2020年重庆市南开中学八年级(上)开学数学试卷

开学数学试卷
题号一二三总分
得分
一、选择题（本大题共8小题，共32.0分）
1.下列垃圾分类的图标中，是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
2.下列事件中，属于必然事件的是（）
A. 明天的最高气温将达35℃
B. 任意购买一张动车票，座位刚好挨着窗口
C. 掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上
D. 对顶角相等
3.下列式子中，计算正确的是（）
A. x2•x3＝x6
B. （x2y）4＝x8y
C. x2+x2+x2＝3x2
D. （x2）3＝x8
4.已知是二元一次方程x-2y＝4的一组解，则a-6b-3的值（）
A. 11
B. 9
C. 7
D. 5
5.如图，AB∥CD，直线MN分别交直线AB，CO于点E，F，ED平分∠BEF，若∠CFN=44°，
则∠EDF度数为（）
A. 68°
B. 67°
C. 66°
D. 63°
6.小刘下午5点30分放学匀速步行回家，途中路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一
束鲜花，6点20分到家，已知小刘家距学校3千米，下列图象中能大致表示小刘离学校的距离S（千米）与离校的时间t（分钟）之的关系的是（）
A. B.
C. D.
7.若（a+3b）2=11，a-3b=4，则ab的值是（）
A. B. C. D.
8.如图，在△ABC中，点D将线段AB分成AD：BD=5：
2的两个部分，点E将线段BC分成BE：CE=1：3的
两个部分，若△ADF的面积是10，则△ECF的面积是
（）
A. B. 42 C. D.
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
9.英国曼彻斯特大学的两位科学家因为成功地从石墨中分离出石墨烯，荣获了诺贝尔
物理学奖，石墨烯目前是世界上最薄也是最坚硬的纳米材料，同时还是导电性最好的材料，其原理厚度仅0.00000000034米，将0.00000000034这个数用科学记数法表示为______ ．
10.等腰三角形的一个外角等于110°，则底角为______ ．
11.若代数式4x2-kx+9是一个完全平方式，则常数k的值为______．
12.已知x，y满足方程，则x-y的值为______．
13.在一个不透明的口袋里，装了若干个除颜色不同外其余都相同的红球和黑球，如果
口袋中有8个红球，且摸到红球的概率为，那么口袋中黑球的个数为______．
14.如图，在△ABC中，∠C=90°，点D，E分别在AC、AB上，
BD平分∠ABC，DE⊥AB，AB=15，CD=4．△ABD的面积
为______．
15.如图，在△ABC中，直线ED是线段BC的垂直平分线，
直线ED分别交BC、AB于点D、点E，已知BD=4，
△ABC的周长为20，则△AEC的周长为______．
16.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠CAB的角平分线交BC于M，∠ACB的外角平分
线与AM交于点D，与AB的延长线交于点N，过D作DE⊥CN交CB的延长线于点P，交AN于点E，连接CE并延长交PN于点Q，则下列结论：①∠ADP=45°；
②AN=CA+CP；③DC=ED；④NQ-CD=PQ；⑤CN=2DE+EP，其中正确的有______
（填写所有正确的序号）．
三、解答题（本大题共6小题，共36.0分）
17.-12018+（3.14-π）0-（）-3+|-3|
18.（-2a+3b）（3b+2a）-（3a+b）2-2b（a+4b）
19.解方程组：
20.解方程组：
21.小明和小强在同一直线跑道AB上进行往返跑，小明从起点A出发，小强在小明前
方C处与小明同时出发，当小明到达终点B处时，休息了100秒才又以原速返回A 地，而小强到达终点B处后马上以原来速度的3.2倍往回跑，最后两人同时到达A 地，两人距B地的路程记为y（米），小强跑步的时间记为x（秒），y和x的关系如图所示．
（1）A，C两地相距______米；
（2）小强原来的速度为______米/秒；
（3）小明和小强第一次相遇时他们距A地______米；
（4）小明到B地后再经过______秒与小强相距100米？
22.如图1，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是BC延长线上的一点，且CD=AB，过D
作DE∥AB交AC的垂线于E，连接AE．
（1）求证：AC=CE；
（2）如图2，M为AB延长线上一点连接CM，以CM为直角边作等腰Rt△NCM，∠MCN=90°，连接EN交直线BD于P．求证：AM=2CP；
（3）在（2）的条件下，若ED=6，AC=7，AM=8，请直接写出△ECN的边CE上高的长度．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、是轴对称图形，故本选项符合题意；
C、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意．
故选：B．
根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2.【答案】D
【解析】解：“对顶角相等”是真命题，发生的可能性为100%，
故选：D．
必然事件发生的可能性为100%，随机事件发生的可能性介在0～1之间，逐个分析发生的可能性，找到发生可能性为100%的选项即可．
“明天的最高气温将达35°C”是随机事件，可能发生也可能不发生，
任意购买一张动车票，座位可能挨着窗口，也可能不挨着，窗户，是一个随机事件，掷两次质地均匀的骰子，其中有一次正面朝上可能为四分之一，不是必然事件，
对顶角相等，是真命题，是必然事件．
考查随机事件、必然事件的可能性，理解随机事件、必然事件是正确解答的关键．3.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了同底数幂的乘法，幂的乘方与积的乘方以及合并同类项，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.
