高考数学直线与圆变式题

高考数学直线与圆变式题
1.（北师大版必修2 第93 页A 组第1题） 已知点)33,1(),3,1(-B A ；求直线AB 的斜率.
变式1；已知点)33,1(),3,1(-B A ；则直线AB 的倾斜角是（ ） A.
3π B.6
π C.32π D.65π
解；∵31
13
33-=---=AB k ；∴3tan -=α；∵πα≤≤0；∴323πππα=
-=；故选（C ）.
变式2；（北京卷）若三点)0)(,0(),0,(),2,2(≠ab b C a B A 共线；则
b
a 1
1+的值等于 . 解；∵A 、B 、C 三点共线；∴AC AB k k =；∴
202
220--=
--b a ；∴)(2b a ab +=；∴2
111=+b a . 变式3；已知点)2,5(),1,1(B A -；直线l 的倾斜角是直线AB 的倾斜角的一半；求直线l 的斜率.
解；设直线l 的倾斜角为α；则直线AB 的倾斜角为α2；依题意有4
3
15)1(22tan =---=α；
∴
4
3tan 1tan 22
=-αα；∴03tan 8tan 32=-+αα；∴31
tan =α或3tan -=α.由0018020≤≤α；得0
0900≤≤α；∴0tan ≥α；∴3
1tan =α；∴直线l 的斜率为31.
2.（人教A 版必修2 第111页A 组第9题）
求过点)3,2(P ；并且在两轴上的截距相等的直线方程.
变式1；直线0632=--y x 在x 轴上的截距为a ；在y 轴上的截距为b ；则（ ） A.2,3==b a B.2,3-==b a C.2,3=-=b a D.2,3-=-=b a 解；令0=x 得2-=y ；∴直线在y 轴上的截距为2-=b ；令0=y 得3=x ；∴直线在x 轴上的截距为3=a ；故选（B ）.
变式2；过点)3,2(P ；且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程是 . 解；依题意；直线的斜率为1或直线经过原点；∴直线的方程为23-=-x y 或x y 2
3=；即01=+-y x 或023=-y x .
变式3；直线l 经过点)3,2(P ；且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形；求直线l 的方程. 解；依题意；直线l 的斜率为±1；∴直线l 的方程为23-=-x y 或)2(3--=-x y ；即
01=+-y x 或05=-+y x .
3.（人教A 版必修2 第124页A 组第3题）
求直线01052=--y x 与坐标轴围成的三角形的面积.
变式1；过点（-5；-4）且与两坐标轴围成的三角形面积为5的直线方程是 . 解；设所求直线方程为)5(4+=+x k y ；依题意有
5)45)(54
(21=--k k
； ∴01630252=+-k k （无解）或01650252
=+-k k ；解得52=
k 或5
8=k . ∴直线的方程是01052=--y x 或02058=+-y x .
变式2；（上海春季卷）已知直线l 过点)1,2(P ；且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点；O 为坐标原点；则△OAB 面积的最小值为 . 解；设直线AB 的方程为)0()2(1<-=-k x k y ；
则4])1()4(24[21)]1()4(4[2114421)21)(12(21=-⋅-+≥-+-+=--=--=∆k k k k k k k k S OAB ；
当且仅当k k 14-
=-即21-=k 时取等号；∴当2
1
-=k 时；OAB S ∆有最小值4. 变式3；已知射线)0(4:>=x x y l 和点)4,6(M ；在射线l 上求一点N ；使直线MN 与l 及
x 轴围成的三角形面积S 最小.
解；设)1)(4,(000>x x x N ；则直线MN 的方程为0)4)(6()6)(44(00=-----y x x x .令
0=y 得1500-=x x x ；∴]21
1)1[(101]1)1[(101104)15(2100020020000+-+-=-+-=-=⋅-=x x x x x x x x x S 40]21
1)1(2[1000=+-⋅
-≥x x ；当且仅当11100-=
-x x 即20=x 时取等号；∴当N 为（2；8）时；三角形面积S 最小.
