2018届中考数学复习 专题15 正比例函数和一次函数图象、性质及其应用试题(B卷,含解析)

正比例函数和一次函数图象、性质及其应用
一、选择题
1. （ 安徽，9，4分）一段笔直的公路AC 长20千米，图中有一处休息点B,AB 长15千米.甲、乙两名长跑爱好者同时从点A 出发.甲以15千米/时的速度匀速跑至点B ，原地休息半小时后，再以10千米/时的速度匀速跑至终点C ；乙以12千米/时的速度匀速跑至终点C.下列选项中，能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y （千米）与时间x （小时）函数关系的图象是（ ）
【答案】A.
【逐步提示】甲的运动状况要分三种情况进行讨论，即：（1）甲以15千米/时的速度匀速跑至点B ，（2）原地休息半小时后，（3）再以10千米/时的速度匀速跑至终点C ；而乙的运动虽只有一种情况，但注意乙到达终点时甲还没有到达终点，从而做出正确的选择.
【详细解答】解：甲的运动状态分三种情况：（1）从点A 到点B ，速度是15千米/时，路程是15千米，所用时间为1小时，函数的图象是一条线段，两个端点坐标为（0,0）和（1,15）；（2）在点B 处休息半小时，函数图象
是平行于x 轴的线段，另一个端点的坐标是（
23，15）；（3）从点B 到终点，图象也是一条线段，端点坐标为（2
3
，15）和（2,20）.反映乙的运动的函数图象是一条线段，端点坐标为（0,0），（3
5
，20）.符合题意的只有A ，故
选择A .
【解后反思】行程问题中的数量关系是：路程=速度×时间，在分析行程问题有关的问题时要抓住这个关系，并结合运动时间进行分类讨论，做到不重复、不遗漏，从而对反映运动状态的函数图象做出正确的判断. 【关键词】函数的图象，分段函数，分类讨论
2. （广东省广州市，8，3分）若一次函数y =ax +b 的图象经过第一、二、四象限，则下列不等式中总是成立的是（ ）
A ．ab ＞0
B ．a －b ＞0
C ．a 2
＋b ＞0 D ．a ＋b ＞0 【答案】C
【逐步提示】利用一次函数的图象与性质，根据条件“图象经过第一、二、四象限”可先得到字母a ，b 的正负，然后结合不等式的性质逐一对各选项进行正误判别，即得正确结果．
【详细解答】解：∵一次函数y =ax +b 的图象经过第一、二、四象限，∴a ＜0，b ＞0，∴a 2＞0，则a 2
＋b ＞0，选项C 正确．由a ＜0，b ＞0，可得ab ＜0，a －b ＜0，又因a ，b 的绝对值大小不确定，所以a ＋b 的正负无法确定，因此，选项A 、B 、D 均错误．故选择C ． 【解后反思】（1）一次函数y =kx +b (k ≠0)的图象是不平行于x 轴的一条直线，可以通过平移直线y =kx (k ≠0)得到．一次函数y =kx +b (k ≠0)中，k 的符号决定着函数的增减性，b 的符号决定着直线与y 轴的交点位置．一次函数的主要性质如下表：
（2性质1 不等式两边都加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变． 性质2 不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．
性质3 不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向不变．
【关键词】一次函数的图象和性质；不等式的性质
3.（河北省，5，3分）若k≠0，b<0，则y=kx+b的图象可能是（）
【答案】B
【逐步提示】由k≠0可知y=kx+b属于一次函数，由b＜0可知其与y轴交于负半轴，由此判断出符合要求的图像.
【详细解答】解：对于y=kx+b，当x=0时，y=b，即y=kx+b的图像与y轴的交点为（0，b），当b＜0时，（0，b）在x轴下方，故y=kx+b的图像为选项B.
【解后反思】一次函数的图象及性质如下表所示：
【关键词】一次函数y=kx+b的图像位置与k，b的关系
4.（湖南省郴州市，7，3分）当b＜0时，一次函数y＝x＋b的图象大致是（）
A. B. C. D.
【答案】B
【逐步提示】本题考查的是一次函数的图象和性质，解题的关键是掌握一次函数的图象及性质．根据k＝1＞0知y随x的增大而增大，b＜0知直线与y轴的交点在y轴的负半轴．
【详细解答】解：∵一次函数y＝x＋b，其中k＝1＞0，而已知b＜0，∴图象经过第一、三、四象限．故B选项正确，故选择B .
