高考数学文一轮复习单元能力测试第五章平面向量人教A版

单元能力测试
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)
1．已知O 、A 、B 是平面上的三个点，直线AB 上有一点C ，满足2AC
→＋CB →
＝0，则OC
→等于( )
A ．2OA
→－OB → B ．－OA →＋2OB → C.23OA →－13OB → D ．－13OA →＋23OB →
答案 A
解析OC →＝OB →＋BC →＝OB →＋2AC →＝OB →＋2(OC →－OA →)，∴OC →＝2OA →－OB →.故选A 2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴
B ．平行于第一、三象限的角平分线
C ．平行于y 轴
D ．平行于第二、四象限的角平分线 答案 C
解析a ＋b ＝(x －x,1＋x 2)＝(0,1＋x 2)，易知a ＋b 平行于y 轴
3．设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( )
A.P A →＋PB →＝0
B.PC →＋P A →＝0
C.PB →＋PC →＝0
D.P A →＋PB →＋PC →＝0 答案 B
解析 如图，根据向量加法的几何意义BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故P A →＋PC
→＝0.
4．设向量a ＝(3，3)，b 为单位向量，且a ∥b ，则b ＝( )
A ．(32，－12)或(－32，12)
B ．(32，12)
C ．(－32，－12)
D ．(32，12)或(－32，－1
2) 答案 D
解析 设b ＝(x ，y )，由a ∥b 可得3y －3x ＝0，又x 2＋y 2＝1，得b ＝(32，1
2)
或b ＝(－32，－1
2)，故选D.
5．已知A 、B 是以原点O 为圆心的单位圆上两点，且|AB →|＝1，则AB →·OA →
等于( )
A.12 B ．－12 C.32 D ．－32 答案 B
解析AB →·OA →＝1×1×cos120°
＝－12.
6．若a ＝(x,1)，b ＝(2,3x )，则a ·b
|a |2＋|b |2的取值范围为( )
A ．(－∞，22)
B ．[0，2
4]
C ．[－24，2
4
] D ．[22，＋∞)
答案 C
解析 由已知：a ·b |a |2＋|b |2＝5x
10x 2
＋5
＝x 2x 2＋1＝12x ＋1x
，
∵|2x ＋1x |＝|2x |＋1
|x |≥22，
∴－24≤12x ＋1x
≤
24 7．已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(4，y )，若a ⊥b ，则9x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 3 B ．6 C ．12 D ．3 2 答案 B
解析∵a ⊥b ，∴a ·b ＝4(x －1)＋2y ＝0.
∴2x ＋y ＝2.∴9x ＋3y ≥232x ＋y ＝232＝6
8．已知向量a ＝(2cos α，2sin α)，b ＝(3cos β，3sin β)，a 与b 的夹角为60°，
则直线x cos α－y sin α＋12＝0与圆(x －cos β)2＋(y ＋sin β)2＝1
2的位置关系是( )
A ．相离
B ．相切
C ．相交
D ．随α，β的值而定 答案 A
解析∵<a ，b >＝60°，∴cos60°＝12＝a ·b |a |·|b |＝6(cos αcos β＋sin αsin β)
2×3
＝cos(α－β)，
∴cos(α－β)＝1
2
∴圆心(cos β，－sin β)到直线x cos α－y sin α＋1
2＝0的距离为：
d ＝|cos αcos β＋sin αsin β＋1
2|
cos 2α＋sin 2α
＝cos(α－β)＋1
2
＝1>2
2，∴直线与圆相离
9．已知|a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则a 与b 的夹角的取值范围是( )
A ．[0，π6]
B ．[π
3，π]
C ．[π3，2π3]
D ．[π
6，π] 答案 B 解析 |a |＝2|b |≠0，且关于x 的方程x 2＋|a |x ＋a ·b ＝0有实根，则|a |2－
4a ·b ≥0，设向量a ·b 的夹角为θ，cos θ＝a ·b |a |·|b |≤14|a |
212
|a |2＝12，∴θ∈[
π
3，π]
10．已知三点A (2,3)，B (－1，－1)，C (6，k )，其中k 为常数．若|AB →|＝|AC →|，
则AB
→与AC →的夹角的余弦值为( ) A ．－2425 B ．0或2425 C.2425 D ．0或－2425 答案 D
解析 由|AB
→|＝|AC →|解得k ＝0或6，当k ＝0时，AB →与AC →的夹角为π2
，其余弦
值为0；当k ＝6时，AB
→与AC →的夹角余弦值为－2425
11．若O 为平面内任一点且(OB →＋OC →－2OA →)·(AB →－AC →)＝0，则△ABC 是
( )
A ．直角三角形或等腰三角形
B ．等腰直角三角形
C ．等腰三角形但不一定是直角三角形
D ．直角三角形但不一定是等腰三角形 答案 C
解析 由(OB →＋OC →－2OA →)(AB →－AC →)＝0得(AB →＋AC →)·(AB
→－AC →)＝0，
∴AB
2→－AC 2→＝0，即|AB →|＝|AC →|， ∴AB ＝AC .
