几类常见递推数列的解法

几类递推数列通项公式的常见类型及解法
江西省乐安县第二中学 李芳林 344300 数列的递推关系式求数列的通项公式的方法大约分为两类：一类是根据前几项的特点归纳猜测出a n 的表达式，然后用数学归纳法证明；另一类是将递推关系，用代数法、迭代法、换元法，或是转化为根本数列〔等差或等比〕的方法求通项．第一类方法要求学生有一定的观察才能以及足够的构造经历，才能顺利完成，对学生要求高．第二类方法有一定的规律性，只需遵循其特有规律方可顺利求解．在教学中，我针对一些数列特有的规律总结了一些求递推数列的通项公式的解题方法．
一、a a d n n +=+1型
形如d a a n n +=+1〔d 为常数〕的递推数列求通项公式，将此类数列变形得
a a d n n +-=1，再由等差数列的通项公式()a a n d n =+-11可求得a n .
例1： 数列{}a n 中()a a a n N n n 1123==+∈+,，求n a 的通项公式.
解： ∵a a n n +=+13 ∴a a n n +-=13
∴ {}a n 是以a 12=为首项，3为公差的等差数列. ∴()a n n n =+-=-21331为所求的通项公式. 二、)(1n f a a n n +=+型
形如a 1+n ＝a n + f (n )， 其中f (n ) 为关于n 的多项式或指数形式〔a n
〕或可裂项成差的分式形式．——可移项后叠加相消．
例2：数列｛a n ｝,a 1＝0,n ∈N +，a 1+n ＝a n ＋〔2n －1〕，求通项公式a n ． 解：∵a 1+n =a n ＋〔2n －1〕
∴a 1+n =a n ＋〔2n －1〕 ∴a 2－a 1 =1 、a 3－a 2=3 、…… a n －a 1-n =2n －3 ∴a n = a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a 1-n )=0＋1＋3＋5＋…＋(2n －3)
=
2
1
[1＋(2n －3)]( n －1)=( n －1)2 n ∈N + 三、n n a q a ⋅=+1型
形如n n a q a ⋅=+1〔q 为常数〕的递推数列求通项公式，将此类数列变形得
q a a n
n =+1
，再由等比数列的通项公式11-⋅=n n q a a 可求得a n . 例3 ： 数列{}a n 中满足a 1=1，n n a a 21=+，求n a 的通项公式. 解：∵n n a a 21=+ ∴
21
=+n
n a a
∴ {}a n 是以11=a 为首项，2为公比的等比数列. ∴1
2
-=n n a 为所求的通项公式.
四、n n a n f a ⋅=+)(1型 形如n n a n f a ⋅=+)(1
可转化为
)(1n f a a n n =+.其中f (n ) =p
p
c mn b mn )()(++ 〔p ≠0，m ≠0,b –c = km ,k ∈Z 〕或
n
n a a 1+=kn 〔k ≠0〕或n n a a 1+= km n
( k ≠ 0, 0＜m 且m ≠ 1)．
例4：数列｛a n ｝, a 1=1，a n ＞0,( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0，求a n ． 解：∵( n ＋1) a 1+n 2 －n a n 2＋a 1+n a n =0 ∴ [(n ＋1) a 1+n －na n ](a 1+n ＋a n )= 0 ∵ a n ＞0 ∴ a 1+n ＋a n ＞0 ∴ (n ＋1) a 1+n －na n =0
∴1
1+=+n n a a
n n
∴n
n n n n n
n a a a a a a a a a a n n n n n n n 112
12
31
2111
23
22
11
=⨯⨯⨯--⨯--⨯-=⨯⨯⨯⨯⨯=-----
五、a 1+n = f (a n ) 型
形如a 1+n = f (a n )，其中f (a n )是关于a n 的函数.-—需逐层迭代、细心寻找其中规律．
例5：数列｛a n ｝，a 1=1, n ∈N +，a 1+n = 2a n ＋3 n ,求通项公式a n ． 解： ∵a 1+n = 2 a n ＋3 n
∴ a n =2 a 1-n ＋3 n -1 =2(2 a 2-n ＋3 n -2)＋3 n -1 = 22(2 a 3-n ＋3 n -3)＋2·3 n -2＋3 n -1 =……=2 n -2(2 a 1＋3 )＋2 n -3·3 2＋2 n -4·3 3＋2 n-5·3 4＋…＋22·3 n-3＋2·3 n -2＋3 n-1 =2 n -1＋2 n -2·3 ＋2 n -3·3 2＋2 n-4·3 3＋…＋22·3 n -3＋2·3 n -2＋3 n -1 n n n n 232312
312
1
-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-
