2020版高考数学新增分大一轮新高考(鲁京津琼)专用精练：第二章 阶段强化练(二)

2019年4月阶段强化练(二)
一、选择题
1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2＋1
答案 A
解+析 y ＝cos x 是偶函数且有无数多个零点，y ＝sin x 为奇函数，y ＝ln x 既不是奇函数也不是偶函数，y ＝x 2＋1是偶函数但没有零点．故选A. 2．方程log 3x ＋2x ＝6的解所在区间是( ) A ．(1,2) B ．(3,4) C ．(2,3) D ．(5,6) 答案 C
解+析 令f (x )＝log 3x ＋2x －6， 则函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 且函数在(0，＋∞)上连续，
因为f (2)<0，f (3)>0，故有f (2)·f (3)<0，
所以函数f (x )＝log 3x ＋2x －6的零点所在的区间为(2,3)， 即方程log 3x ＋2x ＝6的解所在区间是(2,3)．故选C. 3．(2018·咸阳模拟)函数f ()x ＝2x －1x 零点的个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案 B
解+析 在同一平面直角坐标系下，作出函数y ＝2x 和y ＝1
x
的图象，如图所示．
函数f (x )＝2x －1x 的零点个数等价于方程2x ＝1x 的根的个数，等价于函数y ＝2x 和y ＝1
x 的交点
个数．由图可知，有一个交点，所以有一个零点．故选B.
4．若函数f (x )＝x 2＋mx ＋1有两个不同零点，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－1,1)
B ．(－2,2)
C ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
答案 C
解+析 依题意，知Δ＝m 2－4＞0，∴m ＞2或m ＜－2.
5．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点有( ) A ．多于4个 B ．4个 C ．3个 D ．2个
答案 B
解+析 因为偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，故函数的周期为2.当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，故当x ∈[－1,0]时，f (x )＝－x .函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点的个数等于函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象的交点个数．在同一个坐标系中画出函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象，如图所示．
显然函数y ＝f (x )的图象与函数y ＝log 3|x |的图象有4个交点，故选B.
6．(2019·山西大学附中诊断)函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
ln x －x 2
＋2x ，x >0，
2x ＋1，x ≤0的零点个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 答案 D
解+析 对于求函数f (x )＝ln x －x 2＋2x 的零点个数，可以转化为方程ln x ＝x 2－2x 的根的个数问题，分别画出y ＝ln x ，y ＝x 2－2x 的图象如图．由图象可得两个函数有两个交点．
又方程2x ＋1＝0的根为x ＝－1
2
<0，个数是1.
故函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
ln x －x 2
＋2x ，x >0，
2x ＋1，x ≤0的零点个数为3.
故选D.
7．(2019·珠海摸底)函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
e x －
1
，x ≤1，
ln (x －1)，x >1，若函数g (x )＝f (x )－x ＋a 只有一个零点，则
a 的取值范围是( )
A ．(－∞， 0]∪{2}
B ．[0, ＋∞)∪{－2}
C ．(－∞， 0]
D ．[0, ＋∞)
答案 A
解+析 因为g (x )＝f (x )－x ＋a 只有一个零点， 所以y ＝f (x )与y ＝x －a 只有一个交点， 作出函数y ＝f (x )与y ＝x －a 的图象，
y ＝x －a 与y ＝e x －
1(x ≤1)只有一个交点，则－a ≥0，即a ≤0，y ＝ln(x －1)，x >1与y ＝x －a
只有一个交点， 则它们相切，因为y ′＝
1x －1，令1x －1
＝1，则x ＝2， 故切点为(2,0)，所以0＝2－a ，即a ＝2， 综上所述，a 的取值范围为(－∞ , 0]∪{2}． 故选A.
8．(2019·淄博期中)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 3，x ≤a ，x 2，x >a
(a >0)，若存在实数b 使函数g (x )＝f (x )－b
有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(1,2 019) D ．[1，＋∞)
答案 B
解+析 由题设有f (x )为(－∞，a ]上的增函数， 也是(a ，＋∞)上的增函数，
当a 3>a 2时，f (x )不是R 上的增函数，故必定存在b ，使得直线y ＝b 与f (x )的图象有两个交点，
即g (x )＝f (x )－b 有两个零点，此时a >1.故选B.