12．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n (n ≥3)维向量，n 维向量可用(x 1，x 2，x 3，x 4，…，x n )表示．设a ＝(a 1，a 2，a 3，a 4，…，a n )，b ＝(b 1，b 2，b 3，b 4，…，b n )，规定向量a 与b 夹角θ的余弦为cos θ＝
∑n
i ＝1a i b i
(∑n i ＝1a 2i )(∑n
i ＝1
b 2i ).已知n 维向量a ，b ，当a ＝(1,1,1,1，…，1)，b ＝(－1，－1,1,1,1，…，
1)时，cos θ等于( )
A.n －1n
B.n －3n
C.n －2n
D.n －4n 答案 D
解析∑i ＝1n
a i
b i ＝(n －2)－2＝n －4.
∑
i ＝1n
a 2i ＝n ，
∑
i ＝1
n
b 2i ＝n .∴cos θ＝
n －4
n ·n
＝n －4
n . 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)
13．已知向量a ＝(3,1)，b ＝(1,3)，c ＝(k,7)，若(a －c )∥b ，则k ＝________.
答案 5
解析 依题意a －c ＝(3－k ，－6)，由(a －c )∥b 得－6＝3(3－k )，k ＝5.
14．若平面向量a ，b 满足|a ＋b |＝1，a ＋b 平行于x 轴，b ＝(2，－1)，则a ＝________.
答案 (－1,1)或(－3,1)
解析 设a ＝(x ，y )，∵b ＝(2，－1)，则a ＋b ＝(x ＋2，y －1)，∵a ＋b 平行于x 轴，∴y －1＝0，y ＝1，故a ＋b ＝(x ＋2,0)，
又∵|a ＋b |＝1，∴|x ＋2|＝1，∴x ＝－1或x ＝－3，∴a ＝(－1,1)或a ＝(－3,1)．
15．(2010·山东枣庄)已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →
＋OB
→|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为________． 答案 ±2
解析 如图，
作平行四边形OADB ，则OA →＋OB →＝OD →，OA →－OB →＝BA →，∴|OD →|＝|BA →|.
又|OA
→|＝|OB →|，∴四边形OADB 为正方形，易知|OA →|为直线在y 轴上的截距大小，a ＝2.验证a ＝－2时，成立．
16．(2010·江苏南通二模)如图，正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内(包括
边界)的动点．设AP
→＝αAB →＋βAF →(α，β∈R )，则α＋β的取值范围是________．
答案 [3,4]
解析 当P 与C 或E 重合时，AP →＝AF ＋2AB →或AP →＝2AF →＋AB →，∴α＋β＝3
当P 在直线EC 上时，因E ，P ，C 共线， 所以α＋β＝3；
当P 与D 重合时，AP →＝2AB →＋2AF →，α＋β＝4.
故α＋β的范围是[3,4]．
三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)(2010·江苏卷，文)在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (－1，－2)，B (2,3)，C (－2，－1)．
(1)求以线段AB 、AC 为邻边的平行四边形的两条对角线的长；
(2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC
→＝0，求t 的值．
解析 (1)由题设知AB →＝(3,5)，AC →＝(－1,1)，则AB →＋AC →＝(2,6)，AB →－AC →＝(4,4)．
所以|AB
→＋AC →|＝210，|AB →－AC →|＝4 2. 故所求的两条对角线长分别为42，210.
(2)由题设知OC
→＝(－2，－1)，AB →－tOC →＝(3＋2t,5＋t )．
由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得(3＋2t,5＋t )·(－2，－1)＝0，
从而5t ＝－11，所以t ＝－11
5.
18．(本小题满分12分)已知a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．
解析∵a 与a ＋λb 均不是零向量，夹角为锐角，∴a ·(a ＋λb )>0,3λ>－5，λ>－5
3.
