形ACED 解析：7513
【分析】
根据平移前后图形的大小和形状不变，添加辅助线构造梯形，利用面积相等来计算出答案．
【详解】
解：如图，连接AD 、CD ，作CH ⊥DE 于H ，
依题意可得AD=BE=3cm ，
∵梯形ACED 的面积()()2131235452S cm =
⨯++⨯=， ∴()1153134522
ADC DCE S S CH +=⨯⨯+⨯⋅=， 解得7513CH =
； 故答案为：
7513
． 【点睛】
本题考查的是图形的平移和点到直线的距离，注意图形平移前后的形状和大小不变，以及平移前后对应点的连线相等．
14．n或180﹣n
【分析】
分两种情况讨论：当点在线段上；点在延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．
【详解】
解：过A作AM⊥BC于M，如图1，
当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，
∵
解析：n或180﹣n
【分析】
分两种情况讨论：当点M在线段BC上；点C在BM延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论．
【详解】
解：过A作AM⊥BC于M，如图1，
当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°，
过A作AM⊥BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，
∵AD∥BC，CF⊥AD，
∴CF⊥BG，
∴∠BCF＝90°，
∴∠BCE+∠ECF＝90°，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∴∠B+∠BCE＝90°，
∴∠B＝∠ECF＝n°，
∵AD∥BC，
∴∠BAF＝∠B＝n°，
综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°，
故答案为：n或180﹣n．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质的运用，解题时注意：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
15．【解析】
【详解】
作IF∥AB,GK∥AB,JH∥AB
因为AB∥CD
所以，AB∥CD∥ IF∥GK∥JH
所以，∠IFG=∠FEC=10°
所以，∠GFI=90°-∠IFG=80°
所以，∠
解析：【解析】
【详解】
作IF∥AB,GK∥AB,JH∥AB
因为AB∥CD
所以，AB∥CD∥ IF∥GK∥JH
所以，∠IFG=∠FEC=10°
所以，∠GFI=90°-∠IFG=80°
所以，∠KGF=∠GFI=80°
所以，∠HGK=150°-∠KGF=70°
所以，∠JHG=∠HGK=70°
同理，∠2=90°-∠JHG=20°
所以，∠1=90°-∠2=70°
故答案为70
【点睛】
本题考查了平行线的性质，正确作出辅助线是关键，注意掌握平行线的性质：两直线平行，内错角相等．
16．平行 平行 垂直
【解析】
根据平行公理的推论，可由，得出a∥c ；根据垂直的性质以及平行线的判定，可由，得到a∥c；根据，，得到a⊥c.
故答案为平行，平行，垂直.
点睛：由平
解析：平行 平行 垂直
【解析】
根据平行公理的推论，可由//,//a b b c ，得出a ∥c ；根据垂直的性质以及平行线的判定，可由,a b b c ⊥⊥，得到a∥c；根据//a b ，b c ⊥，得到a⊥c.
故答案为平行，平行，垂直.
点睛：由平行于同一条直线的两条直线互相平行，可求解（1）,因为在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，可求解（2），再根据平行线的性质可求解（3）． 17．78°
【解析】
解：过点B 作BE∥a，∵a∥b，∴a∥b∥BE，∴∠1=∠3=28°，
∠2=∠4=50°，∴∠ABC=∠3+∠4=78°．故答案为：78°．
点睛：此题考查了平行线的性质：两直线
解析：78°
【解析】
解：过点B 作
BE ∥a ，∵a ∥b ，∴a ∥b ∥BE ，∴∠1=∠3=28°，∠2=∠4=50°，∴∠ABC =∠3+∠4=78°．故答案为：78°．
点睛：此题考查了平行线的性质：两直线平行，内错角相等．解此题的关键是辅助线的作法．
18．12
【解析】
如图，∵M、N是线段AB的三等分点，C是BN的中点，
∴AM=MN，CN=CB，
∴AM+CB=MN+CN=MC=6，
∴AB=AM+MN+CN+CB=（AM+CB）+（MN+CN）
解析：12
【解析】
如图，∵M、N是线段AB的三等分点，C是BN的中点，
∴AM=MN，CN=CB，
∴AM+CB=MN+CN=MC=6，
∴AB=AM+MN+CN+CB=（AM+CB）+（MN+CN）=6+6=12（cm）.
