梁的剪力方程和弯矩方程 常用弯矩图

5-7．试列出下列梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图。

解：首先求出支座反力.考虑梁的整体平衡
由 0,0=+⋅=∑e RA B M l F M
得
l
M F e
RA -
= 由 0,0=-⋅=∑e RB
A M l F M 得 l
M F e
RB =
则距左端为x 的任一横截面上的剪力和
剪力图 弯矩表达式为：
()l
M F x F e RA
S -==
()x l
M x F x M e
RA ⋅-
=⋅= 剪力方程为常数,表明剪图应是一条平行梁轴线的直线；弯矩方程是x 的一次函
数，表明弯矩图是一条斜直线。

（如图） 解:首先求出支座反力.考虑梁的平衡 由 04
5
2,0=⋅⋅-⋅=∑l l q l F M RB c 得 ql F RB 8
5= 由 021
,02=+⋅=∑ql l F M RC B
得 ql F RC 2
1
-=
则相应的剪力方程和弯矩方程为: AB 段:（2
01l
x ≤≤）
()()21
11
12
1qx x M qx x F S -=-=
BC 段：（2
322l x l
≤
≤） 剪力图 弯矩图
()()⎪
⎭⎫
⎝⎛-⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅⋅-==-=
285428
21852222l x ql l x l q x M ql
ql ql x F S
AB 段剪力方程为x 1的一次函数,弯矩方程为x 1的二次函数，因此AB 段的剪力图
为斜直线,弯矩图为二次抛物线；BC 段剪力方程为常数,弯矩方程为x 2的一次函数，所以BC 段剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为斜直线。

（如图)
5—9 用简便方法画下列各梁的剪力图和弯矩图。

解：由梁的平衡求出支座反力：
KN F KN F RB RA 12,8==
AB 段作用有均布荷载，所以
AB 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线;BC 段没有荷载作用，所以BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线。

在B 支座处，剪力图有突变，突变值大小等于集中力（支座反力F RB )的大小；弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。

（如图）
(5）
解：由梁的平衡求出支座反力：
KN F KN F RB RA 5.6,5.3==
AB 与BC 段没有外载作用，所以AB 、BC 段的剪力图为平行梁轴线的水平线段，弯矩图为直线；CD 段作用均布荷载，所以CD 段的剪力图为下倾直线，弯矩图为下凹二次抛物线。

在B 处,剪力图有突变，突变值大小等于集中力F 的大小;弯矩图有转折，转折方向与集中力方向一致。

（如图）
（7）
解：AB 段作用有均布荷载（方向向下）,所以AB 段的剪力图为下倾直线,弯矩图为下凹二次抛物线；BC 段作用有均布荷载（方向向上），所以BC 段的剪力图为上倾直线,弯矩图为
上凸直线。

（如图)
5。

14试用叠加法画下列各梁的弯矩图。

（1)
弯矩图
q
弯矩图
（4）
题型：计算题
题目:试作图所示悬臂梁A B的剪力图和弯矩图。

+
=
弯矩图
+
【解】
1、列剪力方程和弯矩方程
取坐标原点与梁左端点A对应。

选取距梁左端点A为x的任一截面，如图（a)所示，以该截面左侧梁段上的外力，写该截面上的剪力和弯矩表达式，即可得到梁A B的剪力方程和弯矩方程为
上面两式后的括号内，表明方程适用范围.由于截面A，B处有集中力作用,则其剪力为不定值，第一式的适用范围为。

由于截面B有集中力偶作用,则其弯矩也为不定值,第二式的适用范围为关于这个
问题，待后面作进一步说明。

2、作剪力图和弯矩图
剪力方程表明，梁各截面上的剪力都相等，因此剪力图应是一条平行于横轴的直线。

取直角坐标系x—,画出梁的剪力图为一水平直线。

因各
横截面的剪力为负值,故画在横轴下面，如图（b）所示。

弯矩方程表明，弯矩M是x的一次函数，因此弯矩图应是一条倾斜直
线.可以确定其上两点，在x=0处，M=0;在x=L处（应理解为x略小于L 处），M=P L.取直角坐标系O x M，表示弯矩的纵坐标以向下为正，画出梁的弯矩图,如图（c）所示。

由图可见，最大弯矩发生在固定端B稍偏左的横截面上，其值为
常见问题题2
题型：计算题
题目：试作图（a)所示简支梁A B的剪力图和弯矩图.
【解】
1、求支座反力
由梁的平衡方程，可求得支座A,B两处的反力为
2、列剪力方程和弯矩方程
取坐标原点与梁左端点A对应。