分别根据同底数幂的乘法法则，积的乘方法则，合并同类项的法则以及幂的乘方法则逐一判断即可.
【解答】
解：A、x2•x3=x5，故选项A不合题意；
B、（x2y）4=x8y4故选项B不合题意；
C、x2+x2+x2=3x2，故选项C符合题意；
D、（x2）3=x6，故选项D不合题意．
故选C.
4.【答案】B
【解析】【分析】
此题考查了二元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把x与y的值代入方程求出a-6b的值，代入原式计算即可求出值．
【解答】
解：把代入方程得：a-2b=4，
整理得：a-6b=12，
则原式=12-3=9，
故选：B．
5.【答案】A
【解析】解：∵∠EFD=∠CFN=44°，
∵AB∥CD，
∴∠BEF+∠EFD=180°，
∴∠BEF=136°，
∵ED平分∠BEF，
∴∠BED=∠BEF=68°，
∵AB∥CD，
∴∠EDF=∠BED=68°．
故选：A．
根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠BEF的度数，然后由ED平分∠BEF，可求得∠BED的度数，再由两直线平行，内错角相等，即可得到结论．
此题考查了平行线的性质与角平分线的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．
6.【答案】C
【解析】解：∵小刘家距学校3千米，
∴离校的距离随着时间的增大而增大，
∵路过鲜花店为过生日的妈妈选购了一束鲜花，
∴中间有一段离家的距离不再增大，离校50分钟后离校的距离最大，即3千米．
综合以上A符合，
故选：C．
根据小刘家距学校3千米，小刘离学校的距离随着时间的增大而增大确定合适的函数图象即可．
本题考查了函数图象，比较简单，了解横、纵坐标分别表示什么是解题的关键
7.【答案】C
【解析】解：∵（a+3b）2=11，
∴a2+6ab+9b2=11①，
∵a-3b=4，
∴（a-3b）2=16，
∴a2-6ab+9b2=16②，
①-②得：12ab=-5，
∴ab=-，
故选：C．
先根据完全平方公式得出a2+6ab+9b2=11，a2-6ab+9b2=16，再相减，即可得出答案．本题考查了完全平方公式，能灵活运用公式进行变形是解此题的关键．
8.【答案】D
【解析】解：如图，作DH∥AE交BC于H，连接BF．
∵DH∥AE，
∴==，
设BH=2a，则EH=5a，
∵BE：CE=1：3，
∴EC=21a，
∵EF∥DH，
∴===，
∵AD：BD=5：2，△ADF的面积是10，
∴S△BDF==4，
∴S△BFC=×4=，
∵BE：CE=1：3，
∴S△ECF=S△BFC=×=，
故选：D．
如图，作DH∥AE交BC于H，连接BF．利用平行线分线段成比例定理，即可解决问题．本题考查三角形的面积，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．
9.【答案】3.4×10-10
【解析】【分析】
本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】
解：0.00 000 000034=3.4×10-10，
故答案为：3.4×10-10．
10.【答案】70°或55°．
【解析】解：①当110°外角是底角的外角时，底角为：180°-110°=70°，
②当110°外角是顶角的外角时，顶角为：180°-110°=70°，
则底角为：（180°-70°）×=55°，
∴底角为70°或55°．
故答案为：70°或55°．
根据等腰三角形的一个外角等于110°，进行讨论可能是底角的外角是110°，也有可能顶角的外角是110°，从而求出答案．
此题主要考查了等腰三角形的性质，此题应注意进行分类讨论，非常容易忽略一种情况．11.【答案】±12
【解析】解：∵代数式4x2-kx+9是一个完全平方式，
∴k=±12，
故答案为：±12
利用完全平方公式的结构特征判断即可求出k的值．
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
12.【答案】1
【解析】解：，
①-②得：x-y=1，
故答案为：1
方程组两方程相减即可求出所求．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
13.【答案】24
【解析】解：设黑球有x个，
