江苏省高三数学上学期12月月考试题

江苏省扬州中学高三数学质量检测试卷2015．12
一、填空题
1．已知集合{0}A x x =>，{1012}B =-，，，，则A
B 等于 ．
2．已知虚数z 满足216i z z -=+，则||z = ．
3．抛物线22y x =的准线方程为 ． 4．角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(1,2)P ，则)c o s (απ-的值是 ．
5.设函数f (x )＝12cos(ωx ＋φ)，对任意x ∈R 都有f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π
3＋x ，若函数g (x )＝
3sin(ωx ＋φ)－2，则g (π
3
)的值为_________．
6.“N M >”是“N M 22log log >”成立的________条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”).
7.若n S 为等差数列}{n a 的前n 项和,,104,36139-=-=S S 则5a 与7a 的等比中项为___. 8.设函数f (x )在(0,＋∞)内可导，且f (e x
)＝x ＋e x
，则f (1)＝__________．
9．若实数,a b 满足20
10
1
a b b a a +-≥⎧⎪--≤⎨⎪≤⎩
，则
22a b a b ++的最大值为_________.
10.在边长为1的正ABC ∆中，向量,BA x BD =,CA y CE =0,0>>y x ，且,1=+y x 则BE CD ⋅的最大值为________.
11.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数，且),()3(x f x f =+当)0
,2(-∈x 时，,2)(x
x f = 则=++)2013()2014()2015(f f f _________.
12. ax ＋by ＝1(a ，b 是实数)与圆O ：x 2
＋y 2
＝1(O 是坐标原点)相交于A ，B 两
点，且△AOB 是直角三角形，点P (a ，b )是以点M (0,1)为圆心的圆M 上的任意一点，则圆M 的面积的最小值为________．
13．已知抛物线2
14
y x =
和21516y x =-+所围成的封闭曲线，给定点),0(a A ，若在此封闭曲线上恰有三对不同的点，满足每一对点关于点A 对称，则实数a 的取值范围是 .
14. 设各项均为正整数的无穷等差数列{a n }，满足a 54=2014，且存在正整数k ，使a 1，a 54，
a k 成等比数列，则公差d 的所有可能取值之和为 ．
二、解答题： 15．(本小题满分14分)
如图，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是平行四边形.
（1）若CF⊥AE，AB⊥AE，求证：平面ABFE⊥平面CDEF ； （2）求证：EF//平面ABCD.
16. (本小题满分14分) 已知向量m ＝⎝
⎛⎭⎪⎫3sin x 4，1，n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x 4
，cos 2
x
4.
(1)若m·n ＝1，求cos ⎝
⎛⎭
⎪⎫2π3－x 的值；
(2)记f (x )＝m·n ，在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ， b ，c ，且满足(2a －c )cos
B ＝b cos
C ，求函数f (A )的取值范围．
17．(本小题满分14分)
在平面直角坐标系xoy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a b y a x 的离心率为2
1
，右焦点F （1,0），
点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：2
2
2
b y x =+相切于点M. （1）求椭圆C 的方程；
（2）求|PM|·|PF|的取值范围；
A B C D E F
（3）若OP⊥OQ，求点Q 的纵坐标t 的值.
18. (本小题满分16分)某校兴趣小组运用计算机对轮船由海上行驶入内陆海湾进行了一次模拟试验。

如图，内陆海湾的入口处有暗礁，图中阴影所示的区域为暗礁区，其中线段D D CC B B AA 1111,,,关于坐标轴或原点对称，线段B B 1的方程为[]b a x x y ,,∈=，在海岸和礁石中间的海域可以作为航道通行。

有一艘正在海面上航行的轮船准备进入内陆海湾，在点)0,25(a M -
处测得该船发出的汽笛声的时刻总比在点N )0,2
5
(a 测得汽笛声的时刻晚s 1（设海面上声速为s am /）。

若该船沿着当前的航线航行（不考虑轮船的体积） （I ）问兴趣小组观察到轮船的当前的航线所在的曲线方程是什么？
（II ）这艘船能否由海上安全驶入内陆海湾？请说明理由。

