宁夏银川九中2016届高三四模数学(文)试题 含答案

银川九中2016届高三第四次模拟考试
文科试卷(满分150）命题人：王字忠
第I 卷 （选择题, 共60分）
一、选择题（共12小题，每小题5分，共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1。

集合{}|13A x x =-<<,集合{}|-12B x x =<<，则A B ⋂=（ ） A ．()1,2 B ．()1,2- C ．()1,3D ．()1,3-
2。

设复数1
2
,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，1
2z
i =+，则2z =（ ）
A ．2i +
B ．2i -+
C ．2i -
D ．2i --
6
5. 已知sin()cos()6
6
ππαα-=+,则tan α＝（ ）
A 。

－1 B. 0 C. 12
D 。

1
6。

如图，在长方体111
1
ABCD A BC D -中，点P 是线段CD 的中点，则三棱
柱11
P A B A -的左视图为（ )
A
B
C
D
1
7。

将函数)2
( )sin(2x f (x)
π
ϕϕ<
+=的图象向右平移
12
π
个单位，所得到的图象关于y 轴对称，则函数()f x 在02π
⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
，
A B ．12
C ．12
- D ．
8。

如图，给出的是求111246+++ (1)
20+, 则判断框内填入的条件是 （ ） A ．10i ≥ B ．10i ≤ C ．9≥i 9。

已知数列{}n a 为等差数列，且公差0d >，数列{}n b 为等比数列，若
110=>a b ,44a b =，则
（ ）
A ．7
7a
b > B ．7
7a b = C ．7
7a
b < D ．7
a 与7
b 大小无法
确定
10．已知,a b 为非零实数,且a b <，则下列命题成立的是（ )
A ．2
2a
b <
B ．2b a a
b
+> C ．2
20a
b -< D ．
11
a b
> 11、已知双曲线
C:22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点为F ，以F 为圆心和双曲
线的渐近线相切的圆与双曲线的一个交点为M,且MF 与双曲线的实轴垂直，则双曲线C 的离心率为（ )
A. B 。

C 。

D. 2
12．设函数()2x
f x e x =+-，2
()ln 3g x x x =+-，若实数,a b 满足()0f a =，()0g b =, 则
( )
A ．0()()g a f b << B
．
()0()
g a f b << C ．
()()0
f b
g a <<
D ．()0()f b g a <<
第Ⅱ卷 (非选择题， 共90分)
二、填空题（共4小题，每小题5分，共20分,将答案填在答题卡相应的位置上．） 13.
已知实数y x ,满足12
0x y x y ≤+≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩
，则y x z +=2的最大值为
14。

F 1，F 2分别为椭圆22
13627x y +=的左、右焦点，A
为椭圆上一点，且
11
()2
OB OA OF =+， 21
()2
OC OA OF =
+则||||OB OC +＝
15．已知在△ABC 中，4AC AB ==，6BC =,若点M 在△ABC 的三边上移动，则线段AM
的长度不小于____________。

16。

数列{}n
a 中，0n
a
>，前n 项和为n S ，且*(1)
()2
n n n a a S n N +=
∈，则数列{}n a 的通项公式为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分． 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分）
在△ABC 中，内角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，且
()()3a b c a b c ab +++-=。

（Ⅰ）求角C ； (Ⅱ）()23sin 22sin 212C f x x x π⎛⎫⎛
⎫=
-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域。

18. （本小题满分12分)某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表，其中“√”表示购买,“×”表示未购买．
（1）估计顾客同时购买乙和丙的概率;
(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；
(3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大?
19．(本小题满分12分)
在四棱锥E ABCD -中，底面ABCD 是正方形,AC 与BD 交于点O ，EC ⊥底面
ABCD ，G 、F
分别为EO 、EB 中点,且2AB CE =。

（Ⅰ)求证：//DE 平面ACF ；（Ⅱ）求证：CG ⊥平面BDE ；
20．（本小题满分12分） 率为
2
2
，左、
椭圆
()22
22:10x y C a b a b
+=>>的离心
A
B
D
C
O
E
F
G
右焦点分别为1
F 、2
F
，点P ，且2F 在线段1PF 的中垂线上。

(Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点(2,0)A 且斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于D 、E 两点，点2
F 为
椭圆的右焦点，求证:直线2DF 与直线2EF 的斜率之和为定值。

21. （本小题满分12分）已知函数f （x ） ＝1x
x e -
（Ⅰ）求曲线y =f (x )在点（0，f （0））处的切线方程; （Ⅱ）求函数f （x )的零点和极值；
请考生在22，23，24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时,用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑．
22.（本小题满分10分)选修4－1:几何证明选讲 已知四边形ABCD 为O 的内接四边形且BC CD =，其对角线AC 与BD 相交
于点
M ,过点B 作O 的切线交DC 的延长线于点P 。

（Ⅰ）求证:AB M D AD BM ⋅=⋅；
（Ⅱ)若CP MD CB BM ⋅=⋅,求证：AB BC =。

23.(本小题满分10分）选修4－4:坐标系与参数方程
已知直线l
的参数方程为2(x m t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
为参数)，以坐标原点为极点，x
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程
为
2222cos 3sin 12ρθρθ+=，且曲线C 的左焦点F 在直线l 上。

(I ）若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求FA FB ⋅的值； （Ⅱ)求曲线C 的内接矩形的周长的最大值。

24．（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 已知0
x
∃∈R 使得关于x 的不等式12x x t ---≥成立．
(I ）求满足条件的实数t 集合T ；
（Ⅱ）若1,1m n >>，且对于t T ∀∈，不等式3
3log log m n t ⋅≥恒成立,试求m n +的
最小值。

银川九中数学（文科）四模答案 一、BBBCA DDBCC CB
13.4 14。

6 15
67
- 16.
n a n =
17.(本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由()()3a b c a b c ab +++-=，得2
22a b c ab +-= (2)
分
∴2221
cos 22
a b c C ab +-==，∴在ABC ∆中，3C π= …………
4分
(Ⅱ）由（Ⅰ）可知3
C π=,
∴()23sin 22sin 612f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=
-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3sin 2cos 2166x x ππ⎛⎫⎛
⎫=---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
2sin 2166x ππ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭2sin 213x π⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭
………8分
∵02
x π≤≤,∴223
3
3
x πππ-≤-≤，∴3sin 2123x π⎛
⎫-
≤-≤ ⎪⎝
⎭， ∴
132sin 2133x π⎛
⎫-≤-+≤ ⎪⎝
⎭
…………
11分
∴
函数()f x 的值域为
13,3⎡⎤-⎣⎦
……………12分
18.试题解析：(Ⅰ）从统计表可以看出，在这
位顾客中,有
位顾
客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为
．
（Ⅱ)从统计表可以看出,在在这位顾客中,有
位顾客同时购买
了甲、丙、丁，另有
位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多
购买了种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率可以估计为
．
（Ⅲ）与（Ⅰ）同理,可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为
，
顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为
，
顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为
，
所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．
19.（本小题满分12分)
（Ⅰ）证明: 连结OF ,
在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，
则O 为BD 的中点, 又∵F 是EB 中点， ∴OF 是BDE ∆的中位线， ∴//OF DE ，
∵DE ⊄平面ACF ，OF ⊂平面ACF ，
∴//DE 平面ACF ； ………………6分 (Ⅱ）证明∵EC ⊥底面ABCD ，
BD ⊂平面ABCD ，
∴EC BD ⊥， ∵BD AC ⊥,且AC
CE C =，∴BD ⊥平面ACE ，
∵CG ⊂平面ACE ，∴CG BD ⊥， 在正方形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，且2AB CE =，∴1
2
CO AC CE =
=， 在OCE ∆中，G 是EO 中点，∴CG EO ⊥，
A
B
D
C
O
E
F
G
∵
EO BD E
=，∴
CG ⊥
平面
BDE
； ………12分
20。