【解后反思】一次函数的图象和性质：k＞0，b＞0时，图象经过第一、二、三象限；k＞0，b＜0时，图象经过第一、三、四象限；k＜0，b＞0时，图象经过第一、二、四象限；k＜0，b＜0时，图象经过第二、三、四象限．同时k＞0，y随x的增大而增大，k＜0，y随x增大而减小．此题容易出错的地方是将一次函数的性质记错．【关键词】一次函数的图象和性质；
5.（湖南湘西，16，4分）一次函数y=－2x+3的图象不经过的象限是
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】C
【逐步提示】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是掌握一次函数的图像特征．根据k ，b 的取值画出一次函数图象即可得出答案．
【详细解答】解：∵k =－2＜0，b =3＞0，根据一次函数的图像即可判断函数所经过一、二、四象限，不经过第三象限．故选择C .
【解后反思】此类问题容易出错的地方是不能根据一次函数中k ，b 的取值范围来确定一次函数的位置．一次函数y =kx +b 的图象特征：
①当k ＞0，b ＞0时，直线经过第一、二、三象限（直线不经过第四象限）； ②当k ＞0，b ﹥O 时，直线经过第一、三、四象限（直线不经过第二象限）； ③当k ﹤O ，b ＞0时，直线经过第一、二、四象限（直线不经过第三象限）； ④当k ﹤O ，b ﹤O 时，直线经过第二、三、四象限（直线不经过第一象限）． 【关键词】一次函数的性质
6.(湖南省岳阳市，8，3)对于实数a ，b ，我们定义符号max{a ，b}的意义为：当a ≥b 时，max{a ，b}=a ；当a ＜
b 时，max{a ，b}=b ；如max{4，-2}=4，max{3，3}=3.若关于x 的函数为y=max{x+3，-x+1}，则该函数的最小值是 ( )
A. 0
B. 2
C. 3
D. 4 【答案】B
【逐步提示】先阅读题意，了解定义符号max{a ，b}的意义，再根据x+3、-x+1的大小关系确定自变量x 的取值范围，从而确定函数的最小值。

【详细解答】当x+3≥-x+1，即x ≥-1时，y=x+3，其最小值为2；当x+3＜-x+1，即x ＜-1时，y=-x+1，y ＞2，没有最小值，所以该函数的最小值是2. 故选择B ．
【解后反思】阅读理解题的解题思路是阅读-理解-应用所给的新知识、新方法解题。

解答时，需要综合应用所学的数学知识。

【关键词】阅读理解题；一次函数及其性质；分类讨论 7. （江苏省无锡市，9，3分）一次函数43y x b =
-与4
13
y x =-的图像之间的距离等于3，则b 的值为（ ）
A ．－2或4
B ．2或－4
C ．4或－6
D ．－4或6
【答案】C 【逐步提示】本题考查了一次函数的平移和相似的性质，解题的关键是将两直线之间的距离转化为两直线竖直方向或水平方向的距离．本题的思路是先画出4
13
y x =
-的图像，构造辅助线，将两直线之间距离转化为竖直方向的距离，将这个问题转化为直线上下平移的问题．
【详细解答】解：设413y x =
-的图像与x 轴、y 轴交点分别为C 、B ，则B (0，－1)，C (34，0)，4
3
y x b =-与413y x =-的图像之间的距离等于3，那么43y x b =-可能在413y x =-上面，也可能在4
13y x =-下面，设
43y x b =-与y 轴交于点A ，过点A 作BC 的垂线，交直线BC 于点E ，则AE ＝3，且△AEB ∽△COB ．∴
35
A E O C A
B B
C ==，∴AB ＝5，所以43y x b =-可看作由4
13
y x =-向上或向下平移5个单位得到，所以b 的值为4或－6．故选择C .
A
B
O C
D
E
【解后反思】直线不管向哪个方向平移，最好转化为直线上下平移或左右平移的问题，而函数图像平移规律是“上加下减，左加右减”．本题几种转化方法可参考下图．
【关键词】一次函数的平移；相似三角形的判定；转化思想；
8. （ 镇江，16,3分）已知点P （m,n ）是一次函数y=x －1的图像位于第一象限部分上的点，其中实数m,n 满足
（m ＋2）2
－4m ＋n(n ＋2m)=8,则点P 的坐标为（ ） A.（
12，－12） B. （53，23） C. （2，1） D. （32，1
2
）
【答案】D.