19．40
【解析】
试题分析：如图，分别作a、b的平行线，然后根据a∥b，可得∠1=∠5，
∠6=∠7，∠8=∠4，然后根据∠2=∠3，即∠5+∠6=∠7+∠8，然后由∠1=40°，可求得∠4=40°.
解析：40
【解析】
试题分析：如图，分别作a、b的平行线，然后根据a∥b，可得∠1=∠5，∠6=∠7，
∠8=∠4，然后根据∠2=∠3，即∠5+∠6=∠7+∠8，然后由∠1=40°，可求得∠4=40°.
故答案为：40.
20．40
【解析】
根据平行线的性质，先求出∠BEF和∠CEF的度数，再求出它们的差就可以了．
解：∵AB ∥EF ，
∴∠BEF=∠ABE=70°；
又∵EF ∥CD ，
∴∠CEF=180°-∠ECD=18
解析：40
【解析】
根据平行线的性质，先求出∠BEF 和∠CEF 的度数，再求出它们的差就可以了． 解：∵AB∥EF，
∴∠BEF=∠ABE=70°；
又∵EF∥CD，
∴∠CEF=180°-∠ECD=180°-150°=30°，
∴∠BEC=∠BEF -∠CEF=40°；
故应填40．
“点睛”本题主要利用两直线平行，同旁内角互补以及两直线平行，内错角相等进行解题．
三、解答题
21．（1）①90；②t 为3s 或6s 或9s 或18s 或21s 或24s 或27s ；（2）①正确，②错误，证明见解析．
【分析】
（1）①由平角的定义，结合已知条件可得：180,DPC CPA DPB ∠=︒-∠-∠从而可得答案；②当//BD PC 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差求解旋转角，可得旋转时间；当//PA BD 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC DP 时，有两种情况，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC BD 时，画出符合题意的图形，利用平行线的性质与角的和差关系求解旋转角，可得旋转时间；当//AC BP 时的旋转时间与//PA BD 相同；
（2）分两种情况讨论：当PD 在MN 上方时，当PD 在MN 下方时，①分别用含t 的代数
式表示,CPD BPN ∠∠，从而可得CPD BPN
∠∠的值；②分别用含t 的代数式表示,CPD BPN ∠∠，得到BPN CPD ∠+∠是一个含t 的代数式，从而可得答案．
【详解】
解：（1）①∵∠DPC ＝180°﹣∠CPA ﹣∠DPB ，∠CPA ＝60°，∠DPB ＝30°，
∴∠DPC ＝180﹣30﹣60＝90°，
故答案为90；
②如图1﹣1，当BD ∥PC 时，
∵PC∥BD，∠DBP＝90°，
∴∠CPN＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APN＝30°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为3秒；
如图1﹣2，当PC∥BD时，
PC BD∠PBD＝90°，
∵//,
∴∠CPB＝∠DBP＝90°，
∵∠CPA＝60°，
∴∠APM＝30°，
∵三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°+30°＝210°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为21秒，
如图1﹣3，当PA∥BD时，即点D与点C重合，此时∠ACP＝∠BPD＝30°，则AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠APN＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为9秒，
如图1﹣4，当PA∥BD时，
∵∠DPB＝∠ACP＝30°，
∴AC∥BP，
∵PA∥BD，
∴∠DBP＝∠BPA＝90°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为90°+180°＝270°，∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为27秒，
如图1﹣5，当AC∥DP时，
∵AC∥DP，
∴∠C＝∠DPC＝30°，
∴∠APN＝180°﹣30°﹣30°﹣60°＝60°，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为60°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为6秒，
AC DP时，
如图1﹣6，当//
AC DP，
//
DPA PAC
∴∠=∠=︒，
90
∠+∠=︒-︒+︒=︒，
DPN DPA
1803090240
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为240︒，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为24秒，
如图1﹣7，当AC∥BD时，
∵AC∥BD，
∴∠DBP＝∠BAC＝90°，
∴点A在MN上，
∴三角板PAC绕点P逆时针旋转的角度为180°，
∵转速为10°/秒，
∴旋转时间为18秒，
当//
AC BP时，如图1-3，1-4，旋转时间分别为：9s，27s．
综上所述：当t为3s或6s或9s或18s或21s或24s或27s时，这两个三角形是“孪生三角形”；
（2）如图，当PD在MN上方时，
①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝30°﹣2t，∠APN＝3t．
∴∠CPD＝180°﹣∠DPM﹣∠CPA﹣∠APN＝90°﹣t，
21802,
BPN CPD t
∴∠=∠=︒-
∴
1
.