9．已知函数y ＝f (x )的周期为2，当x ∈[0,2]时，f (x )＝(x －1)2，如果g (x )＝f (x )－log 5|x －1|，则方程g (x )＝0的所有根之和为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 答案 D
解+析 在平面直角坐标系中画出函数y ＝f (x )及y ＝log 5|x －1|的图象，结合函数的图象可以看出函数共有8个零点，且关于x ＝1对称，故所有零点的和为2×4＝8，故选D.
10．(2019·长春质检)已知函数f (x )＝x －1
x －2与g (x )＝1－sin πx ，则函数 F (x )＝f (x )－g (x )在区间
[－2,6]上所有零点的和为( ) A ．4 B ．8 C ．12 D ．16 答案 D
解+析 F (x )＝f (x )－g (x )在区间[－2,6]上所有零点的和，等价于函数g (x )，f (x )的图象交点横坐标的和，
画出函数g (x )，f (x )在区间[－2,6]上的图象，
函数g (x )，f (x )的图象关于点(2,1)对称，则F (x )＝0在区间[－2,6]上共有8个零点，其和为16.故选D.
11．(2019·河北衡水中学模拟)对于函数y ＝f (x )，若存在x 0，使f (x 0)＋f (－x 0)＝0，则称点(x 0，
f (x 0))是曲线f (x )的“优美点”．已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
＋2x ，x <0，
－x ＋2，x ≥0，则曲线f (x )的“优美点”的个数
为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6 答案 B
解+析 曲线f (x )的“优美点”个数，
就是x <0的函数f (x )关于原点对称的函数图象， 与y ＝2－x (x ≥0)的图象的交点个数， 由当x <0时，f (x )＝x 2＋2x ，
得关于原点对称的函数y ＝－x 2＋2x ，x >0， 联立y ＝－x ＋2和y ＝－x 2＋2x ，解得x ＝1或x ＝2， 则存在点(1,1)和(2,0)为“优美点”， 曲线f (x )的“优美点”个数为2，故选B.
12．(2019·惠州调研)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x )＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x －x 2
，0≤x <2，2－x e x ，x ≥2，若
函数F (x )＝f (x )－m 有 6 个零点，则实数m 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫－1e 3，1
4 B.⎝⎛⎭⎫－1e 3，0∪⎝⎛⎭⎫0，1
4 C.⎝⎛⎦
⎤－1
e 3，0 D.⎝⎛⎭
⎫－1
e 3，0
答案 C
解+析 函数f (x )是定义在R 上的偶函数， 函数F (x )＝f (x )－m 有六个零点，
则当x ≥0时，函数F (x )＝f (x )－m 有三个零点， 令F (x )＝f (x )－m ＝0， 即m ＝f (x )，
①当0≤x ＜2时，f (x )＝x －x 2＝－⎝⎛⎭⎫x －122＋14， 当x ＝1
2时有最大值，即为f ⎝⎛⎭⎫12＝14， 且f (x )＞2－4＝－2，
故f (x )在[0,2)上的值域为⎝⎛⎦⎤－2，1
4. ②当x ≥2时，f (x )＝2－x
e x ≤0，
且当x →＋∞时，f (x )→0， ∵f ′(x )＝x －3
e
x ，
令f ′(x )＝x －3
e x ＝0，解得x ＝3，
当2≤x ＜3时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ≥3时，f ′(x )≥0，f (x )单调递增， ∴f (x )min ＝f (3)＝－1
e
3，
故f (x )在[2，＋∞)上的值域为⎣⎡⎦⎤－1
e 3，0， ∵－1
e
3＞－2，
∴当－1
e 3＜m ≤0，x ≥0时，函数F (x )＝
f (x )－m 有三个零点，
故当－1
e 3＜m ≤0时，函数F (x )＝
f (x )－m 有六个零点，
故选C. 二、填空题
13．(2019·西安一中月考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
2x －1，x ≤0，
x 2－3x ＋1，x >0，
则f (x )零点的个数是________．
答案 3
解+析 令2x －1＝0，解得x ＝0，
令x 2－3x ＋1＝0，解得x ＝3±5
2，
所以函数零点的个数为3.