∵口袋中装有8个红球且摸到红球的概率为，
∴，
∴x=24，
即口袋中黑球的个数为24个，
故答案为24．
设黑球有x个，根据口袋中装有8个红球且摸到红球的频率为列出x的方程，求出x
即可．
此题考查概率的求法及利用频率估计概率的知识：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．
14.【答案】30
【解析】解：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE=DC=4，
∴△ABD的面积=×15×4=30．
故答案为30．
先根据角平分线的性质得到DE=DC=4，然后根据三角形面积公式计算△ABD的面积．本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
15.【答案】12
【解析】解：∵ED是线段BC的垂直平分线，
∴EC=EB，BC=2BD=8，
∵△ABC的周长为20，
∴AB+BC+AC=20，
∴AB+AC=12，
∴△AEC的周长=AC+AE+CE=AC+AE+EB=AC+AB=12，
故答案为：12．
根据线段垂直平分线的性质得到EC=EB，BC=2BD=8，根据三角形的周长公式计算即可．本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
16.【答案】①②③⑤
【解析】解：①如图1所示：
∵∠CAB的角平分线交BC于M，∠ACB的外角平分线与
AM交于点D，
∴∠DAC=∠CAB，∠PCD=∠HCD，
∵∠HCD=∠DAC+∠ADC，
∠PCH=∠CAB+∠ABC=2∠HCD，
∴∠ADC=∠ABC=45°，
∵DE⊥CN，
∴∠CDP=90
°，∴∠ADP=90°-45°=45°，①正确；②延长PD与AC交于点P'，如图2所示：
∵∠1=∠PCD，DE⊥CN，
∴∠CPD=∠CP'D，
∴CP=CP'，∵∠ADC=45°，DP⊥CF，
∴∠EDA=∠CDA=45°，
∴∠ADP'=∠ADF=135°，
在△ADP'和△ADN中，
，
∴△ADP'≌△ADN（ASA），
∴AN=AP'=CA+CP'=CA+CP，故②正确；
③在△ADC和△ADE中，，
∴△ADC≌△ADE（ASA），
∴DC=ED，③正确；
④∵∠ABC=90°，
∴BN⊥CP，
∵DE⊥CN，
∴E为△CPN垂心，
∴CQ⊥PN，且△CDE、△CQN、△PQE均为等腰直角三角形，∠PQC=∠EQN=90°，
∴PQ=EQ，CQ=NQ，
在△CQP和△NQE中，，
∴△CQP≌△NQE（SAS），
∴CQ=NQ，
∵CQ=EQ+CE=PQ+CE=PQ+CD，∠PEQ=45°，
∴NQ-CD=PQ，故④错误；
⑤作EM⊥CE交CN于点M，如图3所示：
则△CEM为等腰直角三角形，
则∠CME=45°，CD=DM，CM=2CD，EM=EC，
∵∠MNE+∠PCN=∠CPE+∠PCN=90°，
∴∠MNE=∠CPE，
∵∠PEQ=∠CME=45°，
∴∠CEP=∠EMN=135°，
在△EMN和△CEP中，
∴△EMN≌△CEG（AAS），
∴PE=MN，
∴CN=CM+MN=2CD+EP，
∴CN=CM+MN=2DE+EP，故⑤正确；
故答案为：①②③⑤．
①由角平分线定义和三角形的外角性质得出∠ADC=∠ABC=45°，即可得出答案；
②延长PD与AC相交于点P'，证明CP=CP'，证明△ADP'≌△ADN（ASA），得出AP'=AN，即可得出答案；
③证△ACD≌△AED，得出DC=ED，同时可得出三角形CDE是等腰直角三角形；
④注意到E是△CPN的垂心，得出CQ⊥PN，从而可证△CQP≌△NQE（SAS），则
NQ=CQ=EQ+CE=PE+CE=CD+PQ即可；
⑤作EM⊥CE交CN于点M，证△EMN≌△CEP即可．
本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形垂心的定义和性质等多个知识点，技巧性很强，证明三角形全等是解题的关键．
17.【答案】解：原式=-1+1-+=0．
【解析】原式利用乘方的意义，零指数幂、负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值．
此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18.【答案】解：原式=9b2-4a2-（9a2+6ab+b2）-2ab-8b2