2 CPD BPN
∠
=∠
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
当PD在MN下方时，如图，
①正确，
理由如下：设运动时间为t秒，则∠BPM＝2t，
∴∠BPN＝180°﹣2t，∠DPM＝230,
t-︒∠APN＝3t．∴∠CPD＝360CPA APN DPB BPN
︒-∠-∠-∠-∠
() 360603301802
t t
=︒-︒--︒-︒-
=90t
︒-
21802,
BPN CPD t
∴∠=∠=︒-
∴
1
.
2 CPD BPN
∠
=∠
②∠BPN+∠CPD＝180°﹣2t+90°﹣t＝270°﹣3t，可以看出∠BPN+∠CPD随着时间在变化，不为定值，结论错误．
综上：①正确，②错误．
【点睛】
本题考查的是角的和差倍分关系，平行线的性质与判定，角的动态定义（旋转角）的理解，掌握分类讨论的思想是解题的关键．
22．（1）4；（2）45°；（3）P（0，－1）或（0，3）
【分析】
（1）根据非负数的性质得到a＝−b，a−b＋4＝0，解得a＝−2，b＝2，则A（−2，0），B （2，0），C（2，2），即可计算出三角形ABC的面积＝4；
（2）由于CB∥y轴，BD∥AC，则∠CAB＝∠ABD，即∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，过E作EF∥AC，则BD∥AC∥EF，然后利用角平分线的定义可得到∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝
∠2，所以∠AED＝∠1＋∠2＝1
2
×90°＝45°；
（3）先根据待定系数法确定直线AC的解析式为y＝1
2
x＋1，则G点坐标为（0，1），然
后利用S△PAC＝S△APG＋S△CPG进行计算．【详解】
解：（1）由题意知：a＝−b，a−b＋4＝0，解得：a＝−2，b＝2，
∴ A（−2，0），B（2，0），C（2，2），
∴S△ABC＝1
AB BC=4 2
⋅；
（2）∵CB∥y轴，BD∥AC，
∴∠CAB＝∠ABD，
∴∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝90°，
过E作EF∥AC，
∵BD∥AC，
∴BD∥AC∥EF，
∵AE，DE分别平分∠CAB，∠ODB，∴∠3＝∠4＝∠1，∠5＝∠6＝∠2，
∴∠AED＝∠1＋∠2＝1
2
×90°
＝45°；
（3）存在．理由如下：
设P点坐标为（0，t），直线AC的解析式为y＝kx＋b，
把A（−2，0）、C（2，2）代入得：
-2k+b=0
2k+b=2
⎧
⎨
⎩
，解得
1
k=
2
b=1
⎧
⎪
⎨
⎪⎩
，
∴直线AC的解析式为y＝
1
2
x＋1，
∴G点坐标为（0，1），
∴S△PAC＝S△APG＋S△CPG＝
1
2
|t−1|•2＋
1
2
|t−1|•2＝4，解得t＝3或−1，
∴P点坐标为（0，3）或（0，−1）．
【点睛】
本题考查了绝对值、平方的非负性，平行线的判定与性质：内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等．
23．（1）65°；（2）
11
180
22
αβ
︒-+
【分析】
（1）如图1，过点E作EF∥AB，当点B在点A的左侧时，根据∠ABC=60°，∠ADC=70°，参考彤彤思考问题的方法即可求∠BED的度数；
（2）如图2，过点E作EF∥AB，当点B在点A的右侧时，∠ABC=α，∠ADC=β，参考彤彤思考问题的方法即可求出∠BED的度数．
【详解】
（1）如图1，过点E作EF∥AB，
有∠BEF=∠EBA．
∵AB∥CD，
∴EF∥CD．
∴∠FED=∠EDC．
∴∠BEF+∠FED=∠EBA+∠EDC．
即∠BED=∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=1
2
∠ABC=30°，∠EDC=
1
2
∠ADC=35°，
