数模选修课 传染病与微分方程稳定性

P0
)(
x2
?
g
?
x2
( P0
)(
x2
?
x
0 2
)
x20 )
其系数矩阵为： A
?
????
f g
?
x1
?
x1
f
?
x2
g
?
x2
????
p
?
?(
f
?
x1
?
g
?
x2
)
|P0
q ?| A|
p > 0 且 q > 0 时平衡点 P0 稳定；
p < 0 或 q < 0 时平衡点 P0 不稳定.
案例：生物种群的竞争模型
调整临床医疗策略
SI模型结果分析
这个模型的缺陷是显而易见的. 比如t →+∞时，i(t) →1，这表明本地区最后所有人都会被感 染。出现这种结果的原因是假设系统中只有两种人，即病人 和易感人群，而且没有考虑病人会被治愈的因素。
2、SIS 模型（可治愈但不免疫模型）
1.假设(前面四条都和模型A一样，再添加一条) （5）病人以固定的比率痊愈，再次成为易感人群。每天被治
设同一环境中有甲、乙两个种群， x1(t)、x2(t)分别 记t时刻甲、乙种群的数量； r 1、r 2为各自固有的增 长率， N1、N2为各自环境最大容量。据此建立下面 的模型：
x1?(t ) ?
r1 x1(1 ?
x1 N1
??1
x2 ) N2
x2?(t) ?
r2 x2 (1 ? ?
2
x1 N1
?
x2 ) N2
构造模型
令Δt → 0，得到微分方程：
这个模型可以用于预报传染 病爆发早期，患病人数的发 展规律，并预测传染高峰的 时间。
SI模型图形分析
i
di/dt
1
(dI/dt)m
1/2
i0
tm
t
病人比例随时间的变化规律
0 1/2
i
病人数增长速率与病人数的关系
增派防疫、医疗人员
采取放假、隔离等措施
普及防疫措施、知识
其中? 1，? 2 是非常关键的指标，反映一个种群对另 一种群的竞争能力。
稳定性分析（竞争的结局）
x1?(t ) ? r1 x1(1 ?
x1 N1
?
?
1
x2 N2
)
=f=0
x2?(t )
?
r2 x2 (1 ?
?
2
x1 N1
?
x2 ) N2
=
g
=
0
得到四个平衡点： P1(N1,0), P2(0,N2),
? 二是提高1/σ使之大于s0，σ=λ/μ,也就是降低λ而提高μ，强化 卫生教育和隔离病人，同时提高医疗水平。
参数估计
对参数σ的估计： 令解两端同时取t→+∞，因为 i ? = 0 ，得到
根据历史数据和此公式就可以得到σ的估计值。 关于传染病模型，我们还可以进一步考虑更复杂的情形，如考 虑出生率、死亡率、防疫措施的作用、潜伏期等。
? 因此完全可以采用其他形式的状态转移模型加以描述。 ? 采用常微分方程的主要优势在于分析方法和计算方法都比
较成熟，更容易得到丰富的结论。
三、稳定性模型
? 对象仍是动态过程，建模目的变成了时间充分 长以后会如何？即研究事物最终的发展趋势。
? 借助微分方程稳定性理论，不求解微分方程， 描述事物某些特征的最终稳定状态。
P 2(0,N 2),
P3(0,0),
P4????
N1(1? ? 1) 1? ? 1? 2
,
N2(1? ? 2) 1? ? 1? 2
????
