2021届浙江省高考数学一轮：第七章第1节 等差数列与等比数列
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(3)若{an}为等差数列，Sn 为前 n 项和，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等差数列， 公差为 n2d.
(4)若等差数列{an}的前 n 项为 Sn，则Snn也是等差数列.
4.等差数列的通项公式、求和公式与函数的关系 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当 d≠0 时，等差数列的通项公式是 关于 n 的一次函数；当 d＝0 时，等差数列的通项公式是常数函数. (2)求和公式：Sn＝d2n2＋a1－d2n，当 d≠0 时，等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数，且常数项为 0；当 d＝0 时，等差数列的前 n 项和公式为 Sn＝na1.
第1节 等差数列与等比数列
考试要求 1.理解等差数列、等比数列的概念；2.掌握等差数列、等比数列的通项公 式与前n项和公式；3.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
知识梳理 1.等差数列的定义
(1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差 ，通常用字 母 d 表示. (2)等差中项：如果 a，A，b成等差数列 ，那么A叫做a与b的公式不是n的一次函数. (2)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数. (3)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列. (4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋n（n－2 1）×2＝n2－4n.故选 A. 答案 A
5.(2020·浙江“超级全能生”联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题： “三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次 日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走， 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第 一天走的路程为________里，后三天一共走________里.
(3)若{an}为等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列， 公比为qn(当公比q＝－1，n不能取正偶数).
[常用结论与易错提醒] 1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应
注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列. 2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数. 3.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 4.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽
5.等比数列的定义 (1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一 常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，通常用字 母 q 表示(q≠0). (2)等比中项：如果 a，G，b成等比数列 ，那么G叫做a与b的等比中项.
6.等比数列的通项公式及求和公式 如果等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，那么它的通项公式是 an＝ a1·qn－1，其
前 n 项和是 Sn，则
(1)当 q＝1 时，Sn＝ na1 .
a1（1－qn）
a1－anq
(2)当 q≠1 时，Sn＝ 1－q
或 Sn＝ 1－q
.
7.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m (n，m∈N*). (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. 特别地，当k＋l＝2m(k，l，m∈N*)时，则 ak·al＝a2m .
4.(2019·全国Ⅰ卷)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.已知 S4＝0，a5＝5，则( )
A.an＝2n－5
B.an＝3n－10
C.Sn＝2n2－8n
D.Sn＝12n2－2n
解析 设首项为 a1，公差为 d.由 S4＝0，a5＝5 可得a41a＋1＋4d6＝d＝5，0，解得ad1＝＝2－. 3，所以
2.等差数列的通项公式及求和公式
如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 an＝ a1＋(n－1)d ，
n（a1＋an）
其前 n 项和是 Sn＝
2
或 Sn＝ na1＋n（n－2 1）d
.
3.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an . 特别地，当 k＋l＝2m(k，l，m∈N*)时，则 ak＋al＝2am .
2.在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( )
A.－1
B.0
C.1
D.6
解析 由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B. 答案 B
3.已知公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为( )
A.8
B.9
C.10
D.11
解析 由题意得2a5a6＝18，∴a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10，故选C. 答案 C
解析 由题可知这六天中每天走的路程数组成公比为12的等比数列，设第一天走 x 里， 则x11－－12216＝378，解得 x＝192，即该人第一天走的路程是 192 里；后三天共走了 192× 123＋192×124＋192×125＝42(里). 答案 192 42
略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
诊断自测 1.判断下列说法的正误.
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( ) (2)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( ) (3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( ) (4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.( )
(4)若等差数列{an}的前 n 项为 Sn，则Snn也是等差数列.
4.等差数列的通项公式、求和公式与函数的关系 (1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，当 d≠0 时，等差数列的通项公式是 关于 n 的一次函数；当 d＝0 时，等差数列的通项公式是常数函数. (2)求和公式：Sn＝d2n2＋a1－d2n，当 d≠0 时，等差数列的前 n 项和公式是关于 n 的二次函数，且常数项为 0；当 d＝0 时，等差数列的前 n 项和公式为 Sn＝na1.
第1节 等差数列与等比数列
考试要求 1.理解等差数列、等比数列的概念；2.掌握等差数列、等比数列的通项公 式与前n项和公式；3.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.