∴∠BED=∠EBA+∠EDC=65°．
答：∠BED的度数为65°；
（2）如图2，过点E作EF∥AB，
有∠BEF+∠EBA=180°．
∴∠BEF=180°﹣∠EBA，
∵AB∥CD，
∴EF∥CD，
∴∠FED=∠EDC．
∴∠BEF+∠FED=180°﹣∠EBA+∠EDC．即∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC，
∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠EBA=1
2
∠ABC=
1
2
α，∠EDC=
1
2
∠ADC=
1
2
β，
∴∠BED=180°﹣∠EBA+∠EDC=180°﹣1
2
α +
1
2
β．
答：∠BED的度数为180°﹣1
2
α +
1
2
β．
【点睛】
本题考查了平行线的判定与性质以及角平分线的定义，解决本题的关键是熟练掌握平行线的判定与性质．
24．（1）见解析；（2）2∠FBH +∠C ＝180°；（3）80°
【分析】
（1）过点E 作//EK AB ，由平行线的性质得出,180ABE BEK CEK C ∠=∠∠+∠=︒，进而得出答案；
（2）设,ABF EBF BEG CEG αβ∠=∠=∠=∠=，由平行线的性质得出
,HBE BEG FBH FBE HBE βαβ∠=∠=∠=∠-∠=-，由（1）知
180ABE C BEC ∠+∠-∠=︒，即可得出答案；
（3）设,ABF EBF x ECN DCN y ∠=∠=∠=∠=，由（1）知2()180E x y ∠=+-︒，过M 作////PQ AB CD ，由平行线的性质得出
,PMF ABF x QMN DCN y ∠=∠=∠=∠=，求出130E FMN x y ∠+∠=+=︒，即可得出答案．
【详解】
（1）如图1，过点E 作//EK AB
∴ABE BEK ∠=∠
∵//AB CD
∴//EK CD
∴180CEK C ∠+∠=︒
∴180ABE C E BEC CEK C BEC CEK C ∠+∠-∠=∠+∠+∠-∠=∠+∠=︒； （2）∵BF 、EG 分别平分ABE ∠、BEC ∠
∴,ABF EBF BEG CEG ∠=∠∠=∠
设,ABF EBF BEG CEG αβ∠=∠=∠=∠=
∵//BH EG
∴HBE BEG β∠=∠=
∴FBH FBE HBE αβ∠=∠-∠=-
由（1）知，180ABE C BEC ∠+∠-∠=︒
即222()180C C αβαβ+∠-=-+∠=︒
∴2180FBH C ∠+∠=︒；
（3）∵CN 、BF 分别平分ECD ∠、ABE ∠
∴,ABF EBF ECN DCN ∠=∠∠=∠
设,ABF EBF x ECN DCN y ∠=∠=∠=∠=
由（1）知：180ABE C E ∠+∠-∠=︒
即2()180E x y ∠=+-︒
如图3，过M 作////PQ AB CD
则,PMF ABF x QMN DCN y ∠=∠=∠=∠=
∴180180()FMN PMF QMN x y ∠=︒-∠-∠=︒-+
130E FMN ∠+∠=︒
∴2()180180()130x y x y +-︒+︒-+=︒
130x y ∴+=︒
∴2()180213018080E x y ∠=+-︒=⨯︒-︒=︒．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、平行线的性质、角的和差等知识点，较难的是题（3），通过作辅助线，构造平行线是解题关键．
25．（1）证明见解析；（2）∠BCD ＝108°；（3）70°
【分析】
（1）根据两直线平行，内错角相等得出∠EDF ＝∠DAB ，由角平线的定义得出∠EDF ＝∠FDC ，最后根据同旁内角互补，两直线平行进行求证；
（2）设∠DCF ＝x ，则∠CFB ＝1.5x ，由两直线平行，内错角相等得出∠ABF ＝1.5x ，由角平分线的定义得出∠ABC ＝3x ，最后利用两直线平行，同旁内角互补得出关于x 的方程，求解即可；