【逐步提示】①本题考查了一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是确定m+n 的符号.②结合条件转化为关于实数m,n 的方程组求出m,n 的值．
【详细解答】解：因为（m ＋2）2－4m ＋n(n ＋2m)=8,整理得m 2+2mn+n 2=4，即(m+n)2
=4，因为P （m,n ）是一次函数y=x －1的图像位于第一象限部分上的点，所以m+n=2，又P （m,n ）在一次函数y=x －1的图象上，所以n=m-1,联合m+n=2解得，m=
32，n=12，因此点P 的坐标为（32，12
），故选择D . 【解后反思】通常把已知点的坐标作为自变量和函数的对应值代入函数表达式，建立方程（组）求解.本题容易
出错的地方是忽视条件“点P （m,n ）是一次函数y=x －1的图像位于第一象限部分上的点”而得到m+n=±2. 【关键词】 一次函数；完全平方公式；因式分解；整式乘法；整式加减；二元一次方程组 9. 10. 11. 12. 13.
14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.
二、填空题
1. （甘肃兰州，20，4分）对于—个矩形ABCD 及⊙M 给出如下定义，在同平面内，如果矩形ABCD 的四个顶点到⊙M 上一点的距离相等，那么称这个矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”．如图，在平面直角坐标系xOy 中，直
线l ：y 3-交x 轴于点M ，⊙M 的半径为2，矩形ABCD 沿直线l 运动（BD 在直线l 上）．BD =2，AB ∥y ，当矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”时，点C 的坐标为____．
【答案】12
--⎭，
或32⎭
【逐步提示】第一步，根据一次函数解析式求出直线l 与x 轴、y 轴交点坐标及它们到原点的距离，借助锐角三
角函数定义进一步求∠MPO 的度数，由AB ∥y 轴得到BC ∥x 轴；第二步，因为只有矩形两对角线的交点到矩形四
个顶点的距离相等，而⊙M 交直线L 于E 、F 两点，故分矩形两对角线的交点与E 重合和与F 重合两种情况分类讨论；第三步，矩形ABCD 沿直线l 运动到两对角线交点与E 重合时，借助平行线性质与互余关系求得∠EBC 与∠BMN 度数，从而可证△EBC 是等边三角形，求得BC 的长；第四步，借助解直角三角形求得BN 、MN 的长，再由点M 的坐标通过适当平移求得C 的坐标；第六步，矩形ABCD 沿直线l 运动到两对角线交点与F 重合时，与“第三步”、第四步类似方法可求得C 的坐标，从而归纳得到答案．
答图1 答图2
【详细解答】解：易知直线y 3-与x 轴交点M ，0），与y 轴交点P 的坐标为（0，-3），所
以OP =3，DM Rt △POM 中，tan ∠MPO =
3
OM OP =，所以∠MPO =30°，因为AB ∥y 轴，x 轴⊥y 轴，所以
AB ⊥x 轴，矩形ABCD 中，∠ABC =90°，所以AB ⊥BC ，所以BC ∥x 轴．设y 3-与⊙M 交于E 、F 两点，其中E 在第一象限，F 在第四象限，因为只有矩形两对角线的交点到矩形的四个顶点的距离相等，所以，①矩形ABCD
沿直线l 运动到两对角线交点与E 重合时（见答图1），矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”．此时，延长AB 交x 轴于N ，因为AB ∥y 轴，所以∠NBM =∠MPO =30°，因为AB ⊥x 轴，所以∠BNM =90°，∠BMN =90°－∠NBM =60°，因
为BC ∥x 轴，所以∠EBC =∠BMN =60°，矩形ABCD 中，BE =
12BD =1，CE =1
2
AC ，BD =AC =2，所以BE =CE =1，所以△EBC 是等边三角形，所以BC =BE =1，所以BM =ME －BE =2-1=1，在Rt △BMN 中，∠NBM =30°，所以MN =12BM =1
2
，
BN M 0），所以M 向右移动MN 的长再向上移动BN 的长得B 的坐标为
12，2），点B 再向右移动BC 长得C ＋32
，2）；②矩形ABCD 沿直线l 运动到两对
角线交点与F 重合时（见答图2），矩形ABCD 是⊙M 的“伴侣矩形”．此时，延长AB 交x 轴于N ，因为AB ∥y 轴，
所以∠NBM =∠MPO =30°，因为AB ⊥x 轴，所以∠BNM =90°，∠BMN =90°－∠NBM =60°，因为BC ∥x 轴，所以∠FBC =∠BMN =60°，矩形ABCD 中，BF =
12BD =1，CF =1
2
AC ，BD =AC =2，所以BF =CF =1，所以△FBC 是等边三角形，所以BC =BF =1，
所以BM =MF ＋BF =2＋1=3，在Rt △BMN 中，∠NBM =30°，所以M N =
12BM =3
2
，BN M 的
，0），所以M 向左移动MN 的长再向下移动BN 的长得B －
3
2
，-2），点B 再向右
移动BC 长得C 的坐标为1
2，-2），综合以上两种情况，故答案为122-⎭，或322⎭
，.
