2020-2021学年浙江省温州市十五校联合体高二上学期期中数学试卷 (解析版)

2020-2021学年浙江省温州市十五校联合体高二（上）期中数学
试卷
一、选择题（共10小题）.
1．（4分）用一个平面去截圆锥，则截面不可能是（）
A．椭圆B．圆C．三角形D．矩形
2．（4分）一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条（）A．平行B．相交C．异面D．相交或异面3．（4分）椭圆+x2＝1的焦点坐标是（）
A．（2，0），（﹣2，0）B．，
C．，D．（0，2），（0，﹣2）
4．（4分）原命题“若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，则（）A．逆命题与否命题假，逆否命题真
B．逆命题假，否命题和逆否命题真
C．逆命题和否命题真，逆否命题假
D．逆命题、否命题、逆否命题都真
5．（4分）如图所示，正方形O'A'B'C'的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（）
A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．cm2
6．（4分）“直线l与平面α内无数条直线平行”是“直线l与平面α平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
7．（4分）方程|x|﹣1＝所表示的曲线是（）
A．一个圆B．两个圆C．一个半圆D．两个半圆
8．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点C做直线l，使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为70o，则这样的直线l（）
A．不存在B．2条C．4条D．无数条
9．（4分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是棱BC的中点，点P是平面DCC1D1内的动点，若直线AP与平面DCC1D1所成的角等于直线MP与平面DCC1D1所成的角，则点P的轨迹是（）
A．圆B．椭圆C．直线D．射线
10．（4分）已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M是椭圆C在第二
象限内的点，若I是△MF1F2的内心，G是△MF1F2的重心，记△IF1F2与△GF2M的面积分别为S1，S2，则（）
A．S1＞S2B．S1＝S2
C．S1＜S2D．S1与S2大小不确定
二、填空题（共7小题）.
11．（6分）椭圆C：＝1的离心率为，长轴长．
12．（6分）某三棱锥的三视图如图所示，则俯视图的面积为，该几何体的体积是．
13．（4分）过圆x2+y2＝8上任意一点P作x轴垂线，垂足为Q，则线段PQ的中点M的轨迹方程为．
14．（6分）已知圆锥的侧面积为4πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是cm，母线长为cm．
15．（4分）不等式kx2﹣x﹣1≤0对任意的实数x恒成立的充要条件是k∈．
16．（6分）已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若线段PF1
的中点在y轴上，则∠PF2F1＝，|PF1|﹣|PF2|＝．
17．（4分）在正三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝AD＝5，BC＝BD＝CD＝6．点M是线段BC上的点，且BM＝2MC．点P是棱AC上的动点，直线PM与平面BCD所成角为θ，则sinθ的最大值为．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）已知p：x2﹣8x+15≤0，q：x2﹣2x+1﹣a2≤0（a＞0）．
（Ⅰ）若p为真命题，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若p为q成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
19．（15分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；
（Ⅱ）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．
20．（15分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0），动点P满足|PF1|+|PF2|＝4，动点P的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）直线l与曲线Γ交于A、B两点，且线段AB的中点为M（1，1），求直线l的方程．
21．（15分）如图所示，在三棱锥D﹣ABC中，AD⊥平面DBC，∠BDC＝120°，且DA ＝1，DB＝DC＝2，E是DC的中点．
（Ⅰ）求异面直线AE与BD所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣C的正切值．
22．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）经过点（，），且F（0，）是C的一个焦点，过焦点F的动直线l交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在定点P（异于点F），使得对任意的动直线l都有∠APF＝∠BPF，若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题（共10小题）.