p
P1
r 1-r 2(1- ? 2 )
P2
-r 1(1-? 1)+ r 2
P3
-(r 1+r 2)
[r P4
1(1-? 1)+ r 2(1-? 2)](1-? 1? 2)-1
可以求数值解
初值条件为i(0) = i0，r(0) = r0 ，s(0) = s0。
模型求解
采用常微分方程定性理论的分析办法，将方程组转化成下面的 形式：
其中s≥0，i≥0且s+i≤1。
这个方程是可以求解析解的。
模型分析
下面我们来看随着时间的推移，s(t)、I (t)、r(t) 的变化规律。 首先，t →+∞时，分别以s ? , i? , r ? 记各自的极限，这些极限 都存在。
模型分析
其次，考虑随着t的变化，i-s平面上解的轨线变化情况。大 概的走势图为：
i 1
0 1/σ
σ=λ∕μ
s
s0 > 1/? 时，i(t) 先升后降至0
传染病蔓延
i
1
s0 < 1/? 时，i(t) 单调降至0 传染病不会蔓延开来
0 1/σ
s
模型分析
? 1/σ是一个边界点，为了让传染病不蔓延，需要调整 s0和1/σ。 具体的方法：一是降低 s0，如接种疫苗，使 S类人群直接变 成R类；
SI R
1、SI 模型（只考虑 S和I 两类人）
(1) 人群个体之间没有差异。病人与易感者 在人群中混合均匀，记s(t)为t时刻健康人占 总人口的比例，i(t)为t时刻病人的比例，则 s(t)+ i(t)=1 。 (2)人群数量足够大，s(t)和i(t)可以视为连续且可微的。 (3) 每个I类人每天“有效接触”的人数为常数 λ。 (4)不考虑出生与死亡，以及人群的迁入迁出因素。
3、 ? 1<1，? 2<1
几何分析表明，此时P4 稳定。
x2 ? =0
(0,N2) P4
(N1,0)
? =0 x1
x2 N2
x1?(t ) ? r1 x1(1 ? x1 / N1 ? ? 1 x2 / N 2 ) x?2(t) ? r2 x2 (1 ? ? 2 x1 / N1 ? x2 / N 2 )
N2/? 1
P3
O
N1/ ? 2
N1 x1
4、? 1>1，? 2>1，方程的解不存在统一的发展 趋势。
求解这个方程，得到解为
模型求解
σ=λ ∕ μ
σ>1时，t →+∞ 则 i(t) →1-1/σ。
σ<1，t →+∞ 时 i(t) →0. 画出解的图象为 ：
i i0
1-1/σ
i0 t
模型结果分析
σ=λ ∕ μ
i σ<1，t →+∞时 i(t)→0.
i0
0
t
3、SIR模型（免疫模型）
1、假设：这里的假设类似于模型B，只是引入R类人群。分别 记s(t)、i(t)、r(t) 为病人、易感人群、移出者在总人口中所 占的比例。s(t)+ i(t)+ r(t) = 1 。另外，日接触率λ，日治愈 率μ。 根据假设，模型被修正为 注意：此方程组无法求解 析解。
比如，商品的价格与其价值的变化关系；食肉动物 与草食性动物数量的变化规律；侵入人体的病菌与 白血球的数量变化关系；投入一粒石子的池塘水面 振幅变化规律。
随着时间的推移，最终的结局是什么？
事物发展的稳定与不稳定
事物的某些特征
时间
这些现象在现实中都有实用背景和研究价值
一阶微分方程组
? ? ?
x?1 x?2
x1?(t) ?
r1 x1(1 ?
x1 N1
??1
x2 ) N2
?
x?2(t ) ?
r2 x2 (1 ? ?
2
x1 N1
?
x2 ) N2
?
1、 ? 1<1，? 2>1
x2
几何分析表明，此时P1(N1,0), 稳定。
(0,N2)
? =0 S1
S1 : x1? ? 0, x2? ? 0; S 2 : x1? ? 0, x2? ? 0; S 3 : x1? ? 0, x2? ? 0.
模型分析
i? = 0 ?（用反证法） 假设i? ? 0 ，那么必然有 i ? = ? > 0。 根据极限的定义，对于充分大的t，都应该有i(t)>ε/2 ，把这 个结论代入方程组。
dr/dt=μi >με/2
这会导致r(t)→+∞ ，这跟上面r(t) 的极限也存在的结论有矛 盾。
所以只能有： i ? = 0 。 也就是说传染病最终将消失。
(t (t
) )
? ?
f ( x1 , x2 ) g( x1, x2 )
首先求方程组的平衡点：
? ? ?
f g
( x1, x2 ) ( x1, x2 )
? ?
