【数学】湖南省株洲市2017届高三上学期教学质量检测(一)(文)

湖南省株洲市2017届高三上学期教学质量检测（一）（文）
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.
1.集合{}{}
21|,6,4,2,0≤-==x x B A ，则B A 是 A. {}2,0 B. {}4,2 C. {}6,4 D.{}4,2,0 2.已知复数z 满足
i i
z
-=+11（i 为纯虚数），那么复数z A. 1 B. 2 C. i D. 2i 3.下列命题中假命题是
A. 0ln ,00<∈∃x R x
B. ()0,0,>∞-∈∀x
e x
C. x
x
x 35,0>>∀ D.()000cos sin 2,,0x x x +<+∞∈∃
4.已知函数()()⎪⎩⎪⎨⎧≤+>=0
,20
,4
sin x x f x x
x f ，则()5-f 的值为 A. 0 B.
2
2
C. 1
D.2 5.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，112,1+==n n a S a ，则=n S A. 1
2
-n B. 12-n
C. 13-n
D.
()
132
1-n
6.设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B,如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么双曲线的离心率为 A.
3 B. 2 C.
215+ D.2
1
3+ 7.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：升），若π取3，其体积为12.6（立方升），则图中的x 为
A. 2.1
B. 6.1
C. 8.1
D.4.2
8.如图所示的程序框图表示求算式179532⨯⨯⨯⨯之值，则判断框内可以填入 A. 10≤k B. 16≤k C. 22≤k D.34≤k
9.在正方体1111D C B A ABCD -中，下列几种说法正确的是 A. B D B A 11// B. C B AC 11⊥
C. B A 1与平面11B DBD 成角为 45
D.C B B A 11,成角为
30
10.已知函数()()()()x f A x A x f ,0,0,0sin πϕωϕω<<>>+=的图象如图所示，则
()π2016f 的值为
A.
2 B. 2- C.
3 D.3-
11.已知关于x 的二次函数()122+-=bx ax x f ，设点()b a ,是区域⎪⎩
⎪
⎨⎧≥+≥+≤-+,01,01,
02y x y x 内的随机
点，则函数()x f 在区间[)+∞,1上是增函数的概率是 A.
21 B. 81 C. 167 D.3
2 12.将向量()()()n n n y x a y x a y x a ,,,,,222111=== 组成的系列称为向量列{}
n a ，并定义向量列{}
n a 的前n 项和n n a a a S +++= 21.如果一个向量列从第二项起，每一项与前一项的差都是同一个向量，那么称这样的向量列为等差向量列，若向量列{}
n a 是等差向量列，那么下述向量中，与一定平行
的向量是
A. 10a
B. 11a
C. 20a
D.21a
n
S
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 平面内有三点()()()1,,3,3,3,0--x C B A ，且//，则x 的值为 . 14. 若()1,2-P 为圆()25122
=+-y x 的弦的中点，则直线AB 的方程为 .
15. 已知函数()()21x x f x F +-=是定义在R 上的奇函数，若()21=-F ，则()=0f . 16. 设过曲线()x e x f x --=（e 为自然对数的底数）上的任意一点的切线1l ，总存在过曲线()x mx x g sin 3-=上的一点处的切线2l ，使21l l ⊥，则m 的取值范围为 . 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程. 17.（本题满分12分）
在ABC ∆中，c b a ,,分别是内角A,B,C 的对边，且bc a c b =-+222. （1）求角A 的大小；
（2）设函数()()2,2,12
cos
2sin 2==-+=B f a x
x x f 时，求b .
18.（本题满分12分）
某蛋糕店每天做若干个生日蛋糕，每个制作成本为50元，当天以每个100元售出，若当天白天售不出，则当晚已30元/个价格作普通蛋糕低价售出，可以全部售完.