1．（4分）用一个平面去截圆锥，则截面不可能是（）
A．椭圆B．圆C．三角形D．矩形
解：如果用平面取截圆锥，平面过圆锥顶点时得到的截面图形是一个等腰三角形，如果不过顶点，且平面与底面平行，那么得到的截面就是一个圆，
如果不与底面平行得到的就是一个椭圆或抛物线与线段组合体，所以不可能是矩形．故选：D．
2．（4分）一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条（）A．平行B．相交C．异面D．相交或异面解：举例说明，给出正方体模型，如右图，
①直线AB与直线A1B1平行，且直线BC与直线A1B1异面，此时，直线BC与直线AB
相交；
②直线AB与直线A1B1平行，且直线CC1与直线A1B1异面，此时，直线BC与直线AB
异面．
下面说明不平行，
已知a∥b，l与a异面，若l与b平行，由a∥b，结合平行公理，可得l∥a，这与l与a 异面矛盾，故l不平行于b．
∴一条直线与两条平行线中的一条为异面直线，则它与另一条相交或异面．
故选：D．
3．（4分）椭圆+x2＝1的焦点坐标是（）
A．（2，0），（﹣2，0）B．，
C．，D．（0，2），（0，﹣2）
解：椭圆+x2＝1，可得a＝，b＝1，则c＝，
所以椭圆的焦点坐标：，．
故选：C．
4．（4分）原命题“若实数a，b，c成等比数列，则b2＝ac”，则（）A．逆命题与否命题假，逆否命题真
B．逆命题假，否命题和逆否命题真
C．逆命题和否命题真，逆否命题假
D．逆命题、否命题、逆否命题都真
解：若a，b，c成等比数列，则b2＝ac成立，即原命题为真命题，则逆否命题为真命题，逆命题为，若“b2＝ac，则a，b，c成等比数列，例如a＝b＝c＝0，满足b2＝ac，但a，b，c不能成等比数列，故逆命题为假命题，则否命题也为假命题，
故选：A．
5．（4分）如图所示，正方形O'A'B'C'的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的面积是（）
A．1cm2B．2cm2C．3cm2D．cm2
解：如图所示，
由斜二测画法的规则知与x'轴平行的线段其长度不变与横轴平行的性质不变，
正方形的对角线在y'轴上，
可求得其长度为，故在平面图中其在y轴上，
且其长度变为原来的2倍，长度为2，其原来的图形是平行四边形，
所以它的面积是1×2＝2cm2．
故选：B．
6．（4分）“直线l与平面α内无数条直线平行”是“直线l与平面α平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
解：由“直线l∥平面α”，可得“直线l与平面α内无数条直线平行”，反之不成立．∴“直线l与平面α内无数条直线平行”是“直线l∥平面α”的必要不充分条件．故选：B．
7．（4分）方程|x|﹣1＝所表示的曲线是（）
A．一个圆B．两个圆C．一个半圆D．两个半圆
解：∵|x|﹣1＝，∴x≥1或x≤﹣1
∴（|x|﹣1）2+（y+2）2＝1，
∴（x﹣1）2+（y+2）2＝1，x≥1或（x+1）2+（y+2）2＝1，x≤﹣1
故选：D．
8．（4分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点C做直线l，使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为70o，则这样的直线l（）
A．不存在B．2条C．4条D．无数条
解：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵BA1∥CD1，△CB1D1是等边三角形，
∴直线BA1与B1D1所成角为60°，
过点C做直线l，使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为70o，
∵∠CAD1＝60°，∠CD1B1的外角平分线与直线BA1和B1D1所成的角相等，均为60°，∠CD1B1的角平分线与直线BA1和B1D1所成的角相等，均为30°，
将角平分线绕点C向上转动到与面CD1B1的垂直的过程中，存在4条直线与直线BA1和
B1D1所成的角都等于70°．
∴过点C做直线l，使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为70o的直线l有4条．故选：C．
9．（4分）如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M是棱BC的中点，点P是平面DCC1D1内的动点，若直线AP与平面DCC1D1所成的角等于直线MP与平面DCC1D1所成的角，则点P的轨迹是（）
A．圆B．椭圆C．直线D．射线
解：因为AD⊥平面DCC1D1，所以直线AP与平面DCC1D1所成的角为∠APD，
因为BC⊥平面DCC1D1，所以直线AP与平面DCC1D1所成的角为∠MPC，
因为直线AP与平面DCC1D1所成的角等于直线MP与平面DCC1D1所成的角，
所以∠APD＝∠MPC，因为∠ADP＝∠MCP＝90°，
所以△ADP∽△MCP，所以＝＝2，
所以PD＝2PC，
如图，建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD﹣A1B1C1D1棱长为1，
则D（0，0，0），C（0，1，0），设P（0，y，z），
则＝2，
化简整理得（y﹣2）2+z2＝2，
所以点P的轨迹是一个圆．
故选：A．
10．（4分）已知椭圆C：＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M是椭圆C在第二
象限内的点，若I是△MF1F2的内心，G是△MF1F2的重心，记△IF1F2与△GF2M的面积分别为S1，S2，则（）
A．S1＞S2B．S1＝S2
C．S1＜S2D．S1与S2大小不确定
解：如图，
由椭圆C：＝1，得a＝2，b＝，c＝1，则|F1F2|＝2c＝2，
设△MF1F2的面积为S，内切圆半径为r，S＝＝3r，
即r＝，，，
∴S1＝S2，
故选：B．
二、填空题：本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分.
