2019年高中三年级数学下期中一模试题附答案

2019年高中三年级数学下期中一模试题附答案
一、选择题
1．已知数列{}n a 的前n 项和2
n S n =，()1n
n n b a =-则数列{}n b 的前n 项和n T 满足
（ ） A ．()1n
n T n =-⨯ B ．n T n = C ．n T n =-
D ．,2,.
n n n T n n ⎧=⎨
-⎩为偶数，
为奇数
2．若直线()100,0ax by a b ++=>>把圆()()2
2
4116x y +++=分成面积相等的两部分，则
12
2a b
+的最小值为( ) A ．10
B ．8
C ．5
D ．4
3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(,3)n n S +*()n N ∈在函数32x
y =⨯的图象上，等
比数列{}n b 满足1n n n b b a ++=*
()n N ∈，其前n 项和为n T ，则下列结论正确的是（ ）
A ．2n n S T =
B ．21n n T b =+
C ．n n T a >
D ．1n n T b +<
4．设x y ，满足约束条件10102
x y x y y -+≤⎧⎪+-⎨⎪≤⎩
＞，则y
x 的取值范围是（ ）
A ．()[),22,-∞-+∞U
B ．(]2,2-
C ．(][),22,-∞-+∞U
D ．[]22-,
5．若a 、b 、c >0且a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－23，则2a ＋b ＋c 的最小值为( ) A ． 3－1 B ． 3＋1 C ．23＋2
D ．23－2
6．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为a ，b ，c ．若ABC ∆为锐角三角形，且满足sin (12cos )2sin cos cos sin B C A C A C +=+，则下列等式成立的是（ ）
A ．2a b =
B ．2b a =
C ．2A B =
D ．2B A =
7．若函数1
()(2)2
f x x x x =+>-在x a =处取最小值，则a 等于（ ） A ．3
B ．13+
C ．12+
D ．4
8．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7
B ．5
C ．5-
D ．7-
9．某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为
和
，第一排和最后一排
的距离为56
秒，要使国歌结束时国旗刚好升到旗杆顶部，升旗手升旗的速度应为
()（米 /秒）
A ．
110
B ．
310
C ．
12
D ．
710
10．在ABC V 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，若
(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，则ABC V 的形状为（）
A ．等腰三角形
B ．直角三角形
C ．等腰直角三角形
D ．等腰三角形或直角三角形
11．已知x ，y 满足条件0
{20
x y x
x y k ≥≤++≤(k 为常数)，若目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，则k ＝( ) A ．－16
B ．－6
C ．-83
D ．6
12．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，且满足21,,n n n S S S ++成等差数列，则3a 等于( ) A ．
12
B ．12
-
C ．
14
D ．14
-
二、填空题
13．数列{}n a 满足14a =，12n
n n a a +=+，*n N ∈，则数列{}n a 的通项公式n a =______.
14．已知函数1
()f x x x
=-
，数列{}n a 是公比大于0的等比数列，且61a =，1239101()()()()()f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-，则1a =_______.
15．已知0,0a b >>，且20a b +=，则lg lg a b +的最大值为_____．
16．设122012(1)(1)(1)n n
n x x x a a x a x a x ++++++=++++L L ，其中n *∈N ，且
2n ≥，若0121022n a a a a ++++=L ，则n =_____
17．若数列{}n a 满足11a =，()
()11132n
n n n a a -+-+=⋅ ()*n N ∈，数列{}n b 的通项公式
()()
1
12
121n n n
n a b ++=
-- ，则数列{}n b 的前10项和10S =___________
18．已知数列{}n a 中，11a =，且111
3()n n
n N a a *+=+∈，则10a =__________.（用数字作答）
19．若数列{}n a 通项公式是12,12
3,3
n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ，则lim n n S →∞
=______. 20．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则
n
a n
的最小值为__________. 三、解答题
21．在平面内，将一个图形绕一点按某个方向转动一个角度，这样的运动叫做图形的旋转，如图，小卢利用图形的旋转设计某次活动的徽标，他将边长为a 的正三角形ABC 绕其中心O 逆时针旋转θ到三角形A 1B 1C 1，且20,3
πθ⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
.顺次连结A ，A 1，B ，B 1，C ，C 1，A ，得到六边形徽标AA 1BB 1CC 1 .
(1)当θ＝
6
π
时，求六边形徽标的面积； (2)求六边形徽标的周长的最大值.