19．（本小题满分16分）
对于函数(),()f x g x ，如果它们的图象有公共点P ，且在点P 处的切线相同，则称函数()f x 和()g x 在点P 处相切，称点P 为这两个函数的切点.设函数
2()(0)f x ax bx a =-≠,()ln g x x =.
（1）当1a =-,0b =时, 判断函数()f x 和()g x 是否相切？并说明理由； （2）已知a b =，0a >，且函数()f x 和()g x 相切，求切点P 的坐标；
（3）设0a >，点P 的坐标为1(,1)e
-，问是否存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它
们在点P 处相切？若点P 的坐标为2
(e ,2)呢？（结论不要求证明）
20.(本小题满分16分）
在数列{}n a 中，11a =，且对任意的*k N ∈,21221,,k k k a a a -+成等比数列，其公比为k q ． （1）若k q =2(*k N ∈)，求13521...k a a a a -++++；
（2）若对任意的*k N ∈，k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，其公差为k d ，设1
1
k k b q =
-． ① 求证：{}k b 成等差数列，并指出其公差； ②若1d =2,试求数列{}k d 的前k 项的和k D ．
数 学Ⅱ (附加题)
1.已知矩阵⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=a M 112的一个特征值是3，求直线032=--y x 在M 作用下的直线方程.
2.已知直线l 经过点(1,1)P ，倾斜角6
π
α=．
（1）写出直线l 的参数方程；
（2）设l 与圆42
2
=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积．
3．抛掷甲，乙两枚质地均匀且四面上分别标有1，2，3，4的正四面体，其底面落于桌面，记所得数字分别为x ，y ．设ξ为随机变量，若x y 为整数，则0ξ=；若x y
为小于1的分数，
则1ξ=-；若x y
为大于1的分数，则1ξ=．
（1）求概率(0)P ξ=；
（2）求ξ的分布列，并求其数学期望()E ξ．
4.已知n
x )2
11(+
展开式的各项依次记为).(),(),...,(),(121x a x a x a x a n n +设函数
=)(x F ).()1()(...)(3)(2)(1321x a n x na x a x a x a n n +++++++
（1） 若)(),(),(321x a x a x a 的系数依次成等差数列，求正整数n 的值； （2） 求证：],2,0[,21∈∀x x 恒有.1)2(2|)()(|1
21-+≤--n x F x F n
高三数学质量检测试卷参考答案及评分标准 2015.12
1．{}1,2 2．5 3．81
-
=y 4．5
5- 5.－2 6.必要不充分 7.24± 8.2 9．
57 10.8
3
- 11.0 12. (3－
)π 13.5
(,4)2
14．92．【解析】易知d =0，成立． 当d >0时， d a d a a 5320142014531154
-=⇒=+=
d )k (d )k (a a k 5420145454-+=-+=
[][]2014
2014542014385354201453201412
54⨯=-+-=-+-==d )k ()d (d )k ()d (a a a k []20143854201438⨯=-+-)d k ()d (
)k (d )k (d )k (d )k (1073854010738542-=-⇒=-+--
107385438107383854⨯-=-⇒⨯-=-k )d (d d kd
*
N d
d d )d (d d k ∈-⨯+=-⨯+=-⨯-⨯+-=-⨯-=
3853
385438533854381073838543854381073854又⎩⎨
⎧>>-⇒>-=-=0
38038535320141d d )d (d a 38380<-<∴d
381,2,19d ∴-=， 37,36,19d ∴=，所以公差d 的所有可能取值之和为92．
15．（1）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD，又∵AB⊥AE，
∴AE⊥CD 又∵AE⊥C F ，CD∩CF=C，CD 、CF ⊂平面CDEF ，∴AE⊥平面CDEF ，又∵AE ⊂平面ABFE ，∴平面ABFE⊥平面CDEF………7分 （2）∵四边形ABCD 是平行四边形 ∴AB//CD
又∵AB ⊄平面CDEF ，CD ⊂平面CDEF ，∴AB//平面CDEF 又∵AB ⊂平面ABFE ，平面ABFE∩平面CDEF=EF ，∴AB//EF
又∵EF ⊄平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴EF//平面ABCD.………14分
17.（1）⎪⎩⎪⎨⎧==
1
21c a c …………2分
∴c =1，a =2，∴3=b ，∴椭圆方程为13
42
2=+y x …………4分 （2）设),(00y x P ，则)20(13
4020
20<<=+x y x PM=0202
020202
134333x x x y x =--+=-+，………………6分
PF=0212x -
…………8分 ∴PM·PF=1)2(4
1
)4(412000+--=-x x x ， ∵200<<x ，∴|PM|·|PF|的取值范围是（0,1）.…………10分
（3）法一：①当PM⊥x 轴时，P )2
3
,
3(，Q ),3(t 或),3(t -， 由0=⋅解得32±=t ……………………12分
②当PM 不垂直于x 轴时，设),(00y x P ，PQ 方程为)(00x x k y y -=-，即
000=+--y kx y kx
∵PQ 与圆O 相切，∴
31|
|200=+-k y kx ，∴33)(2200+=-k y kx
∴002y kx 3322
0202--+=k y x k ………………13分
又),(0
0t k kx y t Q +-，所以由0=⋅得00000)(ky x kx y x t +-=……14分
∴=+-=2002
002
02
)()(ky x kx y x t =++-0
0202
2
02002
02)(y kx y k x y kx x 3
3)
33(2
2
02
02
2
02
2
022
0--++++k y x k y k x k x =
3
3)4
33)(1()1()
33(22
022
222
0---++++k x k x k k x =12，
∴32±=t ……16分
法二：设),(00y x P ，则直线OQ ：x y x y 00-=，∴),(0
0t t x y
Q -， ∵OP⊥OQ，∴OP·OQ=OM·PQ ∴202
00222
202
020)()(3t y t x y x t t x y y x -++
⋅=+⋅+………12分 ∴)(33)(22
02
2
202
2
02
2
202
02
02
02
2
2
2
0t x x y x t y t x y x y x x t y x ++⋅
=+++
⋅=+⋅
+
∴)(3)(2
2
02
2
020t x t y x +=+，∴3
32
02
020
2
-+=
y x x t ………………14分
∵1342
02
0=+y x ，∴4
332
020x y -=，∴124
13202
02
==x x t ，∴32±=t ……………16分
18.（1）设轮船所在的位置为P ，由题意可得a PN PM =-||||。

