2019年高考数学二轮复习5 小题分层练(五) “985”跨栏练(1)

小题分层练(五) “985”跨栏练(1)
1．将函数y ＝sin 2x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝f (x )的图象，则( )
A ．y ＝f (x )的图象关于直线x ＝π
8对称
B ．f (x )的最小正周期为π
2
C ．y ＝f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫
π2，0中心对称 D ．f (x )在⎝⎛⎭
⎫－π3，π
6上单调递增 2．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A ，B ，C ，D ，E 为顶点的多边形为正五边形，且PT
AT ＝5－12
.下列关系中正确的是( )
A.BP →－TS →
＝5＋12RS →
B.CQ →＋TP →
＝5＋12TS →
C.ES →－AP →
＝5－12
BQ →
D.AT →＋BQ →
＝5－12
CR →
3．已知(x ＋2)(2x －1)5＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，则a 0＋a 2＋a 4＝( ) A ．123 B ．91 C ．－120
D ．－152
4．已知函数f (x )＝x 2
x 2－2x ＋2.命题p 1：y ＝f (x )的图象关于点(1，1)中心对称，命题p 2：若a <b <2，则f (a )<f (b )．则
在命题q 1：p 1∨p 2，q 2：(﹁p 1)∧(﹁p 2)，q 3：(﹁p 1)∨p 2和q 4：p 1∧(﹁p 2)中，真命题是( )
A ．q 1，q 3
B ．q 1，q 4
C ．q 2，q 3
D ．q 2，q 4
5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，质点M ，N 间隔3 min 后从点P 出发，绕原点逆时针方向做角速度π
6
rad/min 的匀速圆周运动，则M 与N 的纵坐标之差第4次达到最大值时，N 运动的时间为( )
A ．37.5 min
B ．40.5 min
C ．49.5 min
D ．52.5 min
6．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，俯视图中的两条曲线均为圆孤，则该几何体的体积为( )
A ．64－32π
3
B ．64－8π
C ．64－16π
3
D ．64－8π
3
7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且b 2＋a 2＋ab －c 2＝0，则c ·cos （30°－A ）
b ＋a 的值为
( )
A.12 B ．
32 C ．－12
D ．－
32
8．已知5台机器中有2台存在故障，现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止．若检测一台机器的费用为1 000元，则所需检测费的均值为( )
A ．3 200元
B ．3 400元
C ．3 500元
D ．3 600元
9．已知数列{a n }满足a 1＝2，2a n a n ＋1＝a 2n ＋1，设b n
＝a n －1
a n ＋1，则数列{
b n }是( ) A ．常数列 B ．摆动数列 C ．递增数列
D ．递减数列
10．已知抛物线E ：y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线交E 于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，其垂直平分线交x 轴于点C ，MN ⊥y 轴于点N .若四边形CMNF 的面积等于7，则E 的方程为( )
A ．y 2＝x
B ．y 2＝2x
C ．y 2＝4x
D ．y 2＝8x
11．已知A ，B ，C ，D 四点均在以点O 1为球心的球面上，且AB ＝AC ＝AD ＝25，BC ＝BD ＝42，CD ＝8.若球O 2在球O 1内且与平面BCD 相切，则球O 2直径的最大值为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
12．已知函数f (x )＝(x －a )3－3x ＋a (a >0)在[－1，b ]上的值域为[－2－2a ，0]，则b 的取值范围是( ) A ．[0，3] B ．[0，2] C ．[2，3]
D ．(－1，3]
13．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知3(a cos C －c cos A )＝b ，B ＝60°，则A 的大小为________．
14．将正整数排成三角形数阵，每排的数称为一个群，从上到下顺次为第1群，第2群，…，第n 群，…，第n 群恰好有n 个数，则第n 群中n 个数的和是________．
15．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，左顶点为A .以F 为圆心，F A 为半径的圆交C 的
右支于P ，Q 两点，△APQ 的一个内角为60°，则C 的离心率为________．
16．在平面四边形ABCD 中，AB ＝1，AC ＝5，BD ⊥BC ，BD ＝2BC ，则AD 的最小值为________．
参考答案与解析
小题分层练(五) “985”跨栏练(1)
1．解析：选D.将函数y ＝sin 2x 的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数f (x )＝sin x 的图象，其图象关于直线x ＝π
2＋k π(k ∈Z )对称，关于点(k π，0)(k ∈Z )中心对称，f (x )的最小正周期为2π，
故A ，B ，C 错误；又函数f (x )＝sin x 的一个单调递增区间为⎝⎛⎭⎫－π2，π2，且⎝⎛⎭⎫－π3，π6∈⎝⎛⎭⎫－π2，π
2，故D 正确．故选D.