14．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|ln (x －1)|，x >1，
2x －1＋1，x ≤1，若函数g (x )＝f (x )－a 有三个不同的零点，则实数a
的取值范围是______________． 答案 (1,2]
解+析 函数g (x )＝f (x )－a 有三个不同的零点等价于y ＝f (x )的图象与直线y ＝a 有三个不同交点，
作出函数y ＝f (x )的图象：
由图易得a ∈(1,2]．
15．(2019·山东胶州一中模拟)已知函数f (x )满足f (1－x )＝f (x ＋1)＝f (x －1)(x ∈R )，且当0≤x ≤1时f (x )＝2x －1，则方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1,3]上的所有根之和为________． 答案 11
解+析 由题意知，函数满足f (1－x )＝f (x ＋1)，
可得函数f (x )的图象关于x ＝1对称，又f (x ＋1)＝f (x －1)，所以函数f (x )是以2为周期的周期函数，
方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1,3]上的零点个数，
即函数y ＝|cos πx |和y ＝f (x )在[－1,3]上图象的交点的个数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x －1， 在同一坐标系内，作出两个函数在[－1,3]的图象的草图，如图所示， 结合图象可知，两个函数共有11个交点，
即方程|cos πx |－f (x )＝0在[－1,3]上有11个根，所有根的和为2×5＋1＝11.
16．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2x 2＋2mx －1，0≤x ≤1，
mx ＋2，x >1，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点，
则实数m 的取值范围是________．
答案 ⎣⎡⎭
⎫－1
2，0 解+析 当0≤x ≤1时，2x 2＋2mx －1＝0， 易知x ＝0不是方程2x 2＋2mx －1＝0的解， 故m ＝12x －x .又g (x )＝1
2x －x 在(0,1]上是减函数，
故m ≥12－1＝－12
.
即m ≥－1
2时，方程f (x )＝0在[0,1]上有且只有一个解，
当x >1时，令mx ＋2＝0得，m ＝－2
x ，
故－2<m <0，
即当－2<m <0时，方程f (x )＝0在(1，＋∞)上有且只有一个解， 综上所述，若f (x )在区间[0，＋∞)上有且只有2个零点， 则实数m 的取值范围是－1
2≤m <0.
三、解答题
17．(2019·湖南岳阳一中质检)已知f (x )＝|2x －3|＋ax －6(a 是常数，a ∈R )． (1)当a ＝1时，求不等式f (x )≥0的解集；
(2)如果函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点，求a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f (x )＝|2x －3|＋x －6
＝⎩⎨⎧
3x －9，x ≥32
，
－3－x ，x <3
2
，
则原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥32，3x －9≥0或⎩⎪⎨⎪⎧
x <32，
－3－x ≥0，
解得x ≥3或x ≤－3，
则原不等式的解集为{x |x ≥3或x ≤－3}． (2)由f (x )＝0，得|2x －3|＝－ax ＋6，
令y ＝|2x －3|，y ＝－ax ＋6，作出它们的图象(图略)，
可以知道，当－2<a <2时，这两个函数的图象有两个不同的交点， 所以函数y ＝f (x )恰有两个不同的零点时， a 的取值范围是(－2,2)．
18．已知函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|ln x |，x >0，
x ＋2，x ≤0，若存在实数x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3，使f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)．
(1)画出函数f (x )的图象； (2)求x 1f (x 2)的取值范围．
解 (1)由函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪
⎧
|ln x |，x >0，x ＋2，x ≤0，
可得函数f (x )的图象如图所示．
(2)由存在实数x 1，x 2，x 3，且x 1<x 2<x 3， 设f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝m ，m ∈(0,2]， 且x 1∈(－2,0]，x 2∈(0,1)，
则f (x 1)＝m ，即x 1＋2＝m ，解得x 1＝m －2， 所以x 1f (x 2)＝(m －2)×m ＝m 2－2m ＝(m －1)2－1， m ∈(0,2]，
当m ＝1时，x 1f (x 2)取得最小值－1， 当m ＝2时，x 1f (x 2)取得最大值0， 所以x 1f (x 2)的取值范围是[－1,0]．。