||MN a < ， 故点P 的轨迹是以N M ,为焦点的双曲线的右支。

设点P 的轨迹方程为12222=-n y m x )0,0(>>n m 则a m 2
1
=
a a a n =-=4
452
2
∴兴趣小组观察到轮船的当前航线所在的曲线方程是2224a y x =-（)0>x
（II ）这艘船能由海上安全驶入内陆海湾。

设直线l 的方程为0y y =。

当a y ≤≤00时，设l 与双曲线右支、直线a x =分别交于点11,S Q ，
则 ),21(
022
01y a y Q +，),(01y a S a a a a y <+<+222202
121 ∴点1Q 在点1S 的左侧，∴船不可能进入暗礁区。

当a y ≥0时，设l 与双曲线右支、直线x y =分别交于点22,S Q ，
则),2
1(022
02y a y Q +，),(002y y S
043)(4122
0202
20<--=-+a y y a y 02202
1y a y <+∴ 2Q ∴在点2S 的右侧，∴船不可能进入暗礁区。

综上，在x 轴上方，船不可能进入暗礁区，由对称性可知，船能由海上安全驶入内陆海湾。

19.（1）结论：当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切.…1分
理由如下：由条件知2()f x x =-，由()ln g x x =，得0x >， 又因为 ()2f x x '=-，1()g x x
'=，
所以当0x >时，()20f x x '=-<，1()0g x x
'=>，所以对于任意的0x >，()()f x g x ''≠.
当1a =-,0b =时,函数()f x 和()g x 不相切. …3分
（2）若a b =，则()2f x ax a '=-，1
()g x x
'=
，设切点坐标为(,)s t ，其中0s >,由题意，得 2ln as as s -= ①，12as a s -= ② ，由②得 1
(21)
a s s =-，
代入①得1ln 21s s s -=-.（*） 因为 10
(21)a s s =>-，且0s >，所以12
s >. 设函数 1()ln 21x F x x x -=--，1(,)2x ∈+∞，则 2
(41)(1)
()(21)x x F x x x ---'=
-. 令()0F x '= ，解得1x =或1
4
x =(舍). …8分
当x 变化时，()F x '与
所以当1x =时，()F x 当1(,1)(1,)2
x ∈+∞时()0F x <.
因此，当且仅当1x =时()0F x =.所以方程（*）有且仅有一解1s =.
于是 ln 0t s ==，因此切点P 的坐标为(1,0). …12分
（3）当点P 的坐标为1(,1)e
-时，存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切； …14分
当点P 的坐标为2
(e ,2)时，不存在符合条件的函数()f x 和()g x ，使得它们在点P 处相切. …16分 20.（1）因为2k q =，所以
21
21
4k k a a +-=，故13521,,,,k a a a a -是首项11a =，公比为4的等比
数列，所以13521141(41)143
n n
k a a a a --+++
+==--．
（2）因为k a 2，12+k a ，22+k a 成等差数列，所以212+k a = k a 2+ 2
2+k a ， 而21222211,k k k k k k a a a a q q ++++=
=⋅，所以11
2k k
q q ++=， 所以11111
1
k
k k k k q b b q q ++=
=
=+--，即11k k b b +-=， 所以{}k b 成等差数列，其公差为1．
（3）因为12d =，所以322a a =+，即221322a a a a ==+， 所以22a =或21a =-． （ⅰ）当22a =时，2112a q a =
=，所以1111
k b q ==-，所以1(1)1k b k k =+-⨯=， 即
11k k q =-，得1k k q k +=．所以2221211()k k k a k q a k
+-+== ， 22
2221112
(
)()()(1)1
1k k k a a k k k ++=⋅⋅⋅⋅=+-，212(1)k k k
a a k k q +==+， 所以2121k k k d a a k +=-=+， (21)(3)
22
k k k k k D +++==
． （ii ）当21a =-时，2111a q a =
=-，所以111
12
k b q ==--，13(1)122k b k k =-+-⨯=-，
