山东省德州市2019届高三数学第二次练习试题文(含解析)

山东省德州市2019届高三数学第二次练习试题 文（含解析）
一、选择题。

1.设全集U =R ，集合{
}
2
21|{|}x
M x x x N x =≤=，＜
，则U M N =ð（ ）
A. []0,1
B. (]0,1
C. [
)0,1
D.
(],1-∞
【答案】A 【解析】 【分析】
求出集合M 和集合N,，利用集合交集补集的定义进行计算即可．
【详解】{}2
0121{|}|{|}{|}0x
M x x x x x N x x x =≤=≤≤==，＜
＜， {}|0U N x x =≥ð，
则{}01
1|]0[U M
N x x =≤≤=，ð， 故选：A ．
【点睛】本题考查集合的交集和补集的运算，考查指数不等式和二次不等式的解法，属于基础题．
2.已知复数()11z ai a R =+∈，212z i =+（i 为虚数单位），若1
2
z z 为纯虚数，则a =（ ） A. 2- B. 2
C. 12-
D.
12
【答案】C 【解析】 【分析】
把()12112z ai a R z i =+∈=+，代入1
2
z z ，利用复数代数形式的除法运算化简，由实部为0且虚部不为0求解即可．
【详解】∵()12112z ai a R z i =+∈=+，，
∴
121(1)(12)12212(12)(12)55
z ai ai i a a i z i i i ++-+-===+++-， ∵
1
2
z z 为纯虚数， ∴12020
a a +=⎧⎨-≠⎩，解得12a =-．
故选：C ．
【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题．
3.如图，在边长为2的正方形中，随机撒1000粒豆子，若按π≈3计算，估计落到阴影部分的豆子数为（ ）
A. 125
B. 150
C. 175
D. 200
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意求出阴影部分的面积为1
2
，利用1210004
n =，可得结果．
【详解】由题意知圆的半径为1，则圆的面积近似为3， 又正方形面积为4，则阴影部分面积为11
(43)0.522
-==. 设落到阴影部分的豆子数为n ，
则1
2,12510004
n n ==．
故选：A ．
【点睛】本题考查几何概型概率的求法，求阴影部分面积是关键，属于基础题．
4.已知椭圆22221x y a b +=（a ＞b ＞0）与双曲线22221
2
x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的焦点相同，则
双曲线渐近线方程为（ ）
A. y x =
B. y =
C. 2
y x =±
D. y =
【答案】A 【解析】 【分析】
由题意可得222222a b a b -=+，即223a b =，代入双曲线的渐近线方程可得答案.
【详解】依题意椭圆22221(a b 0)x y a b +=>>与双曲线22221
(a 0,b 0)2
x y a b -=>>即
22
22
1(a 0,b 022
)x y a b -=>>的焦点相同，可得：22
221122
a b a b -=+， 即223a b =
，∴b a =
=
双曲线的渐近线方程为：3x y x
=±=,
故选：A ．
【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质，考查渐近线方程的求法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
5.港珠澳大桥于2018年10月2刻日正式通车，它是中国境内一座连接香港、珠海和澳门的桥隧工程，桥隧全长55千米．桥面为双向六车道高速公路，大桥通行限速100km /h ，现对大桥某路段上1000辆汽车的行驶速度进行抽样调查．画出频率分布直方图（如图），根据直
方图估计在此路段上汽车行驶速度在区间[85，90）的车辆数和行驶速度超过90km /h 的频率分别为（ ）
A. 300，0.25
B. 300，0.35
C. 60，0.25
D. 60，
0.35
【答案】B 【解析】 【分析】
由频率分布直方图求出在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，
的频率即可得到车辆数，同时利用频率分布直方图能求行驶速度超过90/km h 的频率． 【详解】由频率分布直方图得：
在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，
的频率为0.0650.3⨯=， ∴在此路段上汽车行驶速度在区间)[8590，
的车辆数为：0.31000300⨯=， 行驶速度超过90/km h 的频率为：()0.050.0250.35+⨯=． 故选：B ．
【点睛】本题考查频数、频率的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
6.已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0+∞，
上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()()22f log a f ＜，则a 的取值范围是（ ）
A. 10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
B. 1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
C. 1,44⎛⎫
⎪⎝⎭
D.