（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设椭圆C 的焦距为2c ,则()2
,0F c 且2
22a
b c =+，
由点P ，且2
F 在线段1
PF 的中垂线上，得2
12
PF
F F =，
则
2c
=,
解
得
1c =，
…………2分
又∵2
c e a
==,∴a =
1b =,
所
求椭
圆
C
的方程为
2
212
x y +=； …………4分
（Ⅱ)由（Ⅰ）可知()21,0F ， 由题意可设直线
()
:2l y k x =-与椭圆的交点
()
11,D x y 、
()22,E x y
………………5分
由()2
2122x y y k x ⎧+=⎪
⎨⎪=-⎩，得()222212x k x +-=，整理得()2222128820k x k x k +-+-=，
则22
181602k k ∆=->⇒<，且2
122
2
12281282
12k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
， (8)
分
()()22
1212
1212221111
DF EF k x k x y y k k x x x x --+=+=+
---- ()()()()()()122112212111k x x x x x x --+--⎡⎤⎣
⎦=-- ()()()
12121223411k x x x x x x -++⎡⎤⎣⎦
=
-- ………
9分
∵()1212234x x x x -++22
22
8282341212k k k k
-=⨯-⨯+++ ()2
22
2
1642448012k k k k --++=
=+ ………11分
∴2
20DF EF k
k +=，
即直线
2
DF 与直线
2
EF 的斜率之和为定值
0. (12)
21.解：（Ⅰ）因为2'()e x
x f x -=，
'(0)2f =-.
因为(0)1f =，所以曲线()f x 在(0,(0))f 处的切线方程为210x y +-= (6)
（Ⅱ）令1()0e
x
x
f x -==，解得1x =，所以()f x 的零点为1x =. 由2'()0e x
x f x -==解得2x =，
则'()f x 及()f x 的情况如下：
x (,2)-∞
2 (2,)+∞
'()f x -
0 +
()f x
极小值2
1
e -
………………………所以函数()f x 在2x = 时,取得极小值21
e - (12)
22. （Ⅰ）由题意可知BDC CBD ∠=∠…………（1分） 所以DAC CAB ∠=∠…………（2分） 由角分线定理可知，AB BM AD MD
=， 即AB MD AD BM ⋅=⋅得证. …………（4分) （Ⅱ）由题意BM
CP
MD CB =,即AB CP AD CB
=，。

…………（4分） 由四点共圆有BAD BCP ∠=∠. …………(5分） 所以BCP ∆∽BAD ∆.。

…………（6分） 所以ADB CBP ∠=∠。

…………（7分） 又BAC CBP ∠=∠，ADB ACB ∠=∠. …………（8分） 所以ACB BAC ∠=∠。

…………（9分） 所以AC AB =. …………（10分） 23. 解：（I)曲线C 的直角坐标方程为141222=+y x …………（1分） 左焦点)0,22(-F 代入直线AB 的参数方程
得22-=m …………（2分)
直线AB 的参数方程是⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=+-=t y t x 222222（为参数t ） 代入椭圆方程得0222=--t t …………（3分) 所以||||FB FA ⋅=2…………（4分) （Ⅱ) 设椭圆C 的内接矩形的顶点为)sin 2,cos 32
(θθ，)sin 2,cos 32(θθ-， )sin 2,cos 32(θθ-，)20)(sin 2,cos 32(πθθθ<<--…………（6分)
所以椭圆C 的内接矩形的周长为θθsin 8cos 38+=)3
sin(16πθ+……(8分） 当23ππ
θ=+时，即6
πθ=时椭圆C 的内接矩形的周长取得最大值16……（10分）
24。

解析：(I ）
()12121x x x x ---≤---=， …………（2分） 所以121x x ---≤,所以t 的取值范围为(],1-∞ …………（3分） }1|{≤=t t T …………(4分)
（Ⅱ)由(I)知，对于t T ∀∈,不等式33log
log m n t ⋅≥恒成立， 只需33max log
log m n t ⋅≥， 所以33log log 1m n ⋅≥， …………(6分）
又因为1,1m n >>，所以33log 0,log 0m n >>. …………（7
分） 又()()22
3333333log log log 1log log log =log 24mn m n m n m n m n +⎛⎫≤⋅≤== ⎪⎝⎭时，取等号，此时， 所以()23log
4mn ≥，…………（8分） 所以3log 2mn ≥，9mn ≥，…………（9分) 所以
6m n +≥≥，即m n +的最小值为6()==3m n 此时。

(10)。