2020年高考模拟复习知识点试卷试题之高考圆锥曲线中的定点与定值问题(题型总结超全)(20200615053330)

因为 PAB 的重心的纵坐标为
2
，
3
所以 y1 y2 yp 2 ， 所以 yp 2 ， 所以 x p 1 ，
所以 k1 k 2
y1 2 x1 1
y2 2 x2 1
y1
2
x2
1
y2
2
x1
1
，
x1 1 x2 1
又 y1 2 x2 1 y2 2 x1 1
x1 b 2 x2 1
x2 b 2 x1 1
2x1x2 b 1 x1 x2 2 b 2 2b2 2 b 1 b 2 2 b 2 0 .
将 x 4代人得 P 点坐标为 4,3k ，
y kx1
由 { x2 y2
， 消元得 3 4k 2 x2 8 k 2x 4k2 12 0 ，
1
43
2020 年高考模拟复习知识点试卷试题之【高考精品】高考语文知识点4梳理
2020 年高考模拟复习知识点试卷试题之【高考精品】高考语文知识点梳理
设 A x1, y1 ， B x2, y2 ， 则
3
【解析】 试题分析：（1）根据渐近线方程得到设出双曲线的标准方程，
代入点 M的坐标求得参数即可； （ 2）
由条件可得 OP OQ ， 可设出直线 OP,OQ 的方程， 代入双曲线方程求得点 P,Q 的坐标可求得
1
11
2
OP
2
OQ
。
3
2020 年高考模拟复习知识点试卷试题之【高考精品】高考语文知识点8梳理
弦 MN 的长为 4 15 .
2
（ 2）过点 M 的直线交抛物线于另一点 Q ， 且直线 MQ 经过点 B 1, 1 ， 判断直线 NQ 是否过定点？
若过定点， 求出该点坐标；若不过定点，
请说明理由 .
【答案】（1） y2 4x ; （ 2）直线 NQ 过定点 1, 4
【解析】试题分析： （ 1）根据弦长公式即可求出答案；
C ： y2 4x ，
F 为 C 的焦点，
（ 1）设 l 的斜率为 1， 求 AB ； uuuv uuuv
（ 2）求证： OA OB 是一个定值 .
【答案】 (1) AB 8 （ 2）见解析
【解析】试题分析： （ 1）把直线的方程与抛物线的方程联立， 长公式即可得出； （ 2）把直线的方程与抛物线的方程联立， 出；
则
k MN
=
2t
2
2t1
2
t t1
则 MN : y 2t
2 x t 2 即 2x t t1 y 2tt1 0 ；
t t1
2， t t1
同理： MQ : 2x t t2 y 2tt 2 0 ；
NQ : 2x t1 t2 y 2t1t2 0 .
由 1,0 在直线 MN 上
1 tt1 1， 即 t （ 1）；
同理 2 所以 1
PB
my2
3
，
且 my1
3 与 my2
3 异号，
BF
my2
my1
my2
2
my1 3 my2 3
my1
my2
2 3 y1 y2 my1 y2
3 6m
2
0.
m9
又当直线 AB 与 x 轴重合时，
所以，
1 2 为定值 0 .
【点睛】 本题考查直线和椭圆的位置关系，
1 2 0，
其主要思路是联立直线和椭圆的方程，
1(a
0,b
0) 的
离心率为 6 , 右焦点为 ( 2 ,0).(1) 求椭圆 C 的方程 ; 3
交于 A, B 两点 , 求证 : 点 O到直线 AB的距离为定值 .
(2) 若过原点 作两条互相垂直的射线 , 与椭圆
【答案】 (1) x2 y 2 1 ,(2) O 到直线 AB 的距离为定值 3
【解析】试题分析： （ 1）根据焦点和离心率列方程解出 a，
2
x1 0且{
x2
8k 3 4k 2 ，
4k 2 12
x1 x2 3 4k 2
方法一：因为 PA
PA 1 AF ， 所以 1 AF
x1
4
.