()4,+∞
【答案】C 【解析】 【分析】
由题意可得函数()f x 为偶函数，又由函数()f x 在区间)[0+∞，
上单调递增，可将已知不等式转为
()()222||||2f log a f log a ⇒＜＜，可得a 的取值范围．
【详解】根据题意，()1y f x =-的图象关于1x =对称，则函数()f x 的图象关于y 轴对
称，即函数()f x 为偶函数，又由函数()f x 在区间)[0+∞，
上单调递增， 则()()()()222||22|2|f log a f f log a f log a ⇒⇒＜＜＜， 即222log a -<＜，解得：1
44
a <<， 即a 的取值范围为1,44⎛⎫ ⎪⎝⎭
； 故选：C ．
【点睛】本题考查函数单调性与奇偶性的应用，考查对数不等式的解法，属于基础题.
7.设函数()()21,04,0x log x x f x x ⎧-<=⎨≥⎩
，则()()233f f log -+=（ ）
A. 9
B. 11
C. 13
D. 15
【答案】B 【解析】 【分析】
根据自变量所在的范围代入相应的解析式计算即可得到答案. 【详解】∵函数2log (1),0
()4,0x
x x f x x -<⎧=⎨
≥⎩
， ∴()2l 23
og 2(3)log 3log 44f f -+=+=2+9=11．
故选：B ．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查指对函数的运算性质，是基础题．
8.已知数列{}n a 是公比不为1的等比数列，n S 为其前n 项和，满足22a =，且1471692a a a ，，
成等差数列，则3S =（ ） A. 5 B. 6
C. 7
D. 9
【答案】C 【解析】 【分析】
设等比数列的公比为q ，且q 不为1，由等差数列中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得首项和公比，再由等比数列的求和公式，可得答案．
【详解】数列{}n a 是公比q 不为l 的
等比数列，满足22a =，即12a q
=，
且1471692a a a ，
，成等差数列，得41718162a a a =+，即3611198a q a a q =+，
解得121q a ==，，
则3
312S 712
-==-．
故选：C ．
【点睛】本题考查等差数列中项性质和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
9.设a ，b 都是不等于1的正数，则“22a b log log ＜”是“222a b ＞＞”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
【答案】C 【解析】 【分析】
根据对数函数以及指数函数的性质求解a,b 的范围，再利用充分必要条件的定义判断即可．
【详解】由“l 22og log a b <”，得2211
log log a b
<，
得22log 0log 0
a b <⎧⎨>⎩或220log a log b ＞＞或220log a log b ＞＞， 即01
1
a b <<⎧⎨
>⎩或1a b ＞＞或01b a ＜＜＜，
由222a b ＞＞，得1a b ＞＞，
故“22
log log a b <”是“222a b ＞＞”的必要不充分条件，
故选：C ．
【点睛】本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查指数，对数不等式的解法，是基础题．
10.已知函数()[]010x x f x x x ⎧≥⎪
=⎨⎪⎩
，，＜（[]x 表示不超过x 的最大整数），若()0f x ax -=有且
仅有3个零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A. 12,23⎛⎤ ⎥⎝⎦
B. 12,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭
C. 23,34⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D.
23,34⎛⎤ ⎥⎝⎦
【答案】A 【解析】 【分析】
根据[x]的定义先作出函数f （x ）的图象，利用函数与方程的关系转化为f （x ）与g （x ）=ax 有三个不同的交点，利用数形结合进行求解即可． 【详解】当01x ≤＜时，[]
0x =， 当12x ≤＜时，[]
1x =， 当23x ≤＜时，[]2x =， 当34x ≤＜时，[]3x =，
若()0f x ax -=有且仅有3个零点，
则等价为()=f x ax 有且仅有3个根， 即()f x 与()g x ax =有三个不同的交点， 作出函数()f x 和()g x 的图象如图，
当a=1时，()g x x =与()f x 有无数多个交点，
当直线()g x 经过点21A （，）时，即()221g a ==，1
2a =时，()f x 与()g x 有两个交点， 当直线()g x 经过点()32B ，时，即()332g a ==2
3
a =，时，()f x 与()g x 有三个交点，
要使()f x 与()g x ax =有三个不同的交点，则直线()g x 处在过12y x =和2
3
y x =之间，
即1223
a ≤＜， 故选：A ．
【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
11.已知椭圆：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为12F F 、，P 为椭圆上的一点2PF 与
椭圆交于Q 。

若1PF Q ∆的内切圆与线段1PF 在其中点处相切，与PQ 切于2F ，则椭圆的离心率为( )
【答案】D 【解析】 【分析】
结合题意,证明得到三角形1PF Q 为等边三角形,对三角形12PF F 运用余弦定理,计算离心率,即可.