11．（6分）椭圆C：＝1的离心率为，长轴长6．解：由椭圆C：＝1，得a2＝9，b2＝4，
则a＝3，c＝，
∴离心率e＝，长轴长为2a＝6．
故答案为：，6．
12．（6分）某三棱锥的三视图如图所示，则俯视图的面积为2，该几何体的体积是．
解：由题意可知几何体是以俯视图为底面，一条侧棱与底面垂直的三棱锥，
底面是等腰三角形，底边为2，高为2，
所以俯视图的面积为：＝2．
几何体的体积为：＝．
故答案为：2；．
13．（4分）过圆x2+y2＝8上任意一点P作x轴垂线，垂足为Q，则线段PQ的中点M的轨迹方程为x2+4y2＝8．
解：设M（x，y），Q（x，0）则P（x，2y）
∵P在圆x2+y2＝8上，
∴x2+4y2＝8，
∴故答案为：x2+4y2＝8．
14．（6分）已知圆锥的侧面积为4πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径是cm，母线长为2cm．
解：圆锥的侧面积为4πcm2，且它的侧面展开图是一个半圆，
设圆锥的母线为l，底面半径为r，
则πl2＝4πcm2，解得l＝2cm，
由于圆锥的底面周长等于侧面展开图半圆的弧长，即2πr＝πl＝2π，
解得r＝．
故答案为：，2．
15．（4分）不等式kx2﹣x﹣1≤0对任意的实数x恒成立的充要条件是k∈（﹣∞，﹣]．解：k＝0时，原式为x﹣1＜0任意的实数x不恒成立，不满足题意；
k≠0时，只需，解得k≤﹣．
故不等式kx2﹣x﹣1≤0对任意的实数x恒成立的充要条件是k∈（﹣∞，﹣]，
故答案为：（﹣∞，﹣]．
16．（6分）已知椭圆＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，则∠PF2F1＝，|PF1|﹣|PF2|＝．
解：椭圆＝1的左焦点是F1，右焦点是F2，
∴F1为（﹣2，0），F2为（2，0），
设P的坐标为（x，y），线段PF1的中点为（），
∵线段PF1的中点在y轴上，∴，即x＝2，
∴y＝±，不妨取P为（2，），可得PF2⊥F1F2，则∠PF2F1＝；
|PF1|＝，|PF2|＝＝．
∴|PF1|﹣|PF2|＝．
故答案为：；．
17．（4分）在正三棱锥A﹣BCD中，AB＝AC＝AD＝5，BC＝BD＝CD＝6．点M是线段BC上的点，且BM＝2MC．点P是棱AC上的动点，直线PM与平面BCD所成角为θ，则sinθ的最大值为．
解：如图，
设底面三角形BCD的中心为O，以DO所在直线为x轴，以过O且平行于BC的直线为y轴，
以OA所在直线为z轴建立空间直角坐标系，
由AB＝AC＝AD＝5，BC＝BD＝CD＝6，BM＝2MC，
求得O（0，0，0），C（，3，0），M（，1，0），A（0，0，），
设P（x，y，z），＝，又，可得P（，3（1﹣λ），），
则，
平面BCD的一个法向量，
则sinθ＝|cos＜＞|＝＝，当λ＝0时，P与C重合，sinθ＝0；
当λ≠0时，sinθ＝＝．
∴sinθ的最大值为．
故答案为：．
三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18．（14分）已知p：x2﹣8x+15≤0，q：x2﹣2x+1﹣a2≤0（a＞0）．
（Ⅰ）若p为真命题，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若p为q成立的充分不必要条件，求实数a的取值范围．
解：（Ⅰ）若p为真命题，解不等式x2﹣8x+15≤0得3≤x≤5，