4.（北师大版必修2 第117页A 组第10题）
求过点)4,1(-A ；且与直线0532=++y x 平行的直线的方程.
变式1；（全国卷）已知过点),2(m A -和)4,(m B 的直线与直线012=-+y x 平行；则m 的值为（ ）
解；依题意有
22
4-=+-m m
；解得8-=m ；故选（B ）. 变式2；与直线0532=++y x 平行；且距离等于13的直线方程是 . 解；设所求直线方程为032=++m y x ；则
133
252
2
=+-m ；解得18=m 或8-=m ；
∴直线方程为01832=++y x 或0832=-+y x .
变式3；已知三条直线0,0134,0532=-=+-=++y mx y x y x 不能构成三角形；求实数m 的取值集合.
解；依题意；当三条直线中有两条平行或重合；或三条直线交于一点时；三条直线不能构成三角形；故23m =-
或34=m 或1=m ；∴实数m 的取值集合是24,,133⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
.
5.（北师大版必修2 第117页A 组第7题）
若直线062=++y ax 和直线0)1()1(2=-+++a y a a x 垂直；求a 的值.
变式1；（1987年上海卷）若直线062:1=++y ax l 与直线0)1()1(:2
2=-+-+a y a x l 平行但不重合；则a 等于（ ）
A.-1或2
B.-1
C.2
D.
3
2
解；∵21//l l ；∴21k k =且21b b ≠；∴112--=-a a 且1
1
32---≠-a a ；解得1-=a ；故
选（B ）.
变式2；（北京春季卷）“2
1
=
m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直”的（ ）
解；由20)2(3)2)(2(0212121-=⇔=++-+⇔=+⇔⊥m m m m m B B A A l l 或2
1=m ；知由21=
m 可推出21l l ⊥；但由21l l ⊥推不出21=m ；故2
1
=m 是21l l ⊥的充分不必要条件；故选（B ）.
变式3；设直线062=++y ax 与圆04222=+-+y x y x 相交于点P 、Q 两点；O 为坐标原点；且OQ OP ⊥；求m 的值.
解；∵圆04222=+-+y x y x 经过原点O ；且OQ OP ⊥；∴PQ 是圆的直径；∴圆心（1；-2）在直线062=++y ax 上；∴2-=m .
6.（人教A 版必修2 第110页A 组第3题）
已知)4,7(-A ；)6,5(-B ；求线段AB 的垂直平分线的方程.
变式1；已知)4,7(-A 关于直线l 的对称点为)6,5(-B ；则直线l 的方程是（ ） A.01165=-+y x B.0156=--y x C.01156=-+y x D.0165=+-y x 解；依题意得；直线l 是线段AB 的垂直平分线.∵65-=AB k ；∴5
6
1=-=AB l k k ；∵AB 的中点为（1；1）；∴直线l 的方程是)1(5
6
1-=
-x y 即0156=--y x ；故选（B ）. 变式2；已知圆16)4()7(22=++-y x 与圆16)6()5(22=-++y x 关于直线l 对称 ；则直线l 的方程是 .
解；依题意得；两圆的圆心)4,7(-A 与)6,5(-B 关于直线l 对称；故直线l 是线段AB 的垂直平分线；由变式1可得直线l 的方程为0156=--y x .
变式3；求点)4,7(-A 关于直线0156:=--y x l 的对称点B 的坐标.
解；设),(y x B .由l AB ⊥；且AB 的中点在直线l 上；得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=--⋅-+⋅-=⋅-+0124527615
6
74y x x y ；解
得⎩⎨
⎧=-=6
5
y x ；∴)6,5(-B .
7.（北师大版必修2 第118页B 组第2题）
光线自点)3,2(M 射到点)0,1(N 后被x 轴反射；求反射光线所在直线的方程.
变式1；一条光线从点)3,2(P 射出；经x 轴反射；与圆1)2()3(2
2
=-++y x 相切；则反
射光线所在直线的方程是 .