2．解析：选A.由题意，知BP →－TS →＝TE →－TS →＝SE →，RS SE ＝PT AT ＝5－12，所以SE →＝5＋12RS →，故A 正确；CQ
→
＋TP →＝P A →－PT →＝TA →＝5＋12ST →，故B 错误；ES →－AP →＝RC →－QC →＝RQ →＝5－12QB →，故C 错误；因为AT →＋BQ →＝SD
→
＋RD →，5－12CR →＝RS →＝RD →－SD →，若AT →＋BQ →＝5－12
CR →成立，则SD →
＝0，不合题意，故D 错误．故选A.
3．解析：选D.法一：因为(2x －1)5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5(2x )
5－
r
·(－1)r (r ＝0，1，2，3，4，5)，所以a 0＋a 2＋a 4＝2×C 55×20×(－1)5＋[1×C 45×21×(－1)4＋2×C 35×22×(－1)3]＋[1×C 25×23×(－1)2＋2×C 15×24
×
(－1)1]＝－2－70－80＝－152，故选D.
法二：令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＝3 ①，令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6＝－243 ②.①＋②，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＝－120.又a 6＝1×25＝32，所以a 0＋a 2＋a 4＝－152，故选D.
4．解析：选B.因为f (x )＝x 2x 2－2x ＋2＝1＋2（x －1）（x －1）2
＋1，所以函数y ＝f (x )的图象可由g (x )＝2x
x 2＋1的图象向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到．因为g (－x )＝－2x （－x ）2
＋1＝－2x
x 2＋1＝－g (x )，所以函数g (x )是奇函数，其图象关于原点中心对称，所以函数y ＝f (x )的图象关于点(1，1)中心对称，所以命题p 1是真命题，﹁p 1是假命题．因为f ′(x )＝2x （x 2－2x ＋2）－x 2（2x －2）（x 2－2x ＋2）2＝－2x 2＋4x
（x 2－2x ＋2）2
.由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2，
所以当0<x <2时，f ′(x )>0，当x >2或x <0时，f ′(x )<0，所以函数f (x )在(0，2)上单调递增，在(－∞，0)，(2，＋∞)上单调递减，所以命题p 2是假命题，﹁p 2是真命题．所以p 1∨p 2，p 1∧(﹁p 2)是真命题，故选B.
5．解析：选A.设质点M ，N 在单位圆上运动，点N 运动的时间为t min ，则由三角函数的定义，得y N ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2＋π6t ＝－cos π6t .因为质点M ，N 间隔 3 min 先后从点P 出发，所以∠MON ＝3×π6＝π
2，所以y M ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π2＋π6t ＋π2＝sin π6t ，所以y M －y N ＝sin π6t ＋cos π6t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π4.当π6t ＋π4＝π2＋2k π(k ∈Z )，即t ＝32＋12k (k ∈Z )时，y M －y N 取得最大值．因为t ≥0，所以当k ＝3时，y M －y N 第4次达到最大值，此时t ＝37.5，故选A.
6．解析：选C.由三视图知，该几何体是由棱长为4的正方体截去一个底面半径为2、高为4的1
4圆锥和一
个底面半径为2、高为4的14圆柱而得到的，所以该几何体的体积V ＝43－14⎝⎛⎭⎫13π×22×4＋π×22×4＝64－16π
3，故选C.
