苏教版高中数学选修(1-1)-2.3《双曲线的几何性质》教学课件2

顶
点 （ a，0）和（0， b） （0， a）和（ b，0）
离心率
e c a
0 e 1
双曲线 x2 y2 1(a 0,b 0)的几何性质： a2 b2
1、范围：
x

a或 x

a
左支
2、对称性：
右支
关于x轴、y轴和原点对称
3、顶点：
A1 ( a,0)和 A（2 a，0）
49 25
练例习2：2.求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在x轴上，两顶点的距离是8，e 5
4 （2）焦点在y轴，焦距是16，e 4
3
解析：用待定系数法，先根据题意设出双曲线的标准方 程，再由题目中给出的信息列关系式求解未知数。
例3：求经过点A（3，-1），并且对称轴都在坐标轴上的 等轴双曲线的方程。
解：原方程化为标准方程可得：
y2 x2 1 42 32
a 4 b 3 c a2 b2 5
焦点坐标为（0， 5）、（0，5）
e c 5 x3y y4x
a4
4
3
利用直线x=±a和y=±b所围成的矩形，先画出双曲线 的两条渐近线，就可以画出双曲线的草图。
练习1.求下列双曲线的实半轴长、虚半轴长、 半焦距、顶点和焦点坐标、离心率、渐近线方程。 （1）x2 8 y2 32 （2）9x2 y2 81 （3）x2 y2 4 （4）x2 y2 1
解析：本题主要考察等轴双曲线的定义。用待定系数法 设出方程，带点求解未知数。
练习：
课堂小结：
1.与椭圆类比，探索双曲线的几何性质. 2.通过方程研究双曲线的几何性质，用待定系数法
求双曲线的标准方程。
椭圆几何性质回顾：
椭
圆
x2 a2

y2 b2
1
y2 a2

x2 b2
1
F1
图
象
F1
F 2
F 2
范
围 a x a， b y b
b x b， a y a
对称性
关于x轴、y轴、和原点对称
2 a 、 2 b 、 2 c 2a为长轴长，2b为短轴长，2c为焦距
ybx a
F2
B1
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线
x2 a2

y2 a2
1
即x2 y2 a2
y x
５、离心率
e c a
(e 1)
思考： 双曲线的离心率e和它的开口大小有什么
关系？
双曲线的离心率e越大，开口越大； 双曲线的离心率e越小，开口越小。
图象
范围 对称性 顶点 渐近线 等轴 离心率
线 段 A1 A2叫 实 轴 ， 长 为2a
线段B1B2叫虚轴，长为2b
x a x a
B2
b a
F1 A1 O A2
F2
B1
4、渐近线 y b x a
x2 a2

y2 b2
1(a 0, b 0)

x2

y2
y b x
0 a
a2Biblioteka b2A F1
1
B 2
bOaA 2
x2 y2 a2 b2 1
y2 x2 a2 b2 1
a b
x a或x a
y a或y a
关于x轴、y轴和原点对称
(a,0)
yb x a
x2 y2 a2 e c a
(0, a )
xb y a
即y a x b
y2 x2 a2
e 1
例1.求双曲线9 y2 16x2 144的实半轴长和虚半轴长、 半焦距、焦点坐标、离心率、渐近线方程,并画出图象。