1 x1
同理 2
PB BF
x2
4
，
且 x1
4 与 x2
4 异号，
1 x2
1 x1 1 x2
所以 1
2
x1 4 x2 4
1 x1 1 x2
3
3
2
1 x1 1 x2
2
的距离 d
m 1 k2
3
，
2
当 AB的斜率不存在时 , x1
y1 , 可得 , x1
3 d 依然成立 . 所以点
2
O到直线
的距离为定值 3 . 2
点睛： 本题考查了椭圆的性质， 直线与圆锥曲线的位置关系，
分类讨论思想，
解题方法．设而不求， 套用公式解决．
7．【四川省成都市石室中学
2017-2018 学年高二 10 月月考】已知双曲线 x 2 y 2 a2 b2
3 ．【四川省成都市第七中学
2017-2018 学年高二上学期半期考】已知抛物线
而该方程与参数无关， 故
C : y2 mx m 0 过点
1, 2 ， P 是 C 上一点， 斜率为 1的直线 l 交 C 于不同两点 A, B （ l 不过 P 点）， 且 PAB 的重心
的纵坐标为
2
.
3
（ 1）求抛物线 C 的方程，
程为 y
3x ， O 为坐标原点， 点 M 3, 3 在双曲线上．
对于这类题目要掌握
1 b a 0 渐近线方
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）已知 P , Q 为双曲线上不同两点，
点 O 在以 PQ 为直径的圆上，
求
1
2
OP
1
2 的值．
OQ
【答案】（Ⅰ） x 2 2
y2 6
1
1 ；（Ⅱ）
2
OP
1
2
OQ
1
.
2．【陕西省榆林市第二中学 2018 届高三上学期期中】 已知椭圆
的左右焦点分别为
，
离心率为 ；圆
（Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）证明：在轴上存在定点
过椭圆 的三个顶点 . 过点 且斜率不为 0 的直线与椭圆交于
， 使得
为定值；并求出该定点的坐标 .
两点 .
【答案】（1）
（ 2）
【解析】试题分析： （Ⅰ）设圆 过椭圆的上、下、右三个顶点，
（ 2）设直线 l 的方程为 y x b ， 将它代入 y2 4 x 得 x2 2（ b 2） x b 2 0 ， 利用韦达定理， 结
合斜率公式以及 PAB 的重心的纵坐标
2
，
化简可 k1
k2 的值；
3
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2020 年高考模拟复习知识点试卷试题之【高考精品】高考语文知识点梳理
由 OQ 直线方程为 y
1 x.以
1
代替上式中的
k，
可得
k
k
61 | OQ |2
3
2
1 k
t1
由 1, 1 在直线 MQ 上 2 t t2 2tt 2 0 将（ 1）代入 t1t2 2 t1 t 2 1 （ 2）
将（ 2）代入 NQ 方程 2x t1 t2 y 4 t1 t 2 2 0 ， 易得直线 NQ 过定点 1, 4
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【答案】 (1) x2 y 2 1 ;(2) 详见解析 . 43
【解析】试题分析： （Ⅰ）利用椭圆的几何要素间的关系进行求解； （Ⅱ）联立直线和椭圆的方程，
得到
关于 x 或 y 的一元二次方程， 利用根与系数的关系和平面向量的线性运算进行证明
.
（Ⅱ）由题意直线 AB 过点 F 1,0 ， 且斜率存在， 设方程为 y k x 1 ,
专题 08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题
一、解答题 1．【四川省成都市第七中学
2017-2018 学年高二上学期半期考】 已知斜率为 k 的直线 l 经过点
1,0 与抛物
线 C : y2 2 px （ p 0, p 为常数）交于不同的两点 （ 1）求抛物线 C 的标准方程；
M,N ， 当 k
1
时，
3 x1 x2 2
x1 x2 x1 x2 1
3 8k 2 6 8k 2 2 4k 2 12 8k2 3 4k 2
所以，
0. 1 2 为定值 0 .
当 x1 1 x2 时， 同理可得 1
所以，
1 2 为定值 0 .
2 0.
2020 年高考模拟复习知识点试卷试题之【高考精品】高考语文知识点5梳理
2020 年高考模拟复习知识点试卷试题之【高考精品】高考语文知识点梳理
并求其焦点坐标；
（ 2）记直线 PA, PB 的斜率分别为 k1, k2 ， 求 k1 k2 的值 . 【答案】（1）方程为 y2 4x ; 其焦点坐标为 1,0 （ 2） k1 k2 0
【解析】试题分析 ; （ 1）将 1, 2 代入 y2 mx ， 得 m 4 ， 可得抛物线 C 的方程及其焦点坐标；
（ 2）由（ 1）可设 M t2 ,2 t , N t12,2 t1 , Q t22,2 t 2 ， 则 kMN
2， t t1
则 MN : 2x t t1 y 2tt1 0 ；
同理： MQ : 2x t t2 y 2tt 2 0
NQ : 2x t1 t2 y 2t1t2 0 .