0 0
设解得实根为
x1 ?
x10 , x 2 ?
x
0 2
,
记为
P0
(பைடு நூலகம்
x10
,
x
0 2
)
若
P0 稳定，则应有：
lim
t? ?
x1(t ) ?
x
0 1
S3
? =0
S2
(N1,0)
x1
x1?(t) ?
r1 x1 (1 ?
x1 N1
??1
x2 ) N2
x2?(t) ?
r2 x2 (1 ? ? 2
x1 N1
?
x2 ) N2
2、 ? 1>1，? 2<1
S 1 : x1? ? 0, x ?2 ? 0; S 2 : x1? ? 0, x 2? ? 0; S 3 : x1? ? 0, x 2? ? 0.
一、传染病模型
传染病爆发期间，感染人数会怎样变化？哪些因素对其传染 效率的影响最大？
建立传染病要考虑的因素非常多，如传染速度、医疗能力、 死亡、新生人口数量、人口年龄性别结构等。具体到不同的 疾病，还有传播途径、发作速度等问题。
此外，传染病模型可以参照用于讨 论计算机病毒的传播特征等方面。
模型目标
P
3(0,0),P4????
N1(1? ? 1 1? ? 1? 2
)
,
N2(1? ? 2 1? ? 1? 2
)
????
p
?
?(
f
?
x1
?
g
?
x2
)
|P0
q?
f
?
x1
g
?
x1
f
?
x2
g ?x2 P0
p > 0 且 q > 0 时 P0 稳定. p < 0 或 q < 0 时 P0 不稳定.
P1(N1,0),
问题
? 描述传染病的传播过程 ? 分析受感染人数的变化规律 ? 预报传染病高潮到来的时刻 ? 预防传染病蔓延的手段 ? 按照传播过程的一般规律，用机
理分析方法建立模型
模型假设
基本假设：传染病是由病人通过 “接触”健康人进行传播的. 疾病流行区域内的人分为三类： S类(易感人群)；I类(病人)；R类 (移出者)。 为简单起见，假设本地区总人口 不变，为N。
其他类型的传染病模型
? SIES 模型——健康－染病－潜伏期－健康不免疫 ? SIER 模型——健康－染病－潜伏期－移出系统 ? SIRS 模型——健康－染病－短时免疫－健康(易感) ? 考虑抵抗能力 ? 考虑地域传播 ? 考虑传播途径(接触、空气、昆虫、水源等)
? 传染病模型本质上就是状态转移的一个速度方程，如果具 有多个状态，则需要多个方程组成的方程组。
几何分析表明，此时P2(0,N2), 稳定。
?
( x1(0), x2(0))
?
x2 (0,N2)
? =0
S3
? =0
S1
S2
(N1,0)
x1
x1?(t ) ?
r1 x1 (1 ?
x1 N1
??1
x2 ) N2
?
x2?(t ) ?
r2 x2 (1 ? ? 2
x1 N1
?
x2 ) N2
?
( x1(0), x2(0))
愈的病人数占病人总数的比例为μ。
μ表示日治愈率，表现的是本地区的医疗水平，所以1/μ就可 以表示传染病的平均感染期，也是一个病人从发病到被治愈 经历的时间。
根据假设5，Logistic 模型被修改为：
构造模型
定义一个常数σ=λ∕μ，根据λ和1/μ的定义，σ就是一个病人在整 个患病期间有效接触的平均人数，这在模型里被称为接触数。 将σ代入方程中，得到
q -r 1r 2(1-? 2) -r 1r 2(1-? 1)
r 1r 2 r 1r 2(1-? 1)(1-? 2)(1-? 1? 2)-1
稳定条件 ? 2>1 (? 1<1) ? 1>1 (? 2<1)
不稳定 ? 1<1， ? 2<1
p>0 而且q>0
当稳定性定理无法给出全部稳定性条件时，我们需要 结合使用几何方法。
,
lim
t? ?
x2(t) ?
x
0 2
.
其次将方程组线性化：
? ? ?
x?1 x?2
(t (t
) )
? ?
f ( x1, x2 ) g( x1, x2 )
?? ???
x?1 x?2
(t (t
) )
? ?
f
?
x1
(
P0
)(
x1
?
g?x1 (P0 )( x1 ?
x10 ) ? x10 ) ?
f
?
x2
(