（1）若蛋糕店每天做20个生日蛋糕，求当天的利润y （单位：元）关于当天生日蛋糕的需求量n （单位个，*∈N n ）的函数关系；
（2）蛋糕店记录了100天生日蛋糕的日需求量（单位：个）整理得下表：
（ⅰ）假设蛋糕店在这100天内每天制作20个生日蛋糕，求这100天的日利润（单位：元）的平均数；
（ⅱ）若蛋糕店一天制作20个生日蛋糕，以100天记录的各需求量的频率作为概率，求当天利润不少于900元的概率.
19.（本题满分12分）
已知四棱台1111D C B A ABCD -的上下底面分别是边长为2和4的正方形，41=AA 且⊥
1AA
底面ABCD ，点P 为1AA 的中点. （1）求证：⊥1AB 平面PBC ；
（2）在BC 上找一点Q ，使得PQ//平面11C CDD ，并求三棱锥1QBB P -的体积.
20.（本题满分12分）
已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，焦距为2，且长轴长是短轴长的2倍. （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）设过()0,2P 椭圆C 左焦点F 的直线l 交C 于A,B 两点，如对满足条件的任意直线l 不等式()R PB PA ∈≤⋅λλ恒成立，求λ的最小值.
21.（本题满分12分）
已知函数()()()()().ln 13
1
,2ln 132x a x x x g R a x x a x a x f -+--=∈+--= （1）若2
1
≤
a ，讨论()x f 的单调性； （2）若过点⎪⎭
⎫ ⎝⎛-31,0可做函数()()()0>-=x x f x g y 图象的两条不同切线，求实数a 的取值范围.
请考生在第22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑. 22.（本题满分10分）选修4-4；坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程为⎪⎩⎪⎨
⎧+-=+=t
y t
x sin 21cos 21，（t 为参数），在
以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
2
24cos -
=⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+πθρ，A,B 两点的极坐标为()ππ,1,2,1⎪⎭
⎫
⎝⎛. （1）求圆C 的普通方程和直线L 的直角坐标方程；
（2）点P 是圆C 上任意一点，求PAB ∆面积的最大值.
23.（本题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数().2-=x x f
（1）解不等式()()421<+++x f x f ；
（2）若R x ∈∃使得()()4≤+x f a ax f 成立，求实数a 的取值范围.
安徽省江南十校2017年高考数学模拟试卷（理科）（3月份）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若，则|z|=（）
A．B．1 C．5 D．25
2．设集合A={x∈Z||x|≤2}，，则A∩B=（）
A．{1，2} B．{﹣1，﹣2}
C．{﹣2，﹣1，2} D．{﹣2，﹣1，0，2}
3．已知平面向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），且（+）∥（﹣），则m=（）A．B．C．D．
4．已知，则sinα（sinα﹣cosα）=（）
A．B．C．D．
5．已知MOD函数是一个求余函数，其格式为MOD（n，m），其结果为n除以m的余数，例如MOD（8，3）=2．下面是一个算法的程序框图，当输入的值为36时，则输出的结果为（）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，若正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．记m2+n2≤4为事件A，则事件A发生的概率为（）
A．B．C．D．
7．《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱
8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的体积为（）
A．20 B．22 C．24 D．26