22．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4133
n n S a =-. （1）求{}n a 的通项公式；
（2）若1n b n =+，求数列{}n n a b 的前n 项和n T . 23．已知数列{}n a 的首项123a =
，且当2n ≥时，满足12313
12
n n a a a a a -++++=-L ． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若2
n n n
b a =
，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求n T ． 24．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ()
3cos 23cos a C b c A =
(Ⅰ)求角A 的大小；
(Ⅱ)若2a =，求ABC V 面积的最大值．
25．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，1
4cos a C a
+=，1b =. （1）若90A ∠=︒，求ABC V 的面积； （2）若ABC V
a ，c . 26．已知点（1，2）是函数()(0,1)x
f x a a a =>≠的图象上一点，数列{}n a 的前n 项和是()1n S f n =-.
（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）若1log n a n b a +=，求数列{}n n a b •的前n 项和n T
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一、选择题 1．A 解析：A 【解析】 【分析】
先根据2
n S n =,求出数列{}n a 的通项公式,然后利用错位相减法求出{}n b 的前n 项和n T .
【详解】
解:∵2
n S n =,∴当1n =时,111a S ==;
当2n ≥时,()2
21121n n n a S S n n n -=-=--=-, 又当1n =时,11a =符合上式,∴21n a n =-, ∴()()
()1121n
n
n n b a n =-=--,
∴()()()()
()12
3
113151121n
n T n =⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--①,
∴()()()()
()2
3
4
1
113151121n n T n +-=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+--②,
①-②,得()()()()()()23412121111211n n n T n +⎡⎤=-+⨯-+-+-+⋅⋅⋅+---⨯-⎣⎦
()
()()
()()()
2
11111122112111n n n n n -+⎡⎤
---⎣⎦=-+⨯
--⨯-=---,
∴()1n
n T n =-,
∴数列{}n b 的前n 项和()1n
n T n =-.
故选:A .
本题考查了根据数列的前n 项和求通项公式和错位相减法求数列的前n 项和,考查了计算能力,属中档题.
2．B
解析：B 【解析】 【分析】
由于直线将圆平分，故直线过圆的圆心，将圆心坐标代入直线方程，利用“1”的代换的方法以及基本不等式，求得所求和的最小值. 【详解】
圆的圆心为()4,1--，由于直线将圆平分，故直线过圆心，即410a b --+=，即
41a b +=，故
()121284448222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+= ⎪⎝⎭，当且仅当
82b a
a b =，即11,82
a b ==时，取得最小值为8.故选B. 【点睛】
本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查利用“1”的代换和基本不等式求解和式的最小值问题.直线能将圆平分成面积相等的两个部分，则这条直线是经过圆心的.要注意的是，圆的标准方程是()()2
2
2x a y b r -+-=，圆心是(),a b ，所以本题的圆心是()4,1--，而不是
()4,1.
3．D
解析：D 【解析】 【分析】 【详解】
由题意可得：332,323n n
n n S S +=⨯=⨯- ，
由等比数列前n 项和的特点可得数列{}n a 是首项为3，公比为2的等比数列，数列的通项
公式：1
32n n a -=⨯ ，
设11n n
b b q -= ，则：111132n n n b q b q --+=⨯ ，解得：11,2b q == ，
数列{}n b 的通项公式12n n
b -= ，
由等比数列求和公式有：21n
n T =- ，考查所给的选项：
13,21,,n n n n n n n n S T T b T a T b +==-<< .
本题选择D 选项.
4．A
解析：A
【分析】
根据题意，作出可行域，分析y
x
的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，根据图象即可求解. 【详解】
作出约束条件表示的可行域，如图所示，
y
x 的几何意义是可行域内的点(),x y 与原点O 连线的斜率，由102x y y -+=⎧⎨=⎩
，得点A 的
坐标为()1,2，所以2OA k =，同理，2OB k =-， 所以
y
x
的取值范围是()[),22,-∞-+∞U . 故选：A 【点睛】
本题考查简单的线性规划，考查斜率型目标函数问题，考查数形结合思想，属于中等题型.
5．D
解析：D 【解析】
由a (a ＋b ＋c )＋bc ＝4－3， 得(a ＋c )·(a ＋b )＝4－3 ∵a 、b 、c >0.
∴(a ＋c )·(a ＋b )≤2
2b c 2a ++⎛⎫ ⎪
⎝⎭
(当且仅当a ＋c ＝b ＋a ，即b ＝c 时取“＝”)，
∴2a ＋b ＋c 423－＝31)＝3－2. 故选：D
点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误
6．A
解析：A 【解析】
sin()2sin cos 2sin cos cos sin A C B C A C A C ++=+
所以2sin cos sin cos 2sin sin 2B C A C B A b a =⇒=⇒=，选A.