7．解析：选B.由b 2
＋a 2
＋ab －c 2
＝0得b 2
＋a 2
－c 2
＝－ab ，则cos C ＝b 2＋a 2－c 22ab ＝－1
2
，所以C ＝120°，则
A ＋
B ＝60°，所以B ＝60°－A ，所以由正弦定理得
c ·cos （30°－A ）b ＋a ＝sin C cos （30°－A ）
sin A ＋sin B
＝
sin 120°cos （30°－A ）sin A ＋sin （60°－A ）＝sin 120°
⎝⎛⎭⎫32cos A ＋12sin A 32cos A ＋1
2
sin A ＝3
2.故选B.
8．解析：选C.法一：设被检测机器的台数为X ，则X 的所有可能取值为2，3，4.因为P (X ＝2)＝A 2
2A 25＝1
10，
P (X ＝3)＝C 12C 13A 22＋A 33A 35＝310，P (X ＝4)＝C 12A 13A 23C 12
A 4
5＝35，所以E (X )＝2×110＋3×310＋4×35＝72
，所以所需检测费的均值为1 000×7
2
＝3 500(元)，故选C.
法二：设所需检测费为Y 元，则Y 的所有可能取值为2 000，3 000，4 000.因为P (Y ＝2 000)＝A 22
A 25＝110
，P (Y
＝3 000)＝C 12C 13A 22＋A 33A 35＝310，P (Y ＝4 000)＝C 12A 13A 23C 12
A 4
5＝35，所以所需检测费的均值E (Y )＝2 000×110＋3 000×310
＋4 000×3
5
＝3 500(元)，故选C.
9．解析：选D.由2a n a n ＋1＝a 2
n ＋1可得a n ＋1＝a 2
n ＋12a n ，b n ＋1＝a n ＋1－1a n ＋1＋1＝a 2n ＋1
2a n －1a 2n ＋12a n
＋1＝a 2n －2a n ＋1a 2n ＋2a n ＋1＝（a n －1）2（a n ＋1）2
＝
b 2n ，由b n >0且b n ≠1，对b n ＋1＝b 2
n 两边取以10为底的对数，可得lg b n ＋1＝2lg b n ，所以数列{lg b n }是以lg b 1＝
lg 2－12＋1＝lg 13为首项，2为公比的等比数列，所以lg b n ＝2n －1lg 13，b n ＝⎝⎛⎭⎫132n －1
，故数列{b n }是递减数列，故选
D.
10．解析：选C.由题意，知F ⎝⎛⎭⎫p 2，0，则直线AB 的方程为y ＝x －p 2.如图，四边形CMNF 为梯形，且MN ∥FC ，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －p 2，
y 2＝2px ，得y 2－2py －p 2＝0，所以y 1＋y 2＝2p ，所以x 1＋x 2＝y 1＋y 2＋p ＝3p ，所
以x M ＝x 1＋x 22＝3p 2，y M ＝y 1＋y 22＝p .因为MC ⊥AB ，所以k MC ＝－1，所以直线MC 的方程为y －p ＝－⎝⎛⎭⎫x －3p
2，即y ＝－x ＋5p 2，所以x C ＝5p 2，所以四边形CMNF 的面积为12(x M ＋|FC |)·y M ＝12⎝⎛⎭⎫3p
2＋2p ·p ＝7，得p ＝2，所以抛物线E 的方程为y 2＝4x ，故选C.
11．解析：选D.由题意，得BC 2＋BD 2＝CD 2，所以BC ⊥BD ，所以△BCD 为等腰直角三角形．如图，设CD 的中点为O ，则O 为△BCD 的外心，且外接圆半径r ＝4.连接AO ，BO ，因为AC ＝AD ＝25，所以AO ⊥CD ，AO ＝2，又BO ＝4，所以AO 2＋BO 2＝AB 2，所以AO ⊥BO ，所以AO ⊥平面BCD ，所以球心O 1在直线AO 上．设
球O 1的半径为R ，则有r 2＋OO 21＝R 2
，
即16＋(R －2)2＝R 2，解得R ＝5.当球O 2直径最大时，球O 2与平面BCD 相切，且与球O 1内切，此时A ，O ，O 1，O 2四点共线，所以球O 2直径的最大值为R ＋OO 1＝8，故选D.