解；依题意得；点P 关于x 轴的对称点)3,2('-P 在反射光线所在的直线上；故可设反射光线所在直线的方程为)2(3-=+x k y ；即032=---k y kx .由反射光线与圆相切得
11
5
52=++k k ；解得34-=k 或43-=k ；∴反射光线所在直线的方程是)
2(34
3--=+x y 或)2(4
3
3--
=+x y ；即0134=++y x 或0643=++y x . 变式2；（2003年全国卷）已知长方形的四个顶点)0,0(A 、)0,2(B 、)1,2(C 和)1,0(D ；一质点从AB 的中点0P 沿与AB 夹角为θ的方向射到BC 上的点1P 后；依次反射到CD 、DA 和AB 上的点2P 、3P 和4P （入射角等于反射角）.设4P 的坐标为)0,(4x .若204<<x ；则θtan 的取值范围是（ ）
A.)1,31(
B.)32,31(
C.)21,52(
D.)3
2,52(
解；用特例法；取14=x ；则1P 、2P 、3P 、4P 分别为BC 、CD 、DA 、AB 的中点；此时21tan =
θ.依题意；包含2
1
tan =θ的选项（A ）（B ）（D ）应排除；故选（C ）. 变式3；已知点)15,2(),5,3(B A -；在直线0443:=+-y x l 上求一点P ；使PB PA +最小.
解；由题意知；点A 、B 在直线l 的同一侧.由平面几何性质可知；先作出点A 关于直线l 的对称点'A ；然后连结B A '；则直线B A '与l 的交点P 为所求.事实上；设点'P 是l 上异于P 的点；则PB PA B A B P A P B P A P +=>+=+''''''.
设),('y x A ；则⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧=++⋅--⋅-=⋅+-0425423314
3
35y x x y ；解得⎩⎨⎧-==33y x ；∴)3,3('-A ；∴直线B
A '的方程为05118=-+y x .由⎩⎨⎧=-+=+-051180443y x y x ；解得⎪⎩⎪
⎨⎧
==3
3
8y x ；∴)3,38(P .
8.（人教A 版必修2第144页A 组 3）
求以)3,1(N 为圆心；并且与直线0743=--y x 相切的圆的方程.
变式1；（重庆卷）过坐标原点且与圆02
5
242
2
=+
+-+y x y x 相切的直线的方程为（ ） A.x y 3-=或x y 31= B.x y 3=或x y 31
-=
C.x y 3-=或x y 31-=
D.x y 3=或x y 3
1
=
解；设直线方程为kx y =；即0=-y kx .∵圆方程可化为2
5)1()2(2
2=++-y x ；∴圆
心为（2；-1）；半径为
210.依题意有210
1
122=
++k k ；解得3-=k 或31=k ；∴直线方程为x y 3-=或x y 3
1
=
；故选（A ）. 变式2；（湖北卷）已知直线0125=++a y x 与圆0222=+-y x x 相切；则a 的值为 .
解；∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为（1；0）；半径为1；∴
112
552
2
=++a ；
解得8=a 或18-=a . 变式3；求经过点)5,0(A ；且与直线02=-y x 和02=+y x 都相切的圆的方程.
解；设所求圆的方程为222)()(r b y a x =-+-；则⎪
⎩
⎪
⎨⎧=+=-=-+r b
a b a r b a 5252)5(2
22； 解得⎪⎩⎪⎨⎧===531r b a 或⎪
⎩⎪⎨
⎧===5
5155
r b a ；∴圆的方程为5)3()1(2
2=-+-y x 或125)15()5(22=-+-y x .
9.（人教A 版必修2 第144页 A 组 第5题）
求直线063:=--y x l 被圆042:2
2
=--+y x y x C 截得的弦AB 的长.
变式1；（1999年全国卷）直线0323=-+y x 截圆42
2
=+y x 得的劣弧所对的圆心角为（ ） A.