【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到
2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 7．A 解析：A 【解析】 【分析】
将函数()y f x =的解析式配凑为()()1
222
f x x x =-+
+-，再利用基本不等式求出该函数的最小值，利用等号成立得出相应的x 值，可得出a 的值. 【详解】
当2x >时，20x ->，则()()
11
22222
f x x x x x =+=-++≥-- 4=， 当且仅当()1
222
x x x -=>-时，即当3x =时，等号成立，因此，3a =，故选A. 【点睛】
本题考查基本不等式等号成立的条件，利用基本不等式要对代数式进行配凑，注意“一正、二定、三相等”这三个条件的应用，考查计算能力，属于中等题.
8．D
解析：D 【解析】 【分析】
由条件可得47a a ，的值，进而由27104a a a =和2
417
a a a =可得解.
【详解】
56474747822,4a a a a a a a a ==-+=∴=-=Q 或474,2a a ==-.
由等比数列性质可知
2274101478,1a a a a a a ==-==或22
7410147
1,8a a a a a a ====-
1107a a ∴+=-
故选D. 【点睛】
本题主要考查了等比数列的下标的性质，属于中档题.
9．B
【解析】
试题分析： 如下图：
由已知，在ABC ∆中，105,45,56ABC ACB BC ∠=∠==o o ,从而可得：30BAC ∠=o 由正弦定理，得：
56
sin 45AB =o 103AB ∴=
那么在Rt ADB ∆中，60ABD o ∠=,3
sin 60103152
AD AB ∴===o ， 即旗杆高度为15米，由3155010÷=，知：升旗手升旗的速度应为3
10
（米 /秒）. 故选B ．
考点：解三角形在实际问题中的应用．
10．D
解析：D 【解析】 【分析】
由正弦定理化简(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅，得到sin 2sin 20B A -=，由此得到三角形是等腰或直角三角形，得到答案． 【详解】
由题意知，(cos )sin (cos )sin a c B B b c A A -⋅⋅=-⋅⋅， 结合正弦定理，化简可得(cos )(cos )a c B b b c A a -⋅⋅=-⋅⋅， 所以cos cos 0a A b B -=，则sin cos sin cos 0B B A A -=， 所以sin 2sin 20B A -=，得22B A =或22180B A +=o ， 所以三角形是等腰或直角三角形． 故选D ． 【点睛】
本题考查了正弦定理和余弦定理在解三角形中的应用．在解三角形问题中经常把边的问题转化成角的正弦或余弦函数，利用三角函数的关系来解决问题，属于基础题．
11．B
【解析】 【分析】 【详解】
由z ＝x ＋3y 得y ＝－13x ＋3
z
，先作出0{x y x ≥≤的图象，如图所示，
因为目标函数z ＝x ＋3y 的最大值为8，所以x ＋3y ＝8与直线y ＝x 的交点为C ，解得C (2,2)，代入直线2x ＋y ＋k ＝0，得k ＝－6.
12．C
解析：C 【解析】
试题分析：由21,,n n n S S S ++成等差数列可得，212n n n n S S S S +++-=-，即
122n n n a a a ++++=-，也就是2112n n a a ++=-，所以等比数列{}n a 的公比1
2q =-，从而
223111
1()24
a a q ==⨯-=，故选C.
考点：1.等差数列的定义；2.等比数列的通项公式及其前n 项和.
二、填空题
13．【解析】【分析】由题意得出利用累加法可求出【详解】数列满足因此故答案为：【点睛】本题考查利用累加法求数列的通项解题时要注意累加法对数列递推公式的要求考查计算能力属于中等题 解析：22n +
【解析】 【分析】
由题意得出12n
n n a a +-=，利用累加法可求出n a .
【详解】
数列{}n a 满足14a =，12n n n a a +=+，*n N ∈，12n
n n a a +∴-=，
因此，
()()()21
1213214222n n n n a a a a a a a a --=+-+-++-=++++L L
()121242212
n n --=+
=+-.
故答案为：22n +. 【点睛】
本题考查利用累加法求数列的通项，解题时要注意累加法对数列递推公式的要求，考查计算能力，属于中等题.
