高考数学(文)一轮复习备考学案：《简单的线性规划问题》(北师大版)

第四节简单的线性规划问题
对应学生用书P94
1．二元一次不等式(组)表示的平面区域
不等式表示区域
Ax＋By＋C＞0 直线Ax＋By＋C＝0某一侧的所
有点组成的平面区域不包括边界直线
Ax＋By＋C≥0包括边界直线
不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分
2．线性规划中的基本概念
名称意义
约束条件由变量x，y组成的不等式(组)
线性约束条件由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式(组)
目标函数关于x，y的函数解析式，如z＝2x＋3y等
线性目标函数关于x，y的一次解析式
可行解满足线性约束条件的解(x，y)
可行域所有可行解组成的集合
最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解
线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式化为ax＋by＋c>0(a>0)．
2．线性规划问题中的最优解不一定是唯一的，即可行域内使目标函数取得最值的点不一定只有一个，也可能有无数多个，也可能没有．
[试一试]
1．(2013·全国卷Ⅱ)设x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋y －1≥0，
x ≤3，
则z ＝2x －3y 的最小值是( ) A ．－7 B ．－6 C ．－5
D ．－3
解析：选B 作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．
易知直线z ＝2x －3y 过点C 时，z 取得最小值．
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，x －y ＋1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3，
y ＝4，
∴z min ＝2×3－3×4＝－6，故选B.
2．如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式________．
答案：x ＋y －1>0
1．确定二元一次不等式表示平面区域的方法
二元一次不等式所表示的平面区域的确定，一般是取不在直线上的点(x 0，y 0)作为测试点来进行判定，满足不等式的则平面区域在测试点所在的直线的一侧，反之在直线的另一侧．
2．求二元一次函数z ＝ax ＋by (ab ≠0)的最值的方法
将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z b ，通过求直线的截距z
b 的最值间接求
出z 的最值．
(1)当b >0时，截距z b 取最大值时，z 也取最大值；截距z
b 取最小值时，z 也取最小值；
(2)当b <0时，截距z b 取最大值时，z 取最小值；截距z
b 取最小值时，z 取最大值．
[练一练]
(2013·陕西高考)若点(x ，y )位于曲线y ＝|x |与y ＝2所围成的封闭区域， 则2x －y 的最小值是( )
C ．0
D ．2
解析：选A 作出函数y ＝|x |＝⎩⎨⎧
x (x ≥0)
－x (x ＜0)
和y ＝2围成的等腰直角
三角形的可行域(如图阴影部分所示)，则可得过交点A (－2，2)时，2x －y 取得最小值－6.
对应学生用书P95
考点一
二元一次不等式(组)表示平面区域
1.不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4
所表示的平面区域的面积等于( )
A.3
2 B.2
3 C.43
D.34
解析：选C 平面区域如图所示．
解⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋3y ＝4，3x ＋y ＝4
得A (1,1)， 易得B (0,4)，C ⎝⎛⎭⎫0，4
3， |BC |＝4－43＝8
3.
∴S △ABC ＝12×83×1＝4
3.
2．若满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥0，x ＋y －2≤0，
y ≥a 的整点(x ，y )恰有9个，其中整点是指横、纵坐标都是整
数的点，则整数a 的值为( )
A ．－3
B ．－2
解析：选C 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分，当a ＝0时，只有4个整点(1,1)，(0,0)，(1,0)，(2,0)；当a ＝－1时，正好增加(－1，－1)，(0，－1)，(1，－1)，(2，－1)，(3，－1)5个整点，故选C.