【详解】
结合题意可知1=,PM MF 结合内切圆的性质,可得2=PM PF ,结合椭圆的性质
212PF PF a +=,而2112PF PF =
,所以2124
,33
PF a PF a ==,结合内切圆的性质,可以得出112,3FC F M a ==结合椭圆的性质,可得2
2
3QC QF a ==,由此可知1PF Q ∆为等边三角形,进而得出0
160F PQ ∠=,对三角形12F PF 运用余弦定理,得到
()22
20
242422cos603333a a a c a ⎛⎫⎛⎫+-=⋅⋅ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
,解得c e a ==,故选D. 【点睛】本道题考查了椭圆基本性质,考查了余弦定理,难度偏难.
12.已知△ABC 中，22BC BA BC =⋅=-，．点P 为BC 边上的动点，则()
PC PA PB PC
⋅++的最小值为（ ）
A. 2
B. 34
-
C. 2-
D. 2512
-
【答案】D 【解析】 【分析】
以BC 的中点为坐标原点，建立直角坐标系，可得()()1010B C -，，，，设()()0Pa Ax y ，
，，，运用向量的坐标表示，求得点A 的轨迹，进而得到关于a 的二次函数，可得最小值． 【详解】以BC 的中点为坐标原点，建立如图的直角坐标系，
可得()()1010B C -，
，，，设()()0P a A x y ，，，， 由2BA BC ⋅=-，
可得()()120222x y x +⋅=+=-，
，，即20x y =-≠，， 则()
()()101100PC PA PB PC a x a a a y ⋅++=-⋅---+-++，
， ()()()()21312332a x a a a a a =--=---=--
2
1253612a ⎛
⎫=-- ⎪⎝
⎭，
当16
a =
时，()
PC PA PB PC ⋅++的最小值为2512-．
故选：D ．
【点睛】本题考查向量数量积的坐标表示，考查转化思想和二次函数的值域解法，考查运算能力，属于中档题．
二、填空题。

13.设向量a ，b 不平行，向量1
4
a b λ+与a b -+平行．则实数λ=______． 【答案】-4
【解析】 【分析】
由两个向量平行的充要条件可得得1
4
a b a b λμμ+
=-+，从而可求出λ． 【详解】∵,a b 不平行，∴0a b -+≠；
又1
4
a b λ+
与a b -+平行； ∴存在实数μ，使()
1
4
a b a b λμ+=-+；
∴根据平面向量基本定理得，114
μλμ-=⎧⎪
⎨=⎪⎩∴λ=-4．
故答案为：-4．
【点睛】本题考查共线向量基本定理，以及平面向量基本定理，向量的数乘运算，属于基础题．
14.设,x y 满足约束条件20
2010x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪-≥⎩
．则2z x y =+的最小值是______．
【答案】-1 【解析】 【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．
【详解】x 、y 满足约束条件2020
10x y x y y +-≤⎧⎪
-+≥⎨⎪-≥⎩
可行域如图：
目标函数2z x y =+，即y=-2x+z,
观察图像可得目标函数经过点A 时取得最小值， 又点()11A
-，
，min 211z =-+=- 故答案为：-1．
【点睛】本题考查简单线性规划求解目标函数的最值问题，其中解答中正确画出不等式组表示的可行域，利用“一画、二移、三求”，确定目标函数的最优解是解答的关键，着重考查数形结合思想，及推理与计算能力，属于基础题．
15.如图．网络纸上小正方形的边长为1．粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为______．
【答案】83
π
+
【解析】 【分析】
根据三视图知该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，结合图中数据即可求出体积． 【详解】根据三视图知，该几何体是三棱柱与半圆锥的组合体，如图所示；
结合图中数据，计算它的体积为
21112241282233
V V V ππ=+=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=+三棱柱半圆锥．
故答案为：83
π
+
．
【点睛】本题以三视图为载体考查几何体的
体积，解题的关键是对给出的三视图进行恰当的分析，从三视图中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，然后结合相应的公式求解．
16.设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知1212a a ==，
，且2123n n n a S S ++=-+，记22122n n n b log a log a -=+，则数列(){
}
21n
n b -⋅的前10项和为______．
【答案】200 【解析】 【分析】
由已知求3a ，利用递推公式可得数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，从而可求n b ，即可求和.