14．【解析】【分析】由于是等比数列所以也是等比数列根据题目所给条件列方程解方程求得的值【详解】设数列的公比为则是首项为公比为的等比数列由得即①由得②联立①②解得【点睛】本小题主要考查等比数列的性质考查等
解析：
2
【解析】 【分析】
由于{}n a 是等比数列，所以1n a ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
也是等比数列.根据题目所给条件列方程，解方程求得1
a 的值. 【详解】
设数列{}n a 的公比为0q >，则1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭
是首项为11a ，公比为1
q 的等比数列，由
()()()()()1239101f a f a f a f a f a a +++⋅⋅⋅++=-得
1210112
10111a a a a a a a ⎛⎫+++-+++=- ⎪⎝⎭L L ，即()1010111
1111111a q a q a q q
⎛⎫
-
⎪-⎝⎭-=---①，由61a =，得511a q =
②，联立①②解得1a =
. 【点睛】
本小题主要考查等比数列的性质，考查等比数列的前n 项和公式，考查运算求解能力，属于中档题.
15．【解析】【分析】由为定值运用均值不等式求的最大值即可【详解】当且仅当时等号成立即而当且仅当时等号成立故的最大值为2故答案为：2【点睛】本题主要考查了基本不等值求积的最大值对数的运算属于中档题 解析：2
【解析】 【分析】
由0,0a b >>，20a b +=为定值，运用均值不等式求ab 的最大值即可.
【详解】
0,0a b ∴>>,20a b +=,
20a b ∴=+≥当且仅当10a b ==时，等号成立，
即100ab ≤，
而lg lg lg lg1002a b ab +=≤=，当且仅当10a b ==时，等号成立，
故lg lg a b +的最大值为2，
故答案为：2
【点睛】
本题主要考查了基本不等值求积的最大值，对数的运算，属于中档题.
16．9【解析】【分析】记函数利用等比数列求和公式即可求解【详解】由题：记函数即故答案为：9【点睛】此题考查多项式系数之和问题常用赋值法整体代入求解体现出转化与化归思想
解析：9
【解析】
【分析】
记函数122012()(1)(1)(1)n n n f x x x x a a x a x a x =++++++=++++L L ，
012222(1)2n n f a a a a =+++=++++L L ，利用等比数列求和公式即可求解.
【详解】
由题：记函数212012()(1)(1)(1)n n n f x a a x a x a x x x x =++++=++++++L L ，
021222(12)(21)212n n
n f a a a a -=++++++=-=+L L ， 即1221022n +-=，12
1024,9n n +==
故答案为：9
【点睛】 此题考查多项式系数之和问题，常用赋值法整体代入求解，体现出转化与化归思想. 17．【解析】【分析】对于当n=1代入得-4依次得发现规律利用求出【详解】由当n=1代入得-4依次得发现规律利用得b=-求出故答案为【点睛】本题考查的是在数列中给了递推公式不好求通项公式时可以列举几项再发 解析：20462047-
【解析】
【分析】
对于()()11132n n n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得345a =10a =-22a =46...，，发现规律， 利用()()112121n n n n a b ++=
--，求出10S .
【详解】
由()()11132n n n n a a -+-+=⋅，当n=1，代入得2a =-4,依次得
2345634567a =32-2a =-32+2a =32-2a =-32+2a =32-2...⨯⨯⨯⨯⨯，，，，发现规律， 利用()()112121n n n n a b ++=--，得b 1=-
43 ，234510224694b =b =-b =b =-...3771515313163⨯⨯⨯⨯，，， ，求出1020462047
S =-. 故答案为20462047-
【点睛】
本题考查的是在数列中，给了递推公式不好求通项公式时，可以列举几项再发现规律，求出题中要求的前10项和，属于中档题.
18．【解析】【分析】由得为等差数列求得通项公式则可求【详解】则为以首项为1公差为3的等差数列则故答案为：【点睛】本题考查等差数列的定义及通项公式意在考查计算能力是基础题 解析：128
【解析】
【分析】 由1113()n n n N a a *+=+∈得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩为等差数列，求得1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩
通项公式，则10a 可求 【详解】
1113()n n n N a a *+=+∈则1n a ⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎭⎩
为以首项为1，公差为3的等差数列，则 ()10111313228
n n n a a =+-=-∴= 故答案为：
128
【点睛】
本题考查等差数列的定义及通项公式，意在考查计算能力，是基础题 19．【解析】【分析】利用无穷等比数列的求和公式即可得出结论【详解】数列通项公式是前项和为当时数列是等比数列故答案为：【点睛】本题主要考查的是数列极限求出数列的和是关键考查等比数列前项和公式的应用是基础题 解析：
5518
. 【解析】
【分析】
利用无穷等比数列的求和公式，即可得出结论.