由
1,0 在直线 MN 上
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（Ⅱ）由题意知 OP OQ 。 设 OP 直线方程为 y kx ，
x2 y2
由{ 2
1 6
y kx
x2 ， 解得 {
y2
6 3 k2 ，
6k 2 3 k2
∴ | OP |2 x2 y 2
6 3 k2
6k2 3 k2
6 1 k2 3 k2 。
y1 y2 ， 3
点睛：熟练掌握直线与抛物线的相交问题的解题模式、根与系数的关系及抛物线的定义、过焦点的弦长公
式、向量的数量积是解题的关键，
考查计算能力 , 直线方程设成 x ky 1 也给解题带来了方便 .
6．【内蒙古包头市第三十三中
2016-2017 学年高一下学期期末】已知椭圆
C:
x2 a2
y2 b2
利用根与系数的关系及抛物线的定义、弦 利用根与系数的关系、向量的数量积即可得
2020 年高考模拟复习知识点试卷试题之【高考精品】高考语文知识点6梳理
2020 年高考模拟复习知识点试卷试题之【高考精品】高考语文知识点梳理
（ 2）证明：设直线 l 的方程为 x ky 1，
x ky 1 由 { y2 4x
整理成关于 x 或 y 的
一元二次方程， 利用根与系数的关系进行求解，
因为直线 AB 过点 F 1,0 ， 在设方程时， 往往设
为 x my 1 m 0 ， 可减少讨论该直线是否存在斜率 .
5．【四川省绵阳南山中学 2017-2018 学年高二上学期期中考】设抛物线
过 F 的直线 l 与 C 相交于 A, B 两点 .
3
.
2
b， c；
（ 2）对于 AB有无斜率进行讨论， 设出 A， B坐标和直线方程， 利用根与系数的关系和距离公式计算；
2020 年高考模拟复习知识点试卷试题之【高考精品】高考语文知识点7梳理
2020 年高考模拟复习知识点试卷试题之【高考精品】高考语文知识点梳理
有 OA⊥ OB知 x1x2+y1y2=x1x2+( k x 1+m) ( k x 2+m)=(1+ k2) x 1x2+k m( x1+x2)=0 代入 , 得 4 m2=3 k 2+3 原点到直线 AB
可求得
， 再根据椭圆的离心率求
得
， 可得椭圆的方程； （Ⅱ）设直线的方程为
， 将方程与椭圆方程联立求得
两点的坐
标， 计算得
。设 x 轴 上的定 点 为
， 可得
标。
， 由定值可得需满足
， 解得 可得定点坐
解得
。
∴椭圆的标准方程为
（Ⅱ）证明： 由题意设直线的方程为
. ，
由
消去 y 整理得
，
设
，
，
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得 y2
4ky
4
0
∴ y1 y2 4k ， y1y2 4
uuuv
uuuv
OA x1, y1 , OB x2, y2 ，
uuuv uuuv
∵ OA OB x1x2 y1y2 kx1 1 ky2 1
y1 y2 ，
k2 y1 y2 k y1 y2 1 4k2 4k2 1 4
uuuv uuuv ∴ OA OB 是一个定值 .
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要使其为定值， 需满足
，
解得
.
故定点 的坐标为
.
点睛：解析几何中定点问题的常见解法
(1) 假设定点坐标， 根据题意选择参数， 建立一个直线系或曲线系方程，
得到一个关于定点坐标的方程组，
以这个方程组的解为坐标的点即所求定点；
(2) 从特殊位置入手， 找出定点， 再证明该点符合题意．
所以 k1 k 2 0 .
4．已知椭圆
x2 C : a2
y2 b2
1(a b 0) 的短轴端点到右焦点
（Ⅰ）求椭圆 C 的方程；
（Ⅱ）过点 ห้องสมุดไป่ตู้ 的直线交椭圆 C 于 A，B 两点， 交直线 l：x
F 1，0 的距离为 2． 4于点 P ， 若 PA
1 AF ，
PB 2 BF ， 求证： 1 2 为定值．
1 t （ 1）；
t1
由 1, 1 在直线 MQ 上 2 t t2 2tt 2 0 将（ 1）代入 t1t2 2 t1 t 2 1 （ 2）
将（ 2）代入 NQ 方程 2x t1 t2 y 4 t1 t 2 2 0 ， 即可得出直线 NQ 过定点．
（ 2）设 M t 2 ,2 t , N t12,2 t1 , Q t22 ,2 t2 ，