9．设△ABC的面积为S1，它的外接圆面积为S2，若△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5，则的值为（）
A．B．C．D．
10．若函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（）
A．B．
C．D．
11．已知球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，则棱锥S﹣ABC的体积为（）
A．B．C．D．
12．设⌈x⌉表示不小于实数x的最小整数，如⌈2.6⌉=3，⌈﹣3.5⌉=﹣3．已知函数f（x）=⌈x⌉2﹣2⌈x⌉，若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，则k的取值范围是（）
A．B．
C．D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知实x，y数满足关系，则|x﹣2y+2|的最大值是．
14．若（x+y）3（2x﹣y+a）5的展开式中各项系数的和为256，则该展开式中含字母x且x 的次数为1的项的系数为．
15．已知双曲线﹣=1上一点P（x，y）到双曲线一个焦点的距离是9，则x2+y2的值是．
16．将函数y=sin2x﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到的图象与y=k sin x cos x（k ＞0）的图象关于对称，则k+m的最小正值是．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知S n是数列{a n}的前n项和，且满足S n﹣2a n=n﹣4．
（1）证明{S n﹣n+2}为等比数列；
（2）求数列{S n}的前n项和T n．
18．美团外卖和百度外卖两家公司其“骑手”的日工资方案如下：美团外卖规定底薪70元，每单抽成1元；百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，假设同一公司的“骑手”一日送餐单数相同，现从两家公司个随机抽取一名“骑手”并记录其100天的送餐单数，得到如下条形图：
（Ⅰ）求百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系；（Ⅱ）若将频率视为概率，回答下列问题：
②记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），求X的分布列和数学期望；
②小明拟到这两家公司中的一家应聘“骑手”的工作，如果仅从日收入的角度考虑，请你利用所学的统计学知识为他作出选择，并说明理由．
19．如图，四边形ABCD是边长为的正方形，CG⊥平面ABCD，DE∥BF∥CG，DE=BF= CG．P为线段EF的中点，AP与平面ABCD所成角为60°．在线段CG上取一点H，使得GH=CG．
（1）求证：PH⊥平面AEF；
（2）求二面角A﹣EF﹣G的余弦值．
20．在平面直角坐标系中，直线不过原点，且与椭圆有两个不同的公共点A，B．
（Ⅰ）求实数m取值所组成的集合M；
（Ⅱ）是否存在定点P使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补．若存在，求出所有定点P的坐标；若不存在，请说明理由．
21．已知函数f（x）=e x﹣1+a，函数g（x）=ax+ln x，a∈R．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）与直线y=x相切，求a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，证明：f（x）≥g（x）+1；
（Ⅲ）若函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0），证明：x0＜2．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．已知P为曲线上的动点，直线C2的参数方程为（t为参数）求点P到直线C2距离的最大值，并求出点P的坐标．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知关于x的方程在x∈[0，3]上有解．
（Ⅰ）求正实数a取值所组成的集合A；
（Ⅱ）若t2﹣at﹣3≥0对任意a∈A恒成立，求实数t的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．B
【解析】==，则|z|==1．
故选：B．
2．C