即1312k k q =--，得1232k k q k -
=-．所以2221211
2()32
k k
k k a q a k +--
==- ， 22222111311222()()()(21)3531222
k k k a a k k k +---=⋅⋅⋅⋅=----，212(21)(23)k k k a a k k q +==--，
所以21242k k k d a a k +=-=-，2(242)22k k k D k +-=
=． 综合得(3)2
k k k D +=，或22k D k =． 数 学Ⅱ (附加题)
1.【解析】∵矩阵⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=a M 112的一个特征值是3，设a f ----=λλλ112)( ,01))(2(=---=a λλ则,01)3)(23(=---a 解得,2=a ∴⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=2112M . 设直线032=--y x 上任一点),(y x 在M 作用下对应的点为),','(y x 则有
,''2112⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡y x y x 整理得⎩⎨⎧=+=+'2'2y y x x y x ，则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-='31'32'31'32x y y y x x ，代入032=--y x ，整理得 09'5'4=--y x .∴所求直线方程为0954=--y x .
2.（1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
，即1112
x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩． （2
）把直线12112
x y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩代入422=+y x ，
得2221(1)(1)4,1)202
t t t ++=+-=，122t t =-， 则点P 到,A B 两点的距离之积为2．
3．（1）依题意，数对（x ，y ）共有16种，其中使x y
为整数的有以下8种： （1，1），（2，2），（3，3），（4，4），（2，1），（3，1），（4，1），（4，2），所以81(0)162
P ξ===； （2）随机变量ξ的所有取值为1-，0，1，
1ξ=-有以下6种：（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）， 故63(1)168
P ξ=-==； 1ξ=有以下2种：（3，2），（4，3），故21(1)
168
P ξ===； 所以ξ的分布列为：
3111()1018284
E ξ=-⨯+⨯+⨯=-， 答：ξ的数学期望为14
-． 4.（1）由题意知.1...,3,2,1,)21
()(11+==--n k x C x a k k n k
∵)(),(),(321x a x a x a 的系数依次为,10=n C ,8)1()21(,221221-=⋅=⋅
n n C n C n n ∴,8
)1(122-+=⨯n n n 解得.8=n （2）=)(x F )()1()(...)(3)(2)(1321x a n x na x a x a x a n n +++++++ =.)2
1()1()21
(....)21
(3)21
(2112210n n n n n n n n n x C n x nC x C x C C ++++++-- 令,2=x =)2(F .)1(....321210n n n n n n n C n nC C C C ++++++-
令,0=x 1)0(=F
设.)1(....321210n n n n n n n n C n nC C C C S ++++++=-
则.23....)1(0121n n n n n n n n C C C nC C n S ++++++=-考虑到,k n n k n C C -=将以上两式相加得 ).....)(2(21210n n n n n n n n C C C C C n S +++++=-∴.2)2(1-+=n n n S
又当]2,0[∈x 时，0)('≥x F 恒成立，从而)(x F 是]2,0[上的单调增函数， ∴],2,0[,21∈∀x x .1)2(2
)0()2(|)()(|121-+=-≤--n F F x F x F n。