三角形四心向量形式的近似形式

三角形“四心”向量形式的近似形式
河南省开封高级中学张文伟
三角形的“四心”：内心、外心、重心、垂心，是三角形的一个重要的知识点，而这“四心”的向量形式也是向量问题里面一个常见的题型，在这些题型里面，有四个近似形式，但是得到的却是不同的“心”。

通过运算就可以看出，这四个形式虽然近似，却考察了三角形的各个心的定义，以及不同的向量知识和运算技巧，下面我们就来欣赏一下这四个近似形式：例1、已知O 是△ABC 所在平面上一定点，动点P 满足||||AB AC OP OA AB AC λ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭
,[0,)λ∈+∞.则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的（）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心解：∵||AB AB 是AB 方向上的单位向量，||AC AC 是AC 方向上的单位向量，∴根据平行四边形法则知AB AC AB AC + 构成菱形，即AB AC AB AC + 的得到的向量在菱形的对角线上。

由已知()AB AC OP OA AB AC
λ=++ 得||||AB AC AP AB AC λ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭ ，∴点P 在∠BAC 的角平分线上，
∴点P 的轨迹一定过△ABC 的内心。

所以选B。

例2、已知O 是△ABC 所在平面上的一定点，动点P 满足()||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C
λ=++ ,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心解：由已知(||sin ||sin AB AC OP OA AB B AC C λ=++ 得()||sin ||sin AB AC AP AB B AC C
λ=+ ，由正弦定理sin sin b c B C =知sin sin c B b C ⋅=⋅，即||sin ||sin AB B AC C = ∴()||sin ||sin ||sin ||sin AB AC AB AC AP AB B AC C AB B AB B λλ=+=+ （()||sin AB AC AB B λ=+ ，设BC 的中点为D，则由平行四边形法则可知2AB AC AD += 。

∴2()||sin ||sin AP AB AC AD k AD AB B AB B
λλ=+== （因为||sin AB B 和λ都为一个非负实
数，所以就可以设2||sin AB B
λ 的值为一个非负实数k）∴点P 在AD 所在的射线上，
又∵AD 为BC 的中线，
∴动点P 的轨迹一定通过△ABC 的重心。

所以选A。

例3、已知O 是△ABC 所在平面上的一定点，动点P 满足()||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC C
λ=++ ,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()A.重心 B.垂心
C.外心
D.内心解：由已知()||cos ||cos AB AC OP OA AB B AC C λ=++ 得()||cos ||cos AB AC AP AB B AC C
λ=+ ，∴()()||cos ||cos ||cos ||cos AB AC AB BC AC BC AP BC BC AB B AC C AB B AC C
λλ⋅⋅⋅=+⋅=+ =||||cos()||||cos ()||cos ||cos AB BC B AC BC C AB B AC C πλ⋅-⋅+ =(||||)BC BC λ-+ =0，∴AP BC ⊥ ，即AP⊥BC，
∴点P 在BC 边的高上，
∴动点P 的轨迹通过△ABC 的垂心。

所以选B。

例4、已知O 是△ABC 所在平面上的一定点，动点P 满足
(2||cos ||cos OB OC AB AC OP AB B AC C
λ+=++ ,[0,)λ∈+∞,则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的()
A.重心
B.垂心
C.外心
D.内心解：设BC 的中点为D，则由平行四边形法则可得2
OB OC OD += ，∴()(2||cos ||cos ||cos ||cos OB OC AB AC AB AC OP OD AB B AC C AB B AC C λλ+=++=++ ∴(||cos ||cos AB AC OP OD AB B AC C
λ-=+ 即()||cos ||cos AB AC DP AB B AC C λ=+ ，∴()||cos ||cos AB BC AC BC DP BC AB B AC C λ⋅⋅⋅=+⋅ =||||cos()||||cos ()||cos ||cos AB BC B AC BC C AB B AC C
πλ⋅-⋅+
=(||||)BC BC λ-+ =0.
∴DP BC ⊥ ，即DP⊥BC，又∵D 是BC 的中点，
∴点P 在BC 的垂直平分线上，
∴动点P 的轨迹一定通过△ABC 的外心。

所以选C 。