【详解】
Q 数列{}n a 通项公式是12,123,3
n n n n a n --⎧≤≤=⎨≥⎩，前n 项和为n S ， 当3n ≥时，数列{}n a 是等比数列，
331112731115531123118183182313n n n n S --⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎛⎫⎛⎫⎝⎭=++=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
-， 5531lim 5518218l m 3i n n n n S →∞→∞⎡⎤⎛⎫-=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
=. 故答案为：
5518
. 【点睛】
本题主要考查的是数列极限，求出数列的和是关键，考查等比数列前n 项和公式的应用，是基础题. 20．【解析】【分析】先利用累加法求出an ＝33+n2﹣n 所以设f （n ）由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值借此能得到的最小值【详解】解：∵an+1﹣an ＝2n ∴当n≥2时an ＝（an ﹣an ﹣1）+（a 解析：212
【解析】
【分析】
先利用累加法求出a n ＝33+n 2﹣n ，所以331n a n n n =+-，设f （n ）331n n
=+-，由此能导出n ＝5或6时f （n ）有最小值．借此能得到
n a n 的最小值． 【详解】
解：∵a n +1﹣a n ＝2n ，∴当n ≥2时，a n ＝（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1＝2[1+2+…+（n ﹣1）]+33＝n 2﹣n +33
且对n ＝1也适合，所以a n ＝n 2﹣n +33． 从而331n a n n n
=+- 设f （n ）331n n =
+-，令f ′（n ）23310n -=+＞， 则f （n
）在)+∞
上是单调递增，在(0上是递减的， 因为n ∈N +，所以当n ＝5或6时f （n ）有最小值．
又因为
55355a =，66321662a ==， 所以n a n 的最小值为62162
a = 故答案为
212
【点睛】 本题考查了利用递推公式求数列的通项公式，考查了累加法．还考查函数的思想，构造函数利用导数判断函数单调性．
三、解答题
21．(1)
234
a ；(2) 【解析】
【分析】 （1）连接OB ,则1
23AOB πθ∠=-,由等边三角形ABC 的边长为a ,可得
3
OA OB a ==,再利用三角形面积公式求解即可； （2）根据三角形的对称性可得
12sin sin 232AA OA a θ
θ==,112sin sin 3232222A B OB πθθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则周长为关于θ的函数,进而求得最值即可
【详解】
（1）Q 等边三角形ABC 的边长为a ,
OA OB ∴==, 连接OB ,123
AOB πθ∴∠=-,
22123sin sin sin 2326S OA ππθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫∴=⨯+-=+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣
⎦, ∴当6π
θ=时,六边形徽标的面积为234
S a =
（2）在1AOA V 中,12sin sin 232
AA OA a θ
θ==,
在1BOA V 中,112sin cos sin 3232222A B OB a πθθθ⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
,
设周长为()f q ,则()()113sin 23f AA A B θπθ⎛⎫=+=+
⎪⎝⎭,20,3θπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,
当且仅当232θ
π
π
+=,即3π
θ=时,()max f θ=
【点睛】
本题考查三角形面积的应用,考查正弦型函数的最值问题,考查三角函数在几何中的应用,考查数形结合思想
22．（1）14
n n a -=（2）322499n n n T +=⨯- 【解析】
【分析】
（1）利用公式1n n n a S S -=-代入计算得到答案.
（2）先计算得到()114n n n
a b n -=+⨯，再利用错位相减法计算得到答案. 【详解】
（1）因为4133n n S a =-，所以()1141233
n n S a n --=-≥， 所以当2n ≥时，14433
n n n a a a -=
-，即14n n a a -=， 当1n =时，114133S a =-，所以11a =， 所以14
n n a -=. （2）()114n n n
a b n -=+⨯， 于是()01221243444414n n n T n n --=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，①
()12314243444414n n n T n n -=⨯+⨯+⨯++⨯++⨯L ，②
由①-②，得()121223244414433n n n n T n n -⎛⎫-=++++-+⨯=-+⨯ ⎪⎝⎭
L ， 所以322499
n n n T +=
⨯-. 【点睛】 本题考查了数列的通项公式，利用错位相减法计算数列的前n 项和，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用.