【解析】A={﹣2，﹣1，0，1，2}，
B={x|x≥或x＜0}，
故A∩B={﹣2，﹣1，2}，
故选：C．
3．D
【解析】根据题意，向量=（1，m），=（2，5），=（m，3），
则；
若（+）∥（﹣），
（m+1）×（m﹣5）=（m+3）×（﹣1）
解可得：；
故选：D．
4．A
【解析】，故选：A．
5．D
【解析】模拟执行程序框图，可得：
n=36，i=2，MOD（36，2）=0，j=1，i=3
满足条件i＜n，MOD（36，3）=0，j=2，i=4
满足条件i＜n，MOD（36，4）=0，j=3，i=5
满足条件i＜n，MOD（36，5）=1，i=6
…
∵∈N*，可得i=2，3，4，6，9，12，18，
∴共要循环7次，故j=7．
故选：D．
6．B
【解析】质地均匀的正四面体表面分别印有0，1，2，3四个数字，某同学随机的抛掷次正四面体2次，
正四面体与地面重合的表面数字分别记为m，n，且两次结果相互独立，互不影响．
基本事件总数N=42=16，
记m2+n2≤4为事件A，则事件A包含听基本事件有：（1，1），（0，1），（1，0），共3个，∴事件A发生的概率为．
故选：B．
7．D
【解析】由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，
则，
解得a=，
故E所得为钱．
故选：D．
8．C
【解析】由三视图可知：该几何体是一个棱长为3正方体去掉3个棱长为1的小正方体剩下的部分．该几何体的体积V=33﹣3×13=24．故选：C．
9．D
【解析】在△ABC中，∵△ABC的三个内角大小满足A：B：C=3：4：5，∴A=45°，B=60°，C=75°，
那么△ABC的面积为S1=ac sin B=a2=a2外接圆面积为S2=πR2，R=，
∴=．故选D．
10．B
【解析】由题意，x=0，y＜0，排除A，
0＞x＞﹣1，x→﹣1，y→﹣∞，排除C，
D选项中，f（﹣2）=5，f（﹣3）=，不符合，排除D．
故选：B．
11．D
【解析】∵球的直径SC=6，A、B是该球球面上的两点，且AB=SA=SB=3，∴由条件：S﹣OAB为棱长为3的正四面体，
其体积为=，同理，
故棱锥S﹣ABC的体积为．故选：D．
12．C
【解析】令F（x）=0得f（x）=k（x﹣2）﹣2，
作出函数y=f（x）和y=k（x﹣2）﹣2的图象如下图所示：
若函数F（x）=f（x）﹣k（x﹣2）+2在（﹣1，4]上有2个零点，
则函数f（x）和g（x）=k（x﹣2）﹣2的图象在（﹣1，4]上有2个交点，
经计算可得k P A=5，k PB=10，k PO=﹣1，k PC=﹣，
∴k的范围是[﹣1，﹣）∪[5，10）．
故选：C
二、填空题
13．5
【解答】5 由条件可知：z=x﹣2y+2过点M（﹣1，3）时z=﹣5，|z|max=5，
解：作出不等式组，对应的平面区域如图：由解得M（﹣1，3），
由条件可知：z=x﹣2y+2过点M（﹣1，3）时z=﹣5，|z|max=5，
故答案为：5．
14．﹣7
【解析】（x+y）3（2x﹣y+a）5的展开式中各项系数的和为256，
令x=y=1，得23×（a+1）5=256，
解得a=1，
所以（x+y）3（2x﹣y+1）5的展开式中含字母x且x的系数为：
．
故答案为：﹣7．
15．133
【解析】双曲线﹣=1的a=4，b=6，c==2，
不妨设点P（x，y）在右支上，
由条件可知P点到右焦点（2，0）的距离为9，
即为=9，且﹣=1，
解出x=2，y=±9，
则x2+y2=52+81=133．
故答案为：133．
16．2+
【解析】将函数y=sin2x﹣cos2x=﹣cos2x的函数图象向右平移m个单位以后得到y=﹣cos2（x ﹣m）=﹣cos（2x﹣2m）的图象，
根据所得图象与y=k sin x cos x=sin2x（k＞0）的图象关于对称，
设点P（x0，y0）为y=﹣cos（2x﹣2m）上任意一点，
则该点关于对称点为在y=sin2x（k＞0）的图象上，
故有，
求得k=2，sin（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），即cos（2x0﹣）=cos（2x0﹣2m），
∴﹣2m=﹣+2kπ，k∈Z，即2m=﹣2kπ，k∈Z，故m的最小正值为，
则k+m的最小正值为2+．
三、解答题
17．（1）证明：当n=1时，a1=S1，S1﹣2a1=1﹣4，
可得a1=3，
S n﹣2a n=n﹣4转化为：S n﹣2（S n﹣S n﹣1）=n﹣4（n≥2），
即S n=2S n﹣1﹣n+4，
所以S n﹣n+2=2[S n﹣1﹣（n﹣1）+2]
注意到S1﹣1+2=4，