【详解】∵1212a a ==，，且2123n n n a S S ++=-+， ∴32332a =-+=， ∵2123n n n a S S ++=-+，
∴2n ≥时，1123n n n a S S +-=-+， 两式相减可得，()()21112
n n n n n n S a a S S S ++-+-=---，
（2n ≥） 即2n ≥时，2112n n n n a a a a +++-=-即22n n a a +=， ∵312a a =，
∴数列{}n a 的奇数项和偶数项分别成等比数列，公比均为2，
12222n n n a -=⨯=，1121122n n n a ---=⨯=
∴22122121n n n b log a log a n n n -=+=-+=-， 则数列()()
()
22
1211n
n
n b n -⋅-=-，则
(){}21n
n
b -⋅的前10项和为
()()
(
)
22222231751917S =-+-+
+-
()2412202836=⨯++++
200=
故答案为：200
【点睛】本题考查数列的递推公式在数列的通项公式求解中的应用，考查等比数列的通项公式及数列的求和方法的应用，属于中档题.
三、解答题。

17.在锐角V ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别是a ，b ，c ，已知
()π2122sin A cos B C cosA ⎛
⎫+-+=-+ ⎪⎝
⎭．
（1）求角A 的大小；
（2）若V ABC 的面积3S b ==．求sinC 的值．
【答案】(1) 3
A π
= (2) sinC =
【解析】 【分析】
（1）利用三角函数恒等变换化简已知等式可得cosA 的值，结合A 的范围，可得A 值；（2）利用三角形的面积公式可求bc 的值，从而解得c 的值，由余弦定理可求a 的值，由正弦定理可求sinC 的值．
【详解】（1）∵()π2122sin A cos B C cosA ⎛
⎫+-+=-+ ⎪⎝
⎭．
∴212cos A cosA cosA +=-+，即：22112cos A cosA cosA -+=-+， 可得：220cos A cosA -=，解得：1
2
cosA =或0cosA =， ∵V ABC 为锐角三角形， ∴12
cosA =
，可得：3A π=
（2）∵1122ABC
S bcsinA bc =
==12bc =， 又3b =，可得：4c =， 在V ABC 中，由余弦定理可知，
222
1 2169243251213
2
a b c bccosA
=+-=+-⨯⨯⨯=-=，
∴a=，
在V ABC中，由正弦定理可知，
a c sinA sinC
=，
可得：
4
13
c sinA
sinC
a
⋅
===
【点睛】本题考查三角函数恒等变换的应用，考查三角形的面积公式，余弦定理和正弦定理在解三角形中的综合应用，考查计算能力，属于基础题．
18.某高校共有10000人，其中男生7500人，女生2500人，为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集200位学生每周平均体育运动时间的样本数据（单位：小时）．调查部分结果如下2×2列联表：
（1）完成上述每周平均体育运动时间与性别的2×2列联表，并判新是否有95%把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”；
（2）已知在被调查的男生中，有5名数学系的学生，其中有2名学生每周平均体育运动时间超过4小时，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰有1人“每周平均体育运动时间超过4小时”的概率．
附．()()()()
2
2
()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n a b c d
=+++．
【答案】(1)见解析；(2) 3
5
【解析】 【分析】
（1）根据题目中的数据填写列联表，计算观测值，并由临界值表比较可得结论；（2）由列举法以及古典概型概率公式可得答案. 【详解】（1）收集女生人数为2500
2005010000
⨯=，男生人数为20050150-=，即应收集50
为女生，150位男生的样本数据，
∴22
200(353020115)5000
5.22 3.8411505014555957
K ⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，
所以有95%把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关” （2）设a i 表示每周平均体育运动时间超过4小时的学生，i =1，2，
b j 表示每周平均体育运动时间不超过4小时的学生，j =1，2，3，
从5名数学系学生任取2人的可能结果构成基本事件，
()()()()()()()()()(){}12111213212223121323a a a b a b a b a b a b a b b b b b b b Ω=，，，，，，，，，，，，，，，，，，，
，共10个基本事件组成，且这些基本事件是等可能的，设A 表示“2人中恰有一人每周平均体育运动时间超过4小时”，
则()()()()()()111213212223{}A a b a b a b a b a b a b =，，，，，，，，，，，
， A 由6个基本事件组成，由古典概型概率公式得，()63
105
P A =
=．
【点睛】本题考查古典概型的
概率计算，以及独立性检验的应用，利用列举法是解决本题的
关键,对于古典概型，要求事件总数是可数的，满足条件的事件个数可数，用满足条件的事件个数除以总的事件个数即可.