列出梁A B的剪力方程和弯矩方程为
3、作剪力图和弯矩图
剪力方程表明，剪力是x的一次函数，剪力图应是一条倾斜直线。

因此，只要确定其上两点，即可绘出该梁的剪力图。

在处（应理解为
x略大于0）,;处（应理解为x略小于），.画出梁的剪力图，如图（b）所示.由剪力图可见，,该梁最大剪力发生在支座内
侧的横截面上，其值为
弯矩方程表明，弯矩M是x的二次函数，弯矩图应是一条抛物线.因此，只要确定其上三个点，即可绘出该梁的弯矩图。

在处，M=0；在
处,M=0；在处，
.画出弯矩图，如图6-12(c）所示.由弯矩图可见，该梁最大弯矩发生在梁的跨中截面处，其值为
在此截面上剪力为零。

常见问题题3
题型：计算题
题目：试作图(a）所示简支梁A B的剪力图和弯矩图。

【解】
1、求支座反力
由梁的静力平衡方程，可求得支座A，B两处的反力为
2、列剪力方程和弯矩方程
当作用在梁上的外力不连续时,通常不能角一个方程描述全梁的剪力或
弯矩，必须分段研究。

在该例题中，集中力P把梁分成A C和C B两段，这两段梁的剪力方程和弯矩方程分别为
A C段：
C B段：
3、作剪力图和弯矩图
两段梁的剪力方程表明,两段梁的剪力图均为水平直线。

画出梁的剪力图，如图(b)所示。

由剪力图可见，在集中力P作用的C处，其左右两侧横
截面上剪力的数值分别为和,剪力图发生突变，其突变值等于集中力P的大小。

由此可得,在集中力作用处剪力图发生突变，其突变值等于该集中力的大小。

如果b＞a，则最大剪力发生在A C段梁的任一截面上，其值为
两段梁的弯矩方程表明，两段梁的弯矩图均为倾斜直线。

画出梁的弯矩图，如图(c）所示。

由弯矩图可见，A C和C B两段梁的弯攀图两直线斜率不同，在C处形成向下凸的“尖角”,而剪力图在此处改变了正、负号。

最大弯矩发生在集中力P作用的截面上,其值为
如果a=b，则最大弯矩的值为
常见问题题4
题型：计算题
题目：试作图（a)所示简支梁A B的剪力图和弯矩图.
【解】
1、求支座反力
由梁的静力平衡方程，可求得支座A，B两处的反力为
2、列剪力方程和弯矩方程
集中力偶M e把梁分成A C和C B两段，这两段梁的剪力方程和弯矩方程分别为
A C段：
C B段：
3、作剪力图和弯矩图
在集中力偶作用处的左、右梁段上,剪力方程相同,全梁剪力图为一水平直线。

画出梁的剪力图，如图（b)所示示.由剪力图可见，在集中力偶作用处，剪力图并不发生突变,即集中力偶不影响剪力图。

两段梁的弯矩方程表明，两段梁的弯矩图均为倾斜直线.画出梁的弯矩图，如图（c)所示.由弯矩图可见，在集中力偶从作用的C处，其左右两侧
横截面上弯矩的数值分别为和，弯矩图发生突变,其突变值等于集中力偶M e的大小。

由此可得，在集中力偶作用处弯矩图发生突变，其突变值等于该集中力偶的大小。

如果b＞a,则最大弯矩发生在集中力偶从作用处右侧横截面上，其值为
常见问题题5
题型：计算题
题目：试作图示简支梁的剪力图和弯矩图.
【解】
1、求支座反力
由梁的静力平衡方程可知，支座A,B的反力为
2、列剪力方程和弯矩方程
当梁上荷载不连续，剪力或弯矩不能用一个统一的函数式表达时,必须分段列出剪力方程和弯矩方程。

通常分段是以集中力、集中力偶和分布荷载的起点与终点分界。

因此，该简支梁应分为A C,C D和D B三段，分别列出剪力方程和弯矩方程。

A C段：
C D段:
D B段:
3、作剪力图和弯矩图
按上述剪力方程和弯矩方程，画出剪力图和弯矩图，如图（b）、（c）所示.
在画A C段弯矩图时,由于弯矩方程是二次函数，弯矩图应是一条抛物线，至少需要确定其上三个点，才可绘出该梁的弯矩图。

在处,M=0；在x＝3m处，M＝33k N．m。

在剪力为零处x=2.4m,该点处弯矩
.用光滑曲线连接这三个点即可得A C段的
弯矩M图。

如图（c)所示。