（3）画出图形，根据两直线平行，同旁内角互补得出∠CDF ＝∠CBF ，由角平分线的定义与已知条件可求出∠ABC 与∠FDC ，由平移的性质与平行公理的推论得出AD ∥PQ ，最后根据两直线平行，同旁内角互补列式求解．
【详解】
解：（1）证明：∵AB ∥DE ，
∴∠EDF ＝∠DAB ，
∵DF 平分∠EDC ，
∴∠EDF ＝∠FDC ，
∴∠FDC ＝∠DAB ，
∵∠FDC +∠ABC ＝180°，
∴∠DAB +∠ABC ＝180°，
∴AD ∥BC ；
（2）∵32
CFB DCF ∠=
∠，设∠DCF ＝x ，则∠CFB ＝1.5x ， ∵CF ∥AB ，
∴∠ABF ＝∠CFB ＝1.5x ，
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠ABC＝2∠ABF＝3x，
∵AD∥BC，
∴∠FDC+∠BCD＝180°，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠BCD＝∠ABC＝3x，
∴∠BCF＝2x，
∵CF∥AB，
∴∠ABC+∠BCF＝180°，
∴3x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠BCD＝3×36°＝108°；
（3）如图，∵∠DCF＝∠CFB，
∴BF∥CD，
∴∠CDF +∠BFD＝180°，
∵AD∥BC，
∴∠CBF +∠BFD＝180°，
∴∠CDF＝∠CBF，
∵AD，BE分别平分∠ABC，∠CDE，
∴∠ABC＝2∠CBF，∠CDE＝2∠FDC，
∴∠ABC＝∠CDE＝2∠FDC，
∵∠FDC+∠ABC＝180°，
∴∠ABC＝120°，∠FDC＝60°，
∵线段BC沿直线AB方向平移得到线段PQ，
∴BC∥PQ，
∵AD∥BC，
∴AD∥PQ，
∵∠PQD﹣∠QDC＝20°，
∴∠QDC＝∠PQD﹣20°，
∴∠FDC+∠QDC +∠PQD＝60°+∠PQD﹣20°+∠PQD＝180°，∴∠PQD＝70°，即∠DQP＝70°．
故答案为：70°．
本题考查平行线的判定与性质，平行公理的推论，角平分线的定义，平移的性质，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键．
26．（1）a＝3，b＝1；（2）当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行；（3）∠BAC 与∠BCD的数量关系不发生变化，其大小比值为∠BCD:∠BAC＝2:3．
【分析】
(1)利用绝对值和完全平方式的非负性即可解决问题.
(2)分三种情况，利用平行线的性质列出方程即可解决.
(3)将∠BAC和∠BCD分别用t的代数式表示，然后在进行运算即可.
【详解】
（1）∵|a﹣3b|+（a+b﹣4）2＝0．
又∵|a﹣3b|≥0，（a+b﹣4）2≥0．
∴a＝3，b＝1；
故答案为a=3，b=1.
（2）设A灯转动t秒，两灯的光束互相平行，
①当0＜t＜60时，
3t＝（30+t）×1，
解得t＝15；
②当60＜t＜120时，
3t﹣3×60+（30+t）×1＝180，
解得t＝82.5；
③当120＜t＜150时，
3t﹣360＝t+30，
解得t＝195＞150（不合题意）
综上所述，当t＝15秒或82.5秒时，两灯的光束互相平行.
故答案为：t=15秒或t=82.5秒.
（3）设A灯转动时间为t秒，
∵∠CAN＝180°﹣3t，
∴∠BAC＝45°﹣（180°﹣3t）＝3t﹣135°，
又∵PQ∥MN，
∴∠BCA＝∠CBD+∠CAN＝t+180°﹣3t＝180°﹣2t，
∵∠ACD＝90°，
∴∠BCD＝90°﹣∠BCA＝90°﹣（180°﹣2t）＝2t﹣90°，
∴∠BCD：∠BAC＝2：3．
故答案为：∠BAC与∠BCD的数量关系不发生变化，其大小比值为∠BCD:∠BAC＝2:3.【点睛】
本题考查了绝对值和完全平方式的非负性、平行线的性质、解方程等知识，读懂题目的意思，掌握好平行线的性质是解题的关键.