六、a 1+n ＝pa n + q 型
形如a 1+n ＝pa n + q ,pq ≠0 ，p 、q 为常数． 当p ＝1时，为等差数列；
当p ≠1时，可在两边同时加上同一个数x ，即a 1+n + x = pa n + q + x
⇒a 1+n + x = p (a n +
p x q +)， 令x =p x q + ∴x =1
-p q
时，有a 1+n + x = p (a n + x )， 从而转化为等比数列 {a n +
1
-p q
} 求解．
例6：数列{a n }中，a 1=1，a n = 21
a 1
-n + 1，n = 1、2、3、…，求通项a n ． 解：∵ a n = 21a 1-n + 1 ⇒ a n －2 =2
1
(a 1-n －2)
又∵a 1－2 = -1≠0 ∴数列{ a n －2}首项为-1，公比为2
1
的等比数列．
∴ a n －2 = -11)2
1(-⨯n 即 a n = 2 －2n
-1 n ∈N +
七、a 1+n ＝pa n + f (n )型
形如a 1+n ＝pa n + f (n )，p ≠0且 p 为常数，f (n )为关于n 的函数． 当p ＝1时，那么 a 1+n ＝a n + f (n ) 即类型二． 当p ≠1时，f (n )为关于n 的多项式或指数形式〔a n
〕．
⑴假设f (n )为关于n 的多项式〔f (n ) = kn + b 或kn 2+ bn + c ，k 、b 、c 为常数〕，——可用待定系数法转化为等比数列．
例7：数列{ a n }满足a 1=1，a 1+n = 2a n ＋n 2
，n ∈N +求a n ． 解：令a 1+n + x [a (n +1)2
+ b (n +1) + c ] = 2(a n + an 2+ bn + c )
即 a 1+n = 2 a n + (2a –ax )n 2
+ (2b -2ax – bx )n +2c –ax –bx – cx 比拟系数得：
⎪⎩⎪⎨⎧=---=--=-0202212cx bx ax c bx ax b ax a ⇒ ⎪⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪⎨⎧
-+=-=
-=x bx ax c x ax b x a 22221 ⇒ 令x = 1，得：⎪⎩⎪⎨⎧===321c b a ∴ a 1+n + (n +1)2
+2(n +1) + 3 = 2(a n + n 2
+2n + 3) ∵ a 1+1+2×1+3 = 7
令b n = a n + n 2+2n + 3 那么 b 1+n = 2b n b 1= 7 ∴数列{ b n }为首项为7，公比为2的等比数列 ∴ b n = 7× 21-n 即 a n + n 2+2n + 3 = 7× 21
-n
∴ a n = 7× 2
1-n －( n 2
+2n + 3 ) n ∈N +
⑵假设f (n )为关于n 的指数形式〔a n
〕． ①当p 不等于底数a 时，可转化为等比数列； ②当p 等于底数a 时，可转化为等差数列． 例8：假设a 1=1，a n = 2 a 1-n + 31
-n ，(n = 2、3、4…) ，求数列{a n }的通项a n ．
解: ∵ a n = 2 a 1-n + 3
1
-n ∴ 令a n + x ×3n
= 2(a 1-n +x ×3
1
-n ) 得 a n = 2 a 1-n －x ×3
1
-n
令-x ×3n
= 3n
⇒x = -1 ∴ a n －3n
= 2(a 1-n －3
1
-n ) 又 ∵ a 1－3 = - 2
∴数列{n
n a 3-}是首项为-2,公比为2的等比数列． ∴n n a 3-=-2·2
1
-n 即a n = 3n -2n
n ∈N +
例9：数列{ a n }中,a 1=5且a n =3a 1-n + 3n
-1 (n = 2、3、4…) 试求通项a n ． 解： a n =3a 1-n + 3n
-1 ⇒ a n +-=--)2
1(3211n a 3n
⇒1321
3211
1+-=---n n n n a a ⇒{n n a 321-}是公差为1的等差数列． ⇒n n a 321-=
3
21
1-a +(1-n ) = 3215-+(1-n ) = n +21 ⇒a n = (2
13)21+⨯+n n n ∈N +
八、a 2+n = p a 1+n + q a n 型
解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为)(112n n n n sa a t sa a -=-+++ 其中s ，t 满足⎩
⎨
⎧-==+q st p
t s
解法二(特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列{}n a 的特征方程。

