【2019-2020】高一数学1月月考试题(含解析)

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注意事项：
1.本试卷分满分100分．考试时间100分钟。

2.答题前，考生先将自己的准考证号、姓名、座位号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚。

3.选择题使用2B铅笔填涂，非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚，按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。

Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（每小题4分,共48分）
1.1.设集合，，则A∪B中的元素个数是
A. 11
B. 10
C. 16
D. 15
【答案】C
【解析】
【分析】
首先确定集合A,B，然后求解并集运算确定其中元素的个数即可.
【详解】由题意可得：, ,
据此可得：，
则A∪B中的元素个数是16.
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查集合的表示方法，并集运算及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2.2.下列函数既是偶函数，又在上是增函数的是
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合函数的解析式逐一考查函数的性质即可.
【详解】逐一考查所给函数的性质：
A.是偶函数，且函数在是增函数，该选项符合题意；
B.是非奇非偶函数，且函数在是增函数，该选项不合题意；
C.是非奇非偶函数，且函数在是减函数，该选项不合题意；
D.是偶函数，且函数在是减函数，该选项不合题意；
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查函数单调性的判断，函数奇偶性的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
3.3.已知扇形的弧长为6，圆心角弧度数为3，则其面积为
A. 3
B. 6
C. 9
D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】
首先求得半径，然后利用面积公式求解其面积即可.
【详解】设扇形的半径为，由题意可得：，则，
扇形的面积.
本题选择B选项.
【点睛】本题主要考查弧度制的定义，扇形面积公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
4.4.设α是第三象限角，化简： =
A. 1
B. 0
C. ﹣1
D. 2
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合同角三角函数基本关系整理计算即可求得最终结果.
【详解】由题意可得：，
α是第三象限角，则，
据此可得： .
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，三角函数式的化简等
知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
5.5.已知为常数，幂函数满足，则=
A. 2
B. ﹣2
C.
D.
【答案】D
【解析】
【分析】
首先求得的值，然后结合幂函数的解析式求解的值即可.
【详解】由题意可得：，则，
则幂函数的解析式，
据此可知.
本题选择D选项.
【点睛】本题主要考查指数对数运算，幂函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6.6.平面直角坐标系中，角的始边在轴非负半轴，终边与单位圆交于点，将其终边绕点逆时针旋转后与单位圆交于点,则的横坐标为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合三角函数的定义和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】设A点处对应的角度为，B点处对应的角度为，
由题意可得：，，且，
由两角和的余弦公式可得：
.
即的横坐标为.
本题选择A选项.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义及其应用，两角和差正余弦公式等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
7.7.要得到函数的图像，只需将的图象
A. 向左移动个单位
B. 向右移动个单位
C. 向左移动1个单位
D. 向右移动1个单位
【答案】A
【解析】
因为，所以需将的图像向左移动个单位，选 A.
8.8.如图所示是某条公共汽车路线收支差额y与乘客量x的图象(收支差额=车票收入—支出费用)由于目前本条线路在亏损，公司有关人员提出了两条建议：
建议(Ⅰ)是不改变车票价格，减少支出费用；建议(Ⅱ)是不改变支出费用，提高车票价格. 图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态. 在上面四个图象中
A. ①反映了建议(Ⅱ),③反映了建议(Ⅰ)
B. ①反映了建议(Ⅰ),③反映了建议(Ⅱ)