23．（1）23n n a =
（2）3231443
n n n T +=-⋅ 【解析】
【分析】
（1）由题可得1231312n n a a a a a +++++=-
L ,与已知作差可得13322n n n a a a +-=-+,整理可得113
n n a a +=,进而利用等比数列的通项公式求解即可； （2）由（1）可得23
n n n n n b a =
⋅=,利用错位相减法求和即可. 【详解】 解:（1）当2n ≥时,由1231312n n a a a a a -++++=-
L , 则1231312n n a a a a a +++++=-
L , 两式相减得13322
n n n a a a +-=-+, 即
11322
n n a a +=, ∴113n n a a +=, 当2n =时,由12312a a =-
,得229a =, ∴2113
a a =, 综上,对任意1n ≥,
113n n a a +=, ∴{}n a 是以
23为首项,13为公比的等比数列, ∴23
n n a =. （2）由（1）23n n n n n b a =
⋅=, ∴231111233333
n n T n =+⋅+⋅++⋅L , 2311111112(1)33333
n n n T n n +=⋅+⋅++-⋅+⋅L , ∴231211111333333
n n x T n +=++++-⋅L 1111233n n n +⎛⎫=
-- ⎪⎝⎭, 则3231443
n n n T +=-⋅
【点睛】
本题考查了根据数列的递推公式求解数列通项,考查等比数列通项公式的应用,考查利用错位相消求解数列前n 项和.
24．（Ⅰ）
6π；（Ⅱ）2+. 【解析】
分析：（12sin cos B B A =．
（2）由余弦定理2222cos a b c bc A =+-结合基本不等式进行求解．
cos 2sin cos cos A C B A C A =
()2sin cos A C B A +=2sin cos B B A =
又B 为三角形内角，所以sin 0B ≠，于是cos A =
又A 为三角形内角，所以6A π
=．
（Ⅱ）由余弦定理：2222cos a b c bc A =+-得：22422b c bc =+-≥，
所以(42bc ≤+，所以1sin 22
S bc A ==. 点睛：本题主要考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式和基本不等式的应用，属于中档题．
25．（1）
2
；（2）a =2c =. 【解析】
【分析】 （1）已知14cos a C a
+
= ,根据余弦定理和勾股定理等已知条件，可求得a 与c 的值，应用三角形面积公式，可求得三角形面积；
（2）根据三角形面积公式，得sinC,根据14cos a C a
+=，得cosC ，代入sin 2C+cos 2C=1，得关于a 的方程，解方程即可.
【详解】 （1）∵14cos a C a += ()
222222142a c a b c ab a +-+-=⨯=，∴2221c a =+. 又∵90A ∠=︒，∴22221a b c c =+=+.
∴222212c a c =+=+，∴c =a =
∴111sin 12222
ABC S bc A bc ===⨯=V .
（2
）∵11sin sin 222ABC S ab C a C =
==V
，∴sin C a =. ∵14cos a C a +=
，sin C =，
∴2
21114a a ⎡⎤⎛⎫++= ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦⎝⎭，化简得()2270a -=，
∴a =2c =.
【点睛】
正弦定理和余弦定理可将已知条件中的边、角关系转化为角或边的关系；三角形面积公式S=
111absin bcsin acsin 222
C A B == 中既含有角，又含有边，可与正弦定理和余弦定理联系起来，为解三角形提供条件. 26．（1）a n ＝2
n －1；（2）T n ＝(n －1)2n
＋1. 【解析】
【分析】
（1）由点（1,2）在()x f x a =图像上求出2a =，再利用n S 法求出n a ． （2）利用错位相减法求和，注意相减时项的符号，求和时项数的确定．
【详解】
(1)把点(1,2)代入函数f (x )＝a x 得a ＝2，
所以数列{a n }的前n 项和为S n ＝f (n )－1＝2n －1.
当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －2
n －1＝2n －1，对n ＝1时也适合，
∴a n ＝2n －1.
(2)由a ＝2，b n ＝log a a n ＋1得b n ＝n ，
所以a n b n ＝n ·2n －1. T n ＝1·20＋2·21＋3·22＋…＋n ·2n －1，①
2T n ＝1·21＋2·22＋3·23＋…＋(n －1)·2
n －1＋n ·2n .② 由①－②得：－T n ＝20＋21＋22＋…＋2n －1－n ·2n ， 所以T n ＝(n －1)2n ＋1.
【点睛】
（1）主要考查了n S 法求通项公式，即11(1)(2)n n
n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ （2）用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.。