【解后反思】本题是 “矩形的对角线在过已知圆圆心的直线上移动”为背景的阅读理解题，解题的关键是理解“伴侣矩形”含义，明确“到矩形四个顶点距离相等点是矩形对角线的交点”，从而知道符合条件的情况有两种，需分类讨论来求解．另外，利用已知点坐标通过适当平移来求点的坐标，体现了变换思想的运用. 【关键词】 一次函数；矩形的性质；圆；解直角三角形；分类讨论思想；转化思想
2. （湖北省荆州市，14，3分）若点M （k －1，k ＋1）关于y 轴的对称点在第四象限内，则一次函数y ＝（k －1）x ＋k 的图象不经过．．．第 象限． 【答案】一
【逐步提示】先根据关于y 轴的对称点特征可列不等式组1010k k -<⎧⎨+<⎩
，解得k 的取值范围，再根据一次函数的一
次函数的性质与图像即可结果．
【详细解答】解：根据题意得10
10k k -<⎧⎨+<⎩
，解得 1k <-，一次函数y ＝（k －1）x ＋k ，∵10k -< ，10k <-<∴
函数图象经过第二、三、四象限，所以不经过第一象限，故答案为一.
【解后反思】（1）本题考查关于y 轴的对称点特征和象限坐标特征；
（2）本题考查了一次函数的性质．一次函数y =kx +b 的图象有四种情况：①当k ＞0，b ＞0，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、三象限，y 的值随x 的值增大而增大；②当k ＞0，b ＜0，函数y =kx +b 的图象经过第一、三、四象限，y 的值随x 的值增大而增大；③当k ＜0，b ＞0时，函数y =kx +b 的图象经过第一、二、四象限，y 的值随x 的值增大而减小；④当k ＜0，b ＜0时，函数y =kx +b 的图象经过第二、三、四象限，y 的值随x 的值增大而减小．
【关键词】象限坐标特征；一元一次不等式组；关于y 轴对称点特征；一次函数的图像性质 3.
4. （ 湖南省益阳市，9，5分）将正比例函数2y x =的图象向上平移3个单位，所得的直线不经过第 象限．
【答案】四
【逐步提示】考查函数图象的平移，可直接根据平移规律即得，或先得出将正比例函数2y x =的图象向上平移3个单位后解析式，然后根据一次函数的性质和图象即得．
【详细解答】解：法一：因为正比例函数2y x =的图象分布在第一、三象限，将正比例函数2y x =的图象向上平移3个单位后必经过一、二、三象限；法二：正比例函数2y x =的图象向上平移3个单位后变为：23y x =+，图象经过一、二、三象限，不经过第四象限，故答案为四 .
【解后反思】一次函数y ＝kx +b 的图象是一条直线，直线y ＝kx 沿竖直方向上下平移|b |个单位长度得到直线y ＝kx +b 即当b ＞0时，向上平移；当b ＜0时，向下平移.归纳起来就是这样一个原则：“上加下减，左加右减”. 【关键词】函数图象的平移；一次函数的图象 5. (湖南省永州市，19，4分)已知一次函数y =kx +2k +3的图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，且函数值y 随x
的增大而减小，则k 所能取到的整数值为________． 【答案】－1
【逐步提示】本题考查了一次函数的图象与性质，解题的关键在于能根据一次函数图象的性质列出不等式组求解．对于一次函数y kx b =+，图象与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，则有b ＞0；函数值y 随x 的增大而减小，则有k ＜0 ，据此列不等式组求解．
【详细解答】解：根据题意得⎩⎨
⎧<>+0
032k k ，解得023
<<-k ，所以k =－1，故答案为－1．
【解后反思】一次函数y kx b =+的图象与性质：
【关键词】一次函数的图象；一次函数的性质 17.6.（山东省德州市，
17，4分）如图，在平面直角坐标系中，函数y=2x 和y=-x 的图象分别为直线l 1、l 2，过点(1，0)作x 轴的垂线交l 1于点A 1，过点A 1作y 轴的垂线交l 2于点A 2，过点A 2作x 轴的垂线交l 1于点及A 3，过点A 3作y 轴 的垂线交l 2于点A 4，…，依次进行 下去，则点A 2017的坐标为 。

【答案】(
)
10091008
2,2
【逐步提示】(1)先根据题意找到点的循环规律：每四个点一循环，因为2017÷4=504余1所以第2017个点在第一象限；(2)再根据点的坐标规律，发现第一象限内点的横坐标是以2为底数，指数是序号减一的一半，所以很容易得到第2017个点的横坐标是2
1008
，进而得到其纵坐标为2
1009
，可得A 2017的坐标为(
)
10091008
2,2
.