6π B.4π C.3π D.2
π
解；依题意得；弦心距3=
d ；故弦长2222=-=d r AB ；从而△OAB 是等边三角形；
故截得的劣弧所对的圆心角为3
π
=
∠AOB ；故选（C ）.
变式2；（天津卷）设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于A 、B 两点；
且弦AB 的长为32；则=a .
解；由弦心距、半弦长、半径构成直角三角形；得22222)3()1
1(
=+++a a ；解得0=a .
变式3；已知圆6)2()1(:22=-++y x C ；直线01:=-+-m y mx l . （1）求证；不论m 取什么实数；直线l 与圆C 恒交于两点； （2）求直线l 被圆C 截得的弦长最小时l 的方程.
解；（1）∵直线)1(1:-=-x m y l 恒过定点)1,1(P ；且65=<=
r PC ；∴点P 在圆
内；∴直线l 与圆C 恒交于两点.
（2）由平面几何性质可知；当过圆内的定点P 的直线l 垂直于PC 时；直线l 被圆C 截得的弦长最小；此时21=-
=PC
l k k ；∴所求直线l 的方程为)1(21-=-x y 即012=--y x .
10.（北师大版必修2第117页A 组 第14题）
已知直线0323=-+y x 和圆422=+y x ；判断此直线与已知圆的位置关系. 变式1；（安徽卷）直线1=+y x 与圆)0(0222>=-+a ay y x 没有公共点；则a 的取值范围是（ ）
A.)12,0(-
B.)12,12(+-
C.)12,12(---
D.)12,0(+ 解；依题意有
a a >-2
1；解得1212-<<--a .∵0>a ；∴120-<<a ；故选（A ）.
变式2；（湖北卷）若直线2+=kx y 与圆1)3()2(22=-+-y x 有两个不同的交点；则k 的
取值范围是 . 解；依题意有
11
122<+-k k ；解得340<
<k ；∴k 的取值范围是)3
4
,0(. 变式3；若直线m x y +=与曲线24x y -=有且只有一个公共点；
求实数m 的取值范围. 解；∵曲线24x y -=
表示半圆)0(422≥=+y y x ；∴利用数形结合法；可得实数m 的
取值范围是22<≤-m 或22=m .
11.（北师大版必修2第101页例8）
判断圆02662:2
2
1=--++y x y x C 与圆0424:2
2
2=++-+y x y x C 的位置关系；
并画出图形.
变式1；（1995年全国卷）圆0222=-+x y x 和圆0422=++y y x 的位置关系是（ ）
解；∵圆1)1(22=+-y x 的圆心为)0,1(1O ；半径11=r ；圆4)2(22=++y x 的圆心为)2,0(2-O ；
半径22=r ；∴1,3,5122121=-=+=r r r r O O .∵212112r r O O r r +<<-；∴两圆相交；故选（C ）.
变式2；若圆042222=-+-+m mx y x 与圆08442222=-+-++m my x y x 相切；则实数m 的取值集合是 .
解；∵圆4)(22=+-y m x 的圆心为)0,(1m O ；半径21=r ；圆9)2()1(22=-++m y x 的圆心为)2,1(2m O -；半径32=r ；且两圆相切；∴2121r r O O +=或1221r r O O -=；∴
5)2()1(22=++m m 或1)2()1(22=++m m ；解得5
12
-
=m 或2=m ；或0=m 或25-
=m ；∴实数m 的取值集合是}2,0,2
5
,512{--. 变式3；求与圆522=+y x 外切于点)2,1(-P ；且半径为52的圆的方程.
解；设所求圆的圆心为),(1b a O ；则所求圆的方程为20)()(22=-+-b y a x .∵两圆外切
于点P ；∴13
1
OO OP =；∴),(31)2,1(b a =-；∴6,3=-=b a ；∴所求圆的方程为
20)6()3(22=-++y x .
12.（人教A 版必修2 第145页B 组第2题）
已知点)2,4(),6,2(),2,2(----C B A ；点P 在圆422=+y x 上运动；求2
2
2
PC PB PA ++的最大值和最小值.