=9b2-4a2-9a2-6ab-b2-2ab-8b2
=-13a2-8ab．
【解析】直接利用乘法公式化简，进而合并同类项得出答案．
此题主要考查了整式的混合运算，正确合并同类项是解题关键．
19.【答案】解：，
把①代入②得：m+2（3m-1）=5，
解得：m=1，
把m=1代入①得：n=2，
则方程组的解为．
【解析】方程组利用代入消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
20.【答案】解：方程组整理得：，
②×5-①×2得：7x=28，
解得：x=4，
把x=4代入②得：y=-3，
则方程组的解为．
【解析】方程组整理后，利用加减消元法求出解即可．
此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．
21.【答案】300 1.5 480 或或175
【解析】解：（1）由图可得，
A，C两地相距800-500=300（米），
故答案为：300；
（2）小强原来的速度为a米/秒，
，
解得，a=1.5，
故答案为：1.5；
（3）设小明的速度为b米/秒，
（300-100）b=800，
解得，b=4米/秒，
小明和小强第一次相遇时的所用的时间为m秒，
4m=（800-500）+1.5m，
解得m=120，
小明和小强第一次相遇时他们距A地为：4×120=480（米），
故答案为：480；
（4）设小明到B地后再经过b秒，与小强相距100米，
小明到达B地休息时间段时，500-100=1.5（b+200）
解得，b=，
小明从B地返回A地且小强从B地也返回A地时，
4（b+200-300）-100=4.8（b+200-）或
解得，b=175，
小明从B地已经出发且小强未到达B地时，
500-1.5（b+200）+100=4（b+200-300），
解得，b=
故答案为：或或175．
（1）根据函数图象中的数据可以得到A，C两地相距多远；
（2）根据函数图象中的数据可以计算出小强原来的速度；
（3）根据函数图象中的数据可以计算出小明和小强第一次相遇时他们距A地的距离；（4）根据函数图象中的数据可以计算出小明到B地后再经过多少秒与小强相距100米．本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．
22.【答案】（1）证明：如图1中，
∵AB∥DE，∠ABC=90°，
∴∠ABC+∠BDC=180°，
∴∠BDC=90°，
∵AC⊥EC，
∴∠ACE=90°，
∵∠CAB+∠ACB=90°，∠ACB+∠ECD=90°，
∴∠CAB=∠ECD，
∵∠B=∠D=90°，AB=CD，
∴△ABC≌△CDE（AAS），
∴AC=EC．
（2）解：如图2中，作NH⊥BP交BP的延长线于H，延长CP到K，使得PK=PC，连接EK，KN．
∵△ABC≌△CDE，
∴ED=BC，
∵∠NHC=∠MBC=∠MCN=90°，
∴∠BCM+∠BMC=90°，∠BCM+∠NCH=90°，
∴∠BMC=∠NCH，
∵CM=CN，
∴△BMC≌△CHN（AAS），
∴BC=NH，
∴ED=HN，
∵∠EDP=∠NHP=90°，∠EPD=∠NPH，
∴△EPD≌△NPH（AAS），
∴EP=PN，
∵CP=PK，
∴四边形ECNK是平行四边形，
∴EK=CN=CM，EK∥CN，
∴∠CEK+∠ECN=180°，
∵∠ECN+∠ACM=180°，
∴∠CEK=∠ACM，
∵EC=CA，EK=CM，
∴△ECK≌△CAM（SAS），
∴CK=AM，
∵CK=2PC，
∴AM=2PC．
（3）∵AM=2PC，AM=8，
∴PC=4，
∴S△ECP=•PC•ED=×4×6=12，
∵EP=PN，
∴S△ECN=2S△ECP=24，
设△ECN的EC边上的高为h，
则有24=•EC•h，
∵EC=AC=7，
∴h=
【解析】（1）只要证明△ABC≌△CDE（AAS）即可解决问题．
（2）如图2中，作NH⊥BP交BP的延长线于H，延长CP到K，使得PK=PC，连接EK，KN．首先证明EP=PN，推出四边形ECNK是平行四边形，再证明△ECK≌△CAM （SAS）即可解决问题．
（3）设△ECN的EC边上的高为h，求出△ECN的面积，构建方程即可解决问题．
本题属于三角形综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。