【详细解答】解：由题意可知：A 1点的横坐标为1，
把x=1代入l 1：y=2x 得，y=2，∴A 1（1，2）； 把y=2代入l 2：y=-x 得，x=-2, ∴A 2（-2，2）； 把x=-2代入l 1：y=2x 得，y=-4，∴A 3（-2，-4）；
把y=-4代入l 2：y=-x 得，x=4, ∴A 4（22，-22
）；
依次类推可得，A 5（22，23），A 6（-23，23），A 7（-23，-24），A 8（24，-24
），… … 由此可知：每四个点一循环，∴2017÷4=504……1，
∴A 2017在第一象限，其横坐标为21008
， 把x=2
1008
代入l 1：y=2x 得，y=2
1009
，∴()
1009100820172,2A ，故答案为()
1009
10082,2 .
【解后反思】（1）本题属于找规律的题目，这类问题在选择填空的最后一题中出现的频率较高，计算量大，需
要仔细认真的计算和严密的逻辑思维能力；（2）当然，把此类问题放在坐标系中，符号的正负也是关键；（3）在解决找规律问题时，一般需要多计算几个点才能正确的找到数字中蕴含的规律。

【关键词】一次函数的图像性质；规律探索型问题；坐标与点；探索点的坐标变化规律；特殊与一般思想
k ＞0 ，b ＞0
k ＞0 ，b ＜0
k ＜0 ，b ＞0
k ＜0，b ＜0
7. （ 镇江，11,2分）如图1，⊙O 的直径AB=4cm ，点C 在⊙O 上，设∠ABC 的度数为x （单位：度，0＜x ＜90）,优弧ABC 的弧长与劣弧AC 的弧长的差设为y(单位：厘米)，图2表示y 与x 的函数关系，则a= 度 .
图2
图1
y/
度
【答案】22.5
【逐步提示】①本题考查了弧长公式及一次函数的图像，解题的关键是熟记弧长公式．②先用x 表示优弧ABC 的弧长与劣弧AC 的弧长，再求它们的差，从而表示出y ，最后把点（a,3π）代入关系式求出a 的值. 【详细解答】解：连结OC ，∵∠ABC=x °，∴∠AOC=2x °，∠,BOC=（180-x ）°。

()18022122222180180x x y πππ-⋅⋅⋅⋅=⨯⨯+-2445x ππ=-
.把点（a,3π）代入,得23445
a
πππ=-，解得a=22.5. 故答案为 22.5..
【解后反思】（1）弧长的计算公式是l =
180
R
n π，其中n 是圆弧所对的圆心角大小，R 是圆弧所在圆的半径，要运用公式首先要找准圆心，找对半径.（2）一个点在函数的图像上，则这个点的坐标满足函数关系式. 【关键词】弧长；数形结合；待定系数法 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26.
27. 28. 29. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39.