变式1；（湖南卷）圆0104422=---+y x y x 上的点到直线014=-+y x 的最大距离
与最小距离的差是（ ）
A.36
B.18
C.26
D.25
解；∵圆18)2()2(2
2=-+-y x 的圆心为（2；2）；半径23=r ；∴圆心到直线的距离
r d >==
252
10；∴直线与圆相离；∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
262)()(==--+r r d r d ；故选（C ）.
变式2；已知)0,2(-A ；)0,2(B ；点P 在圆4)4()3(22=-+-y x 上运动；则2
2
PB
PA +的最小值是 . 解；设),(y x P ；则828)(2)2()2(2
2222222
2
+=++=+-+++=+OP y x y x y x PB PA .
设圆心为)4,3(C ；则325min
=-=-=r OC OP
；∴2
2
PB PA
+的最小值为268322=+⨯.
变式3；已知点),(y x P 在圆1)1(22=-+y x 上运动.
（1）求
21
--x y 的最大值与最小值；（2）求y x +2的最大值与最小值. 解；（1）设
k x y =--2
1
；则k 表示点),(y x P 与点（2；1）连线的斜率.当该直线与圆相切时；k
11
22=+k k ；解得33±
=k ；∴21--x y 的最大值为33；最小值为3
3-.
（2）设m y x =+2；则m 表示直线m y x =+2在y 轴上的截距. 当该直线与圆相切时；
m
15
1=-m ；解得51±=m ；∴y x +2的最大值为51+；最小值为51-.
13.（人教A 版必修2第135页B 组第3题） 已知点M 与两个定点)0,0(O ；)0,3(A 的距离的比为
2
1
；求点M 的轨迹方程. 变式1；（四川卷）已知两定点)0,2(-A ；)0,1(B ；如果动点P 满足PB PA 2=；则点P 的轨迹所包围的面积等于（ ）
A.π
B.π4
C.π8
D.π9
解；设点P 的坐标是),(y x .由PB PA 2=；得2222)1(2)2(y x y x +-=++；化简得
4)2(22=+-y x ；∴点P 的轨迹是以（2；0）为圆心；2为半径的圆；∴所求面积为π4；
故选（B ）.
变式2；（2004年全国卷）由动点P 向圆12
2
=+y x 引两条切线PA 、PB ；切点分别为A 、
B ；APB ∠=600；则动点P 的轨迹方程是 .
解；设),(y x P .∵APB ∠=600；∴OPA ∠=300
.∵AP OA ⊥；∴22==OA OP ；∴
222=+y x ；化简得422=+y x ；∴动点P 的轨迹方程是42
2=+y x .
变式3；（2003年北京春季卷）设)0)(0,(),0,(>-c c B c A 为两定点；动点P 到A 点的距离与到B 点的距离的比为定值)0(>a a ；求P 点的轨迹.
解；设动点P 的坐标为),(y x P .由
)0(>=a a PB
PA ；得
a y
c x y c x =+-++2
2
22)()(；
化简得0)1()1(2)1()1(2222222=-+++-+-a c x a c y a x a .
当1≠a 时；化简得01)1(22
2
22
2
=+-+++c x a
a c y x ；整理得222222
)12()11(-=+-+-a ac y c a a x ； 当1=a 时；化简得0=x .
所以当1≠a 时；P 点的轨迹是以)0,11(22c a a -+为圆心；1
22-a ac
为半径的圆； 当1=a 时；P 点的轨迹是y 轴.
14.（人教A 版必修2第133页例5）
已知线段AB 的端点B 的坐标是（4；3）；端点A 在圆4)1(22=++y x 上运动；求线段AB 的中点M 的轨迹方程.