27．（1）108°；（2）∠APC=α+β，理由见解析；（3）∠APC=β-α．
（1）过P 作PE ∥AB ，先推出PE ∥AB ∥CD ，再通过平行线性质可求出∠APC ； （2）过P 作PE ∥AB 交AC 于E ，先推出AB ∥PE ∥DC ，然后根据平行线的性质得出α=∠APE ，β=∠CPE ，即可得出答案；
（3）过点P 作PE ∥AB 交OA 于点E ，同（2）中方法根据平行线的性质得出α=∠APE ，β=∠CPE ，即可得出答案．
【详解】
解：（1）过点P 作PE ∥AB ，
∵AB ∥CD ，
∴PE ∥AB ∥CD ，
∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，
∵∠PAB=128°，∠PCD=124°，
∴∠APE=52°，∠CPE=56°，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=108°；
（2）∠APC=α+β．理由如下：
如图2，过P 作PE ∥AB 交AC 于E ，
∵AB ∥CD ，
∴AB ∥PE ∥CD ，
∴α=∠APE ，β=∠CPE ，
∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β；
（3）∠APC=β-α．理由如下：
过点P 作PE ∥AB 交OA 于点E ，
同（2）可得，α=∠APE ，β=∠CPE ，
∴∠APC=∠CPE-∠APE=β-α．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与平行公理，解题的关键是过拐点作平行线，利用平行线的性质解决问题．
28．（1）见解析；（2）见解析；（3）57BHD ∠=︒.
【分析】
(1)由AD BC ∥可得180A B ∠+∠=︒，进而可证180C B ∠+∠=︒，从而AB CD ∥，180A D +=︒∠∠，根据等角的补角相等可证B D ∠=∠；
（2）由AD BC ∥，可得CBG G ∠=∠，又2AEB G ∠=∠，可证EBG G ∠=∠，从而EBG CBG ∠=∠，可证BG 是EBC ∠的角平分线；
（3）设GDH HDC α∠=∠=，EBG CBG β∠=∠=，由AB CD ∥，可得6622180βα︒++=︒，即57αβ+=︒.过点H 作HP AB ,可证CD HP ，所以DHP HDC α∠=∠=，180DHP BHD ABE GBE ∠+∠+∠∠=︒＋，即
66180BHD αβ+∠+︒+=︒，进而可求出57BHD ∠=︒. 【详解】
解：(1)证明：∵AD BC ∥，
∴180A B ∠+∠=︒，
∵A C ∠=∠，
∴180C B ∠+∠=︒，
∴AB CD ∥，
∴180A D +=︒∠∠，
∴B D ∠=∠；
（2）∵AD BC ∥，
∴CBG G ∠=∠，
∵2AEB G ∠=∠，
∴2CBE G ∠=∠，
∴2EBG CBG G ∠+∠=∠，
∴EBG G ∠=∠，
∴EBG CBG ∠=∠，
∴BG 是EBC ∠的角平分线；
（3）∵DH 是GDC ∠的平分线，
∴GDH HDC ∠=∠，设GDH HDC α∠=∠=，
∵AD BC ∥，
∴2BCD GDC α∠=∠=.
设EBG CBG β∠=∠=，
∵AB CD ∥，
∴180ABC BCD ∠+∠=︒，
∴180ABE EBC BCD ∠+∠+∠=︒，
∵66ABE ∠=︒，
∴6622180βα︒++=︒，
∴57αβ+=︒.
过点H 作HP AB ，
∴180PHB ABH ∠+∠=︒，
∵AB CD ∥，
∴CD HP ，
∴DHP HDC α∠=∠=，
∴180DHP BHD ABE GBE ∠+∠+∠∠=︒＋，
即 66180BHD α
β+∠+︒+=︒， ∴57BHD ∠=︒.
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，熟练掌握平行线的性质与判定方法是解答本题的关键.解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．。