当a 与a ＋λb 共线时，a ＋λb ＝m a ，即(1＋λ，2＋λ)＝m (1,2)，
∴⎩⎪⎨⎪⎧
1＋λ＝m ，2＋λ＝2m ，得λ＝0，即当λ＝0时，a 与a ＋λb 共线，∴λ≠0.故λ>－53且λ≠0.
小结 由a 与a ＋λb 的夹角为锐角，可得a ·(a ＋λb )>0，但由a ·(a ＋λb )>0，并不能推得a 与a ＋λb 的夹角为锐角，如λ＝0时，a ·(a ·λb )>0，但此时夹角为0，所以a ·(a ＋λb )>0仅是a 与a ＋λb 夹角为锐角的必要条件，而不是充分条件．
19．(本小题满分12分)(2010·盐城一模)已知向量a ＝(sin θ，3)，b ＝(1，cos θ)，
θ∈(－π2，π2)．
(1)求a ⊥b ，求θ； (2)求|a ＋b |的最大值．
解析 (1)因为a ⊥b ，所以sin θ＋3cos θ＝0. 得tan θ＝－ 3.
又θ∈(－π2，π2)，所以θ＝－π
3.
(2)因为|a ＋b |2＝(sin θ＋1)2＋(cos θ＋3)2＝5＋4sin(θ＋π
3)． 所以当θ＝π
6时，|a ＋b |2的最大值为5＋4＝9. 故|a ＋b |的最大值为3
20．(本小题满分12分)已知向量a ＝(1
sin x ，－1sin x )，b ＝(2，cos2x )． (1)若x ∈(0，π
2]，试判断a 与b 能否平行？
(2)若x ∈(0，π
3]，求函数f (x )＝a ·b 的最小值．
解析 (1)若a 与b 平行，则有1sin x ·cos2x ＝－1sin x ·2，因为x ∈(0，π2]，sin x ≠0，所以得cos2x ＝－2，这与|cos2x |≤1相矛盾，故a 与b 不能平行．
(2)由于f (x )＝a ·b ＝2sin x －cos2x sin x ＝2－cos2x sin x ＝1＋2sin 2
x sin x ＝2sin x ＋1
sin x ，又因为x ∈(0，π3]，所以sin x ∈(0，32]，于是2sin x ＋1sin x ≥22sin x ·
1
sin x ＝22，当2sin x
＝1sin x ，即sin x ＝2
2时取等号．故函数f (x )的最小值等于2 2.
21．(本小题满分12分)若a ，b 是两个不共线的非零向量，t ∈R .
(1)若a ，b 起点相同，t 为何值时，a ，t b ，1
3(a ＋b )三向量的终点在一直线上？ (2)若|a |＝|b |且a 与b 夹角为60°，t 为何值时，|a －t b |的值最小？
解 (1)设a －t b ＝m [a －1
3(a ＋b )]，m ∈R ，
化简得(23m －1)a ＝(m
3－t )b ，
∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 23m －1＝0m 3－t ＝0⇒⎩⎪⎨⎪⎧
m ＝32，
t ＝12.
∴t ＝12时，a ，t b ，1
3(a ＋b )的终点在一直线上．
(2)|a －t b |2＝(a －t b )2＝|a |2＋t 2|b |2－2t |a ||b |cos60°＝(1＋t 2－t )|a |2.
∴当t＝1
2时，|a－t b|有最小值3
2|a|.
22．(本小题满分12分)在△ABC中，A、B、C的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cos B＝b cos C.
(1)求B的大小．
(2)设m＝(sin A，cos2A)，n＝(4k,1)(k>1)，且m·n的最大值是5，求k的值．
解析(1)∵(2a－c)cos B＝b cos C，∴(2sin A－sin C)cos B＝sin B cos C，
即2sin A cos B＝sin B cos C＋sin C cos B＝sin(B＋C)．
∵A＋B＋C＝π，∴2sin A cos B＝sin A.
∵0<A<π，∴sin A≠0，∴cos B＝1
2.
∵0<B<π，∴B＝π
3.
(2)m·n＝4k sin A＋cos2A＝－2sin2A＋4k sin A＋1，A∈(0，2π3)，
设sin A＝t，则t∈(0,1]．
则m·n＝－2t2＋4kt＋1＝－2(t－k)2＋1＋2k2，t∈(0,1]．∵k>1，∴t＝1时，m·n取最大值．
依题意得(m·n)max＝－2＋4k＋1＝5，∴k＝3
2.。