三、解答题
1. （ 甘肃省天水市，24，10分）天水市某企业接到一批粽子生产任务，按要求在19天内完成 ，约定这批粽
子的出厂价为每只4元．为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人李红第x 天生产的粽子数量为y
只，y 与x 满足如下关系32(05)
2060(519)x x y x x ⎧=⎨+<⎩
剟…．
（1）（3分）李红第几天生产的粽子数量为260只？
（2）（7分）如图，设第x 天每只粽子的成本是p 元，p 与x 之间的关系可用图中的函数图像来刻画，若李
红第x 天创造的利润为w 元，求w 与x 之间的函数表达式，并求出第几天的利润最大？最大利润是多少元？（利润＝出厂价－成本）
【逐步提示】本题是分段函数应用题，考查了一次函数和二次函数在实际生活中的应用，需要利用一次函数和二
次函数的增减性求最值，解题的关键是读懂题目信息，列出函数关系式．具体地，（1）把y ＝260代入32(05)2060(519)x x y x x ⎧=⎨+<⎩
剟…，解方程即可求得．（2）根据图像，运用待定系数法求得p 与x 之间的函数表达式，然
后根据“利润＝出厂价－成本”得“w ＝(4－p )×y ”，分情况代入数或式整理即得w 与x 之间的函数表达式，再根据一次函数和二次函数的增减性求解最大利润．
【详细解答】解：（1）将y ＝260代入y ＝32x ，得260＝32x ，解得x ＝1
88
．
此时，x 值不满足0≤x ≤5，故这种情况不存在． ∴5＜x ≤19时，则有20x ＋60＝260，解得x ＝10． ∴李红第10天生产的粽子数量为260只． （2）由图可知p 1＝2(0≤x ≤9)．
设p 2＝kx ＋b (9≤x ≤19)，将(9，2)，(19，3)代入，得 92193k b k b +=⎧⎨
+=⎩，解得0.1
1.1
k b =⎧⎨=⎩．
∴p 2＝0.1x ＋1.1(9≤x ≤19)．
当0≤x ≤5时，w ＝(4－2)×32x ＝64x ，由一次函数的性质，知当x ＝5时，w 最大＝320．
当5＜x ≤9时，w ＝(4－2)×(20x ＋60)＝40x ＋120，由一次函数的性质，知当x ＝9时，w 最大＝480． 当9＜x ≤19时，w ＝[4－(0.1x ＋1.1)]×(20x ＋60)＝－2x 2＋52x ＋174＝－2(x －13)2＋512，由二次函数的性质，知当x ＝13时，w 最大＝512．
∴w 与x 之间的函数表达式为2
64(05)40120(59)252174(919)x x w x x x x x ⎧⎪
=+<⎨⎪-++<⎩剟……，由320＜480＜512，知第13天时利润最大，最大
利润是512元．
【解后反思】此题第（1）问不难，难在解答第（2）问，需要分情况讨论．根据已知条件中的0≤x ≤5，5＜x ≤19，及由函数图像分析得出的0≤x ≤9，9≤x ≤19这四个自变量的取值范围，再结合利润求解公式就可得出0≤x ≤5，5＜x ≤9，9＜x ≤19这三种利润计算情况．
【关键词】解一元一次方程；一次函数的图像与性质；实际问题；二次函数的表达式；二次函数的性质；分类讨论思想；数形结合思想；方程与函数思想；待定系数法；配方法．
2. （广东省广州市，23，12分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =－x +3与x 轴交于点C ，与直线AD 交于点A (
34，3
5
)，点D 的坐标为（0，1）． （1）求直线AD 的解析式；
（2）直线AD 与x 轴交于点B ，若点E 是直线AD 上一动点（不与点B 重合），当△BOD 与△BCE 相似时，求点E 的坐标．
【逐步提示】（1）已知直线AD 上的两点A ，D 的坐标，故可直接用待定系数法确定其解析式；（2）显然，需分∠BEC 为直角或∠BCE 为直角两种情况进行探讨，在利用比例式求解相关线段长度时，也可充分利用点E 在直线AD 上的条件，借助解析式计算坐标．
【详细解答】解：设直线AD 的解析式为y =kx +b ，把A (
34，3
5
)，D (0，1)代入，得 ⎪⎩⎪⎨⎧==+.
1,353
4b b k 解得⎪⎩⎪⎨⎧
==.1,
21b k ∴直线AD 的解析式为y =2
1
x +1． （2）当y =0时，
2
1
x +1=0，解得x =－2．∴B (－2，0)，OB =2． ∵点D 的坐标为（0，1），∴OD =1． 由勾股定理，得BD =22OD OB +=5．
∵y =－x +3与x 轴交于点C ，∴C (3，0)，OC =3．∴BC =5．
如图，△BOD 与△BCE 相似，有两种情况： ①当△BOD ∽△BE 1C 时，有
11CE OD BE OB BC BD ==，即1
11
255CE BE ==， 解得BE 1=25，CE 1=5．
设点E 1的纵坐标为h ，根据三角形的面积公式，有21BC ·h =2
1
E 1C ·BE 1，即5h =5×25，∴h =2． 当y =2时，
2
1
x +1=2，解得x =2．∴E 1 (2，2)． ②当△BOD ∽△BCE 2时，CE 2⊥x 轴，此时点E 2的横坐标为3，纵坐标y =21×3+1=25，∴E 2 (3，2
5
)． 综上可知，当△BOD 与△BCE 相似时，点E 的坐标为(2，2)或(3，
2
5
)．
【解后反思】（1）确定一次函数解析式的常用方法是待定系数法，一般只需两个点的坐标即可．
（2）在平面直角坐标系中，很多几何图形与函数的综合题，最基本的方法就是由点的坐标求相关线段的长度，根据相关线段的长度表示点的坐标，这是解决该类问题最基本的途径，也是沟通解证思路的重要入手点．在此前提下，再结合几何证明与函数解析式的确定等相关知识，逐步探寻解决问题的最终途径即可． （3）当用语言表述两个三角形相似时，如本题中“△BOD 与△BCE 相似”，由于未指明两三角形的对应元素，故往往需要分类讨论全面获解，这与用相似符号表示不尽相同，应引起注意．
【关键词】确定一次函数的解析式；一次函数的图象和性质；点的坐标；相似三角形的判定与性质；勾股定理；待定系数法；分类讨论思想
3. （ 河北省，24，10分）某商店能过调低价格的方式促销n 个不同的玩具，调整后的单价y (元)与调整前的单价x （元）满足一次函数关系，如下表： 调整前单价
已知这n 个玩具调整后的单价都大于2元.