实数x的取值范围是[3，5]，
（Ⅱ）解不等式x2﹣2x+1﹣a2≤0（a＞0）得1﹣a≤x≤1+a，
∵p为q成立的充分不必要条件，
∴[3，5]是[1﹣a，1+a]的真子集，
∴，得a≥4．
∴实数a的取值范围是[4，+∞）．
19．（15分）如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，且平面PAD⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：AD∥平面PBC；
（Ⅱ）求直线PC与平面ABCD所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，
∴AD∥平面PBC．
（Ⅱ）解：取AD中点M，连接PM，CM，则PM⊥AD．
又∵平面PAD⊥底面ABCD，
∴PM⊥平面ABCD
∴∠PCM就是直线PC与平面ABCD所成的角，
由勾股定理可求得，
∴．
直线PC与平面ABCD所成角的正弦值为．
20．（15分）已知F1（﹣1，0），F2（1，0），动点P满足|PF1|+|PF2|＝4，动点P的轨迹为曲线Γ．
（Ⅰ）求点P的轨迹方程；
（Ⅱ）直线l与曲线Γ交于A、B两点，且线段AB的中点为M（1，1），求直线l的方程．
解：（Ⅰ）由椭圆的定义可知点P的轨迹是以F1（﹣1，0），F2（1，0）为焦点，长轴长为4的椭圆．
∴Γ的方程为．
（Ⅱ）（点差法）设A（x1，y1），B（x2，y2），∵A、B是Γ上的点，
由作差得，3（x1﹣x2）（x1+x2）+4（y1﹣y2）（y1+y2）＝0，
又线段AB的中点为M（1，1），∴x1+x2＝y1+y2＝2
从而直线AB斜率，
直线l的方程为．
（用韦达定理等其它方法可酌情给分）
21．（15分）如图所示，在三棱锥D﹣ABC中，AD⊥平面DBC，∠BDC＝120°，且DA ＝1，DB＝DC＝2，E是DC的中点．
（Ⅰ）求异面直线AE与BD所成角的余弦值；
（Ⅱ）求二面角A﹣BE﹣C的正切值．
解：（Ⅰ）取线段BC中点F，连接EF，AF，则EF∥BD，
从而∠AEF就是直线AE与BD所成的角，
在△AEF中，可求得，
∴异面直线AE与BD所成角的余弦值为．
（Ⅱ）可知二面角A﹣BE﹣C的平面角与二面角A﹣BE﹣D的平面角互补．
∵AD⊥平面DBC，作直线DG⊥BE于G，连接AG，则AG⊥BE．
从而∠AGD就是二面角A﹣BE﹣D的平面角，
在△DBE中，由余弦定理可求得BE＝．由面积法可求得，
∴，
∴二面角A﹣BE﹣C的正切值为．
22．（15分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）经过点（，），且F（0，）是C的一个焦点，过焦点F的动直线l交椭圆于A，B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）y轴上是否存在定点P（异于点F），使得对任意的动直线l都有∠APF＝∠BPF，若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）依题意得，，解得a＝2，b＝1，
椭圆C的方程为．
（Ⅱ）设存在点P（0，t）满足题意，设直线l的方程为．
设A（x1，y1），B（x2，y2），由消去y，
得．
从而，，
由∠APF＝∠BPF得k AP+k BP＝0，k AP+k BP＝＝
＝
＝＝﹣＝﹣
只需即可满足．
从而y轴上存在定点满足题意．。