C. ②反映了建议(Ⅰ),④反映了建议(Ⅱ)
D. ④反映了建议(Ⅰ),②反映了建议(Ⅱ)
【答案】B
【解析】
建议（1）是不改变车票价格，减少支出费用，也就是增大y，车票价格不变，即平行于原图像；故①反映了建议(1)；建议（2）是不改变支出费用，提高车票价格，即图形增大倾斜度，提高价格；故③反映了建议(Ⅱ)；
故答案为：B.
9.9.已知函数，若，则的值为
A. ﹣1
B. 0
C. 1
D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合分段函数的解析式整理计算即可求得最终结果.
【详解】由函数的解析式可知，当时，，
当时，，
由可得：，即：，
据此有：，解得：.
本题选择A选项.
【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
10.10.已知函数在闭区间上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对在坐标平面内所对应点组成的图形为
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
∵y=x2+2x=（x+1）2﹣1，∴可画出图象如图1所示．
；
由x2+2x=3，解得x=﹣3或x=1；又当x=﹣1时，（﹣1）2﹣2=﹣1．①当a=﹣3时，b必须满足﹣1≤b≤1，可得点（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|AB|=1﹣（﹣1）=2；
②当﹣3＜a≤﹣1时，b必须满足b=1，可得点（a，b）在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|BC|=（﹣1）﹣（﹣3）=2．
如图2所示：图2；
故选：C．
点睛：本题考查了二次函数在给定区间上的值域问题，值域是确定的，而定义域是变动的，解题关键是分辨清楚最大值是在左端点取到还是
在右端点取到，问题就迎刃而解了.
11.11.已知函数，若，则=
A. 1
B. 0
C. ﹣1
D. ﹣2
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意结合三角函数的性质整理计算即可求得最终结果.
【详解】由三角函数的性质可知：
，
，
即
由可得：，即，
则，
据此可得： .
本题选择C选项.
【点睛】本题主要考查诱导公式的应用，对数的运算，同角三角函数基本关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
12.12.已知函数,那么下列命题正确的是
A. 若，则是同一函数
B. 若，则
C. 若，则对任意使得的实数，都有
D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
由题意逐一分析所给的选项是否正确即可.
【详解】逐一分析所给的选项：
A．若，则，函数在处没有定义，则函数与不是同一函数，题中的说法
错误；
B．若，则函数的在区间上单调递增，
由于，
且很明显可知，则，
题中的说法错误；
C．当时，，
则，
则对任意使得的实数，都有.题中的说法正确；
D．若，则函数的在区间上单调递增，
由于，则：，题中的说法错误.
本题选择C选项.
【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.
Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（每空3分共12分）
13.13.已知，则___________
【答案】.
【解析】
【分析】
首先确定函数的解析式，然后求解的值即可.
【详解】由题意可得：，
则，据此可知：.
【点睛】本题的核心是求解函数的解析式，求函数解析式常用方法：(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待
定系数法；
(2)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注
意新元的取值范围；
(3)方程法：已知关于f(x)与或f(－x)的表达式，可根据已知条件再
构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x)．
14.14.函数的部分图像（如图所示），则的解析式为_______________.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意分别确定的值即可确定函数的解析式.
【详解】由函数的最大值可知，
函数的最小正周期，则，
当时，，
则，令可得，
据此可得：的解析式为.
【点睛】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的部分图象求其解析式时，A比较容易看图得出，困难的是求待定系数ω和φ，常用如下两种方法：
(1)由ω＝即可求出ω；确定φ时，若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标x0，则令ωx0＋φ＝0(或ωx0＋φ＝
π)，即可求出φ.
(2)代入点的坐标，利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式，再结合图形解出ω和φ，若对A，ω的符号或对φ的范围有要求，则可用诱导公式变换使其符合要求.
15.15.若,则__________.