变式1；已知定点)0,3(B ；点A 在圆122=+y x 上运动；M 是线段AB 上的一点；且
MB AM 3
1
=
；则点M 的轨迹方程是（ ） A.9)1(2
2
=+-y x B.1)3(2
2
=+-y x
C.169)4
3
(2
2
=
+-y x D.9
16)1(2
2=++y x 解；设),(),,(11y x A y x M .∵MB AM 31=；∴),3(3
1
),(11y x y y x x --=--；
∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=-y y y x x x 31)3(3111；∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=-=y y x x 3
4134
11.∵点A 在圆122=+y x 上运动；∴12
121=+y x ；∴1)34()134(22=+-y x ；
即169)43(22=+-y x ；∴点M 的轨迹方程是16
9
)43(22=+-y x ；故选（C ）.
变式2；已知定点)0,3(B ；点A 在圆12
2
=+y x 上运动；AOB ∠的平分线交AB 于点M ；则点M 的轨迹方程是 .
解；设),(),,(11y x A y x M .∵OM 是AOB ∠的平分线；∴3
1==OB OA MB AM ； ∴MB AM 31
=.
由变式1可得点M 的轨迹方程是16
9)43(22=+-y x . 变式3；已知直线1+=kx y 与圆422=+y x 相交于A 、B 两点；以OA 、OB 为邻边作平行四边形OAPB ；求点P 的轨迹方程.
解；设),(y x P ；AB 的中点为M .∵OAPB 是平行四边形；∴M 是OP 的中点；∴点M 的坐标为)2
,2(y x ；且AB OM ⊥.∵直线1+=kx y 经过定点)1,0(C ；∴CM OM ⊥；∴0)12
(2)2()12,2()2,2(2=-+=-⋅=⋅y y x y x y x CM OM ；化简得1)1(22=-+y x .∴点P 的轨迹方程是1)1(22=-+y x .
15.（人教A 版必修2第144页练习第3题）
某圆拱桥的水面跨度20m ；拱高4m .现有一船宽10m ；水面以上高3m ；这条船能否从桥下通过？
变式1；某圆拱桥的水面跨度是20m ；拱高为4m .现有一船宽9m ；在水面以上部分高3m m ；为此；必须加重船载；降低船身.当船身至少应降低
m m ）
解；建立直角坐标系；设圆拱所在圆的方程为222)(r b y x =-+.
∵圆经过点（10；0）；（0；4）；∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+2222)4(100r
b r b ；解得⎩⎨⎧=-=5.145.10r b . ∴圆的方程是)40(5.14)5.10(222≤≤=++y y x . 令5.4=x ；得)(28.3m y ≈.
m 后；船身至少应降低m 22.1)328.3(5.1=--；船才能通过桥洞.
变式2；据气象台预报；在A 城正东方300km 的海面B 处有一台风中心；正以每小时40km 的速度向西北方向移动；在距台风中心250km
h ；台风将影响A 城；持续时间约为 h h ）
解；以B 为原点；正东方向所在直线为x 轴；建立直角坐标系；则台风中心的移动轨迹是x y -=；受台风影响的区域边界的曲线方程是222250)()(=++-a y a x .
依题意有222250)300(≤+--a a ；解得14251501425150+-≤≤--a . ∴6.640
14502402,0.24014
2515024021
21
1≈⨯=-=∆≈+-==a a t a t . ∴h ；台风将影响A h .
变式3；有一种商品；A 、B 两地均有出售；且两地价格相同.某地区的居民从两地购买此种商品后往回贩运时；单位距离的运费A 地是B A 、B 两地的距离是10km ；顾客购买这种商品选择A 地或B A 、B 两地的售货区域的分界线的曲线形状；并指出在曲线上、曲线
内、曲线外的居民如何选择购货地点.
解；以AB 的中点为原点；AB 所在直线为x 轴；建立直角坐标系；则)0,5(-A ；)0,5(B .设),(y x P 是售货区域分界线上的任意一点；单位距离的运费为a 元km /；则
PB a PA a =3；∴2222)5()5(3y x a y x a +-=++；化简得222)4
15()425(=++y x .∴A 、B 两地售货区域的分界线是以)0,425(-为圆心；4
15A 地购货；在曲线外的居民选择去B 地购货；在曲线上的居民去A 、B 两地购货均可.。