12．解析：选A.由题意，得f ′(x )＝3(x －a )2－3＝3(x －a ＋1)(x －a －1)．由f ′(x )＝0，得x ＝a ＋1或x ＝a －1，所以当a －1<x <a ＋1时，f ′(x )<0，当x <a －1或x >a ＋1时，f ′(x )>0，所以函数f (x )在(a －1，a ＋1)上单调递减，在(－∞，a －1)，(a ＋1，＋∞)上单调递增．又f (a ＋1)＝－2a －2，f (a －1)＝－2a ＋2.若f (－1)＝－2a －2，即(－1－a )3＋3＋a ＝－2a －2，则a ＝1，此时f (x )＝(x －1)3－3x ＋1，且f (x )＝－4时，x ＝－1或x ＝2；由f (x )＝0，解得x ＝0或x ＝3.因为函数f (x )在[－1，b ]上的值域为[－4，0]，所以0≤b ≤3.若f (－1)>－2a －2，因为a >0，所以a －1>－1，要使函数f (x )在[－1，b ]上的值域为[－2－2a ，0]，需a ＋1≤b ，此时a －1∈[－1，b ]，所以
⎩⎪⎨⎪⎧f （－1）>－2a －2，f （a －1）≤0，即⎩
⎪⎨⎪⎧（－1－a ）3＋3＋a >－2a －2，－2a ＋2≤0，无解．综上所述，b 的取值范围是[0，3]，故选A. 13．解析：由正弦定理及3(a cos C －c cos A )＝b ，得3(sin A cos C －sin C cos A )＝sin B ，所以3sin(A －C )＝sin B ，由B ＝60°，得sin B ＝32，所以sin(A －C )＝1
2
.又A －C ＝120°－2C ∈(－120°，120°)，所以A －C ＝30°，又A ＋C ＝120°，所以A ＝75°.
答案：75°
14．解析：通过观察可得每群的第1个数1，2，4，8，16，…，构成以1为首项，2为公比的等比数列，所以第n 群的第1个数是2n －
1，第n 群的第2个数是3×2n －
2，…，第n 群的第n －1个数是(2n －3)×21，第n
群的第n 个数是(2n －1)×20，所以第n 群的所有数之和为2n －
1＋3×2n －
2＋…＋(2n －3)×21＋(2n －1)×20，根
据错位相减法求其和为3×2n －2n －3.
答案：3×2n －2n －3
15．解析：由已知及双曲线与圆的对称性，知△APQ 为等边三角形，且∠P AF ＝30°.又|PF |＝|AF |＝a ＋c ，所以∠AFP ＝120°.设双曲线的左焦点为F ′，连接PF ′，由双曲线的定义，知|PF ′|－|PF |＝2a ，所以|PF ′|＝2a ＋|PF |＝3a ＋c .在△PF ′F 中，由余弦定理，得|PF ′|2＝|PF |2＋|F ′F |2－2|PF ||F ′F |·cos ∠AFP ，即(3a ＋c )2＝(a ＋c )2＋(2c )2－2×(a ＋c )×2c ×cos 120°，整理得3c 2－ac －4a 2＝0，即3e 2－e －4＝0，解得e ＝－1(舍去)或e ＝43
.
答案：43
16．解析：设∠BAC ＝α，∠ABD ＝β(β∈(0，π))，则∠ABC ＝β＋π
2.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2
＋AC 2－2AB ·AC cos α＝6－25cos α，由正弦定理，得BC
sin α
＝
AC sin ⎝⎛⎭
⎫β＋π2，即BC ＝
5sin α
cos β
.在△ABD 中，由余弦定理，得AD 2＝AB 2＋DB 2－2AB ·DB cos β＝1＋4BC 2－4BC cos β＝1＋4(6－25cos α)－4·
5sin α
cos β
·cos β＝25－85·cos α－45sin α＝25－20sin(α＋θ)(其中sin θ＝255，cos θ＝55)，所以当sin(α＋θ)＝1，即sin α＝55，cos
α＝25
5
时，AD 2取得最小值5，所以AD 的最小值为 5.
答案： 5。