高中数学《球的表面积和体积》课件

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[变式训练2] 如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球 的底面圆内，若正方体棱长为 6，求球的表面积和体积．
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解 作轴截面如图所示，
CC′＝ 6，AC＝ 2· 6＝2 3， 设球的半径为 R， 则 R2＝OC2＋CC′2＝( 3)2＋( 6)2＝9， ∴R＝3，∴S 球＝4πR2＝36π，V 球＝43πR3＝36π.
4．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a，顶点都在一个球面 上，则该球的表面积为( )
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答案
例 3 过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，截面面积是 48π cm2，求球的表面积．
[解] 如图所示，设 O′为截面圆圆心，则 OO′⊥O′A，O′A 为截 面圆的半径，OA 为球的半径 R.
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1．若一个球的体积为 4 3π，则它的表面积为( ) A．12π B．3π C.43π D. 3π
答案 A 解析 设球的半径为 R，则有43πR3＝4 3π，解得 R＝ 3，则球的表面积 S＝4π×( 3)2＝12π.
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答案
解析
3．一个正方体与一个球的表面积相等，那么它们的体积的比值是( )
A.
6π 6
B.
π 2
C.
2π 2
D.3 π π
答案 A

解析 设正方体的棱长为 a，球的半径为 r，则 6a2＝4πr2，即 a＝ 36πr，
所以V正＝ a3 ＝ V球 34πr3
提示：C 球的表面积扩大 2 倍，半径扩大 2倍，从而体积扩大( 2)3＝ 2 2倍．
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提示
3．两个球的半径之比为 1∶3，那么两个球的表面积之比为( ) A．1∶9 B．1∶27 C．1∶3 D．1∶1
提示：A 设两球的半径为 R1，R2，∵R1∶R2＝1∶3，∴两个球的表面 积之比为 S1∶S2＝4πR21∶4πR22＝R21∶R22＝1∶9.
答案
解析
3．平面 α 截球 O 的球面所得圆的半径为 1，球心 O 到平面 α 的距离为 2， 则此球的体积为( )
A. 6π B．4 3π C．4 6π D．6 3π
答案 B 解析 设球的半径为 R，由球的截面性质得 R＝ 22＋12＝ 3，所以 球的体积 V＝43πR3＝4 3π.
答案
解析39
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【即时小测】 1．思考下列问题 (1)用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半 径之间有什么关系？
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提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图 中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．
7.3 球的表面积和体积
[学习目标] 1.了解球的截面． 2.掌握球的表面积和体积公式． 3. 会运用这些公式进行简单的有关计算.
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【主干自填】
1．球的表面积公式：S 球面＝_□0_1__4_π_R_2_(R 为球的半径)．
2．球的体积公式：V 球＝__□0_2_43__π_R_3 (R 为球的半径)．
[解] 如下图所示，作出轴截面，O 是球心，与边 BC、AC 相切于点 D、
E.
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答案
连接 AD，OE，∵△ABC 是正三角形，
∴CD＝12AC.∵CD＝1 cm，∴AC＝2 cm，AD＝ 3 cm， ∵Rt△AOE∽Rt△ACD，∴OAOE＝CADC. 设 OE＝r，则 AO＝( 3－r) cm，∴ 3r－r＝12，
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答案
连接 OO1，则 OO1 是球心到截面的距离． 由于 OA＝OB＝OC＝R， 则 O1 是△ABC 的外心． 设 M 是 AB 的中点，由于 AC＝BC，则 O1 在 CM 上． 设 O1M＝x，易知 O1M⊥AB，则 O1A＝ 22＋x2， O1C＝CM－O1M＝ 62－22－x. 又 O1A＝O1C，∴ 22＋x2＝ 62－22－x.
∴r＝
3 3
cm，V 球＝43π
333＝4273π(cm3)，
即球的体积等于4273π cm3.
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答案
类题通法 截面在有关球计算中的作用
解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为 平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角 面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体 之间的主要位置关系和数量关系．
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答案
解析
2．一个平面截一球得到直径为 6 cm 的圆面，球心到这个平面的距离为
4 cm，则球的体积为( )
100π A. 3
cm3
208π B. 3
cm3
500π C. 3
cm3
416 13π D. 3
cm3
答案 C
解析 由球的性质知，球的半径 R＝ 32＋42＝5，所以 V 球＝43π×53＝5030π (cm3)．
答案
∵48π＝π·AO′2， ∴AO′2＝48. 在 Rt△OO′A 中，OA2＝OO′2＋AO′2， ∴R2＝R2 2＋48，解得 R＝8. ∴S 球＝4πR2＝4π×64＝256π(cm2)． 即球的表面积为 256π cm2.
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类题通法 一般情况下，在球的截面问题中，截面圆的半径、球心到截面的距离、 球的半径之间的数量关系是解决与之有关的计算问题的基础，而球的轴截面 过球的直径的截面是将球的问题立体问题转化为圆的问题平面问题的关 键，因此在解决球的有关问题时，我们必须抓住球的轴截面，并充分利用它 来分析、解决问题.
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类题通法 球的表面积和体积的解题方法
计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的 截面的性质进行求解．已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这 种解题的思想值得重视．
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[变式训练1] 用与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面面积为 2π，
的体积为43πR3＝8 3 2π.