【答案】.
【解析】
【分析】
由题意，首先求得的值，然后结合同角三角函数基本关系和两角和差正余弦公式整理计算即可求得最终结果.
【详解】由三角函数公式可得：，
结合可知，则：，解得：，
由于，，故，
由于，故，则，
则：.
【点睛】本题主要考查同角三角函数基本关系，特殊角的三角函数值，两角和差正余弦公式及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计
算求解能力.
16.16.已知函数，若存在，不等式成立，则实数的取值范围是
__________．
【答案】
【解析】
，易知：为奇函数且在上为增函数，
由，可得：
∴，即x，又
∴，解得：
故答案为：
三.解答题(本大题共4小题,共40分,解答应写出文字说明,证明过程
或演算步骤.)
17.17.已知函数.
（I）求函数的单调递增区间；
（II）若对任意，恒成立，求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ).
【解析】
【分析】
（I）由题意可得，据此可得函数的单调递增区间为
（II）由函数的定义域可得，结合恒成立的结论可知实数的取值范围
是.
【详解】（I）.
由,
所以单调增区间是
（II）由得，从而，
恒成立等价于，.
【点睛】本题主要考查辅助角公式及其应用，三角函数单调区间的求解，函数最值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
18.18.已知函数
（1）求函数的零点的集合；
（2）记函数的值域为，函数的定义域为，且，求实数的取值范
围.
【答案】(1) .
(2) .
【解析】
【分析】
(1)由解方程可得函数零点的集合为.
(2)由函数的解析式结合函数的单调性可得，求解函数的定义域可得，
由集合的包含关系可得实数的取值范围是.
【详解】(1)令，则，
函数零点的集合为.
(2)，
易知：g(x)在[-1,0]上单调递增，，
令，
，
∴的取值范围是.
【点睛】本题主要考查函数零点的定义，集合及其表示方法，由集合的包含关系求参数的取值范围等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
19.19.某企业一天中不同时刻的用电量(万千瓦时)关于时间(小时,)的函数近似满足,如图是函数的部分图象(对应凌晨点).
(Ⅰ)根据图象,求的值；
(Ⅱ)由于当地冬季雾霾严重,从环保的角度,既要控制火力发电厂的排放量,电力供应有限；又要控制企业的排放量,于是需要对各企业实行分时拉闸限电措施.已知该企业某日前半日能分配到的供电量 (万千瓦时)与时间(小时)的关系可用线性函数模型模拟.当供电量小于该企业的用电量时,企业就必须停产.初步预计停产时间在中午11点到12点间,为保证该企业既可提前准备应对停产,又可尽量减少停产时间,请从这个初步预计的时间段开始,用二分法帮其估算出精确到15分钟的停产时间段.
【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 11点15分到11点30分之间.
【解析】
【分析】
(Ⅰ)根据图象的最值求，根据周期求出，利用特殊点求出的值；(Ⅱ)由，设，则为该企业的停产时间，易知在上是单调递增函数，确定从而可得结果.
【详解】(Ⅰ)由图象知T=2(12-6)=12,从而ω==,
所以
代入(0,2.5)得φ=+2kπ,kZ,
因为0<φ<π,
所以φ=.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
令
设h(t0)=0,则t0为该企业的停产时间.
易知h(t)在(11,12)上是单调递增函数.
由h(11)=f(11)-g(11)<0,h(12)=f(12)-g(12)>0,
又,
所以t0(11,11.5),即11点到11点30分之间(大于15分钟),又
h(11.25)=f(11.25)-
所以t0(11.25,11.5),即11点15分到11点30分之间(恰好15分钟),
所以估计在11点15分到11点30分之间的时间段停产.
【点睛】本题主要考查阅读能力、数学建模能力和化归思想以及三角函数的恒等变换及性质，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.理解本题题意的关键是：求三角函数的解析式考查性质，利用最值求出 ,利用图象先求出周期，用周
期公式求出，利用特殊点求出，正确求是解题的关键.
.
20.20.（本小题满分10分）已知函数是偶函数．
（1）求实数的值;
（2）设,若有且只有一个实数解,求实数的取值范围．
【答案】（1）. （2）的取值范围是{}∪[1,＋∞）．
【解析】
试题分析：（1）通过偶函数的定义，知，化简得,进而求出。

（2）通过分析得出题意可化为方程有且只有一个实根, 令,则有且只有一个正根，再通过，分三种情况、、讨论求的取值范围。

试题解析：（1）由函数是偶函数可知:,
∴,
化简得,
即对一切恒成立,∴.
（2）函数与的图象有且只有一个公共点,
即方程有且只有一个实根,
化简得:方程有且只有一个实根,
且成立, 则
令,则有且只有一个正根
,
设,注意到
所以①当时, 有, 合题意
②当时,图象开口向下,且,
（舍去）
,此时有;
③当时,又,方程恒有一个正根与一个负根
的取值范围是{}∪[1,＋∞）．
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