江西省2021届高三数学上学期第一次周考(理A层)(13班)

江西省信丰中学2021届高三数学上学期第一次周考（理A 层）（13班）
一．选择题（50分）
1．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (2x )的图像的对称轴方程是( ) A ．x ＝－1 B ．x ＝－1
2 C ．x ＝1
2 D ．x ＝1
3若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( ) A ．2 B ．0 C ．1
D ．－1 4若函数f (x )＝2x ＋1
2x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)
5已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )
A ．f (－25)<f (11)<f (80)
B ．f (80)<f (11)<f (－25)
C ．f (11)<f (80)<f (－25)
D ．f (－25)<f (80)<f (11)
6函数y ＝x 3
3x －1的图像大致是( )
7已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 3
，x ≤0，
g (x )，x >0，若f (2－x 2
)>f (x )，则实数x 的取值范围是( )
A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C ．(1,2)
D ．(－2,1)
8．对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确的个数为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
9已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2
＋mx ＋7
2(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 的值为( )
A ．－1
B ．－3
C ．－4
D ．－2
10已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]
x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫
43，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤
43，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，32
D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32
二．填空题
11设二次函数f (x )＝ax 2
＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为________．
12已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|lg x |，x >0，
2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．
13已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2
)<x 2
2＋1
2的解集为________． 三．解答题
14在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2
＝31＋2sin 2θ，点R ⎝ ⎛
⎭⎪⎫22，π4.
(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程
化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．
15在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝t cos α，
y ＝t sin α
(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.
在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．
2021年高三上学期高三（13）班第一次周考试卷（理A ） 命题人：
二．选择题（50分）
1．设x ∈R ，则“1<x <2”是“|x －2|<1”的( A ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
2若函数y ＝f (2x ＋1)是偶函数，则函数y ＝f (2x )的图像的对称轴方程是( c ) A ．x ＝－1 B ．x ＝－1
2 C ．x ＝12 D ．x ＝1
3若f (x )对于任意实数x 恒有2f (x )－f (－x )＝3x ＋1，则f (1)＝( A ) A ．2 B ．0 C ．1
D ．－1
4若函数f (x )＝2x
＋1
2x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( C ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1，＋∞)
5已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( D )
A ．f (－25)<f (11)<f (80)
B ．f (80)<f (11)<f (－25)
C ．f (11)<f (80)<f (－25)
D ．f (－25)<f (80)<f (11)
6函数y ＝x 3
3x －1的图像大致是( c )
7已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 3
，x ≤0，
g (x )，x >0，若f (2－x 2
)>f (x )，则实数x 的取值范围是( D )
A ．(－∞，1)∪(2，＋∞)
B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
C ．(1,2)
D ．(－2,1)
8．对于函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，给出如下三个命题：①f (x ＋2)是偶函数；②f (x )在区间(－∞，2)上是减函数，在区间(2，＋∞)上是增函数；③f (x )没有最小值．其中正确的个数为( B )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．0
解析：选B 因为函数f (x )＝lg(|x －2|＋1)，所以函数f (x ＋2)＝lg(|x |＋1)是偶函数；
因y ＝lg x ―――――――――――→图象向左平移1个单位长度
y ＝lg(x ＋1)―――――――――――――――――――――――――――――→去掉y 轴左侧的图象，以y 轴为对称轴，作y 轴右侧的对称图象
y ＝lg(|x |＋1)―――――――――――→图象向右平移2个单位长度
y ＝lg(|x －2|＋1)，如图，可知f (x )在(－∞，
2)上是减函数，在(2，＋∞)上是增函数；由图
象可知函数存在最小值为0. 所以①②正确．
9已知f (x )＝ln x ，g (x )＝12x 2
＋mx ＋72(m <0)，直线l 与函数f (x )，g (x )的图像都相切，且与f (x )图像的切点为(1，f (1))，则m 的值为( D )
A ．－1
B ．－3
C ．－4
D ．－2
10已知x ∈R ，符号[x ]表示不超过x 的最大整数，若函数f (x )＝[x ]
x －a (x ≠0)有且仅有3个零点，则实数a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫
43，32 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤
43，32 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤12，23∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫54，32
D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤54，32
解析：选A 当0<x <1时，f (x )＝[x ]
x －a ＝－a ；
1≤x <2时，f (x )＝[x ]x －a ＝1
x －a ； 2≤x <3时，f (x )＝[x ]x －a ＝2
x －a ；….
f (x )＝[x ]x －a 的图像是把y ＝[x ]x 的图像进行纵向平移而得到的，画出y ＝[x ]
x 的图像，如
图所示，通过数形结合可知a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤34，45∪⎣⎢⎡⎭⎪⎫
43，32.
二．填空题
11设二次函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在[－3,2]上有最大值4，则实数a 的值为________． －3或3
8
12已知f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
|lg x |，x >0，2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点个数是________．答案：
5
解析：方程2f 2
(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝1
2或1.作出y ＝f (x )的图像，由图像知零
点的个数为5.
13已知函数f (x )(x ∈R)满足f (1)＝1，且f (x )的导数f ′(x )<12，则不等式f (x 2
)<x 22＋1
2的解集为________．
解析：设F (x )＝f (x )－12x ，∴F ′(x )＝f ′(x )－12，∵f ′(x )<12，∴F ′(x )＝f ′(x )－12<0，即函数F (x )在R 上单调递减．∵f (x 2
)<x 22＋12，∴f (x 2
)－x 2
2<f (1)－1
2，∴F (x 2)<F (1)，而函数
F (x )在R 上单调递减，∴x 2>1，即x ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
答案：(－∞，－1)∪(1，＋∞)
三．解答题
14在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2
＝31＋2sin 2
θ，点R ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，π4.
(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；
(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值，及此时P 点的直角坐标．
解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，
∴曲线C 的直角坐标方程为x 2
3＋y 2
＝1，
点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，
根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin(θ＋60°)， 当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4，
此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，12.
15在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝t cos α，
y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.
在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.
(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；
(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2
＋y 2
－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.
联立⎩⎨⎧
x 2＋y 2
－2y ＝0，x 2＋y 2
－23x ＝0，
解得⎩
⎪⎨⎪⎧
x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝3
2，y ＝32.
所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫
32，32.
(2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)， 其中0≤α＜π.
因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛
⎭⎪⎫α－π3 . 当α＝5π
6时，|AB |取得最大值，最大值为4.。