3．如图阴影部分表示的区域可用二元一次不等式组表示为________．
解析：两直线方程分别为x －2y ＋2＝0与x ＋y －1＝0. 由(0,0)点在直线x －2y ＋2＝0右下方可知x －2y ＋2≥0， 又(0,0)点在直线x ＋y －1＝0左下方可知x ＋y －1≥0，
即⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0为所表示的可行域． 答案：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y －1≥0，x －2y ＋2≥0
[类题通法]
二元一次不等式(组)表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，测试点常选取原点．
考点二
求目标函数的最值
线性规则问题是高考的重点，而线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透，自然地融合在一起，使数学问题的解答变得更加新颖别致.归纳起来常见的命题角度有：
(1)求线性目标函数的最值； (2)求非线性目标的最值； (3)求线性规划中的参数.
角度一 求线性目标函数的最值
1．(1)(2013·湖南高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≤2x ，x ＋y ≤1，
y ≥－1，则x ＋2y 的最大值是( )
A ．－5
2
B ．0 C.53 D.52
解析：选C 不等式组表示的平面区域为图中阴影部分．平行移动y ＝－12x ＋1
2z ，可知该直线经过y ＝2x 与x ＋y ＝1的交点A ⎝⎛⎭⎫13，23时，z 有
最大值为13＋43＝53
.
(2)如果函数x 、y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，y ＋1≥0，
x ＋y ＋1≤0，那么z ＝2x －y 的最大值为( )
A ．2
B ．1
C ．－2
D ．－3
解析：选B 如图作出可行域，当z 经过直线y ＋1＝0与x ＋y ＋1＝0的交点(0，－1)时，z max ＝1.
角度二 求非线性目标的最值
2．(1)(2013·山东高考)在平面直角坐标系xOy 中，M 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
2x ＋3y －6≤0，x ＋y －2≥0，
y ≥0所表
示的区域上一动点，则|OM |的最小值是________．
解析：作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，因此|OM |的最小值为点O 到直线x ＋y －2＝0的距离，所以|OM |min ＝
|－2|
2
＝ 2. 答案： 2
(2)(2014·深圳调研)已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≤0，x ≥1，
2x ＋y －8≤0，则y
x
的取值范围是________．
解析：如图，画出可行域，易得A (2,4)，B (1,6)， ∴它们与原点连线的斜率分别为k 1＝2，k 2＝6， 又y x ＝y －0x －0，∴k 1≤y x ≤k 2，即2≤y
x
≤6.
答案：[2,6]
角度三 求线性规划中的参数
3．(1)(2013·浙江高考)设z ＝kx ＋y ，其中实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥2，x －2y ＋4≥0，
2x －y －4≤0.若z 的最大值
为12，则实数k ＝________.
解析：已知不等式组可表示成如图的可行域，当0≤－k <1
2时，
直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所以4k ＋4＝12，解得k ＝2(舍去)；当－k ≥1
2
时，直线y ＝－kx ＋z 经过点N (2,3)时z 最大，
所以2k ＋3＝12，解得k ＝9
2(舍去)；当－k <0时，直线y ＝－kx ＋z 经过点M (4,4)时z 最大，所
以4k ＋4＝12，解得k ＝2，符合条件，综上可知，k ＝2.
答案：2
(2)(2014·江西七校联考)已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋1≥0，x ＋2y －8≤0，
x ≤3.若点⎝⎛⎭
⎫3，5
2是使ax －y 取得最小值的唯一的可行解，则实数a 的取值范围为________．
解析：记z ＝ax －y ，注意到当x ＝0时，y ＝－z ，即直线z ＝ax －y 在y 轴上的截距是－z .在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，满足题意的实数a 的取值范围为a <－1
2
.
答案：⎝⎛⎭⎫－∞，－1
2 [类题通法]
1．求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求．其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义．
2．常见的目标函数有： (1)截距型：形如z ＝ax ＋by .
求这类目标函数的最值常将函数z ＝ax ＋by 转化为直线的斜截式：y ＝－a b x ＋z
b ，通过求直
线的截距z
b
的最值间接求出z 的最值．
(2)距离型：形如z ＝(x －a )2＋(y －b )2. (3)斜率型：形如z ＝y －b
x －a .