（1）求y 与x 的函数关系式，并确定x 的取值范围；
（2）某个玩具调整前单价是108元，顾客购买这个玩具省了多少钱？
（3）这n 个玩具调整前、后的平均单价分别为_x ，_y ，猜想_y 与_
x 的关系式，并写出推导出过. 【逐步提示】本题是一次函数与平均数的综合题，理解平均数的意义是解答第（3）问的关 键.（1）已知y 是x 的一次函数及表格中x ，y 的对应值，利用待定系数法可求出y 与x 的 函数关系式，由“调整后的单价都大于2元”列出关于x 的不等式，解不等式即可求得x 的取值范围；（2）将x=108代入（1）中所求的函数表达式中求得y ，进而可求得节省的钱
数x －y ；（3）根据平均数的意义可知()121n y y y y n =+++－
…，再结合y=5
6
x －1可求 得y －
与x －
之间的关系式.
【详细解答】解：（1）设y=kx+b ，依题意，得x=6，y=4；x=72，y=59.
∴46,5972.k b k b =+⎧⎨=+⎩解得5,61.
k b ⎧
=⎪⎨⎪=-⎩
∴y=
5
6
x －1. 依题意，得56x －1＞2，解得x ＞18
5
，即为x 的取值范围.
（2）将x=108代入到y=56x －1，得y=5
6
×108－1=89.
108－89=19，∴省了19元.
（3）516
y x =-－
－
.
推导过程：由（1）11516y x =
-，22516y x =-，…，5
16
n n y x =-. ∴()121n y y y y n =+++－
…=1215551+1++1666n y x x x n ⎡⎤
⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦
－…
=()1215+++6n x x x n n ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
…=12+++516n
x x x n ⨯-…=516x -－. 【解后反思】1. 已知函数类型及若干组自变量与函数的对应值时，一般用待定系数法求函数关系式；2.算术平
均数-
x ＝n
1
(x 1＋x 2＋ x 3…x n )，其变形应用为：x 1＋x 2＋ x 3…x n =n -x .
【关键词】 一次函数的表达式；自变量的取值范围；待定系数法；平均数
4. （湖北省荆州市，22，9分）为更新果树品种，某果园计划购进A 、B 两个品种的果树苗栽植培育．若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A 种树苗的单价为7元/棵，购买B 种树苗所需费用y （元）与购买数量x （棵）之间存在如图所示的函数关系． （1）求y 与x 的函数关系式；
（2）若在购买计划中，B 种树苗的数量不超过35棵，但不少于A 种树苗的数量．请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．
【逐步提示】本题考查了一次函数的应用，解决本题的关键是图中的函数为分段函数，分别求出个函数的解析式，注意自变量的取值范围．对于最值问题，借助于一次函数的性质进行解答．（1）观察电价y 与月用电量x 的函数图象有两段：当0≤x ＜20时，图象经过（0，0）和（20，160）；当x ≥20时，图象过（20，160）和（40，288）两点，利用待定系数法可以求得一次函数解析式. （2）设总费用为z （元），根据x 在不同的范围内 z 与用电量x 之间的函数关系式，利用函数的相关性质得出函数的最小值，设计购买方案即可. 【详细解答】解：：（1）当0≤x ＜20时，∵图象经过（0，0）和（20，160），∴设y ＝k 1x ， 把（20，160）代入，得160＝20k 1，解得k 1＝8； 当x ≥20时，设y ＝k 2x ＋b ，
把（20，160）和（40，288）代入，得222016040288k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得2 6.4
32k b =⎧⎨=⎩．
∴y 与x 的函数关系式是8(020)6.432(20)x