所以{S n﹣n+2}为首项为4，公比为2等比数列；
（2）由（1）知：，所以，
于是
==．
18．解：（Ⅰ）∵百度外卖规定底薪100元，每日前45单无抽成，超出45单的部分每单抽成6元，
∴当送餐单数n≤45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100，
当送餐单数n＞45，n∈N*时，百度外卖公司的“骑手”一日工资y=100+（n﹣45）×6=6n﹣170，n∈N*，
∴百度外卖公司的“骑手”一日工资y（单位：元）与送餐单数n的函数关系为：
（Ⅱ）①记百度外卖的“骑手”日工资为X（单位：元），由条形图得X的可能取值为100，106，118，130，
P（X=100）==0.2，
P（X=106）==0.3，
P（X=118）==0.4，
P（X=130）==0.1，
∴X的分布列为：
E（X）=100×0.2+106×0.3+118×0.4+130×0.1=112（元）．
②美团外卖“骑手”日平均送餐单数为：42×0.2+44×0.4+46×0.2+48×0.1+50×0.1=45
所以美团外卖“骑手”日平均工资为：70+45×1=115（元）
由①知，百度外卖“骑手”日平均工资为112元．
故推荐小明去美团外卖应聘．
19．证明：（1）连接AC，BD交于点O，连接OP，则O为BD中点，
∴OP∥DE，∴OP⊥面ABCD．
∴∠P AO为AP与面ABCD所成角，
∵AP与平面ABCD所成角为60°，∴∠P AO=60°．
在Rt△AOP中，．
Rt△AHC中，．
梯形OPHC中，．∴AP2+PH2=AH2，∴AP⊥PH，
又EH=FH，∴PH⊥EF，又AP∩EF=P，∴PH⊥面AEF．
解：（2）∵CG面ABCD，ABCD为正方形，
∴如图所示建立空间直角坐标系．
G（0，0，），E（，0，），F（0，，），H（0，0，），P（，，），
=（﹣，，0），=（﹣，0，），，
∵PH⊥面AEF，∴面AEF的法向量为，
设面EFG法向量为，
则，取x=，得，
设二面角A﹣EF﹣G的平面角为θ，由题意θ为钝角，
则cosθ=﹣=﹣．故二面角A﹣EF﹣G的余弦值为．
20．解：（1）因为直线不过原点，所以m≠0，
将与联立，消去y得：，
因为直线与椭圆有两个不同的公共点A，B，
所以△=8m2﹣16（m2﹣4）＞0，解得，
所以实数m的范围组成的集合M是；
（2）假设存在定点P（x0，y0）使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补，即k P A+k PB=0，令，
所以，
整理得：，
由（1）知x1，x2是的两个根，
所以，
代入（*）化简得，
由题意解得或
所以定点P的坐标为或，
经检验，满足题意，
所以存在定点P使得任意的m∈M，都有直线P A，PB的倾斜角互补，
坐标为或．
21．解：（Ⅰ）设曲线y=f（x）在Q（x1，y1）点处切线是y=x，则
由于所以x1=1，y1=1，
由题意知：，于是a=0．
（Ⅱ）证明：令，
当x∈（0，1）时，0＜e x﹣1＜1，所以，
即，当x∈（1，+∞）时，1＜e x﹣1，所以，
即，于是F（x）=f（x）﹣g（x）=e x﹣1﹣ln x
在（0，1）单调递减，（1，+∞）单调递增，
其最小值是F（1）=1，所以F（x）=f（x）﹣g（x）≥1，于是原不等式成立．
（Ⅲ）令G（x）=e x﹣1﹣ln x﹣ax+a（x＞0），
则函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0）
等价于函数G（x）有且只有一个零点x0，，
注意到为（0，+∞）上的增函数且值域为R，
所以在（0，+∞）上有唯一零点x1，
且G'（x）在（0，x1）上为负，（x1，+∞）上为正，所以G（x1）为极小值，
又函数G（x）有唯一零点x0，结合G（x）的单调性知x1=x0，
所以，即，
即，
即．令，
显然，x0是H（x）的零点，，H'（x）在（0，1）上为正，（1，+∞）上为负，
于是H（x）在（1，+∞）上单调递减，
注意到，
所以H（x）在（1，2）内有一个零点，在[2，+∞）内无零点，
所以H（x）的零点一定小于2，
从而函数f（x）与函数g（x）的图象有且仅有一个公共点P（x0，y0）时一定有x0＜2．22．解：由条件：．
设点，点P到C2之距离
.．此时cosθ=﹣，此时点．
23．解：（Ⅰ）当x∈[0，3]时，
2≤|2a﹣1|≤3且，
∴．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，
设g（a）=t•a+t2﹣3，
则，
可得或t≥3．。