知识梳理 1.等差数列的定义
(1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一 常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的 公差 ，通常用字 母 d 表示. (2)等差中项：如果 a，A，b成等差数列 ，那么A叫做a与b的公式不是n的一次函数. (2)若公差d＝0，则前n项和不是n的二次函数. (3)若a＝0，b＝0，c＝0满足b2＝ac，但a，b，c不成等比数列. (4)若a1＝1，q＝－1，则S4＝0，S8－S4＝0，S12－S8＝0，不成等比数列. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
an＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝n×(－3)＋n（n－2 1）×2＝n2－4n.故选 A. 答案 A
5.(2020·浙江“超级全能生”联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题： “三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次 日行里数，请公仔细算相还.”其大意为：“有一个人走378里路，第一天健步行走， 从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地.”则该人第 一天走的路程为________里，后三天一共走________里.
(3)若{an}为等比数列，Sn为前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…也成等比数列， 公比为qn(当公比q＝－1，n不能取正偶数).
[常用结论与易错提醒] 1.用定义法证明等差数列应注意“从第2项起”，如证明了an＋1－an＝d(n≥2)时，应
注意验证a2－a1是否等于d，若a2－a1≠d，则数列{an}不为等差数列. 2.利用二次函数性质求等差数列前n项和最值时，一定要注意自变量n是正整数. 3.由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0. 4.在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽
5.等比数列的定义 (1)定义：一般地，如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的比等于同一 常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的 公比 ，通常用字 母 q 表示(q≠0). (2)等比中项：如果 a，G，b成等比数列 ，那么G叫做a与b的等比中项.
6.等比数列的通项公式及求和公式 如果等比数列{an}的首项为 a1，公比为 q，那么它的通项公式是 an＝ a1·qn－1，其
前 n 项和是 Sn，则
(1)当 q＝1 时，Sn＝ na1 .
a1（1－qn）
a1－anq
(2)当 q≠1 时，Sn＝ 1－q
或 Sn＝ 1－q
.
7.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m (n，m∈N*). (2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. 特别地，当k＋l＝2m(k，l，m∈N*)时，则 ak·al＝a2m .
4.(2019·全国Ⅰ卷)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和.已知 S4＝0，a5＝5，则( )
A.an＝2n－5
B.an＝3n－10
C.Sn＝2n2－8n
D.Sn＝12n2－2n
解析 设首项为 a1，公差为 d.由 S4＝0，a5＝5 可得a41a＋1＋4d6＝d＝5，0，解得ad1＝＝2－. 3，所以
2.等差数列的通项公式及求和公式
如果等差数列{an}的首项为 a1，公差为 d，那么它的通项公式是 an＝ a1＋(n－1)d ，
n（a1＋an）
其前 n 项和是 Sn＝
2
或 Sn＝ na1＋n（n－2 1）d
.
3.等差数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am＋ (n－m)d (n，m∈N*). (2)若{an}为等差数列，且 k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an . 特别地，当 k＋l＝2m(k，l，m∈N*)时，则 ak＋al＝2am .
2.在等差数列{an}中，若a2＝4，a4＝2，则a6＝( )
A.－1
B.0
C.1
D.6
解析 由等差数列的性质，得a6＝2a4－a2＝2×2－4＝0，选B. 答案 B
3.已知公比不为1的等比数列{an}满足a5a6＋a4a7＝18，若a1am＝9，则m的值为( )
A.8
B.9
C.10
D.11
解析 由题意得2a5a6＝18，∴a5a6＝9，∴a1am＝a5a6＝9，∴m＝10，故选C. 答案 C
解析 由题可知这六天中每天走的路程数组成公比为12的等比数列，设第一天走 x 里， 则x11－－12216＝378，解得 x＝192，即该人第一天走的路程是 192 里；后三天共走了 192× 123＋192×124＋192×125＝42(里). 答案 192 42
略q＝1这一特殊情形而导致解题失误.
诊断自测 1.判断下列说法的正误.
(1)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数.( ) (2)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.( ) (3)三个数a，b，c成等比数列的充要条件是b2＝ac.( ) (4)数列{an}为等比数列，则S4，S8－S4，S12－S8成等比数列.( )