注意：转化的等价性及几何意义．
考点三
线性规划的实际应用
[典例] A ，B 两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B 型车不多于A 型车7辆，则租金最少为( )
A ．31 200元
B ．36 000元
C ．36 800元
D ．38 400元
[解析] 设租用A 型车x 辆，B 型车y 辆，目标函数为z ＝1 600x ＋2 400y ，则约束条件为
⎩⎪⎨⎪⎧
36x ＋60y ≥900，
y －x ≤7，y ＋x ≤21，x ，y ∈N ，
作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值z min ＝36 800(元)．
[答案] C
[类题通法]
求解线性规划应用题的注意点
(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号． (2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x ，y 的取值范围，特别注意分析x ，y 是否是整数、非负数等．
(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式． [针对训练]
某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克、B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A 、B 原料都不超过12千
克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )
A ．1 800元
B ．2 400元
C ．2 800元
D ．3 100元
解析：选C 设每天分别生产甲产品x 桶，乙产品y 桶，相应的利润为z 元，则⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≤12，
2x ＋y ≤12，
x ≥0，y ≥0，
z ＝300x ＋400y ，在坐标平面内画
出该不等式组表示的平面区域及直线300x ＋400y ＝0，平移该直线，当平移到经过该平面区域内的点A (4,4)时，相应直线在y 轴上的截距达到最大，此时z ＝300x ＋400y 取得最大值，最大值是z ＝300×4＋400×4＝2 800，即该公司可获得的最大利润是2 800元．
对应学生用书P96
[课堂练通考点]
1．(2014·长春模拟)不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
x －3y ＋6≥0，
x －y ＋2<0表示的平面区域是(
)
解析：选B x －3y ＋6≥0表示直线x －3y ＋6＝0以及该直线下方的区域，x －y ＋2<0表示直线x －y ＋2＝0上方的区域，故选B.
2．(2013·北京市海淀区期中练习)不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥1x ＋y －4≤0
kx －y ≤0表示面积为1的直角三角形区
域，则k 的值为( )
A ．－2
B ．－1
C ．0
D ．1
解析：选D 注意到直线kx －y ＝0恒过原点，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合题意得直线kx －y ＝0与直线x ＋y －4＝0垂直时满足题意，于是有k ×(－1)＝－1，由此解得k ＝1，选D.
3．(2014·泉州质检)已知O 为坐标原点，A (1,2)，点P 的坐标(x ，y )满足约束条件⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋|y |≤1，
x ≥0，
则z ＝OA u u u r ·
OP u u u r
的最大值为( ) A ．－2 B ．－1 C ．1
D ．2
解析：选D 如图作可行域，
z ＝OA u u u r ·
OP u u u r
＝x ＋2y ，显然在B (0,1)处z max ＝2.故选D. 4．(2013·四川高考)若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤8，
2y －x ≤4，
x ≥0，
y ≥0，且z ＝5y －x 的最大值为a ，
最小值为b ，则a －b 的值是( )
A ．48
B ．30
C ．24
D ．16
解析：选C
约束条件⎩⎪⎨
⎪⎧
x ＋y ≤8，
2y －x ≤4，
x ≥0，y ≥0
表示以(0,0)，(0,2)，(4,4)，(8,0)为顶点的四边形
区域，检验四个顶点的坐标可知，当x ＝4，y ＝4时，a ＝z max ＝5×4－4＝16；当x ＝8，y ＝0时，b ＝z min ＝5×0－8＝－8，∴a －b ＝24.
5．(2013·安徽高考)若非负变量x ，y 满足约束条件⎩
⎪⎨⎪
⎧
x －y ≥－1，x ＋2y ≤4，则x ＋y 的最大值为
________．
解析：画出可行域是如图所示的四边形OABC 的边界及内部，令z ＝x ＋y ，易知当直线y ＝－x ＋z 经过点C (4,0)时，直线在y 轴上截距
最大，目标函数z 取得最大值，即z max ＝4.