x y x x <⎧=⎨+⎩……（其中x 为整数）．
（2）依题意得35
45x x x ⎧⎨-⎩
……，解得22.5≤x ≤35，此时y ＝6.4x ＋32．
设总费用为z （元），依题意得z ＝y ＋7（45－x ）＝6.4x ＋32＋315－7x ＝－0.6x ＋347，
∵－0.6＜0，∴z 随x 的增大而减小，
∵22.5≤x ≤35，且x 为整数，∴当x ＝35时，z 最小，此时z ＝－0.6×35＋347＝326，45－x ＝10． ∴购买A 种树苗10棵，B 种树苗35棵时，总费用最低，最低费用为326元．
【解后反思】用一次函数解决实际问题的一般步骤：（1）设一次函数关系式；（2）利用待定系数法求出一次函数关系式；（3）确定自变量取值范围；（4）依据一次函数的性质确定相应的值，并看看是否符合实际意义． 【关键词】函数的应用；一次函数的表达式
5. （ 湖北省十堰市，22，8分）一茶叶专卖店经销某种品牌的茶叶，该茶叶的成本是 80元/千克，销售单价不低于120元/千克，且不高于180元/千克，经销一段时间后得到如 下的数据：
设y 与x 的关系是我们所学过的某一种函数关系
(1)直接写出y 与x 的函数关系式，并指出自变量x 的取值范围; (2)当销售单价为多少时？销售利润最大？最大是多少？
【逐步提示】本题主要考查用待定系数法确定一次函数的关系式，根据实际意义列二次函数的解析式（自变量的取值范围在某一范围），二次函数的性质的实际应用等.解答第（1）题的关键是从所给的数据关系中知道y 与x 是一次函数关系；解答第（2）问的关键是根据增减性及自变量的范围确定最大值.本题的解题思路：（1）可以用
虚拟二次函数的方法确定y=ax 2
+bx+c 的中a 、b 、c 的值；（2）顶点不在自变量的取值范围内，不能用顶点的坐标确定其最大值.
【详细解答】解：(1)y= -2
1
x+160 (120≤x ≤180); (2)设销售利润为w 元，则w=y(x-80)=(- 2
1
+160)(x-80)
即w=-21x 2+200x-12800=-21(x-200)2
+7200 因为a=-2
1
＜0，所以,当x ＜200时，w 随x 的增大而增大，
又120≤x ≤180,所以，当x=180时,w 取最大值 此时，w=-
2
1(180-200)2
+7200=7000. 所以，当销售单价为180元时，销售利润最大，最大利润是7000元.
【解后反思】本题的重点是确定一次函数、二次函数的解析式，难点是第二步，根据增减性确定二次函数的最大值.
思路拓展：遇到规律性探究问题（第1小题实际是找数字之间的规律）,解决的途径主要有两个:一是显规律性问题,可以通过观察、分析、探究、归纳、检验找出规律；二是隐规律性问题，可以采用虚拟二次函数的方法，通过假设是二次函数（当然也包括一次函数）、确定二次函数、检验特殊值（这一步必不可少）等步骤找出其中的规律. 用虚拟二次函数的方法探究隐规律问题,只能解决其规律是二次函数(或一次函数)的问题,而对于那些非二次函数(或一次函数)的问题,此方法只能望尘莫及.
方法拓展：虚拟二次函数求隐规律问题的解题步骤是: (1)找出四组对应值; (2)设出相应的二次函数,并用其中的三组值确定系数,求出相应的函数; (3)再用另一组值检验是否与题意相符; (4)做出答案. 【关键词】一次函数的表达式；实际问题探究；二次函数的表达式；二次函数的性质；实际问题 6.（湖北宜昌，19，7分）
如图，直线y =
A ，
B 两点．
（1）求∠ABO 的度数；
（2）过点A 的直线l 交x 轴正半轴于C ，AB =AC ，求直线l 的函数解析式．
【逐步提示】本题考查了三角函数及待定系数法求直线解析式，系数的关系，解答本题的关键是根据题意求解相关点的坐标，进而运用待定系数法求出函数表达式
【详细解答】解：(1)对于
令x=0,则
∴A 的坐标为（0
） ∴∴令y=0,则x=-1 ，∴BO=1. 在Rt △BOA 中，tan ∠ABO ＝
OA
OB
. ∴∠ABO= 60°，
(2)在Rt △BCA 中，AC=BC ，又AO ⊥BC ∴BO=CO
∴C 点的坐标为（1，0）
设直线l 的函数解析式为y=kx+b ，（k,b 为常数）。