答案
解析
2．若三个球的表面积之比是 1∶2∶3，则它们的体积之比是( )
A．1∶2∶3
B．1∶ 2∶ 3
C．1∶2 2∶3 3 D．1∶4∶7
答案 C 解析 三个球的表面积之比是 1∶2∶3，即 r21∶r22∶r23＝1∶2∶3.∴r1∶ r2∶r3＝1∶ 2∶ 3，∴V1∶V2∶V3＝1∶2 2∶3 3.
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时间：25 分钟
1．用与球心距离为 1 的平面去截球，所得截面面积为 π，则球的体积为
()
32 A. 3 π
8π B. 3
C．8 2π
82 D. 3 π
答案 D 解析 所得截面圆的半径为 r＝1，因此球的半径 R＝ 12＋12＝ 2，球
若球的半径为 R，截面圆的半径为 r，OO′＝d. 在 Rt△OO′C 中，OC2＝OO′2＋O′C2，即 R2＝r2＋d2.
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提示
(2)球的半径为 R，它的体积公式为________，它的表 面积公式________，观察这两个公式，想想它们都有什么特点？
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提示
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例 1 已知过球面上三点 A、B、C 的截面到球心的距离等于球半径的一 半，且 AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积．
[解] 如图所示，设球心为 O，截面圆圆心 O1，球半径为 R，
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[变式训练3] 已知球的两平行截面的面积分别为 5π 和 8π，它们位于球 心的同一侧，且距离为 1，求这个球的体积．
解 作球的轴截面，如下图所示，设以 r1 为半径的截面面积为 5π，以 r2 为半径的截面面积为 8π，O1O2＝1，球的半径为 R，OO2＝x.
提示：V＝43πR3 S＝4πR2 这两个公式说明球的体积和表面积都由球的 半径 R 唯一确定．其中球的体积是半径 R 的三次函数，球的表面积是半径 R 的二次函数，并且表面积为半径为 R 的圆面积的 4 倍．
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提示
2．球的表面积扩大 2 倍，球的体积扩大( ) A．2 倍 B. 2倍 C．2 2倍 D．3 2倍
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答案
易错点⊳考虑问题不全面致误 [典例] 一个球内有相距 9 cm 的两个平行截面，面积分别为 49π cm2 和 400π cm2，求球的表面积． [错解] 如图所示，设 OD＝x，
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由题知 π·CA2＝49π，∴CA＝7 cm. π·BD2＝400π，∴BD＝20 cm. 设球半径为 R，则有 (CD＋DO)2＋CA2＝R2＝OD2＋DB2， 即(9＋x)2＋72＝x2＋202， ∴x＝15，R＝25. ∴S 球＝4πR2＝2500π cm2. [错因分析] 本题错解的原因在于考虑不周，由于球心可能在两个截面 之间，也可能在两个截面的同一侧，因此解决此题要分类讨论．
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课堂小结 1.已知球的半径求球的表面积与体积的计算. 2.利用球的半径、球心到截面圆的距离、截面圆的半径可构成直角三角形， 进行相关计算. 3.解决球与其他几何体的切接问题，通常先作截面，将球与几何体的各量 体现在平面图形中，再进行相关计算.
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解得 x＝742.则 O1A＝O1B＝O1C＝942.
在 Rt△OO1A 中，O1O＝R2，∠OO1A＝90°，OA＝R.
由勾股定理，得R2 2＋9
4
22＝R2.解得
R＝3 2
6 .
故 S 球面＝4πR2＝54π，V 球＝43πR3＝27 6π.
6π 6.
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解析
4．已知底面边长为 1，侧棱长为 2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面 上，则该球的体积为( )
A.323π B．4π C．2π D.43π
答案 D
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答案
解析 因为该正四棱柱的外接球的半径是该正四棱柱体对角线长的一 半，所以半径 r＝12 12＋12＋ 22＝1，所以 V 球＝43π×13＝43π.
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答案
∵r22＝R2－x2， ∴πr22＝π(R2－x2)＝8π. ∵r21＝R2－(x＋1)2， ∴πr21＝π[R2－(x＋1)2]＝5π. 于是 π(R2－x2)－π[R2－(x＋1)2]＝8π－5π， 即 2x＋1＝3，解得 x＝1. 又 π(R2－x2)＝8π，∴R2－1＝8，R2＝9，∴R＝3. ∴球的体积 V＝43π×33＝36π.
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[正解] (1)当球心在两个截面的同侧时，解法同错解． (2)当球心在两个截面之间时，如图所示，设 OD＝x，则 OC＝9－x， 设球半径为 R，可得 x2＋202＝(9－x)2＋72＝R2，
此方程无正数解，即此种情况不可能． 综上可知，球的表面积是 2500π cm2.
则球的体积为( )
32 A. 3 π
B.83π
C．8 2π
D．4 3π
答案 D
解析 所得截面圆的半径为 r＝ 2，因此球的半径 R＝ 12＋ 22＝ 3， 球的体积为43πR3＝4 3π.
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解析
例 2 轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为 1 cm，求球的体积．