答案：4
6．(2013·北京高考)设D 为不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，2x －y ≤0，x ＋y －3≤0所表示的平面区域，区域D 上的点与
点(1,0)之间的距离的最小值为________．
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点B (1,0)到直线2x －y ＝0的距离最小，d ＝|2×1－0|22＋1
＝255，故最小距离为25
5.
答案：25
5
[课下提升考能]
第Ⅰ组：全员必做题
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( ) A ．(－24,7)
B ．(－7,24)
C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析：选B 根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )＜0.
即(a ＋7)(a －24)＜0，解得－7＜a ＜24. 2．已知实数对(x ，y )满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≤2，y ≥1，
x －y ≥0，则2x ＋y 取最小值时的最优解是( )
A ．6
B ．3
C ．(2,2)
D ．(1,1)
解析：选D 约束条件表示的可行域如图中阴影三角形，令z ＝2x ＋y ，y ＝－2x ＋z ，作初始直线l 0：y ＝－2x ，作与l 0平行的直线l ，则直线经过点(1,1)时，(2x ＋y )min ＝3.
3．(2012·山东高考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，
4x －y ≥－1，则目
标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )
A.⎣⎡⎦⎤－3
2，6 B.⎣⎡⎦⎤－3
2，－1 C ．[－1,6]
D.⎣
⎡⎦⎤－6，32 解析：选A 不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数的几何意义是直线在y 轴上截距的相反数，其最大值在点A (2,0)处取得，最小值在点B ⎝⎛⎭⎫12，3处取得，即最大值为6，最小值为－
3
2
. 4．(2013·北京西城一模)实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
y ≥1，y ≤2x －1，
x ＋y ≤m ，
如果目
标函数z ＝x －y 的最小值为－2，则实数m 的值为( )
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
解析：选D 先作出满足不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
y ≥1，
y ≤2x －1的区域如图．
由z ＝x －y 得y ＝x －z 可知，直线的截距最大时，z 取得最小值，此时直线y ＝x －(－2)＝x ＋2，作出直线y ＝x ＋2，交y ＝2x －1于A
点，由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝2x －1，y ＝x ＋2，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝3，y ＝5，代入x ＋y ＝m 得m ＝3＋5＝8，故选D.
5．(2014·辽宁六校联考)设变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋y ≤a x ＋y ≥8，
x ≥6且不等式x ＋2y ≤14恒成
立，则实数a 的取值范围是( )
A ．[8,10]
B ．[8,9]
C ．[6,9]
D ．[6,10]
解析：选A 不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，显然a ≥8，否则可行域无意义．由图可知x ＋2y 在点(6，a －6)处取得最大值2a －6，由2a －6≤14得，a ≤10，故选A.
6．(2014·“江南十校”联考)若不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0ax ＋y －2≤0表示
y ≥0的平面区
域的面积为3，则实数a 的值是________．
解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，区域面积S ＝12×⎝⎛⎭⎫
2a ＋2×2＝3，解得a ＝2.
答案：2
7．(2013·广东高考)给定区域D ：⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋4y ≥4，x ＋y ≤4，
x ≥0，
令点集T ＝{(x 0，y 0)∈D |x 0，y 0∈Z ，(x 0，
y 0)是z ＝x ＋y 在D 上取得最大值或最小值的点}，则T 中的点共确定________条不同的直线．
解析：解决本题的关键是要读懂数学语言，x 0，y 0∈Z ，说明x 0，y 0是整数，作出图形可知，△ABF 所围成的区域即为区域D ，其中A (0,1)是z 在D 上取得最小值的点，B ，C ，D ，E ，F 是z 在D 上取得最大值的点，则T 中的点共确定AB ，AC ，AD ，AE ，AF ，BF 共6条不同的直线．
答案：6
8．(2014·郑州质检)若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪
⎧
3x －5y ＋6≥0，2x ＋3y －15≤0，
y ≥0当且仅当x ＝y ＝3时，z ＝ax －y
取得最小值，则实数a 的取值范围是________．
解析：画出可行域，如图，直线3x －5y ＋6＝0与2x ＋3y －15＝0交于点M (3,3)，由目标函数z ＝ax －y ，得y ＝ax －z ，纵截距为－z ，当z 最小时，－z 最大．欲使纵截距－z 最大，则－23<a <3
5
.