假设21,x x 是特征方程
的两个根，当21x x ≠时，数列{}n a 的通项为1
211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定〔即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1
2
11--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组〕；当21x x =时，数列{}n a 的通项为1
1)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定〔即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入11)(-+=n n x Bn A a ，得
到关于A 、B 的方程组〕。

例10: 数列{a n }中a 1= 1, a 2= 2且n n n a a a 212+=++ ,+∈N n ; 求{a n }的通项． 解:令a 2+n +x a 1+n = (1+x ) a 1+n + 2 a n ⇒ a 2+n +x a 1+n = (1+x )( a 1+n +
x
+12a n
)
令x =x
+12 ⇒x 2
+ x – 2 = 0 ⇒x = 1或 -2
当x = 1时,a 2+n + a 1+n =2(a 1+n + a n ) 从而a 2+ a 1= 1 + 2 = 3 ∴数列{ a 1+n + a n }是首项为3且公比为2的等比数列. ∴ a 1+n + a n = 31
2
-⨯n …… …… ①
当x = - 2时, a 2+n - 2a 1+n = - (a 1+n -2a n ) , 而 a 2- 2a 1= 0 ∴ a 1+n - 2a n = 0 …… …… ② 由①、②得:a n = 2
1
-n , +∈N n
九、1+n n a a = 1++n n qa pa 型
形如1+n n a a = 1++n n qa pa ，〔p q ≠ 0〕．且0≠n a 的数列，——可通过倒数变形为根本数列问题．
当p = －q 时，那么有：
p a a n n 1
111
=-
+ 转化为等差数列； 当p ≠ －q 时，那么有：
p
pa q a n n 1
1
1
+-
=+．同类型六转化为等比数列． 例11：假设数列｛a n ｝中，a 1=1，a 1+n =2
2+n n
a a n ∈N +，求通项a n ． 解： ∵ 2
21+=+n n n a a a
又,011>=a ∴0>n a ，
∴n
n a a 12111+=+ ∴21111=-+n n a a ∵111=a
∴数列{ a n }是首项为1，公差为
2
1的等差数列． ∴n a 1=1＋()12
1-n ∴a n =12+n n ∈N + 类型十 、h
ra q
pa a n n n ++=
+1
解法：假如数列}{n a 满足以下条件：1a 的值且对于N ∈n ，都有h
ra q
pa a n n n ++=+1〔其中p 、
q 、r 、h 均为常数，且r h a r qr ph -
≠≠≠1,0,〕，那么，可作特征方程h
rx q px x ++=,当特征方程有且仅有一根0x 时,那么01n a x ⎧⎫
⎨⎬-⎩⎭
是等差数列;当特征方程有两个相异的根1x 、2x 时，
那么12n n a x a x ⎧⎫
-⎨
⎬-⎩⎭
是等比数列。

例10：数列}{n a 满足性质：对于,3
24
,N 1++=∈-n n n a a a n 且,31=a 求}{n a 的通项公式.
解: 数列}{n a 的特征方程为,3
24
++=
x x x 变形得,04222=-+x x 其根为.2,121-==λλ故特征方程有两个相异的根，使用定理2的第〔2〕局部，那么有
.N ,)2
21211(2313)(1
1212111∈⋅-⋅-⋅+-=--⋅--=
--n r p r p a a c n n n λλλλ
∴.N ,)5
1(521
∈-=
-n c n n ∴.N ,1)5
1(521
)51
(5221
1112∈----⋅-=--=--n c c a n n n n n λλ
即.N ,)
5(24
)5(∈-+--=n a n
n n 类型十一、 r
n n pa a =+1)0,0(>>n a p
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。

例11：数列｛n a ｝中，2
111,1n n a a
a a ⋅=
=+)0(>a ，求数列{}.的通项公式n a 解：由211n n a a a ⋅=+两边取对数得a
a a n n 1
lg lg 2lg 1+=+，
令n n a b lg =，那么a b b n n 1lg 21+=+，再利用待定系数法解得：1
2)1(-=n n a
a a 。

类型十二、双数列型
解法：根据所给两个数列递推公式的关系，灵敏采用累加、累乘、化归等方法求解。

例
12：数列
{}n a 中，11=a ；数列{}n b 中，01=b 。

当2≥n 时，
)2(3111--+=n n n b a a ,)2(3
1
11--+=n n n b a b ，求n a ,n b .
解：因=+n n b a ++--)2(3111n n b a )2(3
1
11--+n n b a 11--+=n n b a
所以=+n n b a 11--+n n b a 1112222=+=+=•••=+=--b a b a b a n n 即1=+n n b a (1)
又因为=-n n b a -+--)2(3111n n b a )2(3
111--+n n b a )(31
11---=n n b a
所以=-n n b a )(3
111---n n b a =-=--))31(222n n b a ……)()31(111
b a n -=-
1)31(-=n .即=-n n b a 1)3
1
(-=n ………………………〔2〕 由〔1〕、〔2〕得：])31(1[211-+=n n a ， ])3
1(1[211
--=n n b
类型十三、周期型
解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。

例13：假设数列{}n a 满足⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧
<≤-≤≤=+)
121(,12)210(,21
n n n n n a a a a a ，假设761=a ，那么20a 的值为
___________。

变式:〔2005，湖南,文，5〕 数列}{n a 满足)(1
33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=
=+，那么20a =
〔 〕
A ．0
B ．3-
C ．3
D ．
2
3。