19.如图，四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，E 为线段AD 的中点，且
2AE ED BC ===．4PA PD PB ===．PB AC ⊥．
（1）证明：平面PBE ⊥平面PAC ；
（2）若BC AD ∥，求三棱锥P ACD -的体积． 【答案】(1)见证明；(2)4 【解析】 【分析】
（1）由面面垂直的性质得PE ⊥平面ABCD ，故PE AC ⊥，结合PB AC ⊥可得AC ⊥平面PBE ，由面面垂直的判定定理可得到证明；（2）根据四边形BCDE 是平行四边形可证明
AC CD ⊥，利用勾股定理计算各线段长度，代入棱锥的体积公式计算即可．
【详解】（1）证明：∵PA PD =，E 是AD 的中点，∴PE AD ⊥， 又∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD
平面ABCD AD =，
∴PE ⊥平面ABCD ，又AC ⊂平面ABCD ， ∴PE AC ⊥，又PB AC ⊥，PE
PB P =，
∴AC ⊥平面PBE ，又AC ⊂平面PAC ， ∴平面PBE ⊥平面PAC ．
（2）解：由（1）知AC ⊥平面PBE ，故AC BE ⊥，
∵1
2
BC AD BC AD DE ==∥，
， ∴四边形BCDE 是平行四边形，∴CD BE CD BE =，∥， ∴AC CD ⊥，
∵4PA PD PB ===，2AE DE BC ===，∴ PE ==
∴2BE ==
，即2CD =，∴ AC ==．
∴111
24332
P ACD ACD V S PE -∆=
⋅=⨯⨯⨯=． 【点睛】本题考查面面垂直的判定定理和性质定理的应用，考查棱锥的体积计算，考查空间想象能力和计算能力，属于中档题．
20.已知点P 在抛物线()2
20C x py p =：＞上，且点P 的横坐标为2，以P 为圆心，PO 为
半径的圆（O 为原点），与抛物线C 的准线交于M ，N 两点，且2MN =． （1）求抛物线C 的方程；
（2）若抛物线的准线与y 轴的交点为H ．过抛物线焦点F 的直线l 与抛物线C 交于A ，B ，且AB HB ⊥，求AF BF -的值． 【答案】(1) 2
4x y = (2)4 【解析】 【分析】
（1）将点P 横坐标代入抛物线中求得点P 的坐标，利用点P 到准线的距离d 和勾股定理列方程求出p 的值即可；（2）设A 、B 点坐标以及直线AB 的方程，代入抛物线方程，利用根与系数的关系，以及垂直关系，得出关系式，计算AF BF -的值即可．
【详解】（1）将点P 横坐标2P x =代入2
2x py =中，求得2
P y p
=
， ∴P （2，2p
），2
2
44OP p =+， 点P 到准线的距离为22
p d p =
+， ∴2
2
2
||||2MN OP d ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
，
∴22
222212p p p ⎛⎫⎛⎫
+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
解得24p =，∴2p =， ∴抛物线C 的方程为：2
4x y =；
（2）抛物线24x y =的焦点为F （0，1），准线方程为1y =-，()01H -，
； 设()()1122A x y B x y ，
，，， 直线AB 的方程为1y kx =+，代入抛物线方程可得2440x kx --=，
∴121244x x k x x +==-，
，…① 由AB HB ⊥，可得1AB HB k k ⋅=-， 又111AB AF y k k x -==
，22
1
HB y k x +=， ∴
1212
11
1y y x x -+⋅=-， ∴()()1212110y y x x -++=， 即2212121111044x x x x ⎛⎫⎛⎫
-++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
， ∴
()
22221212121110164
x x x x x x +--+=，…② 把①代入②得，22
1216x x -=，
则()
22
121211||||1116444
AF BF y y x x -=+--=
-=⨯=． 【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，以及抛物线与圆的方程应用问题，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
21.已知函数()2
14f x x a x
=-+-
． （1）当a 为何值时，x 轴为曲线()y f x =的切线；
（2）设函数()()g x xf x =，讨论()g x 在区间（0，1）上零点的个数． 【答案】(1) 3
4
a = (2)见解析 【解析】
【分析】
（1）求得()f x 的导数，设切点为00x （，），可得()()0000f x f x ='=，，解方程可得所求
值；（2）求()g x 的解析式和导数，讨论当3a ≥时，当0a ≤时，当03a ＜＜时，结合函数的单调性和函数零点存在定理，即可得到所求零点个数． 【详解】（1）2
1()4f x x a x =-+-