答案：⎝⎛⎭
⎫－23，3
5 9．变量x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，
x ≥1，
(1)设z ＝4x －3y ，求z 的最大值； (2)设z ＝y
x
，求z 的最小值．
解：(1)由约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x －4y ＋3≤0，3x ＋5y －25≤0，
x ≥1，
作出(x ，y )的可行域如图所示． 由z ＝4x －3y ，得y ＝43x －z
3
.
求z ＝4x －3y 的最大值，相当于求直线y ＝43x －z
3在y 轴上的
截
距－z
3
的最小值．
平移直线y ＝43x 知，当直线y ＝43x －z 3过点B 时，－z
3
最小，z 最大．
由⎩
⎪⎨⎪⎧
x －4y ＋3＝0，3x ＋5y －25＝0，解得B (5,2)．
故z max ＝4×5－3×2＝14. (2)∵z ＝y
x ＝y －0x －0
.
∴z 的值即是可行域中的点与原点O 连线的斜率．观察图形可知z min ＝k OB ＝2
5
.
10．某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．
(1)试用每天生产的卫兵个数x 与骑兵个数y 表示每天的利润w (元)； (2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x －y ， 所以利润w ＝5x ＋6y ＋3(100－x －y )＝2x ＋3y ＋300. (2)约束条件为⎩⎪⎨⎪
⎧
5x ＋7y ＋4(100－x －y )≤600，100－x －y ≥0，
x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .
整理得⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋3y ≤200，
x ＋y ≤100，
x ≥0，y ≥0，x ，y ∈N .
目标函数为w ＝2x ＋3y ＋300. 作出可行域．如图所示：
初始直线l 0：2x ＋3y ＝0，平移初始直线经过点A 时，w 有最大值．
由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋3y ＝200，x ＋y ＝100，得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝50，y ＝50.
最优解为A (50,50)，所以w max ＝550元．
所以每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最，最大为利润550元． 第Ⅱ组：重点选做题
1．(2013·北京高考)设关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
2x －y ＋1＞0，x ＋m ＜0，
y －m ＞0 表示的平面区域内存在点
P (x 0，y 0)，满足x 0－2y 0＝2.求得m 的取值范围是( )
A.⎝
⎛⎭⎫－∞，4
3 B.⎝
⎛⎭⎫－∞，1
3 C.⎝
⎛⎭⎫－∞，－2
3 D. ⎝
⎛⎭⎫－∞，－53 解析：选C 问题等价于直线x －2y ＝2与不等式组所表示的平面区域存在公共点，由于点(－m ，m )不可能在第一和第三象限，而直线x －2y ＝2经过第一、三、四象限，则点(－m ，m )只能在第四象限，可
得m ＜0，不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，要使直线x －2y ＝2与阴影部分有公共点，则点(－m ，m )在直线x －2y －2＝0的下方，由于坐标原点使得x －2y －2＜0，故－m －2m －2＞0，即m ＜－2
3
.
2．记不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥0，x ＋3y ≥4，
3x ＋y ≤4所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，
则a 的取值范围是________．
解析：画出可行域，易知直线y ＝a (x ＋1)过定点(－1,0)，当直线y ＝a (x ＋1)经过x ＋3y ＝4与3x ＋y ＝4的交点(1,1)时，a 取得最小值1
2；当直线y ＝a (x ＋1)经过x ＝0与3x ＋y ＝4的交点(0,4)时，a 取得最大值4，故a 的取值范围是⎣⎡⎦⎤
12，4.
答案：⎣⎡⎦⎤
12，4。