的导数为21()24f x x x
'
=-+， 设切点为()00x ，
，可得()()0000f x f x ='=，， 即2
00200
11
0,2044x a x x x -+-
=-+=， 解得013,24
x a =
=； （2）3
21
()(),'()3,014
g x xf x x ax g x x a x ==-+-
=-+<<， 当3a ≥时，()2
30g x x a '=-+＞，()g x 在（0，1）递增，可得
()1004g =-＜，()5
104
g a =-＞，()g x 有一个零点；
当0a ≤时，()0g x '＜，()g x 在（0，1）递减，()()0010g g ＜，＜，
()g x 在（0，1）无零点；
当03a ＜＜时，()g x 在（0
1）递减， 可得()g x 在（0，1
）的最大值为1
4g =，
①若g ＜0，即3
04a ＜＜，()g x 在（0，1）无零点；
②若g =0，即34a =，()g x 在（0，1）有一个零点；
③若g ＞0，即353,(0)0,(1)44a g g a <<<=-， 当
35
44
a <<时，()g x 在（0，1）有两个零点；
当534
a ≤<时，()g x 在（0，1）有一个零点； 综上可得，a ＜34
时，()g x 在（0，1）无零点； 当a =34
或a ≥54时，()g x 在（0，1）有一个零点； 当34
＜a ＜54时，()g x 在（0，1）有两个零点． 【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值极值以及函数的零点问题，考查导数的几何意义的应用，考查分类讨论思想方法和运算能力，综合性较强．
22.在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1x tcos y tsin αα
=⎧⎨=+⎩（t 为参数，)[0απ∈，）．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为223cos ρρθ=+．
（l ）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程：
（2）若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且AB =．求直线l 的方程．
【答案】(1)见解析(2) 10x y -+=
【解析】
【分析】
（1）将1x t c o s y t s i n αα
=⎧⎨=+⎩消去参数t 可得直线的普通方程，利用x=ρcos θ，222x y ρ=+ 可
将极坐标方程转为直角坐标方程．（2）利用直线被圆截得的弦长公式AB =算可得答案．
【详解】（1）由1x tcos y tsin αα=⎧⎨=+⎩
消去参数t 得0xsin ycos cos ααα-+=（)[0απ∈，）， 由223cos ρρθ=+得曲线C 的直角坐标方程为：22230x y x +--=
（2）由22230x y x +--=得()2
214x y -+=，圆心为（1，0），半径为2，
圆心到直线的距离为sin cos d αα=+=，
∴AB ===
21sin α=，∵)[0απ∈，
，∴)2[02απ∈，，∴，4
πα=， 所以直线l 的方程为：10x y -+=． 【点睛】本题考查参数方程，极坐标方程与直角坐标方程之间的互化，考查直线被圆截得的弦长公式的应用，考查分析能力与计算能力，属于基础题．
23.已知函数()1f x x =-．
（1）求不等式()1f x x x ++＜的解集；
（2）若函数()()()22[]3g x log f x f x a =++-的定义域为R ,求实数a 的取值范围．
【答案】(1) ()0+∞， (2) 32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
， 【解析】
分析】
（1）分类讨论，去掉绝对值，化为与之等价的三个不等式组，求得每个不等式组的解集，再取并集即可．（2）要使函数()g x 的定义域为R ，只要()()()32h x f x f x a =++-的最小值大于0即可,根据绝对值不等式的性质求得最小值即可得到答案．
【详解】（1）不等式()111f x x x x x x ++⇔-++＜＜
111x x x x ≥⎧⎨-<++⎩或1111x x x x -<<⎧⎨-<++⎩或111x x x x ≤-⎧⎨-<--⎩
， 解得1x ≥或01x <<，即x>0,
所以原不等式的解集为()0+∞，
． （2）要使函数()()()22[]3g x log f x f x a =++-的定义域为R ，
只要()()()32h x f x f x a =++-的最小值大于0即可，
又()()()21221232||h x x x a x x a a =++--≥+---=-，
当且仅当2[]1x ∈-，
时取等，只需最小值32a -＞0，即3
2a ＜． 所以实数a 的取值范围是